Download - Quelques variantes de la formulation éléments finis mixtes hybrides Ph. Ackerer, A. Younes
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Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005
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Quelques variantes de la formulation éléments finis mixtes hybrides
Ph. Ackerer, A. [email protected]
Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg
La méthode des EFMH
Réduction du nombre d’inconnues Condensation de masse
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Résolution de l’EDP (conservation de la masse, loi de Darcy, CI & CL)
0D
DN
N
Pc .q f sur 0,Ttq a P sur 0,TP P surP P sur 0,T
q. q sur 0,T
qP
f
a
c
: charge [L] : vitesse de Darcy [L/T] : terme puits/source [1/T]
: conductivité hydraulique [L/T]
: coefficient d’emmagasinement [1/L] : vecteur unitaire normal
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Résolution avec les EFMH
la valeur moyenne de P sur AAP
la valeur moyenne de P suriATP
l’approximation de sur A A Aq X
q a P
l’espace RT0AX
3
1
A Ai iA
iq Q
1 1 2 32
AiA
i Ai
x x, i , ,
A y y
Pour les triangles, une base de est AX
Valeur de P et du gradient
Valeur de PA
(xi,yi)
Ak
Aj
Ai
AkQ
AjQ
AiQ
(xj,yj)
jAkA
iA (xk,yk)
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1) L’écriture variationnelle de la loi de Darcy ( )q a P
3
1
A A A A A A A A Ai j i j i iA
jA A Aq Q a P a P TP
A Aij i j
AB .
31
1
A A Ai ij j
jQ a B P TP
qui s’écrit
11 1 1
1 1 1 1 13 1 1 1
ijjk jk jk ki jk
ijjk ki ki ki ki
ij ij ij ijjk ki
r r r r r rB r r r r r r
A r r r r r r
B-1 est une matrice élémentaire définie positive
13
13 12
48
ij
ij ik jk
jB
A
(xi,yi)
Ak
Aj
Ai
AkQ
AjQ
AiQ
(xj,yj)
jAkA
iA (xk,yk)
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2) Discrétisation implicite de l’équation de conservation de la masse
31 1
1
A,n A,n A,n Asj A
j
c AP P Q A f Qt
3) Hybridation3
1 1
1
AA,n A,n A,n s
i ii
QaP TP P
3 31 1 1 1
1 1
AsA,n A,n A,n A,ni i i
i j j ij jj j
a QQ a TP B TP P
Continuité des Pressions et des flux entre deux éléments A et B
1 1 0A,n B,ni iQ Q
A Bi iTP TP
(xi,yi)
Ak
Aj
Ai
AkQ
AjQ
AiQ
(xj,yj)
jAkA
iA (xk,yk)
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3 1
1ij
A A A Ai j
j
Q B P TP
11 2 3
13
A A A A A A AnAP TP TP TP F S P
S
Trouver une nouvelle variable H (par élément) tq :
A A A A A Ai i i i iQ ( H TP )
1 1 2 2 3 3A A A A A A AH TP TP TP
Les coefficients sont obtenus par identification Remarque : Le système précèdent n’est pas linéairement indépendant.Un coefficient est à définir a priori.
Nouvelle formulation
Formulation standard
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(xi,yi)
Ak
Aj
Ai
AkQ
AjQ
AiQ
(xj,yj)
jAkA
iA (xk,yk)
B
AD
C0A B
k k'Q Q
A Bk k'TP TP
Continuité des flux et charges
A A A CA A A A A B A Dj j j jA A B C Di i k k i i k k
AB AC AD AB AC AD
A B A C A DA A A
i j kAB AC AD
H H H Hb b b b b b
b b b
Forme discrétisée complète
A A A A A Ai i i i iQ ( H TP )
1 1 2 2 3 3A A A A A A AH TP TP TP
Nouvelle formulation
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A A A CA A A A A B A Dj j j jA A B C Di i k k i i k k
AB AC AD AB AC AD
A B A C A DA A A
i j kAB AC AD
H H H Hb b b b b b
b b b
Le cas elliptique (avec ou sans termes puits source)
iA
iB
AB
iB
iA
BA
iA
iB
iA
iBb b
AAi A
i
2acot g
avec
La matrice est symétrique. Elle est définie positive si
B A C A D Ai i j j k k
B A D AC A
2 2 2 0cot g cot g cot g cot g cot g cot g
a a a aa a
Dans le cas du problème elliptique sans terme puits source, H peut être interprété comme la charge au centre du cercle circonscrit.
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Le cas parabolique (avec ou sans termes puits source)
Dans le cas de triangles équilatéraux, la matrice est définie positive. Elle peut être rendue symétrique avec un choix adéquat du coefficient choisi a priori (un coef. par élément).
La matrice est généralement non symétrique et non définie positive.
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(b0) (a0)
Dirichlet type boundary
Xk
2 5
0.2 3
1 2
0.02 5
0.01 3 4
0
0
A A Ax xy XA
A A Axy y Y
k k cos sin cos sink
k k sin cos sin cosk
K
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Propriétés des EFMH
La charge et la vitesse sont approchées simultanément P q
La masse est conservée localement
Continuité des flux et des charges sur les facettes de chaque maille
Résolution en traces de charge : matrice symétrique définie positive
nf nf
La matrice obtenue n’est en général pas une M-matrice
La propriété de M-matrice garantie le principe du maximum discret : Dans un domaine sans terme puits/source, il ne peut y avoir de maximum ou de minimum local dans la solution en P obtenue.
