Radiação Térmica – Processos,
Propriedades e Troca de Radiação
entre Superfícies (Parte 2)
• Objetivo: calcular a troca por radiação entre duas ou mais superfícies.
• Essa troca depende das geometrias e orientações das superfícies, das propriedades radiativas e
das temperaturas.
• Inicialmente a análise será feita considerando um meio não-participante (não emite, nem
absorve, nem dispersa). O vácuo preenche perfeitamente essa exigência e os gases são uma
excelente aproximação.
• Os tópicos a serem desenvolvidos são:
1. Desenvolver a noção do fator de forma (características geométricas)
2. Calcular a troca radiativa entre superfícies que formam um invólucro (corpos negros)
3. Calcular a troca radiativa entre superfícies que formam um invólucro (superfícies difusas e
cinzentas)
4. Considerar efeitos de um meio participante (um gás intermediário que absorve a radiação)
1 – O Fator de Forma (Fator de Configuração)
1.1 – O Fator de Forma Integral
• ijF é definido como a fração da radiação que deixa a superfície i e que é interceptada pela
superfície j.
• Duas superfícies arbitrárias iA e jA
com temperaturas iT e jT
• Superfícies conectadas por uma reta
de comprimento R que forma ângulos
iθ e jθ com as normais às superfícies
in e jn
• Os valores de ,R iθ e jθ variam com
a posição das áreas elementares iA e
jA
• A taxa na qual a radiação deixa idA e é interceptada por jdA pode ser calculada como:
ijiiiji ddAIdq →→ = ωθcos
• iI é a intensidade da radiação que deixa a superfície i e ijd −ω é o ângulo sólido subentendido
por jdA quando visto de .idA Utilizando a definição do ângulo sólido tem-se:
jiji
iji dAdAR
Idq2
coscos θθ=→
• Considerando que a superfície i emite e reflete difusamente ( )ii IJ π= e que a radiosidade é
uniforme sobre a superfície ,iA a taxa total na qual a radiação deixa a superfície i e é
interceptada por j pode ser obtida pela integração sobre as duas superfícies:
∫ ∫=→i jA jiA
jiiji dAdA
RJq
2
coscos
π
θθ
• Da definição do fator de forma como a fração da radiação que deixa iA e é interceptada por ,jA
,iijiij JAqF →= segue que:
∫ ∫=i jA jiA
ji
iij dAdA
RAF
2
coscos1
π
θθ
• A equação acima serve superfícies emissoras e refletoras difusas e com radiosidade uniforme.
1.2 – Relações do Fator de Forma
• Relação de reciprocidade: jijiji FAFA =
• Regra do somatório para um invólucro: ∑=
=N
jijF
1
1
• Exigência da conservação da energia
• O termo iiF é a fração da radiação que deixa
i e é interceptada por i
• Superfície côncava, 0≠iiF
• Superfície plana ou convexa, 0=iiF
• Para um invólucro com N superfícies, é
necessário um total de 2
N fatores de forma.
• Nas figuras abaixo podem ser vistos configurações 2D e 3D para o cálculo do fator de forma.
Retângulos paralelos Discos coaxiais paralelos
• Para uma superfície com n componentes
( ) ∑=
=n
kikji FF
1
( )
∑
∑
=
==n
kk
n
kkik
ij
A
FA
F
1
1
2 – Troca de Radiação do Corpo Negro
• Não há reflexão. A energia sai apenas como resultado da emissão, e toda a radiação incidente é
absorvida ( ).,ibi EJ =
• A troca líquida de radiação entre duas superfícies que podem ser aproximadas como um corpo
negro é a taxa líquida na qual a radiação deixa a superfície i devido sua interação com j ou a
taxa líquida na qual j recebe radiação devido à sua interação com i.
