Recursos digitales educativos
como mediadores de conceptos matemáticos
Resumen
Las Tecnologías de la Información y la Comunicación proveen herramientas que permiten
acceder a nuevos modos de explorar, representar y tratar el conocimiento, así como generar
recursos digitales que faciliten la comprensión de conceptos matemáticos abstractos al
proporcionar ayudas educativas ajustadas a las necesidades de los estudiantes.
En este trabajo se presentarán algunos de los recursos hipertextuales y multimediales, accesibles
en la Web, que han sido diseñados y elaborados por las autoras mediante el empleo de software
libre. Estos recursos permiten enriquecer el abordaje de los conceptos involucrados al adaptarse
mejor a los distintos estilos de aprendizaje de los estudiantes, actuando como mediadores en los
procesos de enseñanza y de aprendizaje.
En su elaboración se ha tenido en cuenta el concepto de mediación pedagógica con la finalidad
de apoyar la enseñanza de conceptos contenidos en distintas asignaturas básicas y que son de
utilidad en diversas aplicaciones ingenieriles.
Palabras claves: Recursos digitales educativos, Conceptos matemáticos, Mediación pedagógica
Abstract
Information and Communication Technologies provide tools that allow access to new ways of
exploring, representing and dealing with knowledge, as well as generation of hypermedia
resources that helps comprehension of abstract mathematical concepts, supplying educational
assistance tailored to students´ requirements.
Here some hypertext and multimedia resources are presented, designed and developed by the
authors using free software. These resources will help further the approach of the involved
concepts to match in a better way the learning styles of students, acting as mediators in the
processes of teaching and learning.
The concept of pedagogical mediation has been taken into account in the elaboration of this kind
of tools, in order to support the teaching of concepts that are useful in various engineering
applications, and are part of the program of different basic subjects.
Keywords: Digital Educational Resources, Mathematical Concepts, Pedagogical Mediation.
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1. INTRODUCCIÓN Las grandes posibilidades que las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) otorgan
a la innovación en la educación plantean un importante desafío en el ámbito educativo
universitario. Así, se pueden generar recursos que vinculen elementos tecnológicos, pedagógicos
y organizativos para integrar en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
En el Forum de la Unesco, realizado en el 2002, sobre el tema impacto del material educativo
abierto en la educación superior se definió el término recursos educativos abiertos, (OER, su
sigla en inglés correspondiente a open educational resources), como los recursos educacionales
en formato digital y abiertos para consulta, uso y adaptación por una comunidad de usuarios con
propósitos no comerciales que se ofrecen de manera gratuita y abierta sobre la Web. Su principal
uso está dado por educadores, estudiantes y autodidactas para su uso y re-uso en la enseñanza, el
aprendizaje y la investigación (6).
Aunque la idea típica de recurso educativo digital es la de contenidos educativos en formato web
conteniendo texto, imágenes y ejercicios, también incluye otro tipo de “materiales” en la
definición. Por ejemplo: materiales de lectura, simulaciones, experimentos y demostraciones, así
como secuencias didácticas para enseñar un determinado tema, se ajustan a la definición de
OER, si bien su uso e implicaciones son diferentes a los de los “contenidos” en su acepción
común (5, 7).
Su utilización abre nuevas perspectivas respecto a una mejor enseñanza, ya que provee
herramientas que permiten el acceso a nuevos modos de explorar, representar y tratar el
conocimiento, así como la generación de recursos multimediales que faciliten la comprensión de
conceptos matemáticos abstractos al proporcionar ayudas educativas ajustadas a las necesidades
de los estudiantes.
En el marco del proyecto de investigación titulado “Asistencia computacional en la enseñanza en
carreras de Ingeniería” (código 25/N033, UTN-FRSN) y mediante el empleo de software libre,
programas editores de video y de sitios web, se han elaborado recursos didácticos digitales
hipertextuales y multimediales. Éstos permiten enriquecer el abordaje de los conceptos
involucrados y también logran adaptarse mejor a los distintos estilos de aprendizaje de los
alumnos, actuando como mediadores en los procesos de enseñanza y de aprendizaje.
