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Raciocínio em Lógica de Descrições
Menandro Ribeiro Santana
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Roteiro
Introdução
Raciocínio em DL
Otimizações em Sistemas de Raciocínio
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INTRODUÇÃO
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Lógicas de Descrições
Família de formalismos de representação do conhecimento baseados na Lógica Matemática.
– Descrevem o domínio em termos de conceitos, propriedades e indivíduos.
– Possuem semântica formal– Provêem serviços de inferência.
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Sintaxe e Semântica das DL’sUma interpretação é um par <I, I>, onde:
I é o universo de discurso (não-vazio)– I é uma função de interpretação, que mapeia:
• Conceitos para subconjuntos de I• Papéis para subconjuntos de II• Instâncias para elementos de I
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Sintaxe e Semântica das DL’s
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Sintaxe e Semântica das DL’s
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S = FL- +AL*+papéis transitivos– SHIQ
Famílias de DL’s
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Base de Conhecimento em DL
Par <TBox, ABox> onde:
– TBox (Terminological Box)• Conhecimento Intensional: conhecimento geral sobre o
domínio do problema.
– ABox (Assertional Box)• Conhecimento Extensional: especifica um problema
particular.
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TBox
Conhecimento intensional na forma de terminologia.
Construído através de declarações que descrevem as propriedades gerais dos conceitos.
– Conceito primitivo (base)PessoaFêmea
– Conceito complexoMulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea
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As declarações do TBox são representadas como: – Equivalências lógicas (condições necessárias e
suficientes) : ≡ – Inclusão (condições necessárias) :
Características das declarações:– Somente é permitida uma definição para cada nome de
conceito.– É recomendado que as definições sejam acíclicas, isto é,
não podem ser definidas em termos de:• Elas mesmas• Outros conceitos que indiretamente se referem a elas.
TBox
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TBox - Exemplo
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ABox
Conhecimento extensional, que especifica os indivíduos do domínio.
Instanciação da estrutura de conceitos.
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Tipos de Declarações no ABox
Declaração de Conceitos : C(a)– Declara que “a” é um indivíduo do conceito C.– Ex : Pessoa(Ana)
Declaração de Papel : R(a,b)– Declara que o indivíduo “a” está relacionado
com o indivíduo “b” através da propriedade R.– Ex : temFilho(Ana,João)
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ABox - Exemplo
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RACIOCÍNIO EM DL
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Raciocínio em DL
SatisfatibilidadeSubsunçãoConseqüência LógicaChecagem de EquivalênciaChecagem de ConsistênciaChecagem de InstânciaConsulta a Ontologia
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Um conceito é satisfatível com respeito a um TBox T se existe uma interpretação I de T tal que CI é não vazio. Neste caso dizemos que I é um modelo de T.
Satisfatibilidade
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Satisfatibilidade - Exemplo
TBox Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea Mãe ≡ Mulher ┌┐ temFilho. Pessoa
Teste de Satisfatibilidade Mãe(a) ≡ Mulher(a) ┌┐ temFilho(a,b) Mãe(a) ≡ (Pessoa(a) ┌┐ Fêmea(a)) ┌┐ temFilho(a,b)
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Insatisfatibilidade - ExemploTBox
Mulher ≡ Pessoa ┌┐ FêmeaHomem ≡ Pessoa ┌┐ ¬MulherHermafrodita ≡ Homem ┌┐ Mulher
Teste de SatisfatibilidadeHermafrodita(a) ≡ Homem(a) ┌┐ Mulher(a)Hermafrodita(a) ≡ Pessoa(a) ┌┐ ¬Mulher(a) ┌┐
Mulher(a)
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Subsunção
Um conceito C é classificado por um conceito D com respeito a um TBox T se CI DI para toda interpretação I de T. Neste caso escrevemos C T D ou T ╞ C D . – O conceito D é chamado classificador– O conceito C é chamado classificado.
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Subsunção - Exemplo
TBox Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea Mãe ≡ Mulher ┌┐ temFilho. Pessoa
Relacionamento entre os conceitos Mãe Mulher Classificador : Mulher Classificado : Mãe
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Conseqüência LógicaSe todo modelo da BC A é também modelo da
BC B, então B é Conseqüência Lógica de A
– TBox:teaches.Course Undergrad └┘ Professor
– ABox:• teaches ( john , cs415 ) ; Course ( cs415 ) ;• Undergrad ( john )
– Professor ( john )?