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(xk,yk)
(xi,yi)
(xj,yj)
jAkA
iA
k
A Bii ii iim m m
2
1 1 033
r rA jki
ji
km a aA
a
Le terme sur la diagonale
21 123 33
r rij
k kik
j am cot aA
Le terme hors diagonale
c At
Matrice des EFMH
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0iim
0
60
0
0
0 40 89
40 89 9090
k
C
k
k
k
tanij
ij
ij
&
.
. t tsi
si
msm i
m
Régime transitoire ( )
618C
ktgc A at
0 ?ijm &
Régime permanent ( )0 0
0 9090
k
kij
ij simm
si
i
j
jAkA
iA
k
Pour une triangulation à angles aigus, les EFMH donnent une M-matrice
Dans le cas du régime permanent
Dans le cas du régime transitoire si Ct t
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2. Dans le cas du régime permanent, le système en TP obtenu en écrivant la continuité des flux avec les EFMH est le même qu’avec les
La pression et la vitesse peuvent être approchés en deux étapes :
P est approchée via la méthode des éléments finis non conformes . Ensuite, la vitesse est approchée dans chaque éléments via l’espace RT0
1,0ncP
Remarques
1. L’utilisation d’une approximation permet de diagonaliser la matrice élémentaire B et abouti ainsi à une procédure de condensation de masse (triangle ou rectangle).
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Continuité des charges et des flux entre deux éléments A et B A Bi iTP TP
03 3 3 3A B
A B A Bi ii i i i B BA A
A A B BTP TPQ Q Q f c Q f ct t
La méthode EFMH avec condensation de masse Sur l’élément A l’espace RT0A Aq X
3
1
A Ai iA
iq Q
Le flux sur chaque facette Ai est donné par
3 3AA iii A
A A TPQ Q f c t
AiQ correspond au cas stationnaire sans terme puits/source :
3 3 31 1
1 1 1
i jij j ij j ij j
j j
Ai
jQ a TP a B TP a B TP
(xi,yi)
Ak
Aj
Ai
AkQ
AjQ
AiQ
(xj,yj)
jAkA
iA (xk,yk)
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Matrice des EFMHC
Le terme sur la diagonale
A Bii ii iim m m 2
3Ajk jkA i
iic Ar r
m a tA
(xk,yk)
(xi,yi)
(xj,yj)
jAkA
iA
k
Régime permanent (c = 0)
0
0 2
2
k
kij
ij si
m si
m
Régime transitoire
0
0 2
2
k
kij
ij si
m si
m
Le terme hors diagonale
2Aij km a cot
12 33
ij km cot a c A
t (EFMH)
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Expériences numériques
1D
2D
N
Pq c 0 in 0,Ttq a P in 0,T
P( x,0 ) 0 inP 1 on 0,T
P 0 on 0,T
q. 0 on 0,T
N 0
N 0
D 1 D 0
Domaine et CL
Solution analytique
2
3 21 2 1 2 1 2 1 2
0
4 416 4 4 4
tx y y xP x,y,t erf erf exp da a a a
0 005t T .
1c1a
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t 0.001 0.5
Pmin Erreur Pmin Erreur
Mesh a
EFMH -0.49 3.10-3 0.00 1.10-2
EFMH_C 0.00 5.10-5 0.00 1.10-2
Mesh b
EFMH -0.16 5.10-4 0.00 1.10-2
EFMH_C 0.00 1.10-4 0.00 1.10-2
Mesh cEFMH -0.26 5.10-3 -7.10-3 9.10-3
EFMH_C -9.10-4 9.10-5 0.00 8.10-3
Mesh d
EFMH -0.27 5.10-3 0.00 9.10-3
EFMH_C -1.10-3 1.10-4 0.00 8.10-3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Pre
sure
Distance (m)
analyt EFMH EFMH_C
Résultats
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
10
a
b
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
10
c
d
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Pressure (cm)
-1000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0
Dep
h (c
m)
02468
1012141618202224262830
Solution de PhilipMHFEMFDL_MHFEM
Pressure (cm)
-1000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0
Dep
h (c
m)
02468
1012141618202224262830
analytical solutionMHFEMFDL_MHFEM
Uns
at. p
orou
s med
ia
Output h=-1000 cm
Input h=-75 cm
0h KK ht z z z
Ecoulement en milieux non saturés
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Conclusion : La formulation à une inconnue 1. Nous avons construit une formulation pour la MEFM appliquée aux
triangles.Le nombre d’inconnues avec cette formulation est le nombre total d’élément pour le problème elliptique et parabolique pour une triangulation quelconque.
2. Pour le problème elliptique avec termes puits source (la plupart des cas étudiés), on obtient une matrice symétrique qui peut être définie positive. Dans ce cas, la nouvelle formulation est très attractive en terme de temps CPU.
3. Pour le problème parabolique, la matrice est, en général, non symétrique et non définie positive.
4. La méthode peut être étendue aux tétraèdres réguliers.
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4. Les EFMHC sont simples à implémenter dans les codes basés sur les EFMH .
1. Les EFMHC donnent toujours une matrice symétrique définie positive (solvers itératifs).
2. Les EFMHC donnent une M-matrice uniquement dans le cas d’une triangulation à angles aigus.
3. Les EFMHC peuvent être utilisés dans le cas où la conductivité est un tenseur plein.
Conclusion : Les EFMHC