Profilen Teknisk matematik
Syfte och målgrupp
• Många tillämpningsområden kräver avancerad matematik.
Exempelvis Datortomografi, Kartläggning av gener, pris-
sättning av optioner, etc.
• Avancerade matematiska metoder används i industrin.
• Efterfrågan finns på civilingenjörer med solid bakgrund
inom matematik. Profilen vänder sig till den som är
intresserad av matematik och som gärna letar efter en
teoretisk kärna i olika praktiska problem.
Profilansvarig: Joakim Arnlind.
March 20, 2018 Sida 1 / 23
Profilen Teknisk matematik
Kurskrav Obligatoriska kurser (36 hp)
• Stokastiska processer (6hp)
• Funktionalanalys (6hp)
• Numerisk linjär algebra (6hp)
• Optimeringslära fortsättningskurs (6hp)
• Projekt i tillämpad matematik, CDIO (12 hp) eller
Reglerteknisk projektkurs, CDIO (12hp)
Dessutom
Minst 12hp från en lista valbara kurser och totalt 30hp Matematik
på avancerad nivå. Relativt mycket valfrihet inom profilen.
March 20, 2018 Sida 2 / 23
Profilen Teknisk matematik
Mer Information
• LiU > MAI > Grundutbildning
Finns lista på valbara, och avancerade, kurser i Matematik.
Doktorandkurser kan vara av intersse.
March 20, 2018 Sida 3 / 23
Beräkningsmatematik
• Utveckling och analys av numeriska metoder och algoritmer
för lösning av problem huvudsakligen från teknik och natur-
vetenskap.
• Viktiga frågeställningar är noggrannhet, stabilitet, och
effektivitet hos numeriska approximationer och hos
datorimplementation.
• Forskningen inom numerisk lösning av partiella differential-
ekvationer. Främst multi-fysik problem där kopplingen mellan
olika ekvationer är en viktig del av den numeriska metoden.
• Forskning inom lösning av illa-ställda problem.
“Remote-sensing” tillämpningar.
Kontaktperson Fredrik Berntsson
March 20, 2018 Sida 4 / 23
TANA15 Numerisk Linjär Algebra, 6 hp
Kursinnehåll och mål
• Metoder och begrepp från linjär algebra har en central roll i
många tekniska tillämpningar. Exempel: Reglerteknik, Bild–
och Signalbehandling, Datautvinning, Partiella Differential
Ekvationer, mfl.
• Vanliga “standard matris faktoriseringar” presenteras. Förståelse
ges för både faktoriseringarnas egenskaper samt metoder för att
beräkna dessa.
• Vanliga problem från tekniska tillämpningar formuleras om så att
standard faktoriseringarna används vid lösningen av problemen.
Innehåll LU-uppdelning, SVD, QR-faktorisering. Egenvärden.
Algoritmer och Tillämpningar. Icke-linjära ekvationssystem och
minsta kvadratproblem. Metoder för glesa matriser.
March 20, 2018 Sida 5 / 23
Tillämpning: Bildbehandling
Exempel Vi har ett foto där fokus hamnat fel. En modell av optiken
ger ett linjärt samband Iblur = A · Iexakt. Bilden har dimension
256 × 256 vilket ger en matris A av dimension 65536 × 65536.
Teori Glesa matriser. Conjugerade gradient metoden. Regularisering
och modifierade normalekvationer.
March 20, 2018 Sida 6 / 23
TANA31 Beräkningsmetoder för PDE och ODE, 6 hp
Kursinnehåll och mål
• Många viktiga problem beskrivs med partiella eller ordinära
differentialekvationer. Det är viktigt att kunna lösa sådana snabbt
och effektivt.
• Numeriska metoder för att lösa differential ekvationer bygger på
kunskap om den ekvation man löser. Kursen behandlar finita
differens metoden.
Innehåll Rättställdhet. Randvärden. Typer av differentialakvationer.
Finita differens metoden. Tidsstegningsmetoder. Styvhet.
Beräkningsnät. Stabilitet och Konvergens.
March 20, 2018 Sida 7 / 23
Matematik och Tillämpad Matematik
Valbara och obligatoriska kurser
• TATM85 Funktionalanalys, 6hp.
• TATA27 Partiella differentialekvationer, 6hp.
• TATA55 Abstrakt algebra, 6hp.
• TATA78 Komplex analys fk, 6hp.
• TATA71 Ordinära differentialekvationer och
dynamiska system, 6hp
Kontaktperson Joakim Arnlind ([email protected])
March 20, 2018 Sida 8 / 23
Matematisk statistik
Matematisk statistik handlar om
• Sannolikhetslära - Konstruera och analysera matematiska
modeller för slumpförsök.
