CRETCP – IAŞI
RAPOARTE ȘI PROPORȚII
• Raport - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.01 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.01 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.19 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.24
• Probabilități. Probleme de numărare - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.02 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.02 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.20 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.24
• Raport procentual - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.03 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.03 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.20 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.24
• Proporții - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.06 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.09 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.21 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.25
• Șir de rapoarte egale - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.10 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.11 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.22 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.25
• Mărimi direct și invers proporționale - Breviar teoretic ............................................................................................... pag.13 - Probleme rezolvate ......................................................................................... pag.14 - Probleme propuse ........................................................................................... pag.22 - Răspunsuri la probleme propuse .................................................................... pag.26
Profesor: SILVIU BOGA, [email protected]
Surse bibliografice: 1. Matematică pentru grupele de performanță, clasa a VI-a, vol. I (Teorie și probleme rezolvate) - Vasile Pop și colaboratori, Ed. Dacia Educațional 2. Matematică pentru grupele de performanță, clasa a VI-a, vol. II (Probleme propuse) - Vasile Pop și colaboratori, Ed. Dacia Educațional
Iaşi – 11 decembrie 2010
4. Rapoarte i propor ii Rapoarte
Raportul numerelor ra ionale a i b, 0b , este expresia ba
; a i b se numesc
termenii raportului. Câtul termenilor unui raport se nume te valoarea raportului.
Exemplu: valoarea raportului 75,3
este 0,5.
Termenii unui raport se exprim întotdeauna cu aceea i unitate de m sur . Aplica iile rapoartelor în practic sunt: scara unui plan, scara unei h r i,
probabilitatea realiz rii unui eveniment, procente, titlul unui aliaj. 4.1. Scara unui plan Prin scara unui plan în elegem raportul dintre distan a din plan i distan a din realitate dintre acelea i dou puncte, ambele distan e fiind exprimate cu aceea i unitate de m sur .
Remarc . De obicei, num r torul raportului prin care se exprim scara este 1. Model. Figura de mai jos reprezint planul unui apartament. Acest plan este
realizat la scara 100
1. Aceasta înseamn c la 1 cm din desen corespund, în realitate,
100cm. Cu alte cuvinte, în plan lungimea sufrageriei este de 5cm, iar în realitate este de 500cm, adic de 5m. La planul din figur s se determine: a) l imea, în centimetri, a dormitorului b) dimensiunile, în centimetri, ale buc t riei c) perimetrul, în centimetri, a holului d) aria, în cm2 a sufrageriei. Solu ie. a) L imea dormitorului de 3m, din realitate, este în plan de 3cm. b) Dimensiunile de 2m i 3m ale buc t riei, din realitate, sunt în plan de 2cm, respectiv 3cm. c) Holul are dimensiunile de 8m i 2m, în realitate, deci în plan ele vor fi 8cm i 2cm, rezult c perimetrul holului în plan este de 20cm.
d) Sufrageria are dimensiunile de 5m i 4m, în realitate, deci în plan 5cm i 4cm, rezult c aria sufrageriei în plan este 20cm2. Probleme rezolvate R4.1.1. Care este scara planului unei gr dini, dac o latur a gr dinii, care are 125m, este reprezentat în plan printr-un segment lung de 25cm?
Solu ie. Aplicând defini ia sc rii unui plan, ca fiind raportul dintre distan a din plan i distan a din realitate, ambele exprimate în aceea i unitate de m sur , scara
planului este 12500
25, adic
5001
.
R4.1.2. O gr din în form de dreptunghi, are pe un plan cu scara de 300
1
dimensiunile de 4cm i 5cm. Ce suprafa , în hectare, are gr dina în teren?
Solu ie. În planul cu scara 300
1, lungimea de 1 cm corespunde la 300 cm din
realitate. Dimensiunile gr dinii vor fi 4 300cm i 5 300cm, adic 12m i 15m. Aria gr dinii este de 0,018ha.
R4.1.3. Planul unui parc are scara de 2001
.
a) În plan se afl un loc de form circular , cu raza de 1m, ce reprezint lacul. Câ i centimetri are raza cercului în plan? b) Spa iul de joac pentru copii este, în teren, un p trat cu aria de 100m2. Ce arie are în plan spa iul de joac pentru copii?
Solu ie. a) În planul cu scara de 2001
, lungimea de 1cm corespunde la 200cm
din teren. Dac raza cercului este în teren 1m, adic 100cm, ea corespunde în plan unei lungimi de 0,5cm. b) Latura p tratului din teren are 10m, deci 1000cm, iar în plan latura p tratului are 1000:200=5cm. Rezult c aria p tratului în plan este de 25cm2. 4.2. Scara unei h r i
Prin scara unei h r i în elegem raportul dintre distan a de pe hart i distan a din realitate dintre acelea i dou puncte, distan ele fiind m surate cu aceea i unitate de m sur , iar num r torul raportului prin care se exprim scara este 1.
Model. În figura de mai jos, harta României este realizat la scara 10000000
1,
aceasta însemnând c la 1cm de pe hart corespund 10000000cm=100km în realitate (teren).
- 1 -
De exemplu, distan a pe osea, dintre Bucure ti i Bra ov, pe hart , este 17mm, iar distan a din teren d o determin m astfel:
170kmcm170000007,110000000
1 dd
.
Distan a real dintre ora ele Bac u i Bucure ti este de 300km. Care este
distan a, în centimetri, pe harta cu scara 10000000
1?
Avem cm33000000010000000
1 xx.
4.3. Probabilitate
Defini ie. Probabilitatea realiz rii unui eveniment este raportul dintre num rul
cazurilor favorabile realiz rii evenimentului i num rul cazurilor posibile (ale experien ei).
Remarc . Probabilitatea realiz rii unui eveniment este un num r mai mare sau egal cu 0 i mai mic sau egal cu 1.
Evenimentul imposibil are probabilitatea 0. Evenimentul sigur are probabilitatea 1.
Model. Într-o urn sunt bile numerotate de la 1 la 50. Care este probabilitatea ca extr gând o singur bil num rul ob inut s fie p trat perfect?
Solu ie. În total, exist 50 cazuri posibile i 7 cazuri favorabile (apari ia
num rului 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49) deci probabilitatea cerut este 507p .
Probleme rezolvate
R4.3.1. Care este probabilitatea ca aruncând dou zaruri, s ob inem dou fe e însumând: a) 9 puncte; b) un num r prim de puncte.
Solu ie. La aruncarea a dou zaruri exist 6 6=36 cazuri posibile. a) Num rul cazurilor favorabile ob inerii sumei 9 puncte este 4 (3+6, 4+5, 5+4,
6+3), deci probabilitatea cerut este 364
, adic 91
.
b) Num rul cazurilor favorabile ob inerii sumei un num r prim de puncte este 15 (1+1, 1+2, 2+1, 1+4, 2+3, 3+2, 4+1, 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1, 5+6, 6+5),
rezult c probabilitatea cerut este 3615
, adic 125
.
R4.3.2. Într-un co sunt 6 plicuri albe i 4 plicuri ro ii. Un copil, legat la ochi, extrage dou plicuri. Calcula i probabilitatea evenimentelor: 1E : s extrag dou plicuri de aceea i culoare 2E : s extrag dou plicuri de culori diferite. Solu ie. Num rul cazurilor posibile este 9 10=90. a) Num rul cazurilor favorabile realiz rii evenimentului 1E : 6 5+4 3=42,
probabilitatea realiz rii evenimentului 1E este 9042
, adic 157)( 1Ep .
b) Num rul cazurilor favorabile realiz rii evenimentului 2E : 6 4+4 6=48 (sau
90-42); probabilitatea realiz rii evenimentului 2E este 9048
, adic 158)( 2Ep .
Remarc . Probabilitatea realiz rii evenimentului 2E se putea calcula i
158
157
1 , pentru c singurele situa ii posibile la extragerea a dou plicuri din co
este ca ele s fie de aceea i culoare sau de culori diferite. R4.3.3. O carte cu 270 de pagini este deschis la întâmplare. S se determine probabilitatea evenimentelor urm toare: A: num rul paginii din stânga este num r par B: num rul paginii din dreapta este multiplu de 5 C: num rul paginii din stânga este multiplu de 6 D: num rul paginii din dreapta este divizibil cu 7. Solu ie. Num rul paginii din stânga este întotdeauna par, deci 1)( AP .
Num rul paginii din dreapta este întotdeauna num r impar, deci trebuie s num r m multipli impari ai lui 5, mai mici sau egali cu 265; ei sunt 5 1, 5 3, 5 5,...,
5 53=265, deci în total 2712
153 cazuri favorabile, de unde
51
13527)(BP .