Gutiérrez Pérez y Prieto Castillo incorporan el concepto de mediación pedagógica como “el
tratamiento de contenidos y de las formas de expresión de los diferentes temas a fin de hacer
posible el acto educativo, dentro del horizonte de una educación concebida como participación,
creatividad, expresividad y relacionalidad” (4). Este tratamiento involucra tres fases: desde el
tema, desde el aprendizaje y desde la forma. La primera fase, referida al tratamiento desde el
tema, se inicia desde el contenido mismo haciendo que la información sea accesible, clara y bien
organizada en función del aprendizaje autónomo. La siguiente fase, concerniente al tratamiento
desde el aprendizaje, desarrolla los procedimientos más adecuados para que el mismo se
convierta en un acto educativo. La última fase, relativa al tratamiento desde la forma, se refiere a
los recursos expresivos utilizados en el material.
En este trabajo se presentan algunos de los recursos educativos digitales, accesibles en la Web,
que han sido diseñados y elaborados por las autoras, teniendo en cuenta el concepto de
mediación pedagógica con el propósito de apoyar la enseñanza de conceptos que son de utilidad
en diversas aplicaciones ingenieriles y que se encuentran en los programas de materias tales
como Algebra y Geometría Analítica y Análisis Numérico, pero también con la finalidad de
enriquecer la oferta de contenidos educativos libres, reutilizables y adaptables.
2. MEDIACIÓN PEDAGÓGICA Se habla de mediación en el estricto sentido de mediar entre determinadas áreas del
conocimiento y de la práctica y quienes están en situación de aprender algo de ellas (4). Como ya
se mencionó en el apartado anterior, la mediación pedagógica involucra tres fases.
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En la fase referida al tratamiento del tema, se debe tener en cuenta que el estudiante debe tener
una visión global del contenido, para ubicarse en el contexto, y poder relacionar los subtemas
que intervienen. Esta visión global debe mostrar al estudiante la estructura básica del material, es
decir, su esqueleto, y dar una clara visión de los temas y subtemas contenidos en el mismo.
En una clase presencial, es el trabajo en el aula el que hace surgir la mediación, y viene
generalmente asociada a la capacidad y al entusiasmo del docente. En cambio, en la educación a
distancia, son los materiales los que dan ese ímpetu, y son los que permiten al estudiante
concretar el sentido del proceso educativo. La mediación pedagógica es entonces la que intenta
allanar el camino a nuevas relaciones del estudiante con los materiales, con otros textos, con el
contexto propio, con sus compañeros, tutores y docentes, e incluso consigo mismo.
En la fase referida al tratamiento del contenido se debe tener presente para quién se desarrolla el
material y con qué fin, pues el interlocutor es el estudiante y debe desarrollar el aprendizaje a
partir del mismo.
Al estar la modalidad a distancia centrada en los materiales, éstos deben ser trabajados
cuidadosamente, con una serie de características que deben ser conocidas y bien aplicadas
pedagógicamente, con mucha mayor eficacia que en la modalidad presencial.
En la fase referida al tratamiento desde el aprendizaje, se deben desarrollar procedimientos
adecuados para que el mismo sea realmente un acto educativo. Esto se logra con la participación
del estudiante mediante la resolución de situaciones prácticas que acompañan y enriquecen al
texto, en forma de ejercitación y problemas.
No se debe perder de vista que el objetivo clave del aprendizaje es la aplicación de lo aprendido.
Lo importante es que el proceso de integración de la teoría con la práctica sea inmediato. Esto es
en particular importante en un proceso educativo no presencial, para que el alumno se apoye
sobre los resultados de su práctica.
3. ¿POR QUÉ SITIOS WEB? Los sitios web en particular tienen la característica de ser universales, en el sentido de que son
accesibles desde cualquier sistema operativo y desde cualquier parte del mundo. Por otro lado,
pueden contener todo tipo de elementos que resultan objetos de aprendizaje (OA) por sí solos,
como textos, hipertextos, imágenes, animaciones y otros elementos propios de la Web 2.0, como
vínculos a vídeos, sitios subidos por otras personas y aplicaciones web híbridas denominadas
mashups, entre otras cosas.
