Reciclando tópicos de Cálculo Numérico através de estimativas sobre
produção de lixo doméstico
Guilherme G. Loch, Alice Kozakevicius Departamento de Matemática, CCNE, UFSM,
97105-900, Santa Maria, RS
E-mail: [email protected], [email protected]
Palavras-chave: Ensino, Cálculo Numérico, obtenção de estimativas, lixo doméstico
Resumo: A produção de lixo doméstico é considerada neste trabalho como pano de fundo para abordar tópicos relacionados à disciplina de cálculo numérico de forma mais contextualizada. Neste
trabalho, são descritas estratégias didáticas utilizadas em sala de aula ao longo de um semestre, com
o intuito de criar uma conexão entre aplicações e conteúdos da disciplina. Nesse sentido, questões
práticas envolvendo aspectos sobre a produção de lixo local são tratadas por meio de ferramentas desenvolvidas com os métodos numéricos ensinados ao longo do semestre.
1 Introdução A questão da produção de lixo nas cidades, apesar de vir recebendo atenção dos meios de
comunicação locais, como por exemplo o artigo [2], do Jornal Diário de Santa Maria, RS, ainda está longe de ser tratada de forma consciente pela população como um todo e de ter uma ampla política de
manejo, preocupada com questões relacionadas ao impacto ambiental e à contaminação de rios,
córregos e subsolo de modo geral. Esta afirmação é baseada simplesmente na observação dos aterros sanitários a céu aberto, que são, ainda hoje na maioria das cidades, o destino final dado ao lixo
produzido diariamente.
A falta de consciência e de alternativas envolvendo a problemática do lixo em nossa comunidade são os focos motivadores deste trabalho. Além disso, através da ideia de que “o fenômeno
modelado deve servir de pano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas da própria
matemática” [1], apresenta-se uma proposta de metodologia de ensino para a disciplina de Cálculo
Numérico contextualizada na temática do lixo doméstico, implementada no primeiro semestre de 2009 no curso de Matemática da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), RS, cujas referências
principais seguem sendo a bibliografia indicada pelo Ministério da Educação e Cultura, [7] e [8].
2 Apresentação da Proposta e Coleta de Dados O estímulo inicial para a abordagem do tema “Lixo” dentro da disciplina foi a apresentação no
primeiro dia de aula do filme “Ilha das Flores” de Jorge Furtado [4], provocando assim uma discussão
sobre vários aspectos abordados no filme e como conectá-los com a disciplina. A partir daí, os
acadêmicos da disciplina foram organizados em grupos para pesquisar sobre a produção e o destino do lixo na cidade de Santa Maria, RS, e realizar uma coleta de dados estatísticos levantados com base na
pesagem do lixo produzido em um mês nas suas residências, conforme apresenta a Tabela 1.
Dia da
Semana
Coleta
Número
Total do
Dia
Total
Acumulado
Dia da
Semana
Coleta
Número
Total
do Dia
Total
Acumulado
Sexta-feira 01 19,341 19,341 Sexta-feira 07 18,513 153,374
Segunda-feira 02 30,242 49,583 Segunda-feira 08 26,615 179,989
Quarta-feira 03 19,720 69,303 Quarta-feira 09 18,653 198,662
Sexta-feira 04 20,041 89,344 Sexta-feira 10 20,791 219,453
Segunda-feira 05 25,139 114,483 Segunda-feira 11 23,770 243,223
Quarta-feira 06 20,378 134,861 Quarta-feira 12 17,450 260,673 Fonte: Acadêmicos da disciplina de Cálculo Numérico – 2009/1 da Universidade Federal de Santa Maria, RS.
Tabela 1: Produção de lixo em kg, período de quatro semanas: estimativa por coleta e valor acumulado.
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A coleta dos dados foi realizada durante quatro semanas e o período de coleta aconteceu entre
os meses de março e abril de 2009, sendo que a primeira coleta ocorreu em 20/03/2009. Os dados
coletados foram organizados inicialmente em tabelas individuais, depois por grupo e finalmente para a turma inteira.
No período de quatro semanas, a produção estimada foi de 260,673 kg de lixo em uma turma de
15 alunos que juntamente com seus familiares e/ou companheiros de residência contabilizam um total de 36 pessoas.
3 Tópicos de Cálculo Numérico Os dados coletados serviram como material de apoio para a compreensão dos conceitos sobre
erro de arredondamento e de truncamento, interpolação, interpolação inversa e métodos de ajuste de curvas e de solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO).
Depois da coleta de dados e da discussão sobre o erro embutido nas medidas e aproximações
feitas para o lixo coletado, onde se pôde explorar as definições de erro de arredondamento e erro de truncamento, na etapa seguinte foram abordadas as questões relativas à escolha de software ou
aplicativo para visualização dos dados e diferentes maneiras de organização destes dados em tabelas.
O aplicativo gratuito GNUPLOT [9] foi escolhido por ser de livre acesso e de fácil utilização.
A noção de interpolação linear local é facilmente e naturalmente introduzida quando são traçados os gráficos dos valores das tabelas obtidas, uma vez que o próprio aplicativo GNUPLOT tem
como modo padrão de apresentação de dados discretos as opções com ou sem linhas unindo os pontos.
A partir de questionamentos com relação à outra função que poderia unir os pontos da Tabela 1, se dá a construção do polinômio interpolador de Lagrange (Figura 1(a)). Aqui, com o recurso de se traçar o
gráfico do polinômio interpolador para todos os pontos do intervalo que contém os valores associados
aos dados coletados, é permitida uma melhor compreensão e fixação do que significa ser interpolador
e do que significa produzir aproximações para os valores que não estão tabelados. Para se estimar em quanto tempo seria produzida certa quantidade de lixo, os valores acumulados foram interpolados
através do método da interpolação inversa. Para tal, foram invertidas as colunas da Tabela 1 e, dessa
vez, os dias de coleta estavam em função do lixo acumulado.