- 2 -
Num rul paginii din stânga este num r par întotdeauna i el trebuie s fie multiplu de 6 mai mic decât 270; ob inem 6 1, 6 2, 6 3,..., 6 45=270, 45 cazuri
favorabile, de unde 31
13545)(CP .
Num rul paginii din dreapta este num r impar, divizibil cu 7 i mai mic decât
270, ob inem 7 1, 7 3, 7 5,..., 7 37, deci în total 1912
137 cazuri favorabile, de
unde 13519)(DP .
4.4. Procente
Defini ie. Un raport de forma 100
p, Qp , 0p , se nume te raport
procentual. Scrierea p% înseamn 100
p i se cite te "p la sut " sau "p procente".
Pentru a afla cât reprezint p% dintr-un num r dat a, calcul m ap100
.
Pentru a afla un num r necunoscut x când tim c p% din x reprezint b,
calcul m 100
: pbx .
Model 1. La faza na ional a olimpiadei de matematic particip 600 de elevi. Din num rul total de participan i 5% primesc premiul I, 10% premiul al II-lea, 15% premiul al III-lea i 20% premii speciale i men iuni. Câ i elevi primesc premiul I, dar premiul al II-lea, dar premiul al III-lea? Ce procent din num rul elevilor care au primit premii speciale i men iuni reprezint num rul elevilor cu premiul I? Solu ie. Pentru a afla câ i elevi au ob inut premii i men iuni, avem:
30600100
5 elevi primesc premiul I, 60600
10010
elevi primesc premiul al II-lea,
9060010015
elevi primesc premiul al III-lea i 12060010020
elevi primesc
premii speciale i men iuni.
Apoi, 30120100
x, de unde 25x , deci 25% din num rul elevilor care au
primit men iuni i premii speciale reprezint num rul elevilor care au primit premiul I. Model 2. Pentru a cump ra un tricou, o persoan pl te te 150000lei, ceea ce reprezint 30% din suma pe care o are. Ce sum are persoana?
Solu ie. tim c 15000010030 s , unde s este suma pe care o are persoana.
De aici rezult c 30
100150000s , deci 500000s , persoana de ine suma de
500000lei. Probleme rezolvate R4.4.1. O suprafa de 150ha este arat în trei zile, astfel: în prima zi 40% din suprafa , a doua zi 30% din rest, iar a treia zi ce a mai r mas. a) Câte hectare s-au arat zilnic? b) Ce procent din întreaga suprafa s-a arat a doua zi? Dar a treia zi?
Solu ie. a) În prima zi s-au arat 6015010040
ha. Restul dup prima zi este
150-60=90ha. În a doua zi s-au arat 279010030
ha, iar a treia zi restul, adic 90-
27=63ha.
b) Avem 27150100
x, de unde rezult c 18x , deci a doua zi s-a arat
18% din suprafa a total .
La fel, 63150100
y, de unde rezult 42y , deci a treia zi s-a arat 42% din
suprafa a total (sau 100%-40%-18%). R4.4.2. Dup ce un turist a parcurs 38% dintr-un drum, constat c i-au mai r mas de parcurs cu 4,8 km mai mult decât a parcurs. Ce lungime are drumul i cât a parcurs turistul? Solu ie. Dac dintr-un drum se parcurg 38%, rezult c r mâne din el de parcurs 62%, deci 4,8km reprezint diferen a dintre partea r mas i partea parcurs ,
deci 24% din drum. Avem 8,410024 x , unde x este lungimea drumului. Rezult
20x , drumul are o lungime de 20km.
Turistul a parcurs 6,72010038
km.
R4.4.3. Dup dou reduceri consecutive de pre uri, prima de 10%, iar a doua de 20%, un obiect cost 153000lei. Care a fost pre ul ini ial al acestui obiect? Solu ie. Not m cu x pre ul ini ial al obiectului. Prima reducere de pre este
x10010
i pre ul obiectului dup prima reducere este de x10090
; a doua reducere este
- 3 -
de xx10018
10090
10020
, iar dup a doua reducere costul obiectului este
xxx10072
10018
10090
, ceea ce reprezint 153000lei.
Avem 15300010072 x , de unde rezult 212500x , deci pre ul ini ial al
obiectului a fost 212500lei. Remarc . Problema poate fi rezolvat i folosind metoda mersului invers. Pre ul final, 153000lei reprezint 80% din pre ul obiectului dup prima ieftinire. Se
poate calcula pre ul dup prima ieftinire 19125010080:153000 lei. Pre ul de
191250lei reprezint 90% din pre ul ini ial. Calcul m pre ul ini ial
21250010090:191250 lei.
R4.4.4. Un autocar are de parcurs un traseu în patru etape, astfel: în prima etap parcurge 30% din traseu, în a doua etap parcurge 20% din rest, în a treia etap 25% din noul rest i îi mai r mân pentru a patra etap 126km de parcurs. Ce lungime are drumul? Solu ie. Se noteaz cu x lungimea drumului. În prima etap se parcurge
x10030
, rest x10070
; în a doua etap se parcurge xx10014
10070
10020
, rest
xxx10056
10014
10070
; în a treia etap se parcurge xx10014
10056
10025
, rest
xxx10042
10014
10056
, ceea ce reprezint 126km. Avem x10042
=126, de unde
42100126x , 300x . Lungimea drumului a fost de 300km.
R4.4.5. Num rul bc reprezint 4% din num rul abc . S se calculeze cba )0(b .
Solu ie. tim c abcbc100
4, deci )100(
251 bcabc , de unde rezult c
bcabc2514 , adic abc 4
2524
. De aici se deduce c 25bc , pentru c 4a este
natural. Dac 25bc rezult c 24=4a, deci a=6, 13cba . Dac 50bc sau
75bc nu se ob ine a cifr .
4.5. Titlul unui aliaj Defini ie. Titlul unui aliaj este raportul dintre masa metalului pre ios con inut de aliaj i masa aliajului.
aliajului masapretios metalului masaaliajului Titlul , deci
MmT .
Observa ie. Asem n tor titlului unui aliaj, se poate defini concentra ia unei solu ii (amestec).
Concentra ia solu iei (amestecului) ui)(amestecul solutiei masa
substantei masa
Model. . Se face un aliaj, topind la un loc, 16g aur i 234g cupru. Care este titlul aliajului?
Solu ie. aliajului masa
pretios metal masaaliajului Titlul , deci 25016
2341616T , de unde
rezult titlul aliajului 0,064. . Concentra ia de sare dintr-o solu ie este 17%. Ce cantitate de sare se g se te în 27,5kg de solu ie? Solu ie. Concentra ia solu iei reprezint raportul dintre masa substan ei i masa
solu iei. Avem 5,27100
17 x, de unde 5,2717100x , deci 675,4x . În 27,5kg
solu ie se afl 4,675g sare. Probleme de amestec i aliaje Frecvent în practic se întâlnesc probleme de acest tip. În func ie de datele i cerin ele lor în general, aceste probleme se împart în dou categorii. Probleme de amestec i aliaj de categoria I În aceste probleme se cunosc: a) cantit ile care se amestec : nmmm ,...,, 21
b) calit ile lor: nccc ,...,, 21 . Se cere: c) calitatea amestecului. Calitatea diverselor produse, substan e, aliaje etc. care se amestec , se exprim prin: grade de temperatur , lei, grade de t rie sau în cazul aliajelor prin titlu. Teorema 4.5.1. Dac amestec m produse de calit ile nccc ,...,, 21 în
cantit ile nmmm ,...,, 21 )( Nn , atunci calitatea amestecului este dat de rela ia: - 4 -
n
nn
mmmcmcmcmC
......
21
2211 (1)
Demonstra ie. Vom demonstra teorema în ipoteza c produsele respective sunt aliaje cu titlurile nttt ,...,, 21 (deci 11 tc , 22 tc ,..., nn tc ) i în cantit ile
nmmm ,...,, 21 . Deci s ar t m c titlul noului aliaj este:
n
nn
mmmtmtmtmT
......
21
2211
Fie 1
'1
1 mmt ,
2
'2
2 mmt ,...,
2
'
mmt n
n , unde ''2
'1 ,...,, nmmm sunt cantit ile de
metal pre ios din fiecare aliaj. Masa total a metalului pre ios din aliajul ob inut prin topire la un loc a aliajelor date este:
nnn tmtmtmmmmm ...... 2211''
2'1
Masa total a aliajului nou ob inut este nmmmM ...21 . Deci titlul noului aliaj este:
n
nn
mmmtmtmtm
MmT
......
