Albert PhilipseVan ‘t Hoff Laboratory for Physical and Colloid Chemistry
Debye Research Institute, Utrecht University
Random Packing Density of Colloids and Granular MatterRandom Packing Density of Colloids and Granular Matter
OutlineOutline
• Motivation.
• Spheres: the Bernal packing .
• Thin rods: the ideal gas in random packings.
• Near-spheres: a packing surprise.
• Conclusions and outlook.
• Extra: something on random bio-packings.
MotivationMotivation
• Nature:- sand, gravel, etc.
• Colloid science:- colloidal ellipsoids
•Technology: - food technology- catalyst carriers ( )
Packings in
Ordered sphere packingOrdered sphere packing
18 π
�������� ����� ������ ���������������������������������������� ������������ ���������/ 18π
Disordered, Disordered, ‘‘randomrandom’’ sphere packingsphere packing
�������������������������� �������������! ����"��#����$�����������������%&�
The Bernal random sphere packingThe Bernal random sphere packing
'��������������������������������� ��������(���������%�����������
The Bernal random sphere packingThe Bernal random sphere packing
volume fraction = 0.62
�������������� ������������������������������ �����������������������������������
radial distribution function
64.060.0 << φ
Spheres are exceptionalSpheres are exceptional………………
)��� ����������� �����������%�����������*��������������������
#+������,���- �����(�.��/&
Generalize Generalize ‘‘BernalBernal’’ to particles of any shape.to particles of any shape.
'���� ���������������������������� �0 �(���1�2���������3�� ������������%��������
Where and how to start?Where and how to start?
4�������������#������&�����������%� �� ��������(����������������������������������������� ���������������!����5
The Ideal PackingThe Ideal Packing
� +�������%�����
6�������������������%����� ����������������������������
� 7�� �������������
6����������������������%��� ���������������������������
,�8�������(�9�%� ���:.(�::.��#:;;"&
,��- �����(�+������#.��/&
Counting uncorrelated contacts:
( ) 1
( ) 0
f r
f r
→
→
=
=
inside Vex
outside Vex
Orientationally averaged exclude volume:
( )exV
V f r d r→ →
= �
Contact number ( ) ( ) ; ( )TV
c f r r d r rρ ρ→ → → →
= =� local nr.density
( ) ;V
f r d rρ ρ→ →
=�� average nr. density
exVρ=
Ideal packing law for uncorrelated contacts:
ex
cV
ρ < >=
Ideal packing law for uncorrelated contacts:
ex
cV
ρ < >= = average contact number on a particle
Particle volume fraction : pVρΦ =
p
ex
Vc
VΦ =< >
pV
c< >
= particle volume
But do uncorrelated contacts exists in dense granular packings ?
p
ex
V
V= fixed by particle shape.
Random rod packingin the thin-rod limit.
