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PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
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PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r. Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se
Aplicação:
1) A sequência de termos: 5, 15, 45, 135, 405, ... é uma progressão geométrica?
2) E a sucessão de termo geral un = 2n ?
Para nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão geométrica temos que comprovar que o quociente entre cada termo e o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos também o valor da razão da progressão.
11 ,n
n nn
aa a r r n IN
a
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11
nna a r
Termo geral de uma progressão geométrica
A expressão do termo geral de uma progressão geométrica (an) encontra-se observando que: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2
a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3
a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4
Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas quantidades: A primeira é sempre a1
A segunda é uma potência de base r e exponente um certo número, que se obtém subtraindo uma unidade ao índice.
A expressão do termo geral é: Pode-se também facilmente provar que: . Expressão que permite obter a expressão do termo geral a partir de qualquer termo da progressão (não apenas a partir do primeiro).
n kn ka a r
P R O G R E S S Õ E SG E O M É T R I C A S
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Aplicação: Escreve a expressão do termo geral das progressões geométricas em que:
1) u1 = 10 e un+1 = 4un
2) u1 = 36 e u3 = 4
3)
1 2 4 8 16 ...
n
vn
O
16
-2
4
-8
-32
4)
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
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Se a razão de uma progressão
geométrica é maior que 1 e
u1 > 0, a progressão é:
estritamente crescente e…
não limitada.
E se u1 < 0?
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Comportamento de uma progressão geométrica
n
an
n
bn
O
O
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Se a razão de uma progressão geométrica
está compreendida entre 0 e 1 e
u1 > 0, a progressão é:
estritamente decrescente e…
limitada.
E se u1 < 0?
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
n
cn
O
n
dn
O
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Se a razão de uma progressão geométrica é igual
a 1, a progressão é:
constante
limitada
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Se a razão de uma progressão geométrica é igual
a -1, a progressão é:
não monótona
limitada
n
fn
O
n
gn
O
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Se a razão de uma progressão
geométrica é maior que -1 e menor
que 0, a progressão é:
não monótona e…
limitada.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Se a razão de uma progressão
geométrica é menor que -1, a
progressão é:
não monótona e…
não limitada.
n
hn
O
n
ln
O
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0 1
u1 > 0 - Crescente Não limitada
progressão constante
N ã o m o n ó t o n a
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
• Progressão geométrica (un)
• Razão: r• 1º termo: u1
u1 < 0 - Decrescente Não limitada
u1 > 0 - Decrescente
Limitada
-1
Limitada
Não limitada
razão - r- +
Em resumo: comportamento de uma progressão geométrica
u1 < 0 - Crescente Limitada
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Aplicações:
1. Dá exemplo de uma progressão geométrica (un) que satisfaça a
condição:
a) tenha primeiro termo positivo e seja decrescente;
b) tenha primeiro termo positivo e seja não monótona;
c) seja estritamente crescente e tenha razão positiva menor que
1;
d) tenha o primeiro termo negativo e seja estritamente
decrescente.
2. Considera a sucessão (vn) de termo geral:
vn = 5 x 21-n
e) Mostra que é uma progressão geométrica.
f) (vn ) é monótona? Justifica.
g) (vn ) é limitada? Justifica.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
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A LENDA DO JOGO DE XADREZ
Diz a lenda que um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez, que ordenou ao seu inventor que pedisse a recompensa que desejasse. O inventor (provavelmente um matemático experiente...) pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, até se percorrerem todas as casas do tabuleiro.
Conta-se que o imperador ficou estupefacto, tendo até considerado, que era afrontoso o pedido do inventor por se tratar de coisa tão insignificante!
Contudo, o inventor manteve o pedido e insistiu que lhe bastava vê-lo concretizado...
Quantos grãos de trigo pediu, afinal, o inventor do jogo de xadrez?
Soma de n termos consecutivos de uma
progressão geométrica
PROGRES SÕESGEOMÉTR I CAS
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2 3 62 63
64
2 3 62
S 1 2 2 2 ... 2 2
1 2 1 2 2 2 ... 2
2 3 61 62 63641 2 2 2 ... 2 2 S 2
Resolução:
Ora,
Donde:
64
64
63 6464 64 64 64S 1 2 S 2 S 1
2
2
1
S 2
S
1 2 4 8 16 32 64 128
18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo!!!
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
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Aplicação:
Se uma progressão geométrica tem o termo geral ,
calcula a soma dos seus primeiros 21 termos .