Si bien se sabe que es el estudiante quien construye, modifica o enriquece sus esquemas de
conocimiento, es función del docente crear las condiciones favorables para que el alumno lleve
adelante su proceso de aprendizaje en forma adecuada. En función de los resultados de las
encuestas realizadas, se puede decir que en los cursos de ingeniería de la FRSN un alto
porcentaje de los estudiantes privilegia el aprendizaje visual, que les permite absorber grandes
cantidades de información con rapidez y relacionar o elaborar conceptos abstractos con facilidad.
Teniendo en cuenta esta característica de los destinatarios, se desarrollaron distintos sitios web
de acceso libre como herramienta complementaria para el estudio de algunos conceptos de
matemática, que permiten abordar distintos temas de asignaturas del ciclo básico de carreras de
Ingeniería. Estos sitios se convierten así en un escenario de recreación de conceptos y de
interacciones con los OA contenidos en él.
Las características que presentan los sitios desarrollados hacen que puedan ser enmarcados
dentro del concepto de OA, entendiendo a éste como un medio didáctico con formato digital y
contenido interactivo, que ha sido diseñado para servir en un proceso educativo, que puede
reutilizarse, se encuentra permanentemente accesible desde Internet y que además está
constituido por los siguientes elementos: una teoría desde donde informarse como base y
sustento del aprendizaje, la experimentación que posibilita reforzar dicho aprendizaje, la
comunicación como pilar del aprendizaje social y la autoevaluación que orientará respecto del
logro del aprendizaje esperado.
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Además, coincidiendo con Adell, J. (1), se han considerado las siguientes dimensiones para
asegurar la funcionalidad del entorno virtual:
Flexibilidad didáctica: definida como la capacidad para ofrecer valor añadido a procesos
formativos diferentes.
Flexibilidad tecnológica: la base tecnológica se ha tomado en consideración en lo que
respecta a la funcionalidad de los recursos accesibles desde el sitio.
Usabilidad: definida como la eficacia combinada con su facilidad de uso.
En el diseño de los sitios desarrollados, en particular los que aquí se presentan, se ha tenido en
cuenta que sean fáciles de utilizar, sencillos, intuitivos, cómodos y amigables tanto para los
docentes como para los estudiantes. Los mismos fueron creados como un complemento para el
desarrollo del tema en forma presencial. Su utilización permite ampliar los límites de la clase
tradicional, ya que los procesos de enseñanza y aprendizaje pueden extenderse más allá del aula
y fuera del horario asignado para el dictado de la asignatura (3). Pero también pueden ser usados
para el aprendizaje autónomo del tema o como material para educación a distancia, dado que
fueron desarrollados teniendo en cuenta las características de la mediación pedagógica.
4. DESCRIPCIÓN DE LOS RECURSOS EDUCATIVOS El acceso a los distintos recursos del grupo de investigación GIE se realiza desde la URL:
www.frsn.utn.edu.ar/gie. En la opción de menú Recursos, se podrán encontrar los distintos sitios
desarrollados hasta el momento.
Figura 1: Página de recursos del GIE
Todos los sitios tienen la misma estructura. Se utiliza en ellos un tipo de navegación jerárquica,
debido a que en cada una de las páginas hay un menú que presenta las diversas secciones a las
que el alumno puede acceder. A su vez, algunas de estas secciones están organizadas en
subtemas o subsecciones. De esta manera, el estudiante sabrá que a medida que navegue por los
distintos temas o secciones, irá obteniendo información cada vez más específica y que la
información más general se hallará al comienzo.
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En el menú de estos sitios se encuentran las secciones: Conceptos Básicos, Ventanas
Interactivas, Ejercicios, Autoevaluación, Bibliografía y Vínculos de interés. En algunos se ofrece
una encuesta, pensada para poder hacer una evaluación del recurso, y en otros una sección
Comentarios, donde los usuarios pueden dejar sugerencias y comentarios sobre su experiencia de
uso. También en algunos casos hay una sección de Aplicaciones, donde se muestran aplicaciones
del tema tratado.
En la Figura 2, se muestra el menú y las secciones de dos de los sitios desarrollados,
correspondiente a dos temas de álgebra, transformaciones lineales y autovectores y autovalores.