( ) ijiiji FJAq =→ ( ) jijjij FJAq =→
biijiji EFAq =→ bjjijij EFAq =→
ijjiij qqq →→ −=
bjjijbiijiij EFAEFAq −=
as 4TEb σ= e jijiji FAFA =
( )44jiijiij TTFAq −= σ
• Com N superfícies mantidas a temperaturas diferentes, a transferência líquida da radiação da
superfície i é devido à troca com as superfícies restantes: ( )∑=
−=N
jjiijii TTFAq
1
44σ
3 – Troca de Radiação Entre Superfícies Cinzentas Difusas em um Invólucro
• Ao contrário do corpo negro, agora a reflexão da superfície deve ser considerada.
• Considerações: superfícies do invólucro
isotérmicas, radiosidade e irradiação
uniformes, superfícies opacas ( )0=τ ,
cinzentas (independência do comprimento
de onda) e difusas (independência
direcional), e o meio no interior do
invólucro é não-participante.
• O problema é do tipo no qual iT é
conhecido em cada uma das superfícies e o
objetivo é determinar o fluxo de calor
radiativo líquido "iq de cada superfície.
• Da lei de Kirchhoff, .αε =
3.1 – Troca Líquida de Radiação em uma Superfície
• iq é a taxa líquida na qual a radiação deixa uma superfície i, representa o efeito líquido das
interações radiativas ocorrendo na superfície. Ele é igual à diferença entre a radiosidade e a
irradiação da superfície e pode ser representado como:
( )iiii GJAq −= (figura b)
( )iiiii GEAq α−= (figura c)
• Da definição de radiosidade, iiii GEJ ρ+= e sabendo que iii εαρ −=−= 11 obtém-se que:
( ) iii
ibii
A
JEq
εε−
−=
1
• Da equação anterior define-se uma resistência radiativa da superfície (figura d) na forma:
ii
i
Aε
ε−1
3.2 – Troca por Radiação entre Superfícies
• A taxa total na qual a radiação atinge a superfície i oriunda de todas as superfícies é
.1
∑=
=N
jjjjiii JAFGA
• Da relação de reciprocidade ∑=
=N
jjiijii JAFGA
1
e eliminando iA obtém-se .1
∑=
=N
jjiji JFG
Substituindo em ( )iiii GJAq −= obtém-se .1
−= ∑
=
N
jjijiii JFJAq
• Da regra do somatório tem-se que
−= ∑∑
==
N
jjiji
N
jijii JFJFAq
11
de tal forma que:
( )( ) ∑∑∑
==−
=
=−
=−=N
jij
N
j iji
jiN
jjiijii q
FA
JJJJFAq
111
1
• ( )ji JJ − é o potencial motriz e ( ) 1−ijiFA é a resistência espacial ou geométrica.
• Combinando a troca líquida por radiação em uma superfície e entre superfícies obtém-se:
( ) ( )∑=
−
−=
−
− N
j iji
ji
iii
ibi
FA
JJ
A
JE
111 εε
• A expressão anterior é o balanço de
radiação para o nó de radiosidade associado
com a superfície i
• A taxa de transferência de radiação para i
através de sua resistência da superfície deve
ser igual a taxa líquida da transferência de
radiação de i para todas as outras superfícies
através das resistências geométricas
correspondentes
• A equação anterior é útil quando a
temperatura iT da superfície é conhecida. Se
a taxa líquida de radiação for conhecida é
melhor aplicar ( )∑
=−
−=
N
j iji
jii
FA
JJq
11
• A seguinte metodologia pode ser aplicada para a análise da transferência de calor por radiação
em cavidades:
1. Aplicar ( )∑
=−
−=
N
j iji
jii
FA
JJq
11
quando a taxa líquida de radiação for conhecida
2. Aplicar ( ) ( )∑
=−
−=
−
− N
j iji
ji
iii
ibi
FA
JJ
A
JE
111 εε
quando a temperatura for conhecida (e assim calcular biE ).
3. Calcular os fatores de forma que aparecem nas equações acima.
4. Resolver um sistema de N equações para calcular as radiosidades .,...,, 21 NJJJ
5. Utilizar a equação ( ) iii
ibii
A
JEq
εε−
−=
1 para determinar iq para cada superfície de iT conhecida ou
para determinar iT para cada superfície com iq conhecido.