21
2211
Observa ii. 1) Expresia (1) exprim media aritmetic ponderat a numerelor nccc ,...,, 21 care au ponderile nmmm ,...,, 21 .
2) Media aritmetic ponderat se ob ine de fapt ca o medie aritmetic obi nuit inând seama c fiecare num r intr în aceast medie cu o anumit pondere.
3) Media aritmetic a unor numere este o medie aritmetic ponderat în care fiecare pondere este egal cu 1. Probleme de amestec i aliaj de categoria a II-a În aceste probleme se cunosc: a) calit ile produselor care se amestec b) calitatea amestecului c) cantitatea total a amestecului. Se cer: d) cantit ile care se amestec . Teorema 4.5.2. Dac amestec m dou produse de calit i 1c , respectiv 2c , în cantit ile 1m , respectiv 2m i ob inem un amestec de calitate c, atunci are loc rela ia:
2
1
1
2
mm
cccc
(2)
Demonstra ie. Din teorema (1) ob inem 21
2211
mmcmcmc , care prin înlocuire
în rela ia (2) conduce la o propozi ie adev rat :
2
1
212
211
22111211
22212211
21
22111
221
2211
1
2
)()(
mm
ccmccm
cmcmcmcmcmcmcmcm
mmcmcmc
cmm
cmcm
cccc
Probleme rezolvate R4.5.1. Se amestec 5kg de bomboane cu pre ul 54000lei/kg cu 2kg de bomboane cu pre ul de 48000lei/kg i cu 3kg de bomboane cu pre ul de 66000lei/kg. Cât este pre ul unui kilogram de bomboane ce rezult în urma amestecului celor trei calit i de bomboane? Solu ie. Folosim rela ia (1) i ob inem pre ul unui kilogram de amestec:
56400325
660003480002540005lei.
R4.5.2. Un aliaj de fier i nichel are titlul de 0,600, iar un alt aliaj din acelea i metale are titlul 0,250. Se topesc aceste aliaje împreun i rezult un alt aliaj cu masa de 14kg. Cât este masa fiec rui aliaj, dac titlul noului aliaj este 0,300? Solu ie. Vom folosi formula (2), unde 300,0c , 600,01c , 250,02c ,
1m este masa primului aliaj, 2m este masa celui de al doilea aliaj. Deci:
2
1
300,0600,0250,0300,0
mm
. Ob inem 61
2
1
mm
. tiind c 1421 mm i 61
2
1
mm
,
ob inem 21m kg i 122m kg. Remarc . Problema se poate rezolva i cu ajutorul formulei (1). Fie 21,mm
masele celor dou aliaje folosite. Vom avea 300,0250,0600,0
21
21
mmmm
i
1421 mm . Dac 12 14 mm , avem 143,025,0)14(6,0 11 mm , de unde 7,025,06,0 11 mm , deci rezult 21m i 122m . R4.5.3. Se topesc împreun dou aliaje formate din acelea i metale, care au masele de 3kg i respectiv 2kg. Titlul primului aliaj este 0,150, iar titlul noului aliaj este 0,400. Afla i titlul celui de al doilea aliaj. Solu ie. Aplic m formula (1), unde 31m kg, 150,01t , 22m kg i
400,0T . Avem: 21
2211
mmtmtmT , iar prin înlocuire se ob ine:
- 5 -
400,023
2150,03 2t . Efectuând calculele 245,02 2t , de unde rezult c
775,02t . Titlul celui de al doilea aliaj este 0,775. R4.5.4. O solu ie de ap cu alcool cânt re te 600g i are concentra ia de 0,250. Cât alcool trebuie s ad ug m pentru a se ob ine o solu ie cu concentra ia de 0,400? Solu ie. Se calculeaz cantitatea de alcool existent în 600g solu ie, inând cont de defini ia concentra iei (raport dintre masa alcoolului i masa solu iei). Avem:
600250,0 a
, de unde 150a g alcool. Not m cu x cantitatea de alcool care se
adaug pentru a ob ine o solu ie de concentra ie 0,400 i avem: xx
600150400,0 , de
unde 2404,0150 xx , deci 906,0 x , iar 150x . Trebuie s ad ug m 150g de alcool pentru a ob ine o solu ie de concentra ie 0,400. R4.5.5. Un inel din aur de 14 carate are 6g. Printr-o nou prelucrare inelul are 18 carate. S se afle masa inelului dup prelucrare. Solu ie. Facem precizarea c în tehnic , atunci când metalul pre ios dintr-un aliaj este aurul, titlul se exprim în carate (k). Aurul pur are titlul 24k, deci dac un aliaj are titlul 18k, înseamn c din întreaga mas a aliajului 18 p r i sunt aur, iar 6
p r i sunt din metal nepre ios; titlul este 750,02418
sau 18k.
În cazul acestei probleme se pot ivi dou situa ii: a) Printr-un procedeu oarecare se separ metalul nepre ios din con inutul inelului i se îndep rteaz din acesta o cantitate, astfel încât aliajul respectiv s aib 18k. Fie x cantitatea de metal nepre ios care se îndep rteaz pentru ca inelul s aib
titlul de 18k. Inelul con ine: 3,5g62414
g aur. Deci, 5,32418)6( x , de unde se
ob ine 311x g. Inelul va cânt ri
324
3116 g.
b) Se adaug aur pur astfel încât aliajul ob inut s aib titlul de 18k. Fie y
cantitatea de aur pur ce trebuie ad ugat . Deci, yy 5,32418)6( . Rezolvând
aceast ecua ie se ob ine 4y . Inelul va avea în final masa 6+4=10g. 4.6. Propor ii Defini ie. Egalitatea a dou rapoarte se nume te propor ie.
Termenii celor dou rapoarte se numesc termenii propor iei. Orice propor ie are patru termeni.
Forma general a unei propor ii este: dc
ba
, Qdcba ,,, , 0b , 0d .
Termenii a i d se numesc extremii propor iei. Termenii b i c se numesc mezii propor iei. Proprietatea fundamental a propor iilor: în orice propor ie produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.
Aflarea unui termen necunoscut al unei propor ii: fiind dat propor ia dc
ba
,
conform propriet ii fundamentale a propor iilor cbda , de unde rezult c
dbca ,
abcd ,
cadb i
badc .
Deci: extremcelalalt mezilor produsulextremun
mezcelalalt
extremilor produsulmezun
Defini ie. Unul dintre extremii sau mezii, egali între ei, ai unei propor ii se nume te media propor ional (geometric ) a celorlal i doi termeni. Propor ii derivate cu aceea i termeni Regul . Dac într-o propor ie se schimb extremii între ei l sând mezii neschimba i, se ob ine tot o propor ie, numit propor ie derivat cu aceia i termeni ca propor ia ini ial .
Din propor ia dc
ba
, aplicând regula de mai sus ob inem propor ia ac
bd
cu
aceia i termeni ca propor ia ini ial . Regul . Dac într-o propor ie se schimb mezii între ei l sând extremii neschimba i, se ob ine tot o propor ie, numit propor ie derivat cu aceia i termeni ca propor ia ini ial .
Din propor ia dc
ba
, aplicând regula de mai sus ob inem propor ia db
ca
cu
aceia i termeni ca propor ia ini ial . Regul . Dac într-o propor ie se schimb extremii între ei i mezii între ei, se ob ine tot o propor ie, numit propor ie derivat cu aceia i termeni ca propor ia ini ial .
Din propor ia dc
ba
, aplicând regula de mai sus ob inem propor ia ab
cd
cu
aceia i termeni ca propor ia ini ial . Remarc . Ultima regul de ob inere a propor iilor derivate cu aceia i termeni se mai poate enun a i astfel: dac într-o propor ie se inverseaz rapoartele se ob ine tot o propor ie numit propor ie derivat cu aceia i termeni ca propor ia ini ial .
- 6 -
Observa ie. În general, fiind date patru numere distincte dcba ,,, , care
formeaz propor ia dc
ba
, cu aceste numere se mai pot forma propor iile:
1) ac
bd
, db
ca
. ab
cd
i
2) cd
ab
, bd
ac
, ca
db
, ba
dc
.
Ultimele propor ii sunt identice cu cele de la 1), datorit simetriei rela iei de egalitate. Model. Scrie i toate propor iile cu termenii: 3, 6, 7, 14. Solu ie. Se constat c 3 14=6 7. Dac 3 i 14 sunt extremi, iar 6 i 7 sunt
mezi, avem 147
63
. Ob inem:
37
614
(prin schimbarea extremilor între ei)
146
73
(prin schimbarea mezilor între ei)
36
714
(prin inversarea rapoartelor)
Dac 3 i 14 sunt mezi, iar 6 i 7 sunt extremi, avem 7
1436
. Ob inem:
6
1437
(prin schimbarea extremilor între ei)
73
146
(prin schimbarea mezilor între ei)
63
147
(prin inversarea rapoartelor).