Contact surface fraction 2D D
DL L� �
2 ; 1ex
p
V L LV D D� �
p
ex
Vc
VΦ =< >
For thin rods:
1; 1
2L L
cD D
Φ < >� �
; vanishes for LD
→ ∞
(Onsager 1949)
So for thin rods the ideal packing law becomes:
#,��8�������(�9�%� ���:;;"&
'������(������� ��(������%� ����2�������
4�����$�����������������%(��������������%��������������
4��������������������%(�������������������������������2�����������
ExperimentalExperimental packingpacking densitiesdensities of of colloidscolloids and and granulargranular mattermatter
L
D
Mechanical contraction method Mechanical contraction method
System:
(a) spheres (b) spherocylinders
Procedure (Stephen Williams, 2003)
…
��� ���������������������������������� ����������������!�����������������6�� ������������� ��!�������������%��������
���������������� ������������������������������� �� �����������������������������������
�
Overview experiments and simulationsOverview experiments and simulations
A�� ������� �������������������������
��Sp����
���������������� �����������
�����������������
Bernal packing is local minimumBernal packing is local minimum…………
!�����������"���"������#���$%�&&�
������
�
� '��������������(���)�������*������������+
����"������,������ �������������� ����'-����������)�������*�����������(��������������".��/����/�����)�"������������"������������������+�������0������1&�#���2%�$���13�
Volume fraction versus aspect ratioVolume fraction versus aspect ratio
Aspect ratio
���������������� ������������������������������
Vol
ume
fract
ion
Drawn line: 5LD
φ ≈
A�� ��������� ���
1; 1
2L L
cD D
Φ < >� �
5LD
Φ ≈
p
ex
Vc
VΦ =< >+��������������%��� :
)���������:
<3��������������� �������
4�������� 10c< >≈ (���� ��������������5
Contact numbers in Contact numbers in packingspackings of of spherosphero--cylinderscylinders
B���2������� 6��� ����������������::
#4���� ����������������5%
Contact number versus aspect ratioContact number versus aspect ratio
'����� �!������������2�������������������������� 10c< >≈
,�� ����������5
� '�%�������������� ���% ��������������������������!������������������������������������
� �����������%������������C�� D :���������� ������������������
� '�%�%� �!�������������������������B������������� ������EE�
The caging number: a geometrical minimization problemThe caging number: a geometrical minimization problem
cagec< >
Caging number for uncorrelated contactsCaging number for uncorrelated contacts
9γ< >≈
# �������������5%
9cagec< > ≈)����������� 8�!�!������������! ��������%�%� �!��������������
� A�����
+�����
Caging number for uncorrelated contactsCaging number for uncorrelated contacts
9γ< >≈
# �������������5%
9cagec< > ≈)����������� 8�!�!������������! ��������%�%� �!��������������
� A�����
+�����
4.5LD
Φ ≈'�������%��������
6 4�����������".��/���7��(�������������"����������������"���)�/�����������*��".��/�
6 4�������"�/��/���-����""�����)������7����)����������-������������������".��/��������
6 ��������".��/��������������(���)�������*����� �����8��������������".��/�������/�������������".��/���"��
Some conclusionsSome conclusions
6 �))�"���)��������)�"���"���������������".��/��)�"�����
#�������� �����������%�
6 0�(������)������*"��������+����������������������������
��������(��9�#7��.�������/���-�� �����:������.%
OutlookOutlook
OutlineOutline
• Motivation.
• Spheres: the Bernal packing .
• Thin rods: the ideal gas in random packings.
• Near-spheres: a packing surprise.
• Conclusions and outlook.
• Extra: something on random bio-packings.
Are these random Are these random packingspackings ‘‘geometrical statesgeometrical states’’??
4���(�%� ������������� ������*����%��� �� ������� �������� ���������������������
8����%� ���������!��������������������������� �������������
#,���������� �&
F� ����3���������������������%� �%������
+������������� �����������������%��� (��������������������������������������������
= �����A�� ���#=6'�9�!����=��� ����$��%�(�'��!���%��G�&
H7� �%�������������%� ��%���!�������������������������!��%����������I
Growing random packing causes selfGrowing random packing causes self--motion.motion.
F�������������������!������� �����������%� �%������F� ����3������� ����������%���������������%�������� ������ ��������������
#�9%�=��������(��8B,A�(��.��/&
6 �����:������.#;;<�����%�
6 ������������#;;<='0%�
6 ��������������>����)���,����/�
6 �����/�����+���������8��������?�/������������@���
64���.��������:��������.������ ��(������A�"��)���
AcknowledgementsAcknowledgements
� =���)���������)��������������+
���������������������".��/��)�������������B��������0�������4�����;���"���;�������������5�
The The ‘‘nesting effectnesting effect’’..
,��� ����������� �������������#����&�%�� �������������!������� ��,��� ������������%�����������������������������������(����%���������
A �����*������ ��� �� ����������!��!������������������%����������������������������������������C������������������� ��������������3�������
#,�8�������(�9�%� ���:;;"&
SomeSome more more examplesexamples of random of random packingspackings of of nonnon--sphericalsphericalparticlesparticles..