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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Regularidad en espacios de Besov yLizorkin-Triebel,
de la descomposicion de Hodge sobre variedadesRiemannianas con frontera
Francisco J. Torres Ayala FC-UNAMMa. de los Angeles Sandoval Romero, FC-UNAM
Miguel A. Ballesteros Montero, IIMAS
ENJIM15IMATE
30 de noviembre del 2015
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Plan
Introduccion
Elipticidad
Laplace Beltrami
Descomposicion de Hodge
Generalizaciones
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Descomposicion de Helmotz
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz
Teorema
Sea F : U ⊂ R3 → R3 un campo vectorial C1 (U dominio acotadocon frontera suave). Entonces F se puede descomponer, de maneraunica, como una suma de un gradiente negativo, con potencial φ yel rotacional de un potencial a. Es decir
F = −∇φ+∇× a
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Solucion de ecuaciones con valores en la frontera
U ⊆ Rn, abierto acotado con frontera suave:
∇× X = F, en U
X|∂U = 0, en ∂U
PeroF = −∇φ+∇× a
entonces, para tener solucion, necesariamente −∇φ = 0.
Se propone X = a+∇g, con g en C∞(U).El problema es equivalente a :
(∇g)|| = −a|| y (∇g) · N = 0, en ∂U
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Y cuando desperte ...
el kernel del operador era distinto de cero
... pero su kernel y co-kernel eran finito dimensionales.
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Y cuando desperte ...
el kernel del operador era distinto de cero
... pero su kernel y co-kernel eran finito dimensionales.
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Aσ = η ⇒ σ = A−1η
Definicion Un operador se llama esencialemte invertible si esinvertible modulo operadores compactos.
Algebra de Calkin
C(H) := B(H)/K(H).
B(H)π→ C(H)
A es escencialmente invertible sii π(A) es invertible.
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Teorema de Atkinson
Teorema
Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).T es esencialmente invertible si y solo si el rango de T es cerrado ylos kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales.
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Teorema de Atkinson(WRONG ATKINSON)
Teorema
Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).T es esencialmente invertible si y solo si el rango de T es cerrado ylos kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales.
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Teorema de Atkinson
Frederic Valentine Atkinson
Teorema
Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ B(H).T es esencialmente invertible si y solo si el rango de T es cerrado ylos kerneles de T y T ∗ son finito dimensionales (i.e. T esFredholm).
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Problemas con valores en la frontera
Problema con valores en la frontera en U ⊂ Rn
Lu = v, en U
Lju = vj , 1 ≤ j ≤ l, en ∂U
Lu =∑|α|≤d
aα(x)︸ ︷︷ ︸matriz N ×N
∂α(u)
Lju =∑|β|≤dj
b(j)β (x)︸ ︷︷ ︸
matriz Nj ×N
∂β(u)
El sımbolo principal de L, se define como
pL(x, ξ) =∑|α|=d
aα(x)(ξ)α ∈MN,N
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Elipticidad
• Lopatskii-SapiroEl problema con valores a la frontera es elıptico si
1. pL(x, ξ) es invertible sii ξ 6= 0.
2. Para todo x y para todo ξ ∈ Rn \ 0, la transformacion
Mx,ξ →l⊕
j=1
CNj
σ 7→ (pLi(x, ξ + ien∂s)σ|s=0)1≤i≤l
es biyectiva, para todo ξ 6= 0, donde
Mx,ξ = σ : pL(x, ξ + ien∂s)σ = 0 y σ es acotada en R+
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Elipticidad
• Boutet de MonvelEl problema con valores a la frontera es elıptico si
1. pL(x, ξ) es invertible sii ξ 6= 0.
2. Para todo x y para todo ξ ∈ Rn \ 0 la transformacion
S(R+) 7→ S(R+)⊕l⊕
j=1
CNj
σ 7→ (pL(x, ξ + ien∂s)σ, pLi(x, ξ + ien∂s)σ|s=0)1≤i≤l
es biyectiva.
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Teorema (Hormander, Grubb, Rempel y Schulze)
Para el operador
∆nnd
: W spΩk(D)→
W s−2p Ωk(D)
⊕W
s−1/pp Ωk(D)|∂D
⊕W
s−1−1/pp Ωk+1(D)|∂D
son equivalentes:
1. Es elıptico
2. Es Fredholm, para todo s ≥ 2, 1 < p <∞.
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
El reparto
• (M, g), variedad Riemanniana, orientada, completa con radioinyectivo positivo y geometria acotada.• D ⊂M , sub-variedad, compacta, conexa con frontera.
• d : Ωk(M)→ Ωk+1(M), t,n : Ωk(D)→ Ωk(D)|∂D
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
y como estrella principal ...El operador de Hodge
∗ : Ωk(M)→ Ωn−k(M)
Si (Ei)1≤i≤n es un marco g-ortonormal (local):
∗(E∗i1 ∧ · · ·E∗ik
) = εE∗i′1∧ · · · ∧ E∗i′n−k
E1i1
E2i′1
E3i2
E4i′2
E5i′3
E6i′4
ε = ε(1, 3, 2, 4, 5, 6) = −1
Producto interior
〈η, ω〉 :=
∫Mη ∧ ∗ω
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
La co-diferencial
δ : Ωk(M)→ Ωk−1(M)
δ(ω) = (−1)nk+n+1 ∗ d ∗ (ω)
Formula de Green
Para ω ∈ Ωk−1(D), η ∈ Ωk(D)
〈dω, η〉 = 〈ω, δη〉+
∫∂D
tω ∧ ∗nη
En un mundo sin fronteras (∂D = ∅)
〈dω, η〉 = 〈ω, δη〉
Entonces d y δ son adjuntos uno del otro.
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
El operador de Laplace-Beltrami∆ := dδ + δd
• Laplaciano de Neumann:
∆(k)N :=
∆nnd
: Ωk(D)→ Ωk(D)⊕ Ωk(D)|∂D ⊕ Ωk+1(D)|∂D
• Laplaciano de Dirichlet:
∆(k)D :=
∆ttδ
: ΩK(D)→ Ωk(D)⊕ Ωk(D)|∂D ⊕ Ωk−1(D)|∂D
• Equivalentes
∗n = t∗, ∗t = n∗, nδ = δn, td = dt, ∗∆ = ∆∗
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
El operador de Laplace-Beltrami
s ∈ N0, p ≥ 2
• Laplaciano de Neumann:
∆(k)N :=
∆nnd
: W spΩk(D)→
W s−2p Ωk(D)
⊕W
s−1/pp Ωk(D)|∂D
⊕W
s−1−1/pp Ωk+1(D)|∂D
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Potenciales y regularidad
HkN(D) = ω ∈ H1Ωk(D) : dω = δω = nω = 0
Teorema
Dado η ∈ HkN(D)⊥ exsite una unica k-forma φN tal que
∆φN = η, en D
nφN = 0, en ∂D
ndφN = 0, en ∂D
Ademas, si η es de clase W sp entonces φN es de clase W s+2
p .
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Ek(D) = dα : α ∈ H1Ωk−1(D), tα = 0Ck(D) = δβ : α ∈ H1Ωk+1(D),nβ = 0Hk(D) = ω ∈ H1Ωk(D) : dω = δω = 0
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Descomposicion de Hodge
Teorema (Hodge-Morrey)
L2Ωk(D), se descompone, como la suma L2-ortogonal de:
L2Ωk(D) = Ek(M)⊕ Ck(M)⊕Hk(D)
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
En W sp
W spEk(D) = Ek(D) ∩W s
pΩk(D)
W spCk(D) = Ck(D) ∩W s
pΩk(D)
W spHk(D) = Hk(D) ∩W s
pΩk(D)
Teorema (Hodge-Morrey-Schwarz)
W spΩk(D) (s ∈ N0, p ≥ 2), se descompone, como la suma
L2-ortogonal de:
W spΩk(D) = W s
pEk(M)⊕W spCk(M)⊕W s
pHk(D)
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Extenciones• Schwarz, Gunter. Hodge Decomposition-A method for Solving
Boundary Value Problems. Lecture Notes in Mathematics.Springer-Verlag, 1995.
• Jonhsen, Jon. Elliptic boundary problems and the Boutet deMonvel Calulus in Besov and Triebel-Lizorkin spaces.Math.Scand. 79. pp. 25-28, 1996.
• Mitrea, Marius. Sharp Hodge Decompositions, Maxwell’sEquations, and vector Poisson problems on nonsmooth,three-dimensional riemannian manifolds. Duke Math. J. 125,3. pp. 467-547, 2004.
• Mitrea, Marius. Sharp Hodge decompositions in two and threedimensional Lipschitz domains. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I334. pp. 109-112, 2002.
• Schneider, Cornelia.Traces in Besov and Triebel- Lizorkinspaces on domains. Mathematische Nachrichten 284, 5-6.pp.572-586, 2011.
• Triebel, Hans. Theory of Function Spaces Vol. 1,2,3.
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Era un trabajo sucio...
Teorema
Asp,qΩk(D) (s > 0, 2 ≤ p, q ≤ ∞, p finito para Lizorkin-Triebel), se
descompone, como la suma L2-ortogonal de:
Asp,qΩk(D) = Asp,qEk(M)⊕Asp,qCk(M)⊕Asp,qHk(D)
Asp,qEk(D) = Ek(D) ∩Asp,qΩk(D)
Asp,qCk(D) = Ck(D) ∩Asp,qΩk(D)
Asp,qHk(D) = Hk(D) ∩Asp,qΩk(D)
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Espacios de Besov y Lizorkin-TriebelPara ındices, 0 < p, q ≤ ∞ y s ∈ R definimos
Bsp,q :=
f ∈ S′(Rn) :
( ∞∑k=0
2sqk‖(ϕkf)∨‖qLp
)1/q
<∞
con las moficicaciones usuales para q =∞.Para ındices 0 < p <∞, 0 < q ≤ ∞ y s ∈ R definimos
F sp,q :=
f ∈ S′(Rn) :
∥∥∥∥∥( ∞∑k=0
2sqk∣∣∣(ϕkf)∨(·)
∣∣∣q )1/q∥∥∥∥∥Lp
<∞
con las moficicaciones usuales para q =∞.Donde (ϕj)j∈N0 , es una particion de la unidad, suave que satisface
1. supp(ϕ0) ⊂ ξ ∈ Rn : ‖ξ‖ ≤ 2,2. para todo j ∈ N, supp(ϕj) ⊂ ξ ∈ Rn : 2j−1 ≤ ‖ξ‖ ≤ 2j+1,3.∑∞
k=0 ϕk(x) = 1, para todo x en Rn.
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Espacios de Besov y Lizorkin-Triebel
T : DT ⊆ H → H, operador lineal, no acotado, positivo,ϕ : R→ R continua.
ϕ(T )f :=
∫ ∞0
ϕ(t)dEf (t)
D(ϕ(T )) := f ∈ H :
∫ ∞0|ϕ(t)|2d‖Ef (t)‖ <∞
‖T sf‖ ∼
∞∑j=0
22js‖ϕj(T )f‖21/2
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
Regularidad
Teorema
Supongamos que v ∈W 22 Ωk(D) resuelve el problema de valores en
la frontera
∆v = η, en U (1)
nv = ηn, en ∂U (2)
ndv = ηnd, en ∂U (3)
para η ∈ AspqΩk(D) ∩HkN(D)⊥, ηn ∈ Asp,pΩk(D)|∂D, ηnd ∈
As−1−1/pp,p Ωk+1(D)|∂D. Entonces, v ∈ As+2
pq Ωk(D).
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Descomposicion de Friedrics
Hkex(D) :=ω ∈ Hk(D) | ω = dα, para alguna α ∈W 1
2 Ωk−1(D)Hk
co(D) :=ω ∈ Hk(D) | ω = δβ, para alguna β ∈W 12 Ωk+1(D)
Teorema
AspqHk(D) = AspqH
kex(D)⊕Hk
N(D) = AspqHkco(D)⊕Hk
D(D),
AspqHk(D) = AspqH
kex(D)⊕Hk
N(D) = AspqHkco(D)⊕Hk
D(D),
donde la suma es ortogonal en L2.Los espacios AspqH
kex(D) y AspqH
kco(D) son cerrados con respecto a
la topologıa de Aspq.
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Introduccion Elipticidad Laplace Beltrami Descomposicion de Hodge Generalizaciones
G RACIAS