Propor ii derivate cu al i termeni
Fie propor ia dc
ba
. Conform propriet ii fundamentale a propor iilor, avem
cbda . Regula 1. Dac amplific m unul din rapoartele unei propor ii cu un num r, diferit de zero, ob inem o propor ie cu al i termeni.
Avem cbda . Înmul ind ambii membri ai egalit ii cu num rul n, ob inem
bcnadn , de unde rezult dncn
ba
sau dc
bnan
.
Prin procedeul indicat de regula 1 se poate ob ine o infinitate de propor ii cu al i termeni decât cei ai propor iei ini iale.
Exemplu. Fie propor ia 123
205
. Prin amplificarea primului raport cu 2,
ob inem 123
4010
, o propor ie cu al i termeni. Prin amplificarea celui de al doilea
raport cu 10, ob inem 12030
205
, o propor ie cu al i termeni.
Regula 2. Dac simplific m unul din rapoartele unei propor ii cu un num r, diferit de zero, ob inem o propor ie cu al i termeni.
Fie propor ia dd
ba
, avem cbda . Înmul im ambii membri ai egalit ii
cu n1
)0(n , ob inem n
cbnda
, ceea ce se poate scrie cnbd
na
sau
dc
nbna
::
. Asem n tor, ndnc
ba
::
.
Exemplu. Fie propor ia 106
159
. Prin simplificarea primului raport cu 3,
ob inem 106
53
, o propor ie cu al i termeni. Prin simplificarea celui de al doilea
raport cu 2, ob inem 53
159
, o propor ie cu al i termeni.
Regula 3. Dac înmul im ambii num r tori (sau ambii numitori) ai unei propor ii cu un num r, diferit de zero, ob inem tot o propor ie, dar cu al i termeni.
Fie propor ia dc
ba
, avem cbda . Înmul im ambii membri ai propor iei
cu n i ob inem bcnadn , de unde prin înmul irea ambilor membri cu bd1
i
realizarea simplific rilor, ob inem bdbcn
bdadn
, adic dcn
ban
.
Asem n tor din bcad , prin înmul irea ambilor membri cu bdn
1 i
efectuarea simplific rilor, ob inem bdnbc
bdnad
, adic dnc
bna
.
- 7 -
Exemplu. Fie propor ia 2510
52
.
Prin înmul irea num r torilor cu 3, ob inem 2530
56
, iar prin înmul irea
numitorilor cu 4, ob inem 10010
202
, propor ii derivate cu al i termeni.
Regula 4. Dac împ r im ambii num r tori (sau ambii numitori) ai unei propor ii cu un num r, diferit de zero, ob inem tot o propor ie, dar cu al i termeni.
Fie propor ia dc
ba
, avem cbda . Înmul ind ambii membri cu n1
)0(n , ob inem n
bcn
ad, ceea ce se poate scrie
ncbd
na
. Dup înmul irea
ambilor membri cu bd1
i realizarea simplific rilor, ob inem bd
ncb
bd
dna
, adic
dnc
bna ::
.
Asem n tor din bcad , înmul ind ambii membri cu n1
, )0(n , ob inem
cnb
nda . Dup înmul irea ambilor membri cu
nd
nb
1 i efectuarea simplific rilor
ob inem:
nd
nb
cnb
nd
nb
nda
, adic nd
cnb
a::
.
Exemplu. Fie propor ia 128
64
.
Prin împ r irea num r torilor cu 4, ob inem 122
61
, iar prin împ r irea
numitorilor cu 3, ob inem 48
24
, propor ii derivate cu al i termeni.
Observa ii. Cu ajutorul celor patru reguli se pot ob ine o infinitate de propor ii derivate cu al i termeni decât ai propor iei ini iale.
Fie propor ia dc
ba
. Conform celor patru reguli se pot ob ine urm toarele
propor ii derivate cu al i termeni:
dncn
ba
; dc
bnan
; dc
nbna
::
, ndnc
ba
::
, dcn
ban
; dnc
bna
; d
ncb
na ::;
ndc
nba
:: )0(n .
Proprietate. Fiind dat propor ia dc
ba
, din ea se pot deduce urm toarele
propor ii derivate cu al i termeni:
P.1. cd
cab
a
Fie propor ia dc
ba
, avem cbda , conform propriet ii fundamentale a
propor iilor. Adunând la ambii membri produsul ac, rezult acbcacad , de unde sco ând factor comun, )()( abccda . Împ r ind ambii membri cu
))(( cdab avem ))((
)())((
)(cdab
abccdab
cda, adic
cdc
aba
.
P.2. d
dcb
ba. Se demonstreaz asem n tor, adunând produsul bd în
ambii membri ai egalit ii bcad . Avem bdbcbdad , scoatem factor comun
)()( dcbbad , iar dup înmul irea ambilor membri cu bd1
, ob inem
bddcb
bdbad )()(
, adic d
dcb
ba.
P.3. dc
cba
a ( ,0ba 0dc ). Se demonstreaz asem n tor
celorlalte. Se scad din ac ambii membri ai egalit ii bcad , rezult bcacadac , sco ând factor comun ob inem )()( bacdca . Împ r ind
ambii membri cu ))(( badc , avem ))((
)())((
)(badc
bacbadc
dca, adic
dcc
baa
.
P.4. d
dcb
ba. Se demonstreaz sc zând produsul bd din ambii membri ai
egalit ii bcad , rezult bdbcbdad , sco ând factor comun avem )()( dcbbad , iar dup împ r irea ambilor membri cu bd, avem
bddcb
bdbad )()(
, adic d
dcb
ba.
- 8 -
P.5. dcdc
baba
( 0ba , 0dc ). Se demonstreaz împ r ind
membru cu membru egalit ile de la P.2 i P.4, adic :
ddc
ddc
bba
bba
, care se poate
scrie dc
dd
dcba
bb
ba, adic
dcdc
baba
.
P.6. dcdc
baba
( 0ba , 0dc ). Se demonstreaz inversând
rapoartele în propor ia de la P.5.
P.7. dcba
dcba
( ,0dc 0dc ). Se demonstreaz schimbând mezii
între ei în propor ia de la P.5.
Model. Fie propor ia 46
812
. S se ob in propor ii derivate cu al i termeni.
Solu ie.
Aplicând R.1 (n=3), avem 4363
812
i ob inem 1218
812
.
Aplicând R.2 (n=4), avem 46
4:84:12
i ob inem 46
23
.
Aplicând R3. (n=5), avem 456
8512
i ob inem 4
308
60.
Aplicând R.4 (n=2), avem 2:4
62:8
12 i ob inem
26
412
.
Aplicând P.1, avem 64
6128
12 i ob inem
106
2012
.
Aplicând P2., avem 4
468
812 i ob inem
410
820
.
Aplicând P.3, avem 46
6812
12 i ob inem
26
412
.
Aplicând P.4 avem 4
468
812 i ob inem
42
84
.
Aplicând P.5 avem 4646
812812
i ob inem 2
104
20.
Aplicând P.6, avem 4646
812812
i ob inem 102
204
.
Aplicând P.7, avem 46812
46812
i ob inem 24
1020
.
Probleme rezolvate
R4.6.1. Se d 6,0ba
. S se afle b
ba3
32.
Solu ia 1. Din 53
ba
, prin înmul irea num r torilor cu 2, vom avea 562
ba
,
iar prin înmul irea numitorilor cu 3, ob inem 156
32ba
sau 52
32ba
. Adun m
numitorii la num r tor i ob inem 5
523
32b
ba, de unde
57
332
bba
.
Solu ia 2. Din 53
ba
, schimbând mezii între ei ob inem kba53
(s-a notat
prin k valoarea rapoartelor 3a
i 5b
). Din ka3
rezult ka 3 , iar din kb5
rezult
kb 5 . Atunci: 57
1521
535332
332
kk
kkk
bba
.
Solu ia 3. Din 53
ba
rezult 5
3ba i atunci:
57
31
521
3
356
3
35
32
332
b
b
b
bb
bba
.
R4.6.2. S se afle numerele naturale x i y, diferite de 0, astfel ca 32yx
i
324
)(54 yxyx.
Solu ia 1. Din 324
)(54 yxyx, ob inem prin efectuarea calculelor de la
num r tor 324
69 yx sau 3
24)23(3 yx
, adic 38
23 yx, de unde rezult c
2423 yx . Dar 32yx
i conform propriet ii fundamentale a propor iilor
- 9 -
yx 23 , care se înlocuie te în rela ia precedent ob inându-se 2422 yy sau
6y . Dar 3
2yx , deci 4x .