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Dois conceitos C e D são equivalentes com respeito a um TBox T se CI = DI para toda interpretação I de T. Neste caso escrevemos C ≡T D ou T ╞ C ≡ D .
Checagem de Equivalência
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Checagem de Equivalência - Exemplo
TBox Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬Mulher Masculino ≡ Pessoa ┌┐ ¬Fêmea
Expansão do TBox e Simplificação Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬ Mulher Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬(Pessoa ┌┐ Fêmea) Homem ≡ Pessoa ┌┐ (¬Pessoa └┘ ¬Fêmea) Homem ≡ (Pessoa ┌┐ ¬Pessoa) └┘ (Pessoa ┌┐ ¬Fêmea) Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬Fêmea
Relacionamento entre os conceitos HomemI = MasculinoI
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Checagem de Consistência
Um ABox A é consistente com relação a um TBox T se existe uma interpretação que é modelo de ambos, A e T.
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Checagem de Consistência - Exemplo
TBox Mulher ≡ Pessoa ┌┐ Fêmea Homem ≡ Pessoa ┌┐ ¬Mulher Pai ≡ Homem ┌┐ temFilho. Pessoa
ABox Mulher(Jaguaraci) Pai(Jaguaraci) temFilho(Jaguaraci, Ana) Mulher(Jaguaraci) ≡ Pessoa(Jaguaraci) ┌┐ Fêmea(Jaguaraci) Pai(Jaguaraci) ≡ Homem(Jaguaraci) ┌┐ temFilho(Jaguaraci, Ana) Homem(Jaguaraci) ≡ Pessoa(Jaguaraci) ┌┐ ¬Mulher(Jaguaraci)
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Checagem de Instância
Verifica se um dado indivíduo é uma instância de um conceito específico.
Exemplo:TBox
Mulher ≡ Pessoa ┌┐ FêmeaMãe ≡ Mulher ┌┐ temFilho. Pessoa
ABoxMulher(Maria)temFilho(Maria,Pedro)
Checagem de InstânciaMãe(Maria)Mãe(Maria) ≡ Mulher(Maria) ┌┐ temFilho. Pessoa
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Consulta a Ontologia
Encontra os indivíduos na base de conhecimento que são instâncias de um dado conceito.
Exemplo: ABoxMulher(Maria)Homem(João)Homem(Pedro)
Resposta da ConsultaHomem → João, PedroMulher → Maria
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Redução
É possível implementar os serviços de raciocínio para o TBox a partir da satisfatibilidade ou da subsunção dependendo da lógica de descrições utilizada.– Interseção (┌┐) e conceito de insatisfatibilidade
(┴) : Redução a Subsunção.
– Interseção (┌┐) e negação (¬) : Redução a Satisfatibilidade.
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Redução a Subsunção
Proposição (Redução a Subsunção)
Para conceitos C e D temos:
(i) C é INSAT C ┴ ;(ii) C = D (C D) ┌┐ (D C);(iii) C e D disjuntos (C ┌┐ D) ┴ .;
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Redução a Satisfatibilidade
Proposição ( Redução a Satisfatibilidade )
Para conceitos C e D temos:
(i) C D (C ┌┐ ¬D) ┴ .
(ii) C = D (( C ┌┐ ¬D) ┴) ┌┐ ((¬C ┌┐ D ) ┴);
(iii) C e D disjuntos (C ┌┐ D) ┴
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Algoritmo Tableau
Ao invés de testar diretamente a subsunção dos conceitos, este algoritmo usa a negação para reduzir a subsunção a (in)satisfatibilidade dos conceitos.
C D se somente se C ┌┐ ¬D é INSAT
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C D se somente se (C ┌┐ ¬D) ┴
C D ≡ C → DC → D ≡ ¬C└┘DPara realizar o algoritmo tableau é
necessário negar a expressão (¬C └┘ D) e chegar a insatisfatibilidade.
¬(¬C └┘ D) ≡ C ┌┐ ¬DC ┌┐ ¬D é insatisfatível
Algoritmo Tableau
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Exemplo
Sejam A e B nomes de conceitos e R o nome de um papel. Analisar se (R.A) ┌┐ (R.B) é subclasse de R.(A ┌┐ B).