(a) (b)
Figura 1: (a) Interpolação linear local e polinômio interpolador de Lagrange do lixo estimado nos dias de
coleta; (b) Método dos Mínimos Quadrados Não Linear através de uma função trigonométrica
h2(x) = a + b(cos(cx+d)) para o lixo estimado em cada dia de coleta.
Observando-se o comportamento do polinômio interpolador nas vizinhanças dos valores das
fronteiras, fica evidente que ele não é um bom candidato a polinômio extrapolador. Então, a questão
de se construir uma função que melhor se ajuste à tendência apresentada pelo diagrama de dispersão torna-se extremamente natural e pertinente. Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados encontrou-
se uma função linear que se ajusta ao lixo acumulado no período de coleta e através do Método dos
Mínimos Quadrados Não Linear encontrou-se uma função trigonométrica que se ajusta ao lixo
produzido em cada dia de coleta (Figura 1(b)). Através da utilização de ferramentas tecnológicas tão em destaque atualmente, foi utilizado o
programa computacional Google Earth [6] para a visualização da Central de Tratamento de Resíduos
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da Caturrita, aterro no qual o lixo produzido na região de Santa Maria é depositado diariamente. Além
disso, foi construído com recursos do próprio aplicativo um polígono circunscrito à área da imagem
que corresponde ao lixo coletado em um dia (área ainda não aterrada). A partir disso, foi obtida uma aproximação do volume ocupado por este lixo. Este volume tem cerca de 401,87 m³.
A partir das estimativas obtidas anteriormente e com base nas informações a respeito da
densidade média do lixo [5] e da quantidade de seres microvetores de doenças (bactérias) encontrada no lixo [3], como forma de ilustrar a relevância da questão abordada sobre o tratamento do lixo, foi
construído um problema de valor inicial (PVI) associado a uma EDO supondo que a taxa de
proliferação por hora destes microrganismos seja proporcional ao número presente a cada instante e
que assume o valor 0,11. Para constatar a quantidade existente de bactérias no fim da primeira hora, utilizou-se o Método de Euler para resolução de EDO e verificou-se que a solução aproximou-se da
solução exata do PVI. No entanto, o resultado em termos práticos é alarmante, uma vez que a escala
de produção desses agentes de contaminação é gigantesca.
4 Conclusão Neste trabalho, vários tópicos de cálculo numérico são explorados através de um contexto
bastante relevante para a comunidade: a produção de lixo doméstico. Na verdade, o que se propõe é a
utilização desta disciplina como fórum de discussão e conscientização dos alunos participantes do projeto (e consequentemente seus familiares) sobre a produção exagerada de lixo em suas residências,
seus riscos e consequências para a comunidade em geral.
Foi constatado que a associação dos métodos numéricos e do aplicativo GNUPLOT com o tema transversal „lixo‟ suscitou investigações, cálculos, formulações de exemplos, conscientização
ambiental, questionamentos e discussões sobre o lixo urbano de Santa Maria.
Neste trabalho, a etapa inicial de coleta das informações sobre o lixo domiciliar teve um papel
importante no desenvolvimento dos exemplos, pois as perguntas formuladas e exploradas ao longo de todo o semestre tiveram um caráter de tomada de informações, coleta de dados, tomada de consciência
das estimativas produzidas e verificação de sua coerência com dados realistas. No entanto, além de
estimativas sobre a produção do lixo doméstico, outros aspectos podem e devem ser incorporados a este trabalho, permitindo uma visão ainda mais ampla e realista da temática do lixo.
Nossa grande expectativa é de que a partir dos exemplos formulados para cada conteúdo da
disciplina, nos quais informações significativas são abordadas como pano de fundo, possa-se estimular a tomada de consciência, além de se passar para a exploração de uma segunda e fundamental etapa, a
de busca de alternativas para o tratamento do lixo em nossas comunidades.
Referências [1] R. C. Bassanezi, “Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia”, 3. ed, São Paulo, Contexto, 2006.
[2] T. P. Dutra, O lixo é seu. O problema é nosso, em Diário de Santa Maria, Santa Maria, 11 e 12 abr.
2009, Caderno MIX, p. 3 - 5. [3] J. A. Ferreira, Lixo domiciliar e hospitalar: semelhanças e diferenças, em CONGRESSO
BRASILEIRO DE ENGENHARIA SANITÁRIA E AMBIENTAL, 20., 1999, Rio de Janeiro, RJ.
Anais... Rio de Janeiro, ABES, 1999.
[4] J. Furtado, Ilha das Flores, Porto Alegre, Casa de Cinema de Porto Alegre, 1989. Disponível em: <http://www.portacurtas.com.br/Filme.asp?Cod=647#>. Acesso em: 29 jun. 2009.
[5] L. P. Gomes, D. C. da Conceição e A. Fleck, Avaliação dos recalques em sistemas piloto de
aterramento de resíduos sólidos urbanos, em CONGRESSO BRASILEIRO DE ENGENHARIA SANITÁRIA E AMBIENTAL, 19., 1997, Foz do Iguaçu, PR. Anais... Rio de Janeiro, ABES, 1997.
[6] GOOGLE EARTH 5.2.1.1588, Programa Computacional.
[7] A. F. Humes et al, “Noções de cálculo numérico”, São Paulo, McGraw-Hill, 1984. [8] M. A. G. Ruggiero e V. L. R. Lopes, “Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais”, 2.
ed, São Paulo, Makron Books, 1996.
[9] T. Williams et al, GNUPLOT, versão 4.2, Programa matemático de linha de comando.
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