Download - Raízes de equações algébricas
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
1/20
Determinao Numrica de
Razes de Equaes Algbricas
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
2/20
Razes de Equaes Algbricas
Achar a raiz de uma funo significa achar umnmero tal que
Algumas funes podem ter suas razes calculadasanaliticamente, porm outras so de difcil soluo
(funes transcendentais, por exemplo) ou de soluodesconhecida (polinmios de ordem maior que 4, porexemplo), sendo necessrio a soluo por mtodosnumricos
Passos para a soluo numrica Achar um intervalo fechado [a,b] que contenha somente uma
soluo Refinar a raiz at o grau de exatido requerido
)(xfx 0)( f
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
3/20
Isolamento de razes
Se uma funo contnua assume valores de sinaisopostos entre o intervalo [a,b], ento a funo possuipelo menos uma raiz neste intervalo
Se a derivada da funo preservar o sinal dentro dointervalo, ou seja, se a funo for estritamente crescenteou estritamente decrescente, a raiz ser nica
Pode-se estimar o intervalo [a,b] pelo esboo do grfico
da funo ou pela construo de tabelas para anlise davariao do sinal da funo
)(xf
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
4/20
Isolamento de razes por esboodo grfico
Dada a funo , o ponto exatamente o ponto onde a funo cruza oeixo x
y
x
a
bx0
0)( f)(xf
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
5/20
Caso a funo f(x) seja complexa, podemostentar escrev-la na forma
Supondo teremos
Dessa forma, podemos traar os grficos dasfunes g(x) e h(x) e o ponto de interseodestes ir nos fornecer a raiz da funo f(x)
)()()( xhxgxf
0)( f)()(0)()( hghg
g(x)
h(x)
x
y
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
6/20
Critrios de parada
Existem vrios tipo de critrios de parada Analise do valor da funcao:
Erro absoluto:
Erro relativo:
Limites do intervalo:
iii xx
)(xf
i
iii
x
xx
2
ab
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
7/20
Mtodo da bisseo Seja uma funo contnua no intervalo [a,b]e , dividindo o intervalo ao meio,
obtm-se . Caso , Caso contrrio,
Se ento a raiz est no intervalo[a, ]
Se ento a raiz est no intervalo
[ ,b] Dividi-se novamente o intervalo obtendo e
assim sucessivamente at a preciso desejada
)(xf0)()( bfaf
0)( 0 xf0x
0x
0x
0x0)()( 0 xfaf
0)()(0
bfxf
1x
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
8/20
Convergncia Chamando os intervalos de a1,b1,a2,b2,...,an,bn
ento:
Se
ento
1
2
nnn
abab
nn ab
1
2
n
ab
y
xx0
a
b
x1
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
9/20
Ex: Achar a raiz da equaono intervalo [2,3] com o erro absoluto
10)(3 xxf
1,0
0172)3()2( ff
62,5)5,2(5,22/)32(0
fx
39,1)25,2(25,22/)5,22(1 fx
40,0)15,2(12,22/)25,22(2 fx
46,0)18,2(18,22/)25,212,2(3 fx
06,012,218,2
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
10/20
O mtodo sempre converge para uma soluo O esforo computacional do mtodo da
bisseo cresce demasiadamente quando seaumenta a exatido da raiz desejada
Deve ser usado apenas para diminuir o intervalo
que contm a raiz para posterior aplicao deoutro mtodo, como o mtodo das cordas ou omtodo de Newton, por exemplo
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
11/20
Mtodo das cordas
semelhante ao mtodo da bisseo a derivada segunda do mtodo, ,deve ser
constante no intervalo O intervalo [a,b] no dividido ao meio, mas
sim em partes proporcionais a razo O intervalo atualizado da mesma maneira
que no mtodo da bisseo
)(/)( bfaf
)(xf
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
12/20
)()()(
)(0
babfaf
afax
)(
)()(
)(0 ab
bfaf
bfbx
Existem duas possibilidades:
Podemos substituir essas duas equaes pela equao
)()()(
)(1
cxcfxf
xfxx nn
nnn
onde c um ponto da funo onde esta tem o mesmo sinalde sua derivada segunda ( )0)()( cfcf
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
13/20
Ex: Achar a raiz da equaono intervalo [2,3]
10)(3 xxf
74,0)11,2(11,2)1(19
22)23(
)2()3(
)2(20
f
ff
fx
07,0)15,2(15,2)89,0(74,17
74,011,2
)11,23()11,2()3(
)11,2(11,21
f
fffx
Podemos ver que o mtodo das cordas converge bemmais rpido que o mtodo da bisseo
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
14/20
Mtodo de Newton
Supondo uma aproximao x0 para a raiz de f(x), noponto (x0, f(x0)) passa apenas uma nica reta tangente,que a derivada de f(x) em x0. Esta reta tangente cortao eixo x na coordenada x1,definindo por sua vez, o ponto
(x1, f(x1)) Por este novo ponto tambm passa uma nica reta
tangente que corta o eixo x em x2. Esta novacoordenada define outro ponto (x2, f(x2)) que repete todo
o processo x0,x1,... so aproximaes cada vez melhores para a raiz
da funo
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
15/20
Pela figura temos que
J que podemos concluir
)tan(
)()()tan( 1
1 iii
ii
i xfxxxx
xf
)tan()( xf
)(
)(1
i
iii
xf
xfxx
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
16/20
Convergncia Caso se escolha x
0de forma que x
1saia do
intervalo [a,b] o mtodo poder no convergir. Caso e sejam no nulas e preservem
o sinal no intervalo e x0 seja tal quea convergncia garantida
)(xf )(xf
0)()( 00 xfxf
Ex: Ache a raiz da equaopara o erro relativo , ou seja:
)ln()(2
xxxf
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
17/20
Se
Ento
2
1)(
xxxf
xxxf
12)(
054,15,344,0)5,0()5,0( ffX0=0,5 pois
65,03
44,0
5,0)5,0(
)5,0(
5,01
f
f
x
)ln()(2
xxxf
65,0)65,0(
)65,0(65,02
f
fx
01,065,0
65,065,0
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
18/20
Mtodo da Secante
Uma modificao do mtodo de Newton quesubstitui o a derivada da funo pela equao
ii
ii
i xx
xfxfxf
1
1 )()()(
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
19/20
Substituindo o novo valor da derivada na formula deNewton, a frmula do mtodo da secante fica da
seguinte maneira
So necessrios dois pontos iniciais(xi e xi-1)
Ex: Determine a raiz da funo comanlise do valor da funo 01,0
-
8/2/2019 Razes de equaes algbricas
20/20
Comparao entre os mtodos
O mtodo da bisseo bastante simples por no exigiro conhecimento da derivada da equao em questo,porm possui uma convergncia lenta
O mtodo das cordas exige que o sinal da derivadasegunda permanea constante no intervalo, porm, se oponto inicial c estiver suficientemente prximo da raiz( ) o mtodo apresenta uma convergnciabem mais rpida que o mtodo da bisseo
O mtodo de Newton o que apresenta a convergnciamais rpida, porm exige o conhecimento da derivadaanaltica da funo em questo
O mtodo da Secante menos rpido que o de Newton,porm no exige o conhecimento da derivada analticada funo em questo
10)( cf