Figura 2: Menú y secciones
La sección Conceptos básicos, está formada por diferentes subsecciones en las que se pueden
encontrar definiciones, ejemplos y propiedades de los conceptos a estudiar.
En la Figura 3, se muestra una de las páginas de la sección Aplicaciones del sitio Autovalores y
autovectores. En esta sección, se pueden encontrar distintos ejemplos utilizados en temas de
ingeniería, donde se aplican los conceptos estudiados: sistemas dinámicos, determinación del
número cromático, rototraslación y resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias.
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Figura 3: Aplicación de los autovalores y autovectores a la rototraslación
En la sección Bibliografía se encuentran las referencias a los libros que se utilizaron para la
obtención de la información presentada en el sitio.
4.1 Las ventanas interactivas
El uso de las ventanas interactivas permite generar nuevos espacios pedagógicos, donde se
promueve la participación interactiva de los estudiantes con el concepto, permitiéndole así la
comprensión y el aprendizaje de los contenidos involucrados.
Estas ventanas interactivas personalizadas han sido diseñadas utilizando el software libre
SCILAB, un programa de cálculo numérico que puede obtenerse desde la URL: www.scilab.org.
Las mismas se han desarrollado con la finalidad de que el estudiante, por medio de su
manipulación y visualización, potencie un tipo de pensamiento matemático diferente. Es decir,
formule conjeturas, analice, verifique hipótesis, argumente y descubra conceptos matemáticos.
Además estas ventanas posibilitan al alumno resolver diversos problemas cuantas veces quiera y
relacionar los resultados obtenidos con las variaciones de parámetros efectuadas.
En la página de presentación de las ventanas interactivas, se ofrece un video tutorial para guiar al
estudiante en el proceso de descarga y utilización de las mismas. Es importante tener en cuenta
que para poder ejecutarlas se debe tener instalado el software mencionado.
Como ejemplo, se muestra a continuación en la Figura 4 una de las ventanas diseñadas para la
resolución de sistemas de ecuaciones lineales: métodos de descomposición (2). En la misma se
deben cargar los datos del sistema, es decir, matriz de coeficientes y vector de términos
independientes, para luego, pulsando el botón correspondiente a cada método, obtener las
matrices de descomposición, y por último, el resultado final, o solución del sistema. Se puede
ver, a medida que se ejecutan los pasos, la cantidad de operaciones elementales requeridas para
cada método, hecho que hace decidir cuál de ellos es más eficiente en cuanto a tiempo de
ejecución y precisión de la solución, teniendo en cuenta la aritmética finita con que trabajan los
ordenadores.
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Figura 4. Interfaces de la ventana personalizada “métodos de descomposición para
sistemas de ecuaciones lineales”, desarrollada en Scilab.
4.2 Los vídeos digitales El uso de los vídeos se fundamenta principalmente en el potencial de expresión y comunicación
que ofrecen.
En el sitio Superficies, se encuentra la pestaña “Cónicas y Cuádricas”. Allí se presenta una serie
de vídeos, que han sido elaborados por la cátedra de Algebra y Geometría Analítica, con el
objetivo de motivar a los estudiantes para que logren identificar los elementos y contenidos
geométricos que se requiere movilizar, tanto desde el pensamiento analítico como visual, en el
aprendizaje matemático de las formas cónicas y superficies cuádricas. En la Figura 5 se muestran
imágenes de algunos de ellos.
Figura 5: Algunos de los vídeos publicados
En dichos vídeos se muestran imágenes del mundo real, en donde se pueden encontrar diseños,
edificios y construcciones con las formas geométricas estudiadas. De esta manera, se logra
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integrar la matemática con el mundo real, haciendo que los alumnos relacionen las ecuaciones
estudiadas con objetos reales, existentes en el mundo.
