Prof. Miguel -
Significado:
Trigonometria
Tri trêsgono ângulosmetria medição
Objetivo:
É o ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos
lados e dos ângulos de um triângulo retângulo
Aplicação:
É empregada na navegação, na aviação, na topografia, etc.
É indispensável à engenharia e à física.
Razões trigonométricas:
Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo.
Considerando um ângulo agudo de um triângulo retângulo definimos:
O seno do ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
Seno do B = Cateto oposto
hipotenusa
Sen B = b
a
Obs: Sen c
aC = B
C
Ac
ba
O cosseno do ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
Cosseno do B = Cateto adjacente
hipotenusa
Cos B = c
a
Obs: Cos C = b
aB
C
Ac
ba
A tangente do ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a cateto adjacente ao ângulo.
Tangente do B = Cateto oposto
Cateto adjacente
Tg B = c
b
Obs: Tg C = b
cB
C
Ab
ca
Exemplo: N o triângulo abaixo temos:
Sen B = 5
3= 0,6 C =
5
4= 0,8Sen e
B = Cos = 0,8 C = = 0,6Cose5
4
5
3
eB = Tg = 0,75 C = Tg4
3
3
4= 1,3
B
C
A4
35
Observação:
Sen B = Cos C
Cos B = Sen C
Tg B = 1
tg C
1
tg B
Tg C = ou
Tabela de razões trigonométricas:(ângulos notáveis 30º, 45º e 60º)
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tg
2
1
2
2
2
3
2
3
2
22
1
1 3
30º 45º 60º
Sen
Cos
Tg 2
3
3
Aplicações:1) Calcular x e y no triângulo retângulo abaixo:
a)
x Cateto oposto ao ângulo de 30º
10 hipotenusa
y Cateto adjacente ao ângulo de 30º
B
C
A y
x10
30º
Sen 30º =10
x
2
1 =
10
x
2x = 10
x = 5
Cos 30º =10
y
=
10
y
2
3
2 y = 10 3
y = 5 3
b) Cateto adjacente ao ângulo de 30ºx
500 m hipotenusay Cateto oposto ao ângulo de 30º
30º
y500 m
Sen 30º =500
y
=500
y
2
1
2 y = 500
y = 250 m
Cos 30º = 500
x
=500
x
2
3
2x = 500 3
x = 250 3
2) Veja a ilustração abaixo:
Qual o comprimento dessa rampa?
20º
c 3 m
c =342,0
3 c = 8,77 m
Sen 20º =c
30,342 c =
c
3
0,342 c = 3
O comprimento da rampa é de 8,77 m.
20º
3 mC Sen 20º = 0,342
Você sabia que a rampa para
deficientes físicos são obrigatórias em vários lugares? Em ônibus e
outros tipos de transporte também.Procure se informar
mais sobre o assunto e discuta com seus
colegas.
Aplicações das Relações Trigonométricas no Triângulo
Retângulo
1) Vamos fazer algumas experiências com medidas, utilizando: 2 palitos de sorvete, transferidor e calculadora.
a) Calcule a altura do poste próximo à sua escola. Observe o esquema abaixo:
altura da criança
palitos
distância desconhecida
ângulo
b) Faça o mesmo com a altura de um prédio.
2) Na largura de um rio ou nas metragens de
terrenos e ruas, o topógrafo utiliza um instrumento
denominado teodolito. Ele
serve para medir ângulos. Veja a
foto ao lado.
Abaixo temos um esquema que foi feito por profissionais para saber a
largura de um rio no trecho considerado.
Ache esse valor com os dados fornecidos.
55º
l
A largura do rio é de 43,55 m .
Procure se informar sobre a profissão de agrimensor e topógrafo.
l = 1,428 . 30,5
l = 43,554 m
Tg 55º = 1,428
tg 55º = 5,30
l
1,428 = 5,30
l
20º60 m
3) Um navio se encontra a 60 m. de um farol. Calcule a altura desse farol, que é visto de um ponto de observação de navio, sob um ângulo de 20º?
tg 20º = 60
h
0,364 = 60
h
h = 60 . 0,364h = 21,84 m
A altura do farol é de 21,84 m.
N farol60
h
20º
4) Determine o valor das medidas desconhecidas no triângulo:
a)
8 cm
45ºx
tg 45º = 8
x
1 = 8
x
x = 8