Solu ia 2. Not m kyx32
deci ob inem kx 2 i ky 3 . Atunci
324
)(54 yxyx devine 3
24)32(5324 kkkk
, iar dup efectuarea
calculelor ob inem 324
36k, de unde 2k . Din kx 2 i ky 3 vom ob ine
4x , 6y . R4.6.3. S se afle trei numere, tiind c raportul dintre primul i al doilea este 0,(6), raportul dintre al doilea i al treilea este 0,8(3), iar produsul dintre primul i al treilea num r este 9331,2. Solu ie. Not m în ordine cele trei numere cu x, y, z. Din datele problemei,
ob inem 32
yx
, 65
zy
i 2,9331xz . Din 32
yx
i 56
yz
, prin înmul ire
membru cu membru se ob ine 54
2yxz
, de unde rezult 542,9331
2y, deci
116642y , sau 2322 )32(y . Ob inem 108y sau 108y . Din 32
yx
,
rezult 3
2yx , deci 72x sau 72x . Din 65
zy
, rezult 5
6yz , deci
6,129z sau 6,129z .
R4.6.4. tiind c 523920abba
, s se arate c a este 20% din b.
Solu ie. Din rela ia dat rezult c )23(5920 abba , iar dup efectuarea
calculelor abba 1015920 , de unde ba 630 sau 306
ba
, deci 51
ba
. Se
schimb mezii între ei i se ob ine kba51
, de unde ka i kb 5 . Vom avea:
abx100
, adic kkx 5100
, de unde 20x , deci 20% din a reprezint b.
R4.6.5. S se afle ariile a dou dreptunghiuri, tiind c raportul lungimilor lor
este 34
, raportul l imilor lor este 97
, iar diferen a ariilor este 4.
Solu ie. Not m L i L' lungimile celor dou dreptunghiuri i l, l' l imile celor
dou dreptunghiuri. Avem raportul lungimilor 34
'LL
i raportul l imilor 97
'll
.
Diferen a ariilor celor dou dreptunghiuri este 4''lLLl . Din 34
'LL
i 97
'll
,
prin înmul irea membru cu membru, ob inem 2728
''lLLl
, apoi facem propor ii derivate
272728
''''
lLlLLl
, adic 271
''4lL
, deci 108''lL . Din 4108Ll , rezult
112Ll . Deci ariile celor dou dreptunghiuri sunt 112 i 108.
R4.6.6. Suma a dou frac ii cu acela i num r tor este 1511 . Raportul
numitorilor este 31
. S se afle cele dou frac ii.
Solu ie. Fie ba
i ca
cele dou frac ii )0,( cb . Avem 1516
ca
ba
, de unde
rezult c 1516)(
bccba
. Raportul numitorilor este 31
cb
, de unde propor ia
34
ccb
. Prin înlocuire în rela ia dinainte, avem 1516
34
ba
, de unde 54
ba
. Suma
celor dou frac ii este 1516
, deci 54
1516
ca
, 154
ca
. Frac iile sunt 54
i 154
.
. . ir de rapoarte egale Defini ie. Un ir de rapoarte cu aceea i valoare, scrise sub forma
...fe
dc
ba
, se nume te ir de rapoarte egale.
Observa ii. 1) Orice pereche de rapoarte din ir formeaz o propor ie. 2) Amplificând succesiv un raport cu mai multe numere diferite de zero, se ob ine un ir de rapoarte egale:
...bkak
bnan
ba
Fie irul de rapoarte egale bkak
bnan
ba
. S consider m raportul dintre suma
num r torilor i suma numitorilor bkbnbakana
. Scoatem factorul comun a la
- 10 -
num r tor i b la numitor i ob inem )1()1(
knbkna
, care se simplific i rezult ba
.
Deci, bkbnbakana
bkak
bnan
ba
.
Proprietatea irului de rapoarte egale. Într-un ir de rapoarte egale, raportul dintre suma num r torilor i suma numitorilor este egal cu fiecare din celelalte rapoarte.
În general, dac fe
dc
ba
, atunci fdbeca
fe
dc
ba
.
Model. tiind c 43
fe
dc
ba
, s se calculeze:
a) fdbeca
; b) fdbeca
543543
; c) 222
222
fdbeca
.
Solu ie. a) Dac fe
dc
ba
, atunci fdbeca
fe
dc
ba
, dar 43
ba
,
deci 43
fdbeca
.
b) Dac fe
dc
ba
, atunci prin amplificarea primului raport cu 3, al celui de
al doilea cu 4 i al celui de al treilea cu 5, se ob ine fe
dc
ba
55
44
33
, de unde rezult c
fdbeca
fe
dc
ba
543543
55
44
33
, dar 43
33
ba
ba
, deci 43
543543
fdbeca
.
c) Dac 43
fe
dc
ba
, rezult c 169
2
2
2
2
2
2
fe
dc
ba
, prin ridicarea la
p trat a fiec rui raport. Rezult , aplicând proprietatea irului de rapoarte egale c
222
222
2
2
2
2
2
2
fdbcba
fe
dc
ba
, dar 169
2
2
ba
, deci 169
222
222
fdbcba
.
Remarc . Dac kfe
dc
ba
, atunci kpfpe
ndnc
mbma
, de unde
kpfndmbpencma
, 0,, pnm .
Probleme rezolvate
R4.7.1. tiind c 4
55
33
2 cba i c 119cba , s se afle a, b, c.
Solu ia 1. Dac 4
55
33
2 cba, atunci
54
35
23
cba, de unde rezult aplicând
proprietatea irului de rapoarte egale
3011930119
30119119
54
35
23
54
35
23
cbacba.
Din 30
23a
, rezult a=45, din 30
35b
, rezult b=50 i din 30
54c
, rezult c=24.
Solu ia 2. Not m valoarea comun a rapoartelor cu k i avem:
kcba4
553
32
, de unde 2
3ka , 3
5kb , 5
4kc . Înlocuind în 119cba ,
se ob ine 1195
43
52
3 kkk, de unde se ob ine dup efectuarea calculelor
11930
111k, adic k=30. Atunci 45
2303a , 50
3305b i 24
5304c .
R4.7.2. S se determine numerele x, y, z naturale, tiind c 83yx
, 26zy
i
a) 123zyx ; b) 2585 zyx ; c) 6489222 zyx .
Solu ie. Fiind date propor iile 83yx
i 26zy
se poate forma un ir de
rapoarte egale astfel: înmul im numitorii primei propor ii cu 3 i înmul im numitorii celei de a doua propor ii cu 4, vom ob ine dou propor ii derivate cu al i termeni i
anume, 249yx
i 824zy
, de unde rezult 8249zyx
.
a) Aplicând proprietatea irului de rapoarte egale, ob inem:
341
12382498249zyxzyx
, de unde x=27, y=72, z=24.
- 11 -
b) Avem kzyx8249
, k fiind valoarea comun a fiec rui raport, atunci
kx 9 , ky 24 , kz 8 . Prin înlocuire în 2585 zyx , se ob ine 25642445 kkk , adic 255k , de unde k=5. Avem 4559x ,
120524y i 4058z .
Remarc . Dac 8249zyx
, atunci prin amplificarea primului raport cu 5 i
al celui de al treilea lui 8, ob inem 648
24455 zyx
, de unde aplicând proprietatea
irului de rapoarte egale se ob ine
55
2564244585
648
24455 zyxzyx
.
Avem 59x
, deci x=45, 524y
, deci y=120 i 58z
, deci z=40.
c) Dac 8249zyx
, atunci 6457681
222 zyx i aplicând proprietatea irului
de rapoarte egale 9721
648964576816457681
222222 zyxzyx. Avem 9
81
2x, x
natural, deci 39x
, de unde x=27, 9576
2y, y natural, deci 3
24y
, de unde y=72,
964
2z, z natural, deci 3
8z
, de unde z=24.
Remarc . Dac kzyx8249
, atunci kx 9 , ky 24 , kz 8 . Prin
înlocuire în 6489222 zyx , vom avea 64896457681 222 kkk adic 6489721 2k , de unde k=3. Ob inem x=27, y=72, z=24.
R4.7.3. Fie )3(,0)1(,0
yx i
)7(,0)5(,0zy
cu 0x , 0y , 0z . S se
afle x, y, z, tiind c 123zyx .