Estos vídeos son además utilizados como disparadores, para que los estudiantes participen de la
actividad propuesta en la pestaña “Cuádricas en el mundo”. Esta actividad consiste en colaborar
en la búsqueda de formas cónicas y cuádricas en estructuras arquitectónicas del mundo,
incorporándolas al mapa publicado desde el sitio de Google Maps. Para ello deberán realizar la
geolocalización, colocar un marcador, etiquetarla, insertar una imagen y/o video identificando la
forma correspondiente y aportar algún dato referido a sus dimensiones, utilidad constructiva,
época de realización, metodología utilizada para su cálculo, diseñador, constructores, y toda
información que el alumno considere relevante. Esto es un claro ejemplo de una aplicación web
híbrida denominada mashup, que usa y combina datos, presentaciones y la funcionalidad
procedentes de una o más fuentes para crear nuevos servicios, en donde se ve la integración fácil
y rápida de recursos. En la Figura 6 se presentan algunos ejemplos.
Figura 6: Mapa de Google Maps en Cuádricas en el mundo
4.3 Ejercicios y autoevaluaciones
Con el propósito de que el alumno afiance y utilice todos los conocimientos aprendidos, se han
diseñado dos secciones para tal fin. Una de ellas es la sección Ejercicios, donde el alumno podrá
acceder a una cartilla donde se le propone la resolución de diversas actividades. Cabe destacar,
que esta cartilla puede ser bajada con facilidad por el estudiante debido a que se encuentra
disponible en formato pdf.
La otra sección es la de Autoevaluación, donde el alumno al resolver las situaciones planteadas,
podrá profundizar en un mayor autoconocimiento y comprensión del proceso de aprendizaje
realizado. Para ello se han diseñado cuestionarios con posibilidades de opción múltiple, de
selección simple, múltiple y de elección entre verdadero y falso, para cada uno de los temas.
Existen diversos paquetes de software de autor que ofrecen la posibilidad de crear cuestionarios
que proveen retroalimentación automática. Los cuestionarios de los sitios Transformaciones
Lineales y Autovalores y Autovectores se crearon utilizando el software Hot Potatoes
desarrollado por la Universidad de Victoria, Canadá, descargable desde la URL
http://hotpot.uvic.ca . Éstos son de fácil lectura y navegabilidad, se corrigen automáticamente y
se pueden realizar cuantas veces se desee.
Para generar los cuestionarios de autoevaluación de los sitios Superficies y Sistemas de
Ecuaciones Lineales se ha utilizado una aplicación de código abierto, disponible gratuitamente,
para edición y desarrollo de contenido para la Web, denominada eXe, que se puede obtener
desde la URL http://exelearning.org . En la Figura 7 se muestra la interfaz de un cuestionario
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generado en ella, donde se pueden apreciar las opciones que brinda: distinto tipo de preguntas,
donde el estudiante puede recurrir a un botón de ayuda antes de decidir la opción a elegir. Una
vez seleccionada la respuesta, recibirá un comentario en verde si la elección es correcta o en rojo
si es incorrecta, con una breve justificación en ambos casos.
Figura 7: Interfaz de una autoevaluación del sitio Superficies
También se presenta otra opción de evaluación, en la cual luego de contestar todas las preguntas,
aparece una indicación del puntaje obtenido y se puede acceder a la respuesta correcta de las
preguntas planteadas.
5. LA EXPERIENCIA CON ALUMNOS Se han utilizado este año en las cátedras de Análisis Numérico de la Facultad Regional San
Nicolás los sitios de ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones lineales e integración
numérica. Los alumnos mostraron gran entusiasmo cuando se les presentó cada uno de ellos.
Estos sitios fueron utilizados como recursos que acompañaron todo el proceso de enseñanza y
aprendizaje de los temas mencionados. Algunos alumnos expresaron su preferencia por el
material en forma de sitio web en lugar de apunte, comentando que les resultaba más atractivo
ver un sitio web que leer un texto.
Con respecto a los sitios de transformaciones lineales y autovalores y autovectores, los mismos
han sido utilizados en la cátedra Algebra y Geometría Analítica de la Facultad Regional Bahía
Blanca. Luego de su presentación, cada alumno utilizó el sitio cuando lo consideró conveniente.
Para conocer su opinión sobre los sitios, se les solicitó que contesten el cuestionario que se
encuentra en la sección Encuesta. El 90% de los estudiantes consideró que los contenidos les
resultaron interesantes y que fueron desarrollados con suficiente claridad y profundidad.
