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Realimentação de estadosEstimadores de estados
(C. T. Chen, Capítulo 8)
Sistemas Lineares
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Introdução
• Controlabilidade e observabilidade foram usadas nos dois capítulos precedentes para estudar a estrutura interna dos sistemas (descrição no espaço de estados) e estabelecer as relações entre as descrições interna e externa (função de transferência).
• Agora discutem-se suas implicações no projeto de sistemas de controle realimentados (feedback control systems).
• Os sistemas de controle podem ser formulados como na Figura a seguir, onde:– Planta e sinal de referência r(t) são dados– A entrada da planta u(t) é chamada sinal de atuação ou sinal de controle– y(t) é chamado saída da planta ou sinal controlado
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Introdução
Planta yur
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Introdução• Objetivo: projetar um sistema completo tal que a saída da planta
siga o sinal de referência r(t) com o menor erro possível• Dois tipos de controle:
– Malha aberta – o sinal de atuação u(t) depende somente da referência r(t), sendo independente da saída da planta
– Malha fechada ou controle por realimentação – o sinal de atuação depende do sinal de referência e da saída da planta
• Na prática, usa-se quase que exclusivamente o controle a malha fechada ou controle realimentado
• Este capítulo estuda projetos usando equações de estados. Projetos usando frações coprimas serão abordados no próximo capítulo
• São estudados sistemas lineares invariantes no tempo
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Realimentação de Estados
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Teorema 8.1
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O que pode ser obtido via realimentação de estados? Vejamos um exemplo:
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O exemplo mostrou que realimentação de estados pode ser usada para colocar os autovalores em qualquer posição. Mais ainda, os ganhos de realimentação são diretamente obtidos.
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Localização dos autovalores
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Procedimento para alocação de pólos
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Regulação e seguimento
Regulação: retornar à origem após uma perturbação (sinal de referência nulo)
Seguimento: erro para uma entrada de referência não nula deve ser zero quando t→∞ (sinal de referência constante r(t)=a para todo t≥0) (seguimento assintótico de uma referência em degrau)
Seguir uma entrada de referência r(t) não constante é denominado problema de servomecanismo.
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O problema de regulação é resolvido via realimentação de estados: a realimentação de estados é usada para fazer (A-bk) estável com todos os autovalores dentro do setor representado na Figura 8.3.
)0()( )( xc bkA tety
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Para seguimento de referência em degrau, é preciso um ganho feedforward p, tal que . Daí:kx )()( tprtu
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Em resumo:
Dada a realização (A, b, c):- se (A,b) é controlável, pode-se introduzir
realimentação de estados e alocar os autovalores de (A-bk) em qualquer posição desejada, e o sistema resultante cumprirá a regulação;
- se (A,b) é controlável e c(sI-A)-1b não tem zero na origem (s=0), após realimentação de estados é possível introduzir um ganho feedforward, e o sistema resultante é capaz de seguir qualquer referência em degrau.
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Seguimento robusto e rejeição de perturbação (Problema: seguir u e rejeitar w)
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Realimentação integral de estados
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Sistema aumentadoSeja xa(t) a saída do integrador, uma variável de estado a mais. Então o sistema tem o vetor de estados aumentado [x’ xa]’. Da figura no slide anterior, tem-se que
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A existência de um zero na origem cancelaria o polo na origem correspondente ao integrador, resultando em um sistema não controlável.
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Realimentação integral de estados
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Estabilização
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Estimadores de estados
Problemas em usar (8.39) • O estado inicial tem que ser estimado e setado cada vez que
se usar o estimador• Se A tem autovalores com parte real positiva, qualquer erro
entre o estado real e o estimado crescerá com o tempo.
ubxAx ˆ̂
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Estimador (ou Observador) em malha fechada (ou Assintótico)
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Observador de estados via equação de Lyapunov
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Observador de ordem reduzida
Um sistema observável pode ser colocado na forma
Como y=x1, apenas (n-1) estados precisam ser estimados.
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Observador de ordem reduzida usando Lyapunov
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Justificativa
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Realimentação usando estados estimados
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Princípio da Separação
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Realimentação de estados: caso multivariável
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Projeto via equação de Lyapunov
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Observador de estados: caso multivariável
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Controlador resultante da realimentação de estados + observador de estados
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