Solu ie. Efectuând transform rile, se ob ine
31
91
yx i
97
95
zy. Înmul im
ambii membri ai celor dou egalit i cu 91
i ob inem 91
31
919
1 yx, adic
31yx
i
979
1
959
1 zy, adic
75zy
. În egalitatea 31yx
înmul im fiecare membru cu 51
i
ob inem 35
115
1 yx, adic
155yx
(1).
În egalitatea 75zy
, înmul im fiecare membru cu 31
i ob inem 73
153
1 zy,
adic 2115zy
(2).
Din (1) i (2) rezult irul de rapoarte egale 21155zyx
i aplicând
proprietatea irului de rapoarte egale avem
341
1232115521155zyxzyx
.
Deci, 35x
, de unde x=15, 315y
, de unde y=45 i 321z
, de unde z=63.
R4.7.4. Fie a, b, c trei numere nenule, astfel încât: )(952 cbaxcba .
S se determine valoarea lui x.
Solu ie. Rela ia dat se poate scrie
x
cbacba1
91
51
21 . Aplicând
proprietatea irului de rapoarte egale:
91
51
21
91
51
21
cbacba, rezult c
91
51
211
x, adic
90731
x, de unde
7390x .
R4.7.5. S se afle numere a, b, c, tiind c 643cba
i 576abc .
Solu ie. Not m kcba643
, de unde ka 3 , kb 4 i kc 6 .
Înlocuind în 576abc , se ob ine 576643 kkk , de unde rezult 83k , deci k=2. Avem 623a , 824b , 72126c .
- 12 -
4.8. Propor ionalitate direct . Propor ionalitate invers Defini ie. Între dou mul imi finite de numere exist o propor ionalitate direct , dac se poate forma un ir de rapoarte egale, diferite de zero, astfel încât num r torii rapoartelor s fie elementele unei mul imi, iar numitorii elementele celeilalte mul imi. Exemplu. Între mul imile {2,6,4} i {10,30,20} se stabile te o
propor ionalitate direct , deoarece 204
306
102
.
Observa ie. Dac elementele unei mul imi A finite de numere se pot ob ine prin înmul irea elementelor unei mul imi B cu un num r dat n (n 0), atunci între cele dou mul imi exist o propor ionalitate direct . Într-adev r, fie mul imea B={a,b,c}. Prin înmul irea elementelor ei cu num rul n (n 0), ob inem mul imea A={an,bn,cn}. Cu elementele celor dou mul imi, A i B, se
poate forma un ir de rapoarte egale cnc
bnb
ana
(valoarea rapoartelor este n1
);
deci între cele dou mul imi A i B am stabilit o propor ionalitate direct . Exemple. 1) Între mul imea ciocolatelor i mul imea costurilor lor se stabile te o propor ionalitate direct . 2) Între viteza de deplasare i spa iul parcurs de un mobil în mi care uniform , se stabile te o propor ionalitate direct . 3) Între spa iul parcurs de un mobil cu vitez constant i timpul în care se efectueaz deplasarea se stabile te o propor ionalitate direct . 4) Între num rul de robinete cu acela i debit i volumul de lichid acumulat se stabile te o propor ionalitate direct . Model. S se determine trei numere direct propor ionale cu 3, 9, 12, dac suma lor este 40.
Solu ie. Fie x, y, z cele trei numere. Vom avea 1293zyx
i 40zyx .
Aplicând proprietatea irului de rapoarte egale, avem
35
2440
12931293zyzzyx
. Se deduce c 5353x , 15
359y i
203
512z .
Remarc . Se poate aplica i metoda: kzyx1293
, de unde kx 3 ,
ky 9 , kz 12 i înlocuind în 40zyx , ob inem 4024k , deci 35k .
Rezult 5x , 15y , 20z . Defini ie. Între dou mul imi finite de numere exist o propor ionalitate invers , dac se poate forma un ir de produse egale, diferite de zero, astfel încât
mul imea primilor factori ai produselor s fie una din mul imi, iar mul imea celorlal i factori ai produselor s fie cealalt mul ime. Exemplu. Între mul imile {9,12,18} i {4,3,2} se stabile te o propor ionalitate invers , deoarece 9 4=12 3=18 2. Observa ie. Dac împ r im un num r dat, diferit de zero, cu elementele unei mul imi finite de numere nenule, ob inem o alt mul ime astfel încât între cele dou mul imi s existe o propor ionalitate invers . Într-adev r, num rul n împ r it succesiv la elementele mul imii A={a,b,c}, se
ob ine mul imea cn
bn
anB ,, . Cu elementele acestor dou mul imi putem forma un
ir de produse a c ror valoare este n; deci cnc
bnb
ana (valoarea produselor este
n); deci între cele dou mul imi A i B s-a stabilit o propor ionalitate invers . Exemple. 1) Între num rul robinetelor, cu acela i debit i timpul de umplere al unui rezervor se stabile te o propor ionalitate invers . 2) Între num rul muncitorilor i timpul de realizare a unei anumite lucr ri, se stabile te o propor ionalitate invers . 3) Între viteza constant de parcurgere a unei distan e i timpul de deplasare, se stabile te o propor ionalitate invers . 4) Între num rul de bancnote i valoarea bancnotelor cu care se pl te te o anumit sum , se stabile te o propor ionalitate invers . Remarc . Între elementele mul imilor },,{ cbaA i },,{ pnmB se stabile te o propor ionalitate invers , deci pcnbma . Aceast rela ie este
echivalent cu: p
cn
bm
a 1:1:1: sau
p
c
n
b
m
a111 , de unde rezult c între
elementele mul imilor {a,b,c} i pnm1,1,1
s-a stabilit o propor ionalitate direct .
Model. Dou numere sunt invers propor ionale cu numerele 0,2 i 0,5. Suma dintre dublul primului num r i al doilea num r este 24. S se afle aceste numere. Solu ie. Notând x primul num r i y al doilea num r, rela iile dintre acestea,
conform problemei sunt: 21
51 yx i 242 yx . Avem kyx
25, de unde
kx 5 , ky 2 i prin înlocuire în 242 yx se ob ine 24210 kk , deci 2k . Numerele sunt 10x , 4y .
- 13 -
Probleme rezolvate R4.8.1. Un ir de 5 numere este format astfel încât primele 3 numere sunt direct propor ionale cu 4, 5, 6, iar ultimele 3 numere sunt invers propor ionale cu 4, 5, 6. a) S se afle cele mai mici 5 numere naturale care satisfac cerin ele puse. b) S se afle cele 5 numere care satisfac condi iile cerute, dac suma lor este 476.
Solu ie. a) Fie a, b, c, d, e cele 5 numere. Conform enun ului 654cba
i
61
51
41
edc. În ultimul ir de rapoarte egale înmul im to i numitorii cu 60 i ob inem
101215edc
. Pentru a ob ine un raport comun afl m c.m.m.m.c. al numerelor 6 i 15
(numitorii lui c), care este 30. În rela ia 654cba
, înmul im to i numitorii cu 30:6=5
i în rela ia 101215edc
înmul im to i numitorii cu 30:15=2 i ob inem:
302520cba
i 202430edc
, de unde rezult c : 2024302520edcba
.
Cele mai mici numere naturale care satisfac aceast condi ie, vor fi cele pentru care valoarea comun a rapoartelor este 1; deci numerele c utate sunt 20, 25, 30, 24, 20.
b) Din 4119476
20243025202024302520edcbaedcba
,
rezult a=80, b=100, c=120, d=96, e=80. R4.8.2. S se determine num rul abc , tiind c numerele ab , bc , ca sunt direct propor ionale cu numerele 3, 2, 6, iar suma cifrelor num rului abc este divizibil cu 7. Solu ie. Scriem c ab , bc , ca sunt direct propor ionale cu 3, 2, 6 i apoi aplic m proprietatea irului de rapoarte egale:
11101010
623623accbbacabcabcabcab
cbacba11
)(11. Dar, suma cifrelor este divizibil cu 7 i este un num r
mai mic decât 27 (suma maxim este suma cifrelor num rului 999). Aceast sum poate fi 7, 14 sau 21.
a) Dac 7cba , atunci 21ab , 14bc , 42ca , adic a=2, b=1, c=4, deci 214abc . b) Dac 14cba , atunci 42ab , 28bc , 84ca , adic a=4, b=2, c=8, deci 428abc . c) Dac 21cba , atunci 63ab , 42bc , 126ca , imposibil. VI.R4.8.3. O sum de bani a fost distribuit la trei persoane direct propor ional
cu numerele 31,
51,
61
. În acest mod o persoan constat c prime te cu 46200 lei mai
mult decât dac aceea i sum s-ar fi distribuit invers propor ional cu 12, 10, respectiv 15. a) Care a fost suma de bani? b) Cât a primit fiecare din cele trei persoane? Solu ie. Not m cu s suma total de bani, cu a, b, c sumele ce revin celor trei
persoane distribuite direct propor ional cu 31,
51,
61
i cu x, y, z sumele ce revin celor
trei persoane dac ar fi distribuite invers propor ional cu 12, 10, 15. Avem:
107
31
51
61
31
51
61
scbacba (1) i
41
151
101
121
151
101
121
szyxzyx (2).