C = (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ (¬ R.(A ┌┐ B))
Forma normal de negação:C0 = (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ R.(¬A └┘ ¬B))
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Construir uma interpretação finita I tal que C0
I .– Gerar um indivíduo b tal que b C0
I .– b (R.A)I, b (R.B)I , b R.(¬A └┘ ¬B)I.– b (R.A)I deve existir um indivíduo c tal
que (b,c) RI e c AI .– b (R.B)I deve existir um indivíduo d tal
que (b,d) RI e d BI .
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– b R.(¬A └┘ ¬B)I.– c (¬A └┘ ¬B)I e d (¬A └┘ ¬B)I .– c (¬A └┘ ¬B)I c (¬A)I ou c (¬B)I .– d (¬A └┘ ¬B)I d (¬A)I ou d (¬B)I .
Conclusão: (R.A) ┌┐ (R.B) não é subclasse de R.(A ┌┐ B)
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As restrições são expressadas como declarações do ABox.
Seja C0 um conceito ALCN na forma de negação normal.
O algoritmo inicia com o ABox A0 = {C0(x0)}.Utilizar as Regras de transformação do algoritmo de
satisfatibilidade, até que nenhuma delas possa ser usada.
ABox Completo – ABox onde todos os ramos possíveis foram expandidos.
Algoritmo Tableau
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R1=H ┌┐ G R2=H └┘ G R3=HG
H G H G H G
R4=HG R5=H R6=(H ┌┐ G)H
H┌┐G H┌┐G H G
R7=(H └┘ G) R8=(HG) R9=(HG)
H HG G H┌┐G H┌┐G
Regras – Lógica Proposicional
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R1=(H ┌┐ G)(x) R2=(H └┘ G)(x)
H(x) G(x) H(x) G(x)
R3= (R.C)(x) C(y)
R(x,y)
R4= (R.C)(x) e R(x,y) C(y)
Regras – DL (ALC)
onde y é um nome de indivíduo que não ocorre em A
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R6= (nR)(x) R7= (nR)(x)R(x,z1) R(x,z1) R(x,z2) R(x,z2) : :R(x,zn) R(x, zn)
R(x, zn+1)zi≠zj não está em KB (com i≠j)
zi=zj
Regras – DL (N)
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R8= (R.C)(x) e R+
C(y) (R.C)(x) onde C não é atômico
Problema- Regra gera recursividade
Solução- Bloqueio, após perceber que nada de novo está sendo gerado
Regras – DL (R+)
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Regras – DL (R+)
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Regras – DL (R+)
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Regras – DL (R+)
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Algoritmo Tableau
Um conceito C é insatisfatível sse KB ┌┐ C = ┴ em todas as interpretações
– Cada ramo do Abox contém uma contradição (clash) de um dos seguintes tipos:
1. {┴ (x)} KB para algum nome de indivíduo x;2. {A(x), ¬A(x)} KB para algum nome de indivíduo x e
algum nome de conceito A;3. (nR)(x) R(x,yi) | 1 i n+1} {yi yj | 1 i j
n+1} KB para nomes de indivíduos x, y1,..., yn+1 , um inteiro não negativo n e um nome de papel R.
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Aplicação do Tableau : Exemplo 1
Sejam A e B nomes de conceitos e R o nome de um papel. Analisar se (R.A) ┌┐ (R.B) é subclasse de R.(A ┌┐ B).
– C = (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ (¬ R.(A ┌┐ B))
Forma normal de negação:
– C0 = (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ R.(¬A └┘ ¬B))
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Aplicação do Tableau : Exemplo 2
Sejam A e B nomes de conceitos e R o nome de um papel. Analisar se (R.A) ┌┐ (R.B) ┌┐ 1 R é subclasse de R.(A ┌┐ B).
– C = (R.A)┌┐(R.B)┌┐( 1 R)┌┐(¬ R.(A┌┐ B))
Forma normal de negação:
– C0 = (R.A)┌┐(R.B)┌┐( 1 R)┌┐R.(¬A└┘ ¬B))
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Aplicação do Tableau : Exemplo 3
Seja a BC– Conference progChair.Person progChair.T Event– Conference (eswc)
Provar – Event(eswc)– Verificar se Conference (eswc) ┌┐ ¬Event(eswc) é
insatisfatível
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Aplicação do Tableau : Exemplo 3
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OTIMIZAÇÕES EM SISTEMAS DE RACIOCÍNIO
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Expansão do TBox - Unfold
Pode-se reduzir os problemas de raciocínio com relação a um TBox acíclico T para problemas com respeito ao TBox vazio.– TBox vazio: TBox no qual todos os conceitos
complexos são definidos apenas com a utilização de conceitos primitivos.