• Statistisk inferens - Utnyttja observationer från slumpförsök för
att skaffa sig kunskap om sådant som inte kan direkt observeras.
Matematisk statistik är intressant för samtliga profiler inom
Y-programmet.
Kontaktperson Martin Singull ([email protected])
March 20, 2018 Sida 9 / 23
TAMS32 - Stokastiska processer, 6hp (HT1)
Kursen behandlar familjer av beroende stokastiska variabler
{Xt; t = 1, 2, . . .} eller {Xt; t ≥ 0}.
Alla storheter som beror både av tiden och av slumpen modelleras
som stokastiska processer.
I kursen ges baskunskaper om fyra slag av stokastiska processer:
• processer med oberoende inkrement (tex. Brownsk rörelse).
• martingaler.
• stationära processer.
• Markovkedjor.
Många tillämpningsområden, tex. signalteori, reglerteknik,
finansmatematik, bioteknik och medicinsk teknik.
March 20, 2018 Sida 10 / 23
TAMS46 - Sannolikhetslära fk., 6hp (HT1, ej 2019)
Kursen ger en matematisk ”verktygslåda” som möjliggör konstruktion
och analys av mer avancerade statistiska modeller än som är möjligt
med enbart grundkurskunskaper.
Kursen behandlar bland annat
• transformationssatsen,
• momentgenererande och karakteristisk funktion, samt
• sannolikhetslärans olika konvergensbegrepp, inklusive
metoder för att bevisa de olika slagen av konvergens.
Kursen är nyttig som förberedelse för högre kurser i sannolikhetslära,
statistik, signalteori, reglerteknik mm.
March 20, 2018 Sida 11 / 23
TAMS22 - Sannolikhetslära och Bayesianska nätverk, 6hp (HT1, ej 2019)
Kursen behandlar en särskild typ av statistiska modeller, där de
stokastiska variablerna är beroende på ett sätt som kan beskrivas
med hjälp av en riktad acyklisk graf.
• Kursen tar upp de verktyg som används vid analysen av sådana
modeller, såsom grundläggande grafteori och sk. Bayesiansk
statistik.
• Exempel på tillämpningsområden: processkontroll, medicinsk
diagnostik, maskininlärning och artificiell intelligens.
March 20, 2018 Sida 12 / 23
TAMS39 - Multivariat statistik, 6hp (HT1, ej 2020)
Kursen ger en introduktion till multivariat statistisk analys, både teori
och metoder. Teorin diskuterar bland annat
• multivariata normalfördelning,
• kvadratiska former,
• elliptiska fördelningar,
• Wishartfördelning.
Kursen tar även översiktligt upp andra metoder för att analysera
observationer av flerdimensionella stokastiska variabler, som tex
• linjära modeller,
• principalkomponentanalys, och
• klusteranalys.
Exempel på tillämpningsområden: riskhantering, bildbehandling,
marknadsundersökningar, mm.
March 20, 2018 Sida 13 / 23
TAMS38 - Försöksplanering och biostatistik, 6hp (HT2)
Kursen ger metoder för att analysera hur väntevärden för en modell
beror av olika förklaringsvariabler, samt för hur försöken skall
planeras för att underlätta analysen. Kurs behandlar den
• allmänna linjära modellen,
• generaliserade linjära modeller
och tar även upp bla.
• varianskomponentmodeller och
• responsytor.
Många tillämpningsområden, tex. kvalitetskontroll och
kvalitetsstyrning, kliniska tester av läkemedel mm.
March 20, 2018 Sida 14 / 23
TAMS17 - Statistisk teori fk, 6hp (HT2, ej 2020)
TAMS17 är en kurs i teoretisk statistik. TAMS17 behandlar
härledning av punktskattningar, test och konfidensintervall
från generella principer, samt konstruktion av optimala
punktskattningar och test.
Tar upp viktiga begrepp som
• tillräcklighet, fullständighet och ancillaritet.
• Tar även upp asymptotiska egenskaper, dvs. då antalet
observationer i ett stickprov växer mot oändligheten,
samt beslutsteori och Bayesiansk statistik, vilken skiljer
sig från ”vanlig” statistik genom att alla okända parametrar
betraktas som stokastiska variabler.
March 20, 2018 Sida 15 / 23
TAMS29 - Stokastiska processer för finansmarknadsmodeller, 6hp (VT1)
Behandlar de vanligaste statistiska modellerna inom finans-
matematiken, för tex. aktiekurser och räntor. Martingaler
är ett viktigt redskap.
• Grundläggande begrepp som arbitrage och hedging gås
igenom, liksom principer för prissättning av betingade
kontrakt, t.ex. optioner.
• I ett avsnitt om modeller i kontinuerlig tid tas bl.a. stokastiska
integraler och Black-Scholes’ formel upp.