Din rela ia (1) rezult c 215sa .
72sb i
2110sc , iar din rela ia (2)
rezult c 3sx ,
52sy i
154sz . Compar m sumele ob inute de fiecare persoan
prin cele dou procedee de împ r ire: 321
5 ss,
52
72 ss
i 154
2110 ss
. Doar a treia
persoan prime te mai mult prin împ r irea sumei direct propor ional cu numerele
31,
51,
61
. Deci, 46200lei reprezint diferen a dintre cele dou sume, avem
46200154
2110 ss
. Efectuând calculele ob inem 462001521
841521
150 ss, de unde
462001521
66s; rezult
66152146200s , deci s=700 21 15, s=220500. Suma
ini ial a fost de 220500lei.
- 14 -
b) Pentru a calcula ce sum revine fiec rei persoane, avem
5250021
2205005a ; 630007
2205002b i 10500021
22050010c .
Cele trei persoane au primit 52500lei, 63000lei i 105000lei. R4.8.4. Numerele xzzyyx ,, sunt direct propor ionale cu numerele 4, 6, 8.
a) Afla i valoarea raportului 222 zyxyzxzxy
.
b) Dac a,b,c {1,2,...,9}, acba , s se determine valorile maxime i
minime ale raportului 222 zyxcyzbxzaxy
.
Solu ie. a) Avem kxzzyyx864
, de unde kyx 4 ,
kzy 6 i kxz 8 , iar prin adunare membru cu membru a celor trei egalit i ob inem kzyx 18222 , deci kzyx 9 . Dac kzyx 9 i
kyx 4 , rezult c kz 5 . Dac kzyx 9 i kzy 6 , rezult c kx 3 . Dac kzyx 9 i kxz 8 , rezult c ky . Se ob ine
3523
2595153
222
222
222 kkkkkk
zyxyzxzxy
.
b) Valoarea maxim a raportului 222 zyxcyzbxzaxy
se ob ine când b=9, c=8 i
a=7 (deoarece xyyzxz ) i este
528
35196
355815937
2
222
kkkk
.
Valoarea minim a raportului 222 cbacyzbxzaxy
se ob ine când b=1, c=2 i a=3
(deoarece xyyzxz ) i este 3534
355215133
2
222
kkkk
.
R4.8.5. Afla i numerele a, b, c naturale, tiind c numerele cba ,, 23 sunt
direct propor ionale cu 8, 4, 2 i cba
2411.
Solu ie. Avem 623
248kcba
, de unde rezult c 63 8ka , 62 4kb i
62kc , deci 22ka , 32kb i 62kc . Prin înlocuire în rela ia cba
2411, se
ob ine 632 224
21
21
kkk. Dup efectuarea calculelor ob inem 63 2
242
1kk
k, de unde
rezult c 24)1(3 kk , dar k fiind num r natural avem 32)1( 33 kk , deci k=2. Se ob ine a=8, b=16, c=128. R4.8.6. Se dau numerele naturale a, b, c, d astfel încât 75 ba , c este 60% din b, iar raportul dintre c i d este 1,5. S se arate c a, b, c, d sunt invers
propor ionale cu numerele 0,(142857); 0,2; 31
; 0,5.
Solu ie. Dac 75 ba , atunci 57ba
. Se tie c c este 60% din b, deci
bc53
, de unde rezult c 35cb
. Avem 23
dc
, de unde 23dc
. Se poate scrie
urm torul ir de rapoarte egale: 2357dcba
. Conform defini iei propor ionalit ii
directe rezult c numerele a, b, c, d sunt direct propor ionale cu 7, 5, 3, 2, de unde
rezult c a, b, c, d sunt invers propor ionale cu numerele 21,
31,
51,
71
. inând cont c
)142857(,071
, 2,051
i 5,021
, avem a, b, c, d sunt invers propor ionale cu
numerele 0,(142857); 0,2; 31
; 0,5.
4.9. Regula de trei simpl . Regula de trei compus Regula de trei simpl
Vom considera probleme în care intervin dou mul imi de câte dou numere între care exist o propor ionalitate direct sau o propor ionalitate invers , iar unul din numerele unei mul imi este necunoscut.
Procedeul care se folose te pentru determinarea num rului necunoscut dintr-una din dou mul imi, alc tuite fiecare din câte dou elemente, între care exist o propor ionalitate direct sau invers , se nume te regula de trei simpl .
Aplicarea acestui procedeu, numit regula de trei simpl , porne te de la a ezarea datelor problemei într-o schem , care conduce la aflarea unui termen necunoscut dintr-o propor ie (în cazul m rimilor direct propor ionale) sau la aflarea unui factor necunoscut al unui produs, când cunoa tem produsul i cel lalt factor (în cazul m rimilor invers propor ionale). Practic, schema conduce la rezolvarea unei ecua ii cu o singur necunoscut .
- 15 -
Model 1. 18kg de mere cost 126000lei. Cât cost 13kg de mere de aceea i calitate? Solu ie. Aceast problem poate fi rezolvat prin metoda reducerii la unitate: 1) Afl m pre ul unui kilogram de mere. 126000:18=7000lei. 2) Afl m pre ul a 13kg de mere. 7000 13=91000lei. Prin regula de trei simpl , datele problemei se a eaz astfel: 18kg mere..............................126000lei 13kg mere.............................. x Aceast schem se cite te: "Dac 18kg de mere cost 126000lei, atunci 13kg de mere vor costa x lei". Stabilim ce fel de propor ionalitate exist între cele dou mul imi: a cantit ilor i a costurilor. Pentru aceasta consider m mul imea cantit ilor {18,13} i mul imea
costurilor {126000,x}. Între aceste dou mul imi exist o propor ionalitate direct ,
deoarece putem forma un ir de rapoarte egale, 1318
126000 x, valoarea lor comun
fiind tocmai pre ul unui kilogram de mere. Apoi afl m termenul necunoscut al
propor iei: 18
13126000x , deci x=91000(lei).
Model 2. 15 muncitori pot termina o lucrare în 20 zile. În câte zile vor termina lucrarea 25 de muncitori? Solu ie. Aceast problem poate fi rezolvat prin metoda reducerii la unitate: 1) Afl m în câte zile termin lucrarea un muncitor. 15 20=300zile. 2) Afl m în câte zile termin lucrarea 25 muncitori. 300:25=12zile. Prin regula de trei simpl datele problemei se a eaz astfel: 15 muncitori..............................20 zile 25 muncitori.............................. x Aceast schem se cite te astfel: "Dac 15 muncitori termin lucrarea în 20 de zile, atunci 25 muncitori o vor termina în x zile". Stabilim ce fel de propor ionalitate exist între cele dou mul imi: a num rului de muncitori i a num rului de zile în care ei pot termina lucrarea. Pentru aceasta consider m mul imile {15,25} i {20,x}. Între aceste dou mul imi exist o propor ionalitate invers , deoarece putem forma un ir de produse egale 15 20=25 x, valoarea lor comun fiind tocmai num rul de zile în care un muncitor poate termina
lucrarea. Apoi, afl m factorul necunoscut: 25
2015x , deci x=12(zile).
În practic , exist obiceiul ca, dup determinarea tipului de propor ionalitate, modul de aflare a necunoscutei s fie indicat, direct pe schem , printr-o s geat care indic înmul irea i scrierea literelor "d.p." (pentru propor ionalitate direct ), respectiv "i.p." (pentru propor ionalitate invers ).
Model 1. d.p. 18kg mere..............................126000lei 13kg mere.............................. x
lei9100018
13126000x
Model 2.
i.p. 15muncitori..............................20zile 25muncitori.............................. x
zile1225
1520x
Probleme rezolvate R4.9.1. Un motociclist mergând cu viteza de 60km/h str bate o distan în 48minute. Cu ce vitez trebuie s mearg pentru a parcurge aceea i distan în 45minute? Solu ie. Efectu m transform rile:
6048min48 h
54
h, 45min=6045
h43
h.
Prin regula de trei simpl , datele problemei se a eaz astfel: i.p.
54
h..............................60km/h
43
h.............................. x
6434
5460
43
5460
x (km/h)
- 16 -
R4.9.2. Un muncitor efectueaz 130 piese în 4 ore 20 min. Câte piese realizeaz muncitorul în 8 ore?