– Necessário expandir as definições de conceitos armazenados no TBox.
– Permite encontrar mais facilmente as semelhanças entre conceitos, contradições, etc.
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Cada definição está na forma A ≡ D onde D contém somente símbolos base.– OBS: A D pode ser substituído por A ≡ Ā ┌┐ D ,
sendo que Ā é um novo símbolo base.Para cada conceito C, definimos a expansão de C
com respeito a T como o conceito C’ que é obtido de C pela substituição de cada ocorrência de um nome de símbolo A em C pelo conceito D.
Expansão do TBox
![Page 56: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/56.jpg)
Expansão do TBox - Exemplo
Mulher ≡ Pessoa ┌┐ FêmeaHomem ≡ Pessoa ┌┐ ¬MulherMãe ≡ Mulher ┌┐ temFilho. PessoaPai ≡ Homem ┌┐ temFilho. PessoaPais ≡ Pai └┘ Mãe
![Page 57: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/57.jpg)
Expansão do TBox - Exemplo
Mulher ≡ Pessoa ┌┐ FêmeaHomem ≡ Pessoa ┌┐ ¬ (Pessoa ┌┐ Fêmea)Mãe ≡ (Pessoa ┌┐ Fêmea) ┌┐ temFilho.
PessoaPai ≡ (Pessoa ┌┐ ¬ (Pessoa ┌┐ Fêmea)) ┌┐
temFilho. PessoaPais ≡ ((Pessoa ┌┐ ¬ (Pessoa ┌┐ Fêmea)) ┌┐
temFilho. Pessoa) └┘ ((Pessoa ┌┐ Fêmea) ┌┐ temFilho. Pessoa)
![Page 58: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/58.jpg)
Otimizações de pré-processamento
Normalização
Absorção
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NormalizaçãoSimplificação da BC identificando :
– Equivalências sintáticas– Contradições e – Tautologias
Todos os conceitos devem ser modificados para se adequar a um formato padrão– Utiliza apenas o conjunto completo de
conectivos ¬ e ┌┐.
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Normalização
Exemplos:(¬D └┘ ¬C) é transformado em ¬(D ┌┐ C).
∃ R. é simplificado para .⊥ ⊥
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Absorção
Eliminação de axiomas gerais aumentando a definição destes axiomas.– Axiomas gerais na forma C D,⊆
• C é um conceito não atômico• São manipulados até chegar em A D’, onde A é ⊆
atômico.– Este axioma pode então ser fundido dentro de
uma definição primitiva existente A C’, para ⊆resultar em A C’ ⊆ ┌┐ D’.
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Regras de Absorção
A ┌┐ B D, A atômico ⊆A D ⊆ └┘ ¬ B.
A └┘ B D, A atômico ⊆
A D ⊆ ┌┐ ¬ B.
![Page 63: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/63.jpg)
Absorção
Exemplo:(Homem ┌┐ temFilho.Pessoa Pai) resulta em∃ ⊆(Homem Pai ⊆ └┘ ¬ temFilho.Pessoa)∃
Homem ¬ Mulher⊆Absorção:Homem ¬ Mulher ⊆ ┌┐ (Pai └┘ ¬ temFilho.Pessoa)∃
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Otimizações de Classificação
Hierarquia de conceitos representada por um grafo acíclico direto– Nós são rotulados com os nomes dos conceitos– Arcos correspondem a relações de classificação
Um conceito A classifica um conceito B se:– Ambos A e B estão no rótulo do mesmo nó x– A está no rótulo de algum nó x, e existe um
arco (x,y) no grafo e um conceito (s) no rótulo do nó y, que classifica B.
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Otimizações de Classificação
Hierarquia de conceitos representada por um grafo acíclico direto– Nós são rotulados com os nomes dos conceitos– Arcos correspondem a relações de classificação
Um conceito A classifica um conceito B se:– Ambos A e B estão no rótulo do mesmo nó x– A está no rótulo de algum nó x, e existe um arco (x,y)
no grafo e um conceito (s) no rótulo do nó y, que classifica B.