• O tratamento para uma superfície virtual corresponde a uma abertura de área iA através da qual
as superfícies internas da cavidade trocam energia por radiação com uma grande vizinhança a
vizT consiste em aproximar a abertura como um corpo negro de área ,iA temperatura vizi TT = e
propriedades .1== ii αε
3.3 – O Invólucro com Duas Superfícies
• O exemplo mais simples de um invólucro é um que envolve duas superfícies que trocam
radiação uma com a outra.
A taxa líquida da transferência de radiação a
partir da superfície 1, ,1q deve ser igual à taxa
líquida de transferência de radiação para a
superfície 2, ,2q− e as duas grandezas devem
ser iguais à taxa líquida na qual a radiação é
trocada entre 1 e 2. Assim sendo:
1221 qqq =−=
( )
22
2
12111
1
42
41
22
2
12111
1
2112 111111
AFAA
TT
AFAA
EEq bb
ε
ε
ε
ε
σ
ε
ε
ε
ε −++
−
−=
−++
−
−=
• Casos especiais importantes encontram-se resumidos na tabela abaixo:
3.4 – Blindagens de Radiação
• Construídas de material de baixa emissividade (alta refletância) utilizadas para reduzir a
transferência líquida de radiação entre duas superfícies. Considere a colocação de uma
blindagem de radiação, superfície 3, entre dois planos grandes e paralelos.
• Sem a blindagem de radiação, a taxa líquida de
transferência de radiação entre as superfícies 1 e 2 é
dada por ( )
111 21
42
41
12−+
−=
εε
σ TTAq
• Com a blindagem de radiação, resistências adicionais
estão presentes, e a taxa de transferência de calor é
reduzida
• Lembrando que 12,33,1 == FF tem-se que: ( )
2,3
2,3
1,3
1,3
21
42
411
12 1111
ε
ε
ε
ε
εε
σ
−+
−++
−=
TTAq
3.5 – A Superfície Reirradiante
• Essa superfície idealizada é caracterizada pela transferência líquida nula por radiação ( ).0=iq
Ela é bem aproximada por superfícies reais que são bem isoladas em um lado e para as quais os
efeitos de convecção podem ser desprezados no lado oposto.
• De ( )iiii GJAq −= e ( ) iii
ibii
A
JEq
εε−
−=
1 segue que .biii EJG == Em um invólucro, a temperatura
de equilíbrio de uma superfície reirradiante é determinada por sua interação com outras
superfícies e é independente da emissividade da superfície reirradiante.
• Para um invólucro de três superfícies, com uma superfície R reirradiante:
• Com 0=Rq a transferência líquida de radiação da superfície 1 deve ser igual a transferência
líquida por radiação para a superfície 2. Tem-se que:
( ) ( )[ ] 22
21
221112111
1
2121 1
11
11
AFAFAFAA
EEqq
RR
bb
ε
ε
ε
ε −+
+++
−
−=−=
−
• Pode-se aplicar ( ) iii
ibii
A
JEq
εε−
−=
1 às superfícies 1 e 2 para determinar as radiosidades 1J e .2J
• Conhecendo-se 1J e 2J e as resistências geométricas, a radiosidade da superfície reirradiante
RJ pode ser determinada do balanço de radiação ( ) ( )
.011 22
2
11
1 =−
=−
R
R
R
R
FA
JJ
FA
JJ
• A temperatura da superfície reirradiante pode então ser determinada da exigência que
.4RR JT =σ
4 – Transferência de Calor Combinada
• Em muitas situações a condução e/ou a convecção devem ser consideradas nas análises de
transferência de calor.
• Balanço de energia na superfície:
condiconviradiexti qqqq ,,,, ++=
• radiq , é determinado por procedimentos
padrões para um invólucro conforme
discutidos anteriormente.
• No caso específico em que ,,extiq conviq , e condiq , são nulos, a superfície é reirradiante.