112
n
nu
1
11
1
n
n
rS u r
r
A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica é dada por
Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r a razão.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
com
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Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V
a.C., formulou alguns paradoxos (*) com os quais pretendia contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as quais, por exemplo, o tempo era uma soma de instantes e o movimento uma soma de deslocamentos.
Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado “Paradoxo de Aquiles e da tartaruga”.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
(*) Paradoxal é tanto aquilo que encerra uma contradição como o que vai contra a opinião comum. É o inverosímil, o absurdo, mas também o estranho.
In Epsilones
Soma de todos os termos de uma progressão geométrica
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Paradoxo de Aquiles e da tartaruga
Aquiles corre para apanhar uma tartaruga
mas nunca chegará a alcançá-la porque,
quando atingir o lugar onde estava a
tartaruga, já ela lá não estará porque
entretanto se deslocou; e esta situação
repete-se indeterminadamente… Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduz a uma conclusão que a realidade mostra ser falsa.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
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Consideremos o exemplo:
Suponhamos que Aquiles se desloca 10 vezes mais depressa que a tartaruga e que esta partiu com um avanço inicial de 100 metros.
- Justifica que estamos em presença de duas progressões geométricas (a de Aquiles e a da tartaruga).
- O 1º termo de cada uma das progressões é: … e …
- A razão de cada uma das progressões é: … e ….
- Como a determinar distância percorrida por Aquiles e pela tartaruga?
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
lim nS S
Teremos que ter em atenção que:
A soma S, de todos os termos de uma progressão geométrica (un) em que o
primeiro termo é u1 e a razão é r, é:
Se , (Sn) é convergente e diz-se que é a soma de todos os termos.
1
1lim
1
nrS u
r
1r 1
1u
Sr
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1 11 1 lim
1 1 1 010 1010 1 ... lim 100 100 1001 9 910 10
10 1
10
100009
10 10
0
n n
A distância (em metros) a percorrer por Aquiles é,
então:
*
* A noção rigorosa de limite de uma sucessão será estudada no tema seguinte.
n n1 11 1 lim
1 1 1 010 1010 1 ... lim 11
0 10 101 9 910 100 1
10 10 10
009
Por outro lado, a tartaruga percorre (em metros):
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10009
Como é igual conclui-se que Aquiles
alcança a tartaruga depois de ter percorrido
1001009
10011,(1)
9100 1 11 , )0 (10 1
Só o cálculo de limites e a teoria de conjuntos permitiu
esclarecer (23 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão, cuja
solução exige o cálculo da soma de todos os termos de uma
progressão geométrica.
O argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto,
infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que
conduz ao paradoxo.
In Epsilones (Ver anexo)
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1.A partir de um quadrado com 16 cm2 de área foi gerada uma
sequência de figuras em que os quatro primeiros elementos estão a
seguir representados.
A sequência dos valores das áreas das partes sombreadas são os
termos da sucessão (an)
a) Mostra que
b)Verifica que (an) é uma progressão geométrica e indique a sua
razão.
c) Calcula a soma das áreas das partes sombreadas do 3º ao 10º
elementos da
sequência. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
4
1,
2n na n IN
Aplicações
PROGRESSÕESGEOMÉTR ICAS
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2. Sabe-se que a população de uma determinada cidade, com 50 mil
habitantes, aumenta a uma taxa de 2% ao ano.
Admitindo que se mantém esta taxa de crescimento:
a) Justifica que a população desta cidade, daqui a n anos, é dada,
em milhares de habitantes, por Pn = 50 x (1,02)n
b) Utiliza a calculadora para determinar quantos anos são
necessários para que a população desta cidade duplique. Num
breve texto explique como procedeu.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
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3.As reservas naturais de petróleo em determinado país no começo
de 1980 eram de 12 mil milhões (12×109 ) de toneladas. A
extração nesse ano foi de 120 milhões (1,2×108 ) de toneladas.
a) Se o ritmo de extração se mantivesse todos os anos igual ao de
1980, em que ano as reservas ficariam esgotadas?
b) Supõe que todos os anos a extração de petróleo é reduzida em
2% em relação ao ano anterior, a começar em 1980.
b1)Escreve o termo geral da sucessão que dá a quantidade de
petróleo, em toneladas, extraída em cada ano, desde 1980.
b2)Com esta redução é possível consumir indefinidamente?
Justifica.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
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Curva de Von Koch (ou curva floco de neve)
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Proposta de trabalho:Depois de estudarem a curva de Von Koch, cometem a afirmação:“Apesar de a curva de Von Koch ter perímetro infinito, a área por ela limitada é finita.”
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AnexoTraduzido de “Paradoja de la dicotomía”
de Epsilones – autor: Alberto Rodríguez
Santos, uma página que
recomendo vivamente, em
http://www.epsilones.com/
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Este argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto, infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz ao paradoxo.
Vamos primeiro ver o que faz com o espaçoSuposição: o espaço é infinitamente divisível
Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar quantidades infinitas e o resultado ser finito.
Um exemplo simples é o das progressões geométricas, que são aquelas sequências em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma quantidade constante chamada razão.
Se esta razão é menor do que 1 pode ser facilmente mostrado que a soma infinita de termos da sequência é obtida pela expressão S = a1/(1 - r), em que a1 é o primeiro dos termos.
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De facto: aplicando a expressão anterior para a soma, temos:
A situação levantada por Zenão é essencialmente a mesma: suponhamos que a distância a percorrer é L. Então, os intervalos a percorrer pelo atleta serão L/2, L/4, L/8 ..., que são os termos de uma progressão geométrica de razão 1/2, cuja soma é a seguinte:
Isto é, não há qualquer problema em subdividir o espaço infinitamente.
Uma progressão particularmente intuitiva é 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ... Parece claro que se tomarmos a primeira metade da unidade e, em seguida, metade do que resta, e então metade do que resta, e assim até "ao infinito", acabamos tendo toda a unidade:
12 1
11
2
S
1
2...12 4 8 2 12
nn
LL L L L
L
A B
1/2 1/4 1/8
1/16
1/32
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E o tempo?
Se a velocidade do atleta é v (que, por comodidade, iremos considerar constante), o tempo que leva a percorrer o primeiro intervalo será L/2v, o segundo L/4v, e assim por diante. Zenão neste ponto considera que o corredor nunca poderá atingir a meta porque percorrer um número infinito intervalos levaria um tempo infinito. Mas está equivocado: se somarmos todos os tempos, tem-se:
que é uma quantidade tempo finita.
ConclusãoA não ser que alguma razão nos impeça, se aceitarmos a continuidade do espaço, devemos aceitar a do tempo, o que nos autoriza a percorrer um número infinito de intervalos espaciais num espaço de tempo finito.Deve notar-se que os cálculos anteriores não demostram que o movimento seja possível, mas que o argumento de Zenão não é correto.
1
2...12 4 8 2 12
nn
LL L L L Lvv v v v v
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O mundo físico
Até agora temos falado em termos puramente matemáticos. Mas o
que diz a Física? Diz que ainda que não conheçamos a
microestrutura detalhada do espaço-tempo sabemos que não pode
ser cortado ilimitadamente. Para observar um detalhe é necessário
um comprimento de onda menor do que o próprio detalhe. Para
que o comprimento de onda seja menor deve aumentar-se a
energia, mas isso só pode ser feito até um certo limite, pois
alcançado este limite, a concentração de energia produziria um
buraco negro. O comprimento em que isto acontece, o mais baixo
possível, é conhecido como constante de Plank. O tempo de
Plank é o tempo que a luz leva para atravessar essa distância.
Uma vez que nada viaja mais rápido do que a luz, este é o tempo
mínimo possível. Abaixo desta distância e deste tempo nada pode
ser observado e a realidade deixa de fazer sentido.
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Se isto é verdade (não nos esqueçamos que estamos a falar de física
e, portanto, de teorias), estaríamos num espaço-tempo discreto e o
paradoxo de Zenão desvanecer-se -ia automaticamente uma vez que,
como vimos, o argumento de Zenão parte da suposição de um
espaço infinitamente divisível.
Uma variante
Antes de chegar ao ponto médio de A e B, isto é, I1, o corredor deve
chegar ao ponto médio de A e I1, isto é, I2. E antes de chegar a I2
deveria atingir o ponto médio de A e I2, isto é, I3. Repetindo o
processo indefinidamente mergulharíamos o corredor numa estranha
imobilidade, pois antes de alcançar qualquer ponto do percurso
deveria ter passado por um número infinito de outros pontos.
In Epsilones
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Maria José Vaz da Costa
Bibliografia: Novo Espaço
Matemática A -11º ano
Autores: Belmiro Costa
Ermelinda Rodrigues
Infinito 11
Matemática A -11º ano
Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves
Cristina Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo
Manuela Simões
Epsilones: autor: Alberto Rodríguez Santos| http://www.epsilones.com/
Auguries of InnocenceTo see a world in a grain of sand,And a heaven in a wild flower,Hold infinity in the palm of your hand,And eternity in an hour.[...]William Blake, Auguries of Innocence.