![Page 66: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/66.jpg)
Otimizações de Classificação
Minimização do número de testes de classificação através de algoritmos de busca que percorrem o grafo:– Da base para o topo: encontra conceitos
classificados– Do topo para a base: encontra conceitos
classificadores.São encontradas as classificações óbvias,
diminuindo o custo de processamento causado pelo teste de classificação.
![Page 67: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/67.jpg)
Otimizações de Classificação
Transitividade da relação de subsunção: – Se A não é subclasse de B, então ele não pode
ser subclasse de nenhum outro conceito que seja subclasse de B.
• Busca do topo: testa se A classifica B somente quando se sabe que B é subclasse de todos os conceitos que classificam A.
• Busca da base: testa se A classifica B somente quando se sabe que A classifica todos os conceitos que são subclasse de B.
![Page 68: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/68.jpg)
Otimizações do Teste de Subsunção
Detecta não-classificações óbvias.Baseia-se no armazenamento das árvores de
expansão construídas anteriormente para evitar repetições futuras.
Exemplo:A ≡ C ┌┐ R1C1 ┌┐ R2C2
B ≡ ¬D └┘ R3C3.
Provar que A não é subclasse de BA┌┐¬B é satisfatível
![Page 69: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/69.jpg)
Otimizações do Teste de Subsunção
![Page 70: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/70.jpg)
Otimizações do Teste de Satisfatibilidade
Teste realizado após a execução de todas as otimizações.– Diminuição de custo computacional.
Algoritmo Tableau– Padrão: Ramos Sintáticos– Otimizado: Ramos Semânticos
![Page 71: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/71.jpg)
Ramos Semânticos
Ramos sintáticos– Ao expandir um nó do grafo (árvore), escolhe-se uma
disjunção não expandida e inicia-se a busca pelos diferentes modelos gerados pela adição de cada um dos membros da disjunção.
– Não há uma prevenção de recorrência de um conceito insatisfatível em ramos diferentes.
– Alto custo dependendo da dificuldade encontrada para provar a insatisfatibilidade deste conceito disjunto.
![Page 72: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/72.jpg)
Ramos Semânticos
Ramos semânticos:– Ao expandir um nó do grafo (árvore), escolhe-se
um dos membros isolados da disjunção não expandida e gerasse dois novos ramos, adicionando em um ramo o conceito escolhido e no outro a sua negação.
– Não ocorrem buscas desnecessárias como na busca por ramos sintáticos, pois os ramos são estritamente disjuntos.
![Page 73: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/73.jpg)
Ramos SemânticosBusca Sintática de Ramos
Busca Semântica de Ramos
![Page 74: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/74.jpg)
Bibliografia NARDI, D.; BRACHMAN, R. “An Introduction to Description
Logics”. In: The Description Logic Handbook – Theory, Implementation and Applications. Editedy by Franz Baader, Diego Calvanese, Deborah McGuinness, Daniele Nardi and Peter Patel-Schneider, 2003.
BAADER, F.; NUTT, W. “Basic Description Logics”. In: The Description Logic Handbook – Theory, Implementation and Applications. Editedy by Franz Baader, Diego Calvanese, Deborah McGuinness, Daniele Nardi and Peter Patel-Schneider, 2003.
BAADER, F. “Description Logic Terminology”. In: The Description Logic Handbook – Theory, Implementation and Applications. Editedy by Franz Baader, Diego Calvanese, Deborah McGuinness, Daniele Nardi and Peter Patel-Schneider, 2003.
![Page 75: Raciocínio em Lógica de Descrições](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062816/56814d90550346895dbae960/html5/thumbnails/75.jpg)
Bibliografia HORROCKS, I. “Implementation and Optimisation Techniques”. In:
The Description Logic Handbook – Theory, Implementation and Applications. Editedy by Franz Baader, Diego Calvanese, Deborah McGuinness, Daniele Nardi and Peter Patel-Schneider, 2003a.
VIEIRA, R.; ABDALLA, D.; SILVA, D. M.; SANTANA, M. R. “Web Semântica: Ontologias, Lógicas de Descrições e Inferências”. In: Web e Multimídia: Desafios e Soluções. PUC Minas, 2005.