• Kursen är särskilt nyttig för dem som vill specialisera sig
inom finansområdet.
March 20, 2018 Sida 16 / 23
Kurser inom Optimeringslära
Obligatorisk
TAOP24 Optimeringslära fortsättningskurs Y
Valbara
TAOP04 Matematisk optimering
TAOP34 Optimering av stora system
TAOP87 Projekt i tillämpad optimering
Dessutom ett flertal Doktorandkurser som ges regelbundet.
Kontaktperson Torbjörn Larsson
March 20, 2018 Sida 17 / 23
TAOP24 Optimeringslära fk. Y, 6hp (VT2)
• En fortsättning på TAOP07 Optimeringslära grundkurs Y.
• Mer om olika optimeringsproblem, teori, metoder och
tillämpningar. Ger både en breddning och en fördjupning
av ämneskunskaperna.
• Tre laborationer. Mycket modellering av optimeringsproblem.
• Examineras med skriftlig tentamen.
• Innehåll:
Nätverksoptimering: modellering, minkostnadsflöden,
maxflöden.
Heltalsoptimering: modellering, heuristiker.
Dynamisk programmering (tidsindelad optimering).
Icke-linjär optimering: konjugerad-gradient-metoder,
kvasi-Newton-metoder, kvadratisk programmering.
March 20, 2018 Sida 18 / 23
TAOP04 Matematisk optimering, 6hp (HT2)
• Förkunskapskrav: Någon grundkurs i optimeringslära.
• Ett urval av metodprinciper inom icke-linjär optimering.
• Innehåll:
Algoritmiska avbildningar och konvergensanalys.
Metoder för exakt och approximativ linjesökning.
Obegränsad optimering utan derivator.
Obegränsad optimering med derivator:
Konjugerad-gradient-metoder och kvasi-Newton metoder.
Begränsad optimering: Sekvensiell linjärprogrammering och
sekventiell kvadratisk programmering.
Minsta-kvadrat-problem: Gauss-Newton metoder.
• Examineras med inlämningsuppgifter: blandning av
teoriuppgifter, räkneuppgifter och implementeringar i Matlab.
March 20, 2018 Sida 19 / 23
TAOP34 Optimering av stora system, 6hp (HT1)
• Förkunskapskrav: Någon grundkurs i optimeringslära.
• Ett urval av metodprinciper för linjära optimeringsproblem och
heltalsproblem som är storskaliga och strukturerade.
• Exemplifieringar på ekonomiska och tekniska tillämpningar.
• Innehåll:
Avancerad linjärprogrammering och kolumngenerering.
Dantzig-Wolfe dekomposition.
Lagrange-relaxation och subgradientoptimering.
Tillämpningar på problem inom till exempel transport- och
produktionsplanering och konstruktionsoptimering.
• Tre laborationer på tillämpningar av lösningsmetoder.
• Examineras med redovisningar av uppgifter: blandning av
teoriuppgifter, räkneuppgifter och tillämpningar.
March 20, 2018 Sida 20 / 23
TAOP87 Projekt i tillämpad optimering, 6hp (VT2)
• Förkunskapskrav: Någon grundkurs i optimeringslära.
• Ren projektkurs: självständigt arbete under handledning.
• Avser att ge övning i användning av optimeringsmetodik och
kreativ problemlösning, samt träning i skriftlig och muntlig
framställning på engelska.
• Projekt: Konstruktion och utvärdering av optimeringsansatser för
realistiska beslutsproblem.
• Ny optimeringsmetodik kan ingå, beroende på val av projekt.
• Två projekt som görs i större grupper.
• Examination med skriftlig och muntlig redovisning av projekt.
• Betyg bestäms av projektens genomförande och redovisning.
March 20, 2018 Sida 21 / 23
Examensarbeten
Examensarbetet
• De flesta tekniska tillämpningar kan göras till examensarbeten
inom något av ämnesområdena vid MAI.
• De flesta gör externa arbeten vid företag.
Exempel Differentialekvationer, Bildbehandling, Datorgrafik,
Datautvinning, Finansiellmatematik, Dataanalys, Logistik,
Snöröjning, Frekvensallokering.
Hemsida MAI > Grund utbildning > Examensarbete
Kontaktperson Fredrik Berntsson
March 20, 2018 Sida 22 / 23
Kandidatexamen i Matematik
Kandidatexamen
• För att skaffa större bredd inom matematik finns möjligheten att
skaffa en kandidatexamen.
• Kräver några ytterligare kurser på grundnivå (Diskret matematik,
Algebra,. . . ) och någon ytterligare avancerad kurs.
Examenskrav
• Totalt 180hp. Tillräckligt med matematikkurser.
• Ett självständigt arbete på 16hp.
Studievägledare hjälper till med planneringen.
March 20, 2018 Sida 23 / 23