En general, en estas encuestas los alumnos manifestaron que los sitios son de gran ayuda para
terminar de entender los conceptos que se ven en clase, resaltaron la importancia de los gráficos
en la explicación de los temas y la posibilidad de actuar en forma interactiva. Respecto a los
aspectos más relevantes de los sitios web, destacaron el hecho de estar siempre disponibles, la
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variedad de enlaces relacionados a los temas, la posibilidad de rever los conceptos básicos y de
visualizarlos plasmados en gráficos, de encontrar explicaciones sencillas cercanas a la
percepción y la posibilidad de realizar autoevaluaciones. Además, manifestaron la importancia
de mostrar las aplicaciones ya que en algunos casos contribuyó a que pudieran comprender el
tema.
En cuanto a la opinión sobre sitios web como instancia complementaria al cursado de la materia,
expresaron que los mismos son de gran ayuda en momentos previos a un parcial, resaltaron la
importancia de ver gráficamente los temas explicados y la posibilidad de actuar en forma
interactiva.
A continuación, se transcriben algunos comentarios realizados por los alumnos, respecto de los
sitios que presentan temas de Algebra Lineal:
“Muy bueno e interactivo, ayuda a entender muchos puntos teóricos”.
“Sumamente importante, es una herramienta en donde uno puede reafirmar los conocimientos y,
con la ayuda de las demostraciones, lo que nos era abstracto en un comienzo, se nos hace
mucho más tangible y entendible”
“Te permite terminar de comprender mejor los conceptos. Además, es bueno tener material
extra que podamos revisar en nuestras casas”.
“Es muy útil ya que por medio de las ventanas interactivas pude entender algunos conceptos que
me eran difíciles”.
“Es una opción muy buena para ayudar al alumno en paralelo con la materia”.
6. CONCLUSIONES Se debe reconocer que hoy el entorno digital es parte de la vida de los estudiantes. Por ello, el
hecho de producir material de estudio en este entorno pone a disposición del alumno una
herramienta que permite realizar el proceso de aprendizaje de un modo más amigable,
interactuando con el medio de distintas maneras.
Los materiales aquí presentados son de acceso libre en la web, y pueden ser utilizados tanto en
educación presencial como educación a distancia. Esta iniciativa, refleja una visión compartida
de fomentar el libre acceso al conocimiento generado en la Universidad Tecnológica Nacional a
través de un entorno virtual de acceso universal.
Referencias (1) Adell, J. y otros citado por Rodríguez Andino, M. Una Estrategia para el Diseño e Implementación de Cursos
Virtuales de Apoyo a la Enseñanza Semipresencial en la Carrera de Economía de la Universidad de
Camagüey. Tesis de Grado de Doctor en Ciencias de la Educación (2004), [en línea]
http://hdl.handle.net/123456789/723 , [Consultado 2-4-2012]
(2) Burden, R.L. & Faires, J.D. Análisis numérico. Séptima edición. International Thompson Editores. México.
(2003)
(3) Caligaris, M., Rodríguez, G., Laugero, L., Marinsalta M. y Tello, J. Un entorno diferente para estudiar las
transformaciones lineales. Actas del V Seminario Internacional RUEDA. CD: ISBN 978-950-658-246-3.
(2010)
(4) Gutiérrez Pérez F. y Prieto Castillo D. La mediación pedagógica. Apuntes para una educación a distancia
alternativa. Editorial La Crujía Ediciones. Edición Buenos Aires (2007)
(5) Sicilia, M.A. Más allá de los contenidos: compartiendo el diseño de los recursos educativos abiertos. Revista
de Universidad y Sociedad del Conocimiento. vol. 4 n.º 1 (2007) | ISSN 1698-580x
(6) UNESCO. Experts to Assess impact of Open Courseware for Higher Education,
http://portal.unesco.org/ci/en/ev.php-URL_ID=2492&URL_DO=DO_TOPIC&URL_SECTION=201.html
(2002)
(7) Wiley, D. On the sustainability of open educational resource initiatives in Higher Education [informe en
línea]. OECD. http://opencontent.org/docs/oecd-report-wileyfall-2006.pdf. (2006)