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Rectas y Planos en el Espacio
Geometría 3D
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Ecuaciones vectoriales de rectas en el espacio
Considerando un punto 𝑃0 = (1,4,5) de una recta 𝐿 y
un vector director Ԧ𝑣 =−135
, determinen una ecuación
vectorial de la recta L
(𝑥;𝑦; 𝑥) = ( ; ; ) + 𝜆 ( ; ; )
¿Qué representa el factor 𝜆 asociado al
vector director Ԧ𝑑?
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Ecuaciones vectoriales de rectas en el espacio
Acorde a lo anterior ¿Cuál sería la ecuación de la
recta que pasa por el punto 𝑄0 = (2,1, −3) de una
recta 𝐿 y un vector director Ԧ𝑑 =0−15
.
(𝑥;𝑦; 𝑥) = ( ; ; ) + 𝜆 ( ; ; )
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Ecuaciones vectoriales de rectas en el espacio
(𝑥;𝑦; 𝑥) = ( ; ; ) + 𝜆 ( ; ; )
a. Determinen las coordenadas del vector 𝑀𝑆.
b. Tomen como vector director 𝑀𝑆 y uno de los
puntos, por ejemplo, 𝑀(3; 2; 1)
.
c. A continuación, anoten la ecuación vectorial de la
recta:
¿Cuál sería la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos 𝑀(3; 2; 1) y 𝑆(−1; 1; 0)?
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Ecuaciones vectoriales de rectas en el espacio
(𝑥;𝑦; 𝑥) = ( ; ; ) + 𝜆 ( ; ; )
Con la recta 𝐿, el punto fijo 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0), el vector
director definido Ԧ𝑑 =
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
y el punto 𝑃(𝑥; 𝑦; 𝑧) , que
resulta cuando se da un cierto valor al parámetro 𝜆,
determinen en general la ecuación vectorial de la
recta 𝐿𝐿:
Desarrollen la ecuación vectorial de una recta en espacio, según la imagen de abajo.
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Ecuaciones vectoriales de rectas en el espacio
¿Cuál es aproximadamente el parámetro 𝜆 mediante
el cual se logra la traslación del punto 𝑃0 al punto 𝑃?
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Ecuaciones vectoriales de rectas en el espacio
Considerando la ecuación vectorial de la recta 𝐿 que pasa por el punto 𝑄0 = (1,4,5) y el
vector director Ԧ𝑑 =−13
5
, ¿qué vector posicional 𝑢 de un punto 𝑈 se genera, reemplazando el
parámetro 𝜆 = −2 en la ecuación vectorial de dicha recta 𝐿 ¿Cuáles son las coordenadas del
punto 𝑈?
¿Mediante cuál parámetro 𝜆 se genera el vector posicional 𝑤 que traslada el punto
𝑄0(1; 4; 5) al punto 𝑊(−3; 16; 25)?
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Ecuaciones vectoriales de planos en el espacio
Imagina que al plano 𝐹 pertenece el punto 𝑃0 = (1; 1; 1)
y los vectores 𝑢 =14
−2
y Ԧ𝑣 =−12
3
.
Determinen una ecuación vectorial del plano 𝐹𝐹.
a. Ubiquen el punto 𝑃0 en el sistema coordenado 3D.
a. A continuación, desde el punto 𝑃0 proyecten los
vectores 𝑢 y Ԧ𝑣.
b. Establezcan la resultante de la suma entre los
vectores 𝑢 y Ԧ𝑣.
c. Marquen el punto 𝑃𝑃 encontrado. ¿Pertenece este
punto 𝑃𝑃 al Plano 𝐹𝐹?
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Ecuaciones vectoriales de planos en el espacio
c. Marquen el punto 𝑃𝑃 encontrado. ¿Pertenece
este punto 𝑃 al Plano 𝐹?
d. ¿Qué sucede si los vectores son multiplicados
por escalares 𝛼 y 𝛽 respectivamente? ¿Qué
significado tienen las expresiones 𝛼𝑢 y 𝛽 Ԧ𝑣?
e. ¿Se podría encontrar otros puntos
pertenecientes al mismo plano 𝐹? ¿Por qué?
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Ecuaciones vectoriales de planos en el espacio
a. El punto 𝑃0(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0) pertenece a un plano 𝐸
y los vectores 𝑢 y Ԧ𝑣 representan traslaciones de
puntos en 𝐸. Si un punto cualquiera 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)
también pertenece al plano 𝐸, determinen una
ecuación vectorial del plano 𝐸 a partir de la
información anterior.
Desarrollen la ecuación vectorial de un plano en el espacio, a partir de un punto P perteneciente al
plano y dos vectores de traslación dados según la imagen de abajo.
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Ecuaciones vectoriales de planos en el espacio
b. Al plano 𝐹 pertenece el punto 𝑃(1; 3; 2) y los vectores 𝑢 =2610
y Ԧ𝑣 =−42−6
. Determinen
una ecuación vectorial del plano 𝐹.
c. Determinen el punto Q del plano F para los parámetros 𝛼 = −1 y 𝛽 = 2
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Ecuaciones vectoriales de planos en el espacio
d. Un plano H tiene la ecuación vectorial 𝑋 =302
+ 𝛼217
+ β325
𝛼, β 𝜖 ℝ.
Verifiquen si es que el punto A(-1; -3; -1) pertenece al plano H.
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Ecuación vectorial de un plano en el espacio 3D a partir de tres puntos
Dados los tres puntos 𝐴(2; 0 ; 3), 𝐵(1; −1; 5) y
𝐶(3; −2; 0) que pertenecen a un plano 𝐸,
determinen dos ecuaciones de 𝐸 con diferentes
vectores posicionales elegidos. ¿Es posible
esto? ¿Por qué?
¿Cómo se obtiene la ecuación vectorial de un plano en el espacio, cuando se tiene
tres puntos especiales?
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Ecuación vectorial de un plano en el espacio 3D a partir de tres puntos
a. Si a es un número real, razonen acerca de la
ubicación de los siguientes puntos en el sistema
cartesiano 3D: 𝐴(0; 𝑎; 0), 𝐵(0; 𝑎; 𝑎) y 𝐶(𝑎; 𝑎; 0),
y describan el plano que determinan.
b. Marquen en el sistema cartesiano 3D de
coordenadas los puntos 𝐾(4; 0; 0), 𝐿(0; 4; 0) y
𝑀(0; 0, 4) y desarrollen una ecuación vectorial
del plano 𝐸 al cual pertenecen estos puntos.
c. ¿Qué características deberían tener tres puntos P, Q, y R que pertenecen a un plano 𝐹
paralelo al plano E? Discutan con el grupo y elaboren una respuesta.