Solu ie. Efectu m transformarea: 4 h 20 min=60204 h
314 h.
Prin regula de trei simpl , datele problemei se a eaz astfel: d.p.
314 h..............................130piese
8h .............................. x
2401338130
313
8130x (piese)
Probleme propuse P4.9.1. Dac din 80kg f in se produc 180 pâini, ce cantitate de f in este necesar pentru ob inerea a 72 de pâini? P4.9.2. Trei robinete, având acela i debit, umplu un rezervor în 6ore. În cât timp vor umple rezervoarele dou robinete cu acela i debit? P4.9.3. Un copil a economisit 15 bancnote de câte 10000lei. Câte bancnote de 50000lei prime te în schimbul lor? P4.9.4. Un muncitor face în 6 ore, 108 piese. Dac lucreaz în acela i ritm câte piese, de acela i fel, face în 5 ore? P4.9.5. La o ferm se planificase o cantitate de furaje pentru 40 vite pe timp de 60 zile. Pentru câte zile va ajunge aceea i cantitate de furaje, dac s-au mai cump rat 8 vite? P4.9.6. Pentru transportul lemnelor de la munte la un depozit s-au comandat 40 de vagoane cu o capacitate de 15t fiecare. S-au folosit, îns , vagoane cu o capacitate de 20t. Câte vagoane au fost necesare? P4.9.7. O brigad de 24 de muncitori trebuia s sape 120m de an . 4 muncitori nu au lucrat. Câ i metri de an au s pat ceilal i muncitori? P4.9.8. La un magazin s-a adus 500 sticle de ulei pentru care trebuia s se încaseze 19.000.000lei. Dup ce s-au vândut 300 sticle, ce sum urmeaz s se încaseze? P4.9.9. La acoperirea unei podele erau necesari 50m linoleum lat de 0,75m. Câ i metri linoleum sunt necesari pentru acoperirea aceleia i podele, dac se folose te linoleum lat de 1,2m? P4.9.10. Din 120kg ap de mare se ob in 300g sare. Ce cantitate de ap de mare este necesar pentru a ob ine 15kg sare?
R spunsuri R: P4.9.1. 32kg f in R: P4.9.2. 9 ore R: P4.9.3. 3 bancnote R: P4.9.4. 90 piese R: P4.9.5. 50 zile R: P4.9.6. 30 vagoane R: P4.9.7. 100m R: P4.9.8. 7.600.000lei R: P4.9.9. 31,25m R: P4.9.10. 6000kg Regula de trei compus
Vom considera acum probleme în care intervin mai multe mul imi de câte dou numere, între unele din ele existând o propor ionalitate direct , iar între altele o propor ionalitate invers .
Regula de trei compus este un procedeu de aflare a unui num r necunoscut, într-o problem în care intervin mai multe m rimi, cu câte dou valori, între unele existând o propor ionalitate direct , iar între altele o propor ionalitate invers . Aplicarea acestui procedeu, numit regula de trei compus , porne te de la a ezarea datelor problemei într-o schem ; apoi, se stabilesc tipurile de propor ionalitate ce exist între m rimea necunoscut i fiecare din celelalte m rimi, indicându-se înmul irea prin s ge i, iar în final se efectueaz înmul irile i împ r irile ce conduc la aflarea num rului necunoscut. La acest procedeu s-a ajuns datorit modului de rezolvare a acestui tip de probleme cu ajutorul aplic rii succesive a regulii de trei simpl . Model. Cinci muncitori pot termina o lucrare în 15zile, dac lucreaz câte 8ore pe zi. În cât timp vor termina aceea i lucrare 10 muncitori, lucrând câte 6ore pe zi? Solu ie. Datele problemei se a eaz dup urm toarea schem :
5 muncitori..............................8h/zi..............................15zile 10muncitori..............................6h/zi.............................. x Pentru a avea doar dou m rimi i a putea aplica, astfel, regula de trei simpl , consider m constant num rul muncitorilor i problema se transform în: i.p. 5 muncitori..............................8h/zi..............................15zile 5 muncitori..............................6h/zi.............................. y
206
815y (zile)
- 17 -
Deci, 5 muncitori, lucrând câte 6 ore pe zi termin lucrarea în 20 de zile. Acum num rul de 6h/zi, fiind constant, trebuie s afl m în cât timp vor termina lucrarea cei 10 muncitori: i.p. 5 muncitori..............................6h/zi..............................20zile 10muncitori..............................6h/zi.............................. x
1010
520x (zile)
Practic, regula de trei compus cuprinde urm toarele etape: 1) A ezarea datelor problemei în schem : 5 muncitori..............................8h/zi..............................15zile 10muncitori..............................6h/zi.............................. x 2) Stabilirea tipului de propor ionalitate ce exist între mul imea ce con ine necunoscuta i, succesiv, celelalte mul imi:
între mul imea zilelor i cea a muncitorilor exist o propor ionalitate invers între mul imea zilelor i cea a orelor de lucru zilnic exist o propor ionalitate invers .
Preciz m aceste propor ionalit i prin s ge i, pe schem : i.p. i.p. 5 muncitori..............................8h/zi..............................15zile 10muncitori..............................6h/zi.............................. x
106108515x (zile)
Remarc . Aceea i problem se poate rezolva prin metoda reducerii la unitate f când urm torul ra ionament: dac 5 muncitori, lucrând câte 8h/zi, termin lucrarea în 15zile, atunci 1muncitor, lucrând câte 8h/zi, termin lucrarea în 5 15zile. Rezult c 1muncitor, lucrând câte o or pe zi, termin lucrarea în 5 15 8zile. Rezult , în
continuare, c un muncitor, lucrând câte 6h/zi, va termina lucrarea în 6
8155zile.
Deci, 10muncitori, lucrând câte 6h/zi, va termina lucrarea în 106
8155zile, adic în
10zile. Acest ra ionament se a eaz sub forma urm toarei scheme: 5muncitori..........................8h/zi..........................15zile 10muncitori........................6h/zi.......................... x 1muncitor...........................8h/zi..........................15 5 1muncitor...........................1h/zi..........................15 5 8
1muncitor...........................6h/zi..........................6
8515
10muncitori.........................6h/zi......................... 10106
8515zile
Probleme rezolvate R4.9.3. Într-o tab r , în 12zile, 150 de elevi consum 900kg pâine. Ce cantitate de pâine este necesar pentru 70 de elevi, pentru 18 zile? Solu ie. 1) A ezarea datelor problemei în schem 150elevi..............................12zile..............................900kg 70elevi................................18zile.............................. x 2) Stabilirea tipului de propor ionalitate ce exist între mul imea ce con ine necunoscuta i, succesiv, celelalte mul imi, precizând aceste propor ionalit i prin s ge i, pe schem : 150elevi..............................12zile..............................900kg d.p. d.p. 70elevi................................18zile.............................. x
63012150
1870900x kg
R4.9.4. 6 muncitori pot termina o lucrare în 12zile. Dup 4zile de lucru echipei de muncitori i se al tur înc 2 muncitori. În cât timp se va executa toat lucrarea? Solu ie. Dac echipa poate termina lucrarea în 12zile, atunci dup 4zile de
lucru echipa a efectuat 124
, adic 31
din lucrare. Deci, trebuie s afl m în câte zile 8
muncitori fac 32
din lucrare.
- 18 -
A ez m datele problemei i stabilim tipul de propor ionalitate ce exist între mul imea ce con ine necunoscuta i, succesiv, celelalte mul imi, precizând aceste propor ionalit i prin s ge i, pe schem : i.p. 6muncitori..............................1lucrare..............................12zile d.p.
8muncitori..............................32
lucrare............................. x
618
32612
x zile
Lucrarea s-a efectuat în 4zile+6zile, deci în 10zile. R4.9.5. O echip de 20 muncitori, lucrând câte 6ore pe zi, pot face 24piese în 10zile. Câte zile sunt necesare pentru ca o alt echip de 15 muncitori s fac 360piese, lucrând câte 8ore pe zi? Solu ie. A ez m datele problemei în schem i stabilim tipul de propor-ionalitate ce exist între mul imea ce con ine necunoscuta i, succesiv, celelalte
mul imi, precizând aceste propor ionalit i prin s ge i, pe schem : i.p. i.p. 20muncitori....................6h/zi....................240piese....................10zile d.p. 15muncitori....................8h/zi....................360piese.................... x
15240815
36062010x zile
- 19 -
- 20 -
- 21 -
- 22 -
- 23 -
- 24 -
- 25 -
- 26 -