Download - Programmering i matematikundervisningen
ÖREBROUNIVERSITETÄmneslärarprogrammetMatematikSjälvständigtarbeteAvanceradnivå,15pHT2019
Programmeringimatematikundervisningen
Enkvalitativstudieomhurprogrammeringkananvändasförattutvecklagymnasieeleversresonemangsförmåga
AmandaScherdin
Handledare:AndreasEckert
1
Abstract In the Swedish curriculum for primary and secondary school, programming is described
as a useful tool for developing student learning in mathematics. The purpose of this study
is to investigate how digital learning environment in programming can develop students'
ability to reason in algebra. For this study two research questions have been designed: 1)
What are the key aspects of a process of learning of high school students´ creative
reasoning in mathematics, based on an assignment about arithmetic sequence in a
programming environment? and 2) What phases in the student's programming process is
allowing creative mathematical reasoning? The theoretical framework of this study is
based on a qualitative research method, computational thinking and creative
mathematical reasoning. The result has identified design principles and the key aspects in
the process of learning mathematics in and by programming. The students developed
creative mathematical reasoning in three phases of the programming process, abstracting,
sub-solving and testing. With this study I want to contribute with a result that teachers of
mathematics can find useful and implement when teaching.
Title in English Programming in mathematics education. A qualitative study about how programming can
be used to develop students' reasoning ability.
2
Sammanfattning I svenska läroplanen för grundskolan och gymnasieskolan beskrivs programmering som
ett användbart verktyg för att utveckla elevers lärande i matematik. Syftet med den här
studien är att undersöka hur digitala lärmiljöer i programmering kan skapa möjligheter att
utveckla elevers förmåga att föra resonemang i algebra. Två forskningsfrågor har
utformats: 1) Vad utgör nyckelaspekter i en hypotetisk lärandebana över gymnasieelevers
kreativa resonemang i matematik, baserat på en uppgift om aritmetisk talföljd i en
programmeringsmiljö? och 2) I vilka faser av elevens programmeringsprocess möjliggör
matematikuppgiften kreativa matematiska resonemang? Studien tar sin utgångspunkt i en
kvalitativ forskningsmetod med datalogiskt tänkande och kreativa matematiska
resonemang som teoretiskt ramverk. Resultatet har identifierat designprinciper och
nyckelaspekter i hypotetiska lärandebanan som bidrar till lärande i matematik med hjälp
av ett programmeringsverktyg. I programmeringsprocessens tre faser, abstrahera,
dellösning och testa utvecklade eleverna sitt kreativa matematiska resonemang. Studien
bidrar med ett resultat som matematiklärare kan använda i sin undervisning.
Nyckelord Matematikundervisning, programmering, design research, kreativa matematiska
resonemang.
3
Innehållsförteckning 1.1 SYFTE OCH FORSKNINGSFRÅGOR ................................................................................................................... 5
2. BAKGRUND .............................................................................................................................................. 5 2.1 PROGRAMMERING I SKOLAN .......................................................................................................................... 5 2.2 PROGRAMMERINGSDIDAKTIK ........................................................................................................................ 7 2.3 PROGRAMMERINGSPROCESSEN ...................................................................................................................... 9 2.4 SAMMANFATTNING BAKGRUND ................................................................................................................... 11
3. TEORI ..................................................................................................................................................... 11 3.1 DATALOGISKT TÄNKANDE ........................................................................................................................... 11
3.1.1 Datalogiskt tänkande och programmering .......................................................................................... 12 3.2 KREATIVA MATEMATISKA RESONEMANG ..................................................................................................... 13
4. METOD ................................................................................................................................................... 14 4.1 VAL AV FORSKNINGSANSATS ....................................................................................................................... 14
4.1.1 Utbildningsvetenskaplig designforskning ............................................................................................ 15 4.2 DELTAGARE I STUDIEN ................................................................................................................................. 16 4.3 PLANERAD LEKTION .................................................................................................................................... 17 4.4 DATAANALYS .............................................................................................................................................. 18 4.5 TILLFÖRLITLIGHET ...................................................................................................................................... 20 4.6 ETISKA ASPEKTER ........................................................................................................................................ 21
5. RESULTAT ............................................................................................................................................. 22 5.1 FORSKNINGSFRÅGA 1: MATEMATIKUPPGIFTENS DESIGN ............................................................................. 22
5.1.1 Hypotetiska lärandebanan .................................................................................................................. 22 5.1.2 Matematikuppgiftens utformning ........................................................................................................ 24 5.1.3 Utvärdering och revidering av första lektionen .................................................................................. 25 5.1.4 Utvärdering och revidering av andra lektionen .................................................................................. 27 5.1.5 Nyckelaspekter i hypotetiska lärandebanan ........................................................................................ 29 5.1.6 Sammanfattning design ....................................................................................................................... 32
5.2 FORSKNINGSFRÅGA 2: ANALYS AV PROGRAMMERINGSPROCESSEN AV ASPEKTER AV KREATIVA RESONEMANG .................................................................................................................................................... 32
5.2.1 Abstrahera ........................................................................................................................................... 33 5.2.2 Delproblem ......................................................................................................................................... 34 5.2.3 Testa .................................................................................................................................................... 36 5.2.4 Sammanfattning programmeringsprocessen ....................................................................................... 37
6. DISKUSSION .......................................................................................................................................... 38 6.1 RESULTATDISKUSSION ................................................................................................................................. 38
6.1.1 Matematikuppgiftens design ................................................................................................................ 38 6.1.2 Analys av programmeringsprocessen av aspekter av kreativa resonemang ....................................... 42
6.2 METODDISKUSSION ...................................................................................................................................... 44 6.3 STUDIENS KUNSKAPSBIDRAG ....................................................................................................................... 45
7. REFERENSER ........................................................................................................................................ 48 8. BILAGOR ................................................................................................................................................ 51
8.1 BILAGA A: MISSIVBREV .............................................................................................................................. 51 8.2 BILAGA B: INLEDNING OCH INSTRUKTIONER INFÖR GENOMFÖRANDE AV STUDIE ........................................ 52 8.3 BILAGA C: INSTRUKTIONER TILL ATT ANVÄNDA FSCAPTURE (DATAINSAMLING) ........................................ 53 8.4 BILAGA D: MATEMATIKUPPGIFT – ARITMETISK TALFÖLJD .......................................................................... 54 8.5 BILAGA E: MATEMATIKUPPGIFT – ARITMETISK TALFÖLJD (REVIDERING) ................................................... 59
4
1. Inledning Under hösten 2018 omarbetades styrdokumenten för matematikämnet och programmering
infördes som ett centralt innehåll i både grundskolan och gymnasieskolan (Skolverket, 2011).
Matematik och programmering går hand i hand och matematikämnets teoretiska delar kan
tränas praktiskt i programmering och därmed betraktas som ett undervisningsverktyg (Lovric,
2018). Programmering innebär att arbeta i en programmeringsprocess med utgångspunkt att
lösa diverse uppdrag och problem. Programmeringsprocessen innefattar ett flertal olika faser
som kräver att eleverna har ett problembaserat förhållningssätt med ett analytiskt och logiskt
tänkande samt en förmåga att utforma egna strategier (Mannila, 2018).
Det har visat sig att matematikundervisningen i skolan begränsar elevers lärande i matematik.
Studier indikerar att majoriteten av de matematikuppgifter som eleverna ges möjlighet att arbeta
med är procedurella och endast var tionde matematikuppgift kräver att eleverna resonerar
kreativt i matematik. Det har även visat sig svårt för lärare att få elever att utveckla sin
resonemangsförmåga, då de matematikuppgifter som innehåller delar av resonemang anses som
utmanande och är ofta frivilliga för eleverna att arbeta med (Jäder, 2015; Lithner, 2008).
Ett sätt att bygga ny kunskap och skapa förståelse i matematikämnet är att använda sig av
kreativa matematiska resonemang. Kreativa matematiska resonemang innebär att eleverna
argumenterar för sina strategival utifrån matematikens grund med relevanta begrepp.
Resonemanget ska anses nytt för eleverna, slutligen leda till en lösning på problemet samt att
eleverna motiverar relevansen av problemets lösning (Jäder, 2015; Lithner, 2008). Vi behöver
därför veta mer om undervisningsmetoder för att stödja och utveckla denna förmåga hos
eleverna. Min hypotes är att programmering skulle kunna vara ett hjälpmedel för att skapa
ytterligare möjligheter till elevers utveckling av resonemangsförmågan. Av den anledningen
kommer jag att studera hur en matematikuppgift kan utformas med hjälp av ett
programmeringsverktyg, med syfte att utveckla elevers kreativa matematiska resonemang. Jag
vill även undersöka i vilka faser av elevernas programmeringsprocess som utvecklar kreativa
matematiska resonemang.
Studien är en intervention och för att uppfylla studiens syfte och forskningsfrågor har
utbildningsvetenskaplig designforskning valts som metodansats. Metoden möjliggör ett
forskningsresultat som kan användas av matematiklärare och direkt appliceras in i
matematikundervisningen (Bakker, 2018). Matematikuppgiften som använts i studien har
5
arbetats fram via metodansatsens cykliska process för att systematisera studiens
tillvägagångssätt. För att studera elevernas kreativa matematiska resonemang har en
matematikuppgift utformats på temat aritmetisk talföljd. En aritmetisk talföljd är en speciell
talföljd med en bestämd struktur där differensen mellan varje efterföljande tal är lika (Kiselman
& Mouwitz, 2008).
Även om programmering nyligen införts i matematikämnets styrdokument har det tidigare
forskats inom området digitala verktyg och elevers resonemangsförmåga. Dock är forskningen
både nationellt och internationellt till stor del förankrad i grundskolan, vilket skapar en
nyfikenhet att studera gymnasieelever och dess förmåga att lösa problem. Tidigare forskning
visar att lärare själva upplever okunskap inom området som bidrar till obekväma
undervisningssituationer (Drijvers, Doorman, Boon, Reed & Gravemeijer, 2010). Denna studie
vill därför bidra med ny applicerbar kunskap som matematiklärare kan använda sig av för att
planera och genomföra undervisning med programmering som ett verktyg.
1.1 Syfte och forskningsfrågor Syftet med den här forskningsstudien är att undersöka hur digitala lärmiljöer i programmering
kan utveckla elevers förmåga att föra resonemang i algebra.
Mina specifika forskningsfrågor är:
1) Vad utgör nyckelaspekter i en hypotetisk lärandebana över gymnasieelevers
kreativa resonemang i matematik, baserat på en uppgift om aritmetisk talföljd i
en programmeringsmiljö?
2) I vilka faser av elevens programmeringsprocess möjliggör uppgiften kreativa
matematiska resonemang i undervisningen.
2. Bakgrund Bakgrunden inleds med en beskrivning av de centrala begrepp inom programmering som anses
relevanta för studien. Efter detta beskrivs programmeringsdidaktiska förhållningssätt samt en
modell för elevernas programmeringsprocess. Avsnittet avslutas med en kort sammanfattning.
2.1 Programmering i skolan Programmering är en arbetsprocess som syftar till att eleverna ska lösa diverse problem. För att
komma till rätta med ett specifikt problem krävs en programkod som verkställs med hjälp av
ett programmeringsverktyg. Det finns en uppsjö av olika programmeringsverktyg med
6
skiftande utformning och programspråk beroende på syfte och vilka som är
programmeringsverktygets tänkta användare. Programspråket som används är exakt utan
nyanser och är avgörande för hur datorn tolkar programkoden. Programspråken delas in i
blockbaserat eller textbaserat språk. Ett blockbaserat programspråk är visuellt och innehåller
block som liknas vid pusselbitar. Blocken har olika färg och form för att visa vilka som passar
ihop. Ett blockbaserat programspråk är relativt enkelt och används i synnerhet till yngre elever
och elever som anses nybörjare inom programmering. I ett textbaserat programspråk skriver
eleverna själva sin programkod och det betraktas som mer utmanande då det inte finns färdiga
block att använda (Mannila, 2018).
Dock handlar programmering om mycket mer än att endast utforma en programkod i ett
programmeringsverktyg. Programmering är ett processarbete som har sin utgångspunkt i ett
problem som eleverna vill lösa. Själva programmeringsprocessen består i hög grad av att
eleverna utformar programkoder som till sist resulterar i en lösningsmetod på det givna
problemet. Innan eleverna konstruerat en lösningsmetod arbetar de via
programmeringsprocessen med ett flertal olika faser som i synnerhet omfattar problemlösning
(Mannila, 2018; Åkerfeldt, Kjällander & Selander, 2018).
Programmering och matematik går hand i hand. Det krävs matematikkunskaper för att förstå
och tolka programmering och matematikämnets teoretiska delar kan tränas praktiskt i
programmeringsprocessen (Lovric, 2018; Marshall & Buteau, 2013). Studier gör anspråk på att
programmering bidrar till en ökad matematikinlärning och att eleverna framförallt får utveckla
sin problemlösningsförmåga under programmeringsprocessen (Benton et al., 2017; Drijvers et
al., 2010). Majoriteten av de matematikuppgifter som eleverna idag arbetar med i
undervisningen är procedurella och anses därför begränsa elevernas lärande i matematik. Det
har visat sig svårt för lärare att motivera elever till att utveckla sin resonemangsförmåga, då
dessa matematikuppgifter ofta anses som utmanande och därmed frivilliga för eleverna att
arbeta med (Jäder, 2015; Lithner, 2008). Programmering kan därför användas som ett verktyg
för att motivera elevers lärande i matematik men även skapa en matematikundervisning som är
mer i linje med skolverkets styrdokument. Det har visat sig att matematikundervisning som
innehåller programmering stödjer även elevernas inlärning av matematiska begrepp och
matematiska beräkningar när de får möjlighet att konstruera egna problem (Benton et al., 2017;
Drijvers et al., 2010; Lovric, 2018; Marshall & Buteau, 2013; Moreno-León, Robles & Román-
González, 2016).
7
2.2 Programmeringsdidaktik Programmering är ett nytt område i matematikämnet och har ännu inte utvecklat egna
ämnestraditioner. Det medför att lärare endast kan förlita sig på den forskning som genomförts
och som då får en avgörande roll för matematiklärares planering och undervisning. Fler studier
gör anspråk på att lärare i matematik erfarar de nya styrdokumenten som utmanande då de själva
inte anses inneha tillräckligt med kunskaper inom datorvetenskap och programmering (Benton,
Holyes, Kalas & Noss, 2017; Drijvers et al., 2010). En förklaring till detta är att lärarna upplever
svårigheter att integrera teknik in i matematikundervisningen och därmed behöver lärarnas
didaktiska förhållningssätt revideras och utgå från ett helt nytt perspektiv. En helt ny repertoar
av undervisningstekniker och didaktiska förhållningssätt bör utvecklas för att skapa en
undervisning som är i linje med de nya styrdokumenten. Även om tidigare forskning ger
undervisande lärare vägledning krävs det utrymme för läraren själv att vara kreativ och våga
experimentera med diverse didaktiska förhållningssätt för att rama in fungerande
undervisningsstrategier (Drijvers et al., 2010; Åkerfeldt et al., 2018).
Ett didaktiskt förhållningssätt som skiljer sig mellan att undervisa i programmering och
ordinarie undervisning är att förstå innebörden av att misslyckas (Åkerfeldt et al., 2018).
Grunden för att lyckas med programmering är att först misslyckas och därefter felsöka det som
inte blev helt korrekt. Vid ett misslyckande ges alltid möjlighet att lära, läsa av och revidera
programkodens fel för att närma sig korrekta lösningsmetoden. Detta utmanar elevernas
tankebana då ett misslyckande ofta är betingat med någonting dåligt och anses inte ingå i
elevernas lärprocess. Av denna anledning är det viktigt att kommunicera hur ett misslyckande
kan skapa förutsättningar för att lyckas och att avdramatisera misslyckanden i programmering
då det är en del av elevernas inlärningsprocess (Åkerfeldt et al., 2018).
Ett annat didaktiskt förhållningssätt som berör undervisningens innehåll är att läraren bemöter
eleverna utifrån deras tidigare erfarenheter (Åkerfeldt et al., 2018). Läraren kan genomföra
detta med hjälp av exempeluppgifter i rätt kontext samt låta eleverna arbeta i grupp och
tillsammans diskutera möjliga lösningar på problem (Åkerfeldt et al., 2018). Eleverna bör
uppleva undervisningens innehåll relevant och igenkännande för att motivera och bygga på
elevernas tidigare kunskaper. Dock har det visat sig att lärare upplever utmaningar med att
anpassa undervisningens innehåll i de fall de själva har låga kunskaper i och är obekväma med
innehållet (Drijvers et al., 2010).
8
Det har visat sig finnas skillnader mellan att lösa matematiska problem med penna och papper
eller med hjälp av ett programmeringsverktyg. Lösningen med penna och papper bidrar till
försök, diskussioner och reflektioner utan att eleverna får feedback på om lösningen är korrekt.
Programmeringsverktyget ger istället direkt feedback på om eleverna är på väg mot en korrekt
lösning av problemet. Det medför att eleverna själva kan söka fel och forma om en lösning för
att därefter återigen värdera lösningens kvalité. Detta kan betraktas som ytterligare ett didaktiskt
förhållningssätt för lärare att ta hänsyn till vid undervisning med ett programmeringsverktyg
(Lovric, 2018; Marshall & Buteau, 2013).
Ett exempel som är vanligt i programmeringsvärlden är fibonaccis talföljd (Ulin, 2008).
Eleverna kan lösa problemet med penna och papper men får ingen direkt feedback på om deras
lösning är korrekt för antal 𝑛. Med hjälp av ett programmeringsverktyg kan eleverna enkelt
skriva en programkod som kan räkna ut vilket tal 𝑛 som helst i fibonaccis talföljd. Eleverna får
snabbt feedback på om programkoden fungerar för alla𝑛 i fibonaccis talföljd (Marshall &
Buteau, 2013). En del av programmeringsprocessen är att eleverna arbetar för att optimera sin
lösning så att programkoden endast innehåller relevanta delar för att minska belastningen på
programmeringsverktyget men även underlätta för andra som ska läsa och förstå programkoden
(Lovric, 2018).
Även om majoriteten av forskningen inom programmeringsdidaktik visar på positiva
inlärningseffekter och att programmering är ett fördelaktigt verktyg, finns det forskning som
gör anspråk på att programmering inte alls har en effekt på elevers inlärningsförmåga.
Kalelioglu och Gülbahar (2014) studie har framförallt forskat i huruvida programmering
främjar elevernas inlärning eller inte. Studien visar inte några skillnader mellan att undervisa
elever med eller utan programmering. Elevernas inlärning förbättrades inte efter att eleverna
arbetat med ett programmeringsverktyg. Dock visade studiens resultat att eleverna möjligtvis
fick en ökad självkänsla och ett större självförtroende att ta sig ann diverse problem. Det har
även framkommit att matematikundervisning som endast innehåller programmering skapar ett
ineffektivt lärande i matematik och att det krävs flera inlärningsmetoder för att främja elevers
matematikkunskaper (Dalton & Goodrum, 1991).
Forskarna uttrycker ett dilemma då det finns ett flertal positiva effekter för elevers inlärning att
använda sig av programmering, däremot upplevs lärares kunskaper låga inom området och
forskarna uttrycker att lärare behöver en omfattande utbildning för att ges förutsättningar att
applicera programmering i sin undervisning (Drijvers et al., 2010; Moreno-León et al., 2016;
9
Åkerfeldt et al., 2018). Den här studien vill därför bidra med att utveckla en matematikuppgift
med hjälp av ett programmeringsverktyg som direkt kan användas av lärare i
matematikundervisningen. Matematikuppgiften kan också användas som hjälp när lärare själva
ska utveckla egna uppgifter i programmering.
2.3 Programmeringsprocessen Programmeringsprocessen kan liknas vid en problemlösningsprocess då det finns flera
gemensamma utgångspunkter. Problemlösning ska upplevas som en utmaning och eleverna ska
arbeta med problemet under en tid för att finna lösningen. Ett problem ska väcka elevernas
nyfikenhet och starta igång uppfinningsförmågan. Elevernas problemlösningsprocess beskrivs
utifrån ett antal olika faser för att synliggöra elevernas arbete (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005;
Polya, 2003).
På liknande sätt kan programmeringsprocessen delas in i ett flertal olika faser. Detta för att
synliggöra de steg som eleverna är i behov av att arbeta med vid konstruerandet av en
lösningsmetod i ett programmeringsverktyg. Sammanlagt innehåller programmeringsprocessen
fem faser som syftar till att utveckla ett användbart redskap för att synliggöra elevernas
inlärningsprocess. Faserna utgör ett underlag för att kunna belysa elevernas egen progression
och för att lärare ska kunna ge fortsatt vägledning till ytterligare lärande och nya utmaningar
(McCracken et al., 2001; Åkerfeldt et al., 2018). Programmeringsprocessen i fem olika faser: 1. Abstrahera utifrån en beskrivning av problemet 2. Generera delproblem som måste lösas 3. Transformera dess delproblem till dellösningar 4. Foga samman de olika lösningarna till en helhet 5. Testa/utvärdera och pröva (om och om igen) (Åkerfeldt et al., 2018, s. 79)
I första fasen behöver eleverna identifiera den information som anses mest relevant i problemet.
Därefter bör eleverna skapa en modell utifrån identifierade information, vilket kan likas vid en
ram som ofta är förutbestämt av läraren. I andra fasen utformar eleverna diverse delproblem av
informationen som tidigare identifierats och dessa problem behöver lösas var för sig
(McCracken et al., 2001).
Efter att delproblemen är skapade kan eleverna påbörja tredje fasen vilket är att omvandla
delproblemen till dellösningar. Eleverna måste under denna fas besluta om vilka strategier som
är lämpliga att implementera i lösningsmetoden. Tredje fasen är avgörande för att lyckas med
en korrekt lösning till problemet. Det bör ske ett test av de olika dellösningarna som måste visa
10
sig korrekta och uttryckta i rätt form för att datorn ska ha möjlighet att läsa av programkoderna
(McCracken et al., 2001).
I fjärde och näst sista fasen ska eleverna sätta samman de olika dellösningarna till en
helhetslösning. Fjärde fasen innebär ofta att eleverna får skapa en algoritm (McCracken et al.,
2001). En algoritm liknas vid ett recept där eleverna steg för steg ger en beskrivning av hur
problemet kan lösas (Mannila, 2018). I femte och sista fasen måste eleverna avgöra om de
tidigare faserna genererat i en bra lösningsmetod på problemet. Lösningsmetoden måste testas
och de tidigare faserna kan arbetas igenom ytterligare om det anses nödvändigt. Efter att
lösningsmetoden är testad behöver det även ske en felsökning för att optimera programkodens
körtid och eventuella fel. Dock kan testfasen med fördel användas genom hela
programmeringsprocessen för att undgå eventuella fel i slutet av arbetet (McCracken et al.,
2001).
Ett exempel på ett matematikproblem som kan lösas med hjälp av programmering och
textspråket Python. ”Skriv ett program som låter användaren mata in ett heltal. Programmet ska
testa om talet är delbart med 3 eller inte. Skriv ut delbarhet eller ej delbarhet beroende på vad
det är” (Trangius & Hall, 2018, s. 58). Figur ett visar hur matematikproblemet kan lösas i ett
programmeringsprogram.
(Figur 1: exempel på matematikuppgift, från repl.it)
För att lösa matematikproblemet måste eleverna i ett första steg förstå och rama in problemet.
Eleverna behöver känna till diverse matematiska begrepp såsom heltal och delbarhet. När
problemet identifierats kan eleverna påbörja en lösningsmetod i flera steg. Matematikuppgiften
har i detta fall sex steg som till sist sätts samman till en enda lösningsmetod (se figur 1). Näst
sista steget som eleverna arbetar med är att testa sin lösningsmetod, vilket innebär att sätta in
ett heltal i programmet för att se om resultatet är korrekt. Är lösningen inte korrekt återgår
eleverna till att korrigera de olika stegen i lösningsmetoden för att därefter återigen testa
programkoden. Om lösningen är korrekt återstår det sista utvärderande steget för eleverna.
11
2.4 Sammanfattning bakgrund Sammanfