Reelle Funktionen 6aSchuljahr 2015/16
Andreas [email protected]
Institute for Mathematics and Scientific ComputingKarl-Franzens-Universitat Graz
Graz, November 23, 2015
Reelle Funktionen 6a Andreas Kucher
Wiederholung: Funktionen
I Seien D,Y nichtleere Mengen.Eine Funktion f : D → Y
ordnet jedem Element x ∈ D (genau) ein Element y = f (x) ∈ Yzu.
I D nennen wir Defintionsbereich.
I Y nennen wir Wertevorrat (Wertebereich, Bildbereich).
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Ein Beispiel
I D = { Sasha, Pooja, Visnja, Ljuba }I Y = { Markus, Daniel, Leonid, Stefan, Roderich }
Die Funktion Damenwahl : D → Y weist jeder Dame aus demDefinitionsbereich einen Herren aus dem Wertebereich zu. Z.B.:
x ∈ D Damenwahl(x) ∈ YLjuba LeonidSasha MarkusVisnja DanielPooja Stefan
I Jede Dame bekommt genau! einen Mann
I Keine der Damen kann leer ausgehen. (Definitionsbereich!)I Es kann nicht sein, dass eine Dame mehr als einen Mann
bekommt.
I Roderich bekommt keine Dame. (Kann passieren im Wertebereich!)
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Wiederholung: Funktionen
Reelle Funktionen 6a Andreas Kucher
Wiederholung: Reelle Funktionen
I Eine reelle Funktion ist eine Funktion mit
I Der Definitionsbereich D ist Teilmenge der rellen Zahlen (alsoD ⊂ R)
I Der Wertebereich Y ist eine Teilmenge der rellen Zahlen (alsoY ⊂ R).
I Mit D ⊂ R,Y ⊂ R nennen wir
f : D → Y
reelle Funktion.
I Beispiele:
I (Affin) lineare Funktion: y = f (x) = 2x + 3.I Quadratische Funktion: y = f (x) = −3x2 + 4x − 5.I ...
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Wiederholung: Reelle Funktionen
Reelle Funktionen 6a Andreas Kucher
Beispiel: Gebrochen–rationale Funktion
Abbildung : f : R\{2, 3} → R mit y = f (x) = (x−1)3
x2−5x+6 .
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Motivation: Monotonie von reellen Funktionen
Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D eine Teilmenge.
I Wir konnen uns ansehen, wie sich f eingeschrankt auf Mverhalt.
I Schreibweise: f|M .
Beispiel: y = f (x) = −x2 + 3x + 4
(a) f auf R(b) M = [2, 3] und f|[2,3].
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Monotonie von reellen Funktionen
Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D eine Teilmenge. f heißt
I monoton steigend in M, wennfur alle x1, x2 ∈ M gilt: x1≤x2 ⇒ f (x1)≤f (x2).
I streng monoton steigend in M, wennfur alle x1, x2 ∈ M gilt: x1<x2 ⇒ f (x1)<f (x2).
Vorsicht: Aus streng monoton steigend folgt monoton steigendReelle Funktionen 6a Andreas Kucher
Etwas Mathematik
PropositionDie Funktion
f :=
{R → Rx 7→ 3x + 4
ist streng monoton steigend.Beweis f ist per Definition streng monoton steigend, wenn
(∀x1, x2 ∈ R) : x1 < x2 =⇒ f (x1) < f (x2) .
Wegen der Definition von f mit f (x) = 3x + 4 ist dies aquivalent zu
(∀x1, x2 ∈ R) : x1 < x2 =⇒ 3x1 + 4 < 3x2 + 4 .
Seien x1, x2 ∈ R beliebig. Dann gilt:
x1 < x2 ⇐⇒ 3x1 < 3x2 ⇐⇒ 3x1 + 4 < 3x2 + 4 .
Also ist f streng monoton steigend.
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Monotonie von reellen Funktionen
Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D eine Teilmenge. f heißt
I monoton fallend in M, wennfur alle x1, x2 ∈ M gilt: x1≤x2 ⇒ f (x1)≥f (x2).
I streng monoton fallend in M, wennfur alle x1, x2 ∈ M gilt: x1<x2 ⇒ f (x1)>f (x2).
Vorsicht: Aus streng monoton fallend folgt monoton fallendReelle Funktionen 6a Andreas Kucher
Monotonie – Arbeiten mit Intervallen
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Monotonie – Arbeiten mit Intervallen
3.02b)
I [a, b]: Weder (streng) monoton steigend noch fallend.
I [b, c]: Monoton fallend.
I [c , d ]: Streng monoton fallend (somit auch monoton fallend).
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Extremstellen
Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D. Eine Stelle p ∈ M heißt
I Maximumsstelle von f in M, wenn f (x)≤f (p) fur alle x ∈ M.
I Miminmumstelle von f in M, wenn f (x)≥f (p) fur alle x ∈ M.
Eine Stelle p ∈ M heißt Extremstelle von f in M
wenn sie Maximum– oder Minimumstelle von f in M ist.
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Lokale Extremstellen
Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D. Eine Stelle p ∈ M heißt
I lokale Maximumsstelle von f in M, wenn es eine Umgebung U(p)gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist.
I lokale Minimumsstelle von f in M, wenn es eine Umgebung U(p)gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist.
Eine Stelle p ∈ M heißt
lokale Extremstelle von f in M wenn sie lokale Maximum– oder
Minimumstelle von f in M ist.
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Lokale Extremstellen
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Potenzfunktionen
DefinitionEine relle Funktion f : D → R mit f (x) = c · x r mit c , r ∈ R nennt manPotenzfunktion.
I D hangt von r ab. Zum Beispiel
I f : R→ R mit f (x) = 3 · x2.I g : R+ → R mit f (x) = 3
2 · x12 = 3
2 ·√
x .
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Potenzfunktionen
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Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Z+, a = 1
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Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Z−, a = 1
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Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Z+, a = 1
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Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Q\Z, a = 1
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Potenzfunktionen erkennen
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Wiederholung: Quadratische Funktionen
Eine Funktionf : R→ R
heißt quadratische Funktion, wenn es a, b, c ∈ R mit a 6= 0 gibt, sodass
f (x) = a · x2 + b · x + c .
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. DieKoeffizienten a, b, c bestimmen die Form und Lage der Parabel. Beispiele:
f (x) = x2 + 0x + 0
(a) g(x) = 6x2 + 20x + 4 (b) h(x) = 6− 0.22 − 5x − 10
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Wiederholung: Quadratische Funktionen
Nullstellen:f (x) = 0⇐⇒ ax2 + bx + c = 0 .
Fur die Bestimmung der Nullstellen ist also eine quadratischeGleichung zu losen.Seien x1, x2 die Nullstellen von f (x). Dann gilt wegen derSymmetrieeigenschaft der ParabelDer Scheitel S hat die Koordinaten
S =
(x1 + x2
2, f
(x1 + x2
2
)).
Mochte man auf die Berechnung der Nullstellen verzichten, sokann man sich diese Formel merken:
S =
(−b
2a, f
(−b
2a
)).
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Wiederholung: Quadratische Funktionen
Wir kennen den Graphen einer quadratischen Funktion und mochten a, b, cbestimmen, sodass f (x) = ax2 + bx + c .Vorgehensweise:
1. Wir bestimmen c indem wir f (0) betrachten:
f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c .
2. Wir bestimmen zwei verschiedene Punkte auf der Parabel:
P1(x1, y1) und P2(x2, y2) .
Es gilt, weil P1,P2 auf der Parabeln liegen:
y1 = f (x1) = ax21 + bx1 + c,
y2 = f (x2) = ax22 + bx2 + c
.
Weil wir c schon kennen, erhalten wir ein lineares Gleichungssystem inzwei Unbekanten a, b:
y1 − c︸ ︷︷ ︸bek.
= a x21︸︷︷︸
bek.
+b x1︸︷︷︸bek.
,
y2 − c︸ ︷︷ ︸bek.
= a x22︸︷︷︸
bek
+b x2︸︷︷︸bek.
.
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Polynomfunktionen
Eine Funktionp : R→ R
heißt Polynomfunktion vom Grad n (kurz deg p = n), wenn esn ∈ N\{0} und a0, a1, · · · , an ∈ R mit an 6= 0 gibt, sodass
p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0
Beispiele
I p1(x) = 5x3 + 0x2 + 3x + 5 (deg p1 = 3).
I p2(x) = x100 (deg p2 = 100).
I p3(x) = 3x + 4 (deg p3 = 1).
I p4(x) = −10 (deg p4 = 0).
I p5(x) = (x − 2)2 (warum?)
Vorsicht: f (x) = x4 + x3 + x−4 ist KEINE Polynomfunktion!
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Beispiele zu Polynomfunktionen
Polynomfunktion vom Grad 3: Meistens S–Kurve.Polynomfunktion vom Grad 4: Meistens Doppel–S–Kurve.
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Beispiele zu Polynomfunktionen
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Ubung zu Polynomfunktionen
1) Skizziere den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades, diean der Stelle 2 eine Nullstelle, an der Stelle −2 ein lokalesMinimum und an der Stelle 1 ein lokales Maximum hat!
2) Skizziere den Graphen einer Polynomfunktion 4. Grades, diean den Stellen −4 und 5 eine Nullstelle, an der Stelle 3 einglobales Minimum, an der Stelle 0 ein lokales Maximum und ander Stelle −1 ein lokales Minimum hat hat!
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Polynomfunktionen – Zusatzinfo
Polynomfunktionen gehoren zu den wichtigsten Funktionenuberhaupt:
I Jede Funktion, deren Graphen man ohne den Bleistiftabzusetzen durchzeichnen kann, konnen beliebig genau durchPolynomfunktionen angenahert werden.(Satz von Weierstraß)
I Sie werden zur Interpolation verwendet.(Z.B. Lagrange–Interpolation, ...)
I Sie sind allgegenwartig bei 3D–Spielen.(Z.B. Bezier–Splines, ...)
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Veranderung von Funktionsgraphen
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