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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
TeorTeoríía de bandasa de bandas
Luis SeijoLuis Seijo
Departamento de Química
Universidad Autónoma de [email protected]
http://www.uam.es/luis.seijo
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ContenidosContenidos
•• Electrones en un potencial periElectrones en un potencial perióódicodico
–– Ondas planas; red de Ondas planas; red de BravaisBravais; celda unidad primitiva; red ; celda unidad primitiva; red recrecííproca; celda de proca; celda de WignerWigner--SeitzSeitz; primera zona de Brillouin ; primera zona de Brillouin
•• Teorema de Teorema de BlochBloch
–– Funciones de onda de Funciones de onda de BlochBloch
•• Niveles electrNiveles electróónicos en un cristal perinicos en un cristal perióódicodico
•• FormaciFormacióón de bandasn de bandas
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BibliografBibliografííaa
• The Physical Chemistry of Solids, R. J. Borg and G. J. Dienes, (Academic Press, San Diego, 1992).
• Solid State Physics, N. W. Ashcroft and N. David Mermin, (Thomson Learning, 1976). [Caps. 2, 4, 5, 8 y 9]
• Electronic Structure of Materials, A. P. Sutton, (Clarendon Press, Oxford, 1993).
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
OndasOndas planasplanas
4
Onda plana que se propaga en la dirección del espacio real :kr��
=propag
rkie�� ( )
zyx kkkk ,,≡�
( )zyxr ,,≡�
reales
reales
– el valor de la onda plana es constante en cualquier plano del espacio real que sea perpendicular a k
�
Czkykxkrk zyx =++=��
(un plano para cada valor de ) k�
⊥ C
– el valor de la onda plana es periódico a lo largo de líneasparalelas a , con periodicidad dada pork
�kπλ 2=
k�
p.ej., en la dirección de k
� )( λ+= rkirki ee– es un momento lineal; se conoce como el “vector de onda”k�
;ˆ xki
x
xki
xxx ekep �= ;ˆ
yki
y
yki
yyy ekep �= zki
z
zki
zzz ekep �=ˆ
���kp =
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
Red de Red de BravaisBravais; ; celdacelda unidadunidad primitivaprimitiva
5
Red de Bravais:Conjunto de puntos discretos cuyo vector de posición viene dado por
332211 anananR����
++= 321 ,, nnn enteros
321 ,, aaa���
no coplanares
(definición alternativa) Red infinita de puntos discretos, cuya distribución y orientación es idéntica en todos los puntos de la misma.
ejemplo de red de Bravais bidimensional
ejemplo de red bidimensionalque no es de Bravais
Celda unidad primitiva:Volumen del espacio que, trasladado a todos los puntos de una red de Bravais, llena todo el espacio sin vacíos ni solapamientos: Genera el cristal completo.
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
Red Red recrecííprocaproca (de (de unauna red de red de BravaisBravais))
6
Sea una red de Bravais , de periodicidad{ }R�
( )321 ,, aaa���
Red recíproca:
Una onda plana cualquiera no tiene, en general, la periodicidad de esa red de Bravais, pero síla tiene si su vector de onda apunta en ciertas direcciones y tiene ciertas longitudes.k
�
Conjunto de vectores de onda cuyas ondas planas tienen la periodicidadde la red de Bravais (o red directa)
{ }K�
rKiRrKi ee�����
=+ )({ }K�
1=RKie�� { }R
�
{ }K�
red directa
red recíproca
Caso de una red directa cúbica:
π211 naK x =π222 naK y =π233 naK z =
Cada punto de una red recíproca representa unaonda plana con la misma periodicidad que la red directa.
Si una onda plana tiene la misma periodicidad que la red directa, está representada por algún punto de la red recíproca.
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Red Red recrecííprocaproca (monodimensional)(monodimensional)
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11 =aKi xe π211 naK x = �,2,1,01 ±±=n
=x
red directa
0 1a 12a 13a1a−12a−13a−
=xk
red recíproca
01
2
a
π
1
4
a
π
1
2
a
π−
1
4
a
π−
celda unidad primitiva
1ª zona de Brillouin
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PeriodicidadPeriodicidad de de laslas ondasondas planasplanas((monodimensionalesmonodimensionales))
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xa
i
e 1
2π
1
2a
k==
πλ
=x
red directa
0 1a 12a 13a1a−12a−13a−
=xk
red recíproca
01
2
a
π
1
4
a
π
1
2
a
π−
1
4
a
π−
1ª zona de Brillouin
onda planaperiodicidad en la dirección de propagación
tiene la periodicidad
de la red directa
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PeriodicidadPeriodicidad de de laslas ondasondas planasplanas((monodimensionalesmonodimensionales))
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xa
i
e 1
4π
2
2 1a
k==
πλ
=x
red directa
0 1a 12a 13a1a−12a−13a−
=xk
red recíproca
01
2
a
π
1
4
a
π
1
2
a
π−
1
4
a
π−
1ª zona de Brillouin
onda planaperiodicidad en la dirección de propagación
tiene la periodicidad
de la red directa
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PeriodicidadPeriodicidad de de laslas ondasondas planasplanas((monodimensionalesmonodimensionales))
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xa
i
e 1
8.0 π
15.22
ak
==π
λ
=x
red directa
0 1a 12a 13a1a−12a−13a−
=xk
red recíproca
01
2
a
π
1
4
a
π
1
2
a
π−
1
4
a
π−
1ª zona de Brillouin
onda planaperiodicidad en la dirección de propagación
NO tiene la
periodicidad de la
red directa
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ResumenResumen
11
Onda plana
kr��
=propag
rkie��
kπλ 2=
���kp =
Describe un electrón que se propaga por el espacio real
en la dirección:
con un momento lineal:
Plana; onda de longitud de onda
Red recíproca
Conjunto de vectores de onda cuyas ondas planas tienen la
misma periodicidad que la red de Bravais directa
{ }K� rKie
��
1=RKie��
{ }R�
{ }K�
Los puntos de la red recíproca cumplen
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Red Red recrecííprocaproca ((bidimensionalbidimensional))
12
)0,( 11 aa =�
red recíproca
),0( 22 aa =�
)0,2( 11 aK π=�
)2,0( 22 aK π=�
2211 alalR���
+=
),( 2211 alal=
2211 KmKmK���
+=
)2,2( 2211 amam ππ=
ππ 22)( 2211 nmlmlRK =+=��
red directa
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
PeriodicidadPeriodicidad de de laslas ondasondas planasplanas ((bidimensionalesbidimensionales))
13
)0,( 11 aa =�
red directa
red recíproca
),0( 22 aa =�
)0,2( 11 aK π=�
)2,0( 22 aK π=�
+ y
ax
ai
21
222exp
ππ
p.ej. en el caso21 2aa =
2
2 2a
k==
πλ
onda plana
periodicidad en la direcciónde propagación
tiene la periodicidad
de la red directa
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Red Red recrecííprocaproca ((bidimensionalbidimensional))
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aa )0,1(1 =�
red directa
red recíproca
aa )23,21(2 =�
aK 34)1,0(1 π=�
aK 34)21,23(2 π=�
2211 alalR���
+=
alll )23,2( 221 +=
2211 KmKmK���
+=
ammm 34)2,23( 212 π+=
ππ 22)( 122221 nmlmlmlRK =++=��
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CeldaCelda primitivaprimitiva de de WignerWigner--SeitzSeitz
15
Celda de Wigner-Seitz en torno a un punto de una red de Bravais:Región del espacio que está más próxima a dicho punto que a cualquierotro de esa red de BravaisConstrucción práctica: Trazar líneas desde ese punto hasta sus primeros vecinos de la red de Bravais; trazar planos bisectrices de las mismas; tomar el poliedrolimitado por dichos planos que contiene el punto de la red de Bravais de referencia.
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
PrimeraPrimera zonazona de Brillouinde Brillouin
16
Primera zona de Brillouin:La celda de Wigner-Seitz en torno a un punto de la red recíproca
=xk
red recíproca
01
2
a
π
1
4
a
π
1
2
a
π−
1
4
a
π−
1ª zona de Brillouin 11 aka x ππ ≤≤−
Del mismo modo que una celda primitiva unidadcontiene toda la información sobre la estructura de un cristal, la primera zona de Brillouin contiene toda la información sobre lasondas planas que se propaguen en ese cristal.
113 aka x ππ −≤≤−11 3 aka x ππ ≤≤
2ª zona de Brillouin
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : TeoremaTeorema de Blochde Bloch
17
=x red directa
0 1a 12a1a−12a− 2/L2/L−
~ 1 Å ~ 106 Å
)()( 1axVxV +=
Teorema de Bloch:
)()()(ˆ2
22
xxxVm xxx knnkkn ψεψ =
+∇−�
)()( 1axVxV +=
⇒)()( xUex
x
x
x kn
xki
kn =ψ
con )()( 1axUxUxx knkn +=
Las funciones propias de la ec. de Schrödinger con un potencial periódico son ondas planasmultiplicadas por una función periódica (con la misma periodicidad que el potencial)
1aNL =
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TeoremaTeorema de Bloch. Dos de Bloch. Dos enunciadosenunciados equivalentesequivalentes..
18
)()( xUexx
x
x kn
xki
kn =ψ
con )()( 1axUxUxx knkn +=
- ondas planas multiplicadas por una función periódica (con la misma periodicidad que el potencial)
( ))()( 11
1 axUeaxx
x
x kn
axki
kn +=+ +ψ
)()( 1
1 xUeeaxx
xx
x kn
xkiaki
kn =+ψ
)()( 1
1 xeaxx
x
x kn
aki
kn ψψ =+
- tales que una traslación en la red real da lugar a si mismas multiplicadas por una fase[tales que su cuadrado complejo es invariante ante traslaciones de la red real]
Las funciones propias de la ec. de Schrödinger con un potencial periódico son:
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
TeoremaTeorema de Bloch. de Bloch. DemostraciDemostracióónn..
19
Hamiltoniano periódico: )(ˆ)(ˆ axHxH +=
Traslación en la red real: )()(ˆ axfxfTa += ;)()(ˆ xfaxfT a =+− )()(ˆˆ xfxfTT aa =−
aa THHT ˆˆˆˆ =
)()(ˆ)()(ˆˆ axfaxHxfxHTa ++= )()(ˆ axfxH +=
)(ˆ)(ˆ xfTxH A=
{ } |ψ∃
)(xf∀
ψεψ =H
ψψ )(ˆ atTa =ψψψ =−=− )()(ˆˆ atatTT aa
1)()( =− atat akieat =)(
)()( xeaxaki ψψ =+
)()( xeax k
aki
k ψψ =+Teorema de Bloch
Las funciones propias de la ec. de Schrödinger de un hamiltoniano periódico son tales que unatraslación en la red real da lugar a si mismas multiplicadas por una fase [su cuadradocomplejo es invariante ante traslaciones de la red real]
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : TeoremaTeorema de Blochde Bloch
20
)()( 1
1 xeaxx
x
x kn
aki
kn ψψ =+o, alternativamente:
)()( xUexx
x
x kn
xki
kn =ψ con )()( 1axUxUxx knkn +=
)()( rUerkn
rki
kn
���
��
� =ψ con )()( RrUrUknkn
����� +=
)()( reRrkn
Rki
kn
����
��
� ψψ =+En tres dimensiones:
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ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : EstadosEstados permitidospermitidos
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Periodicidad microscópica, natural en el cristal
Condiciones de Bloch⇓
Periodicidad a escala macroscópica, impuesta arbitrariamente
Condiciones de Born-von Karman⇓
)()( 1
1 xeaxx
x
x kn
aki
kn ψψ =+
)()( 1 xNaxxx knkn ψψ =+
)()( xLxxx knkn ψψ =+
)()( 1
1 xeNaxx
x
x kn
aNki
kn ψψ =+
11 =aNki xe
;21 πxx mNak = ;2
1
xx mNa
kπ
= ( )�,2,1,0 ±±=xm
En el eje (del que algunos de sus puntos constituyen la red recíproca) hay un estado permitido por cada segmento de longitud
xk
12 Naπ
Los estados permitidos de un electrón en un potencial periódico tienen losmismos valores de que los estados permitidos del Gas de Electrones Libres!xk
Lπ2=
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ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : EstadosEstados permitidospermitidos
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Estados permitidos: )(xxknψ ;
2
1
xx mNa
kπ
= ( )�,2,1,0 ±±=xm
=xk
red recíproca
01
2
a
π
1
4
a
π
1
2
a
π−
1
4
a
π−
1
2
Na
π
1
4
Na
π
1
6
Na
π1
2
Na
π−
1ª zona Brillouin
En una celda primitiva de la red recíproca, el número de estados permitidos es:
12 Naπ12 aπ unidades long. eje k / celda primitiva rr
unidades long. eje k / estado permitidoN=
estados permitidos
celda primitiva rr
El número de estados permitidos en la primera zona de Brillouin es igual al número de celdas primitivas del cristal (cc B-vK).
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : BandasBandas
23
– Una función con condiciones de contorno Born-von Karman puede expresarse comocombinación lineal de todas las ondas planas que satisfagan dichas condiciones de contorno
– Un potencial periódico puede expresarse como combinaciónlineal de todas las ondas planas que tengan la misma periodicidad (la del cristal)
xqi
q
q
x
x
x
eCx ∑∈
=GEL
)(ψ
;xqi xe ;
22
1
xxx mNa
mL
qππ
== ( )�,2,1,0 ±±=xm
;xKi xe ;
21
1
na
K x
π= ( )�,2,1,01 ±±=n
[porque son todos los estados permitidos de un gas de electrones libres con cc B-vK]
[que son los elementos de la red recíproca]
xKi
K
RRK
x
x
x
eaxV ∑∈
=)(
)()( 1axVxV +=
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : BandasBandas
24
1. Cálculo de la matriz del Hamiltoniano, , en la base de ondas planas del gas de electrones libres
Método variacional lineal
xqi xeVT +ˆ
2. Diagonalización de la matriz del Hamiltoniano
CCáálculolculo de de loslos coeficientescoeficientes de de laslas funcionesfunciones de de ondaonda
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : BandasBandas
25
1. Cálculo de la matriz del Hamiltoniano, , en la base de ondas planas del gas de electrones libres
Método variacional linealxqC
xqi xeVT +ˆ
22
GEL2
)(ˆ qm
qeNTeN qqqq
xqi
q
xqi
q
�′′
′′ == δεδ
a. La matriz de energía cinética es diagonal [es el caso de GEL]
xqi
q
xKixqi
qK
RRK
xqi
q
xqi
q eNeeNaeNxVeN x
x
x
′′
∈
′′ ∑=)(
b. Las interacciones entre ondas planas sólo proceden del potencial periódico
xKqi
q
xqi
qK
RRK
eNeNa)( +′
′
∈
∑=
[omitimos lossubíndices x]
xqi
q
xqi
qKqqK
RRK
eNeNa +′
∈
∑= ,δ KqqK
RRK
a +′
∈
∑= ,δ
Sólo se acoplan (se mezclan) ondas planas cuyos vectores de onda difieren exactamente en algún vector de la red recíproca Kqq +′=
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : BandasBandas
26
Conviene escribir kKq q += ∈kde modo que 1ª zona de Brillouin
siendoqK un vector de la red recíproca
p.ej.
=xk 01
2
a
π
1
4
a
π
1
2
a
π−
qqKk
1ª zona Brillouin
entonces, da lugar aKqq +′=
;KqkKq +′=+ ( ) kKkKKq qq +=+−=′ ′
Las ondas planas que se acoplan por el potencial periódico se correspondena un mismo desplazamiento de dos puntos distintos de la red recíprocak
kKq q +=kKq q +=′ ′
⇓Los estados electrónicos en un potencial periódico se pueden caracterizarcon un vector de onda de la 1ª zona de Brilloink
)(xkψ
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : BandasBandas
27
=xk 01
2
a
π
1
4
a
π
1
2
a
π−
k
1ª zona Brillouin
Lista de ondas planas que contribuyen a la función de onda
ka
+1
2πk
a+
1
4πk
a+
1
6πk
a+−
1
2π��
)(xkψ
xkKi
kK
K
k eCx )(
RR
)( ++
∈
∑=ψ ∈k 1ª zona de Brillouin
2. Diagonalización de la matriz del HamiltonianokKC +⇒
Resultan tantos estados como ondas planas contribuyentes )(xnkψ⇒
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : BandasBandas
28
k
ka +− 12π
ka +12π
ka +− 14π
ka +14π
�
k′
ka ′+− 12π
ka ′+12π
ka ′+− 14π
ka ′+14π
�
H
0
0 0
0
x
x
x
x
x
�
x
x
x
x
x
�
x
x
x
x
x
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x
x
x
x
x
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x
x
x
x
x
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�
�
�
�
�
x
x
x
x
x
�
x
x
x
x
x
�
x
x
x
x
x
�
x
x
x
x
x
�
x
x
x
x
x
�
�
�
�
�
�
�
x
x
�
x
x
�
x
x
�
x
x
�
x
x
�
�
�
�00
k ′′
ka ′′+− 12π
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
NivelesNiveles del gas de del gas de electronoselectronos libreslibres monodimensional monodimensional en en representacirepresentacióónn de de zonazona reducidareducida
29
2
1
2
2 am
πε�
k
kka +⋅− 121 π
ka +⋅+ 121 πka +⋅− 122 π
ka +⋅+ 122 π
ka +⋅− 123 π
ka +⋅+ 123 π
1
2
a
π
1
4
a
π
1
2
a
π−
1
4
a
π− k0
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : BandasBandas
30
Modelo simplificado:Interacción entre (dos) estados del gas de electrones libres de energía parecida
xki
keNxkKi
kK eN )( ++
)(GEL kε
)(GEL kK +ε
kKkV +,
kKkV +,
11H 12H
12H 22H
( )( ) 02
122211 =−−− HHH εε ( ) 02211
2
122211
2 =+−+− HHHHH εε
( ) 2
12
2
22112211
22
1H
HHHH +
−±+=ε
( ) 2
,
2
GELGELGELGEL
2
)()()()(
2
1kKkk V
kKkkKk ++
+−±++≈
εεεεε kk 21 , εε
�
Punto Kk2
1= (plano de Bragg) Kk Vk ±= )(GELεε
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : FormaciFormacióónn de de bandasbandas
31
=xk 01
2
a
π
1
2
a
π−
1
98.0a
π
1
02.1a
π−
Interacción kKk +�
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : FormaciFormacióónn de de bandasbandas
32
Interacción kKk +�
01
2
a
π
1
2
a
π−
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : FormaciFormacióónn de de bandasbandas
33
Interacción kKk +�
01
2
a
π
1
2
a
π−
N/2 estadosdel GEL
N/2 estadosdel GEL
N/2 estadosdel GEL
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : FormaciFormacióónn de de bandasbandas
34
Interacción kKk +�
01
2
a
π
1
2
a
π−
N/2 estadosdel GEL
N/2 estadosdel GEL
N/2 estadosdel GEL
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : BandasBandas
35
KV2
01
2
a
π
1
2
a
π−
banda de N estados
banda de N estados
espaciado entre bandas (band gap)
Esquema de zona extendida
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : BandasBandas
36
01
2
a
π
1
2
a
π−
1a
π
KV2banda de N estados
banda de N estados
espaciado entre bandas (band gap)
Esquema de zona reducida
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
ElectronesElectrones en un en un potencialpotencial periperióódicodico: : BandasBandas
37
1a
π0
=N
N e electrones/celda primitiva unidad
2< banda (de valencia) incompleta⇒[conductores]
2= banda (de valencia) llena⇒[aislantes y semiconductoresintrínsecos]
Energía de Fermi (nivel de Fermi) si
1=NN e
2=NN e
3=NN e
4=NN e
4;2 <> banda (de valencia) incompleta⇒[conductores]
4= banda (de valencia) llena⇒[aislantes y semiconductoresintrínsecos]
�
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BandasBandas bidimensionalesbidimensionalesa lo largo del a lo largo del ejeeje (k(kxx,0) de la 1,0) de la 1ªªZBZB
38
espacio recíproco y red recíproca(de una red de Bravais bidimensional cuadrada)
xk
yk
representación de zona reducida
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BandasBandas bidimensionalesbidimensionalesa lo largo del a lo largo del ejeeje (k(kxx,0) de la 1,0) de la 1ªªZBZB
39
representación de zona reducida
a
π
a
π2
a
π−
a
π2− xk0
22
2 am
πε�
( )0,2 akx π−( )0,xk
( )0,2 akx π+
( )0,4 akx π−
ZBkx ª1∈
1×
1×
1×
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BandasBandas bidimensionalesbidimensionalesa lo largo del a lo largo del ejeeje (k(kxx,0) de la 1,0) de la 1ªªZBZB
40
representación de zona reducida
a
π
a
π2
a
π−
a
π2− xk0
22
2 am
πε�
( )0,2 akx π−( )0,xk
( )0,2 akx π+
( )0,4 akx π−
ZBkx ª1∈
( )aakx ππ 2,2 ±−( )akx π2,±
( )aakx ππ 2,2 ±+
( )aakx ππ 2,4 ±−
1×
1×
1×
2×
2×
2×
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BandasBandas bidimensionalesbidimensionalesa lo largo del a lo largo del ejeeje (k(kxx,0) de la 1,0) de la 1ªªZBZB
41
representación de zona reducida
a
π
a
π2
a
π−
a
π2− xk0
22
2 am
πε�
ZBkx ª1∈
( )0,2 akx π−( )0,xk
( )0,2 akx π+
( )0,4 akx π−
( )aakx ππ 2,2 ±−( )akx π2,±
( )aakx ππ 2,2 ±+
( )aakx ππ 2,4 ±−
( )aakx ππ 4,2 ±−( )akx π4,±
1×
1×
1×
2×
2×
2×
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BandasBandas bidimensionalesbidimensionalesa lo largo del a lo largo del ejeeje (k(kxx,0) de la 1,0) de la 1ªªZBZB
42
representación de zona reducida
a
π
a
π2
a
π−
a
π2− xk0
22
2 am
πε�
1×
1×
1×
2×
2×
2×
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BandasBandas bidimensionalesbidimensionalesa lo largo del a lo largo del ejeeje (k(kxx,0) de la 1,0) de la 1ªªZBZB
43
representación de zona reducida
a
π
a
π2
a
π−
a
π2− xk0
22
2 am
πε�
1×
1×
1×
2×
2×
2×
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BandasBandas tridimensionalestridimensionales
Superficie de Fermi 1=XF εεy Primera zona de Brillouin
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BandasBandas tridimensionalestridimensionales
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BandasBandas tridimensionalestridimensionales
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BandasBandas tridimensionalestridimensionales
47
Diagrama de bandas del KI
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
BandasBandas tridimensionalestridimensionales
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
Electrones en un potencial periElectrones en un potencial perióódico: dico: Densidad de estadosDensidad de estados
49
1a
π0
εNúmero de estados en un interalo diferencial de energía en torno a :
εε dDdNestados )(=
Densidad de estados en torno a la energía :ε
)(εD
)(εD
ε
modelo linealEnergía de Fermi (nivel de Fermi) si
1=NN e
2=NN e
3=NN e
4=NN e
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
Electrones en un potencial periElectrones en un potencial perióódico: dico: Densidad de estadosDensidad de estados
50
)(εD
εFε
Gas de electrones libres tridimensional
)(εD
εFε
Conductor metálico tridimensional
)(εD
εFε
Aislante tridimensional
gapε∆ )(εD
εFε
Semiconductor intrínseco tridimensional
gapε∆
Densidades de ocupación a T=0
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Química Física del Estado Sólido. El gas de electrones libres. UAM
Electrones en un potencial periElectrones en un potencial perióódico: dico: Densidad de estadosDensidad de estados
51
)(εD
εFε
Gas de electrones libres tridimensional
)(εD
εFε
Conductor metálico tridimensional
)(εD
εFε
Aislante tridimensional
gapε∆ )(εD
εFε
Semiconductor intrínseco tridimensional
gapε∆
Densidades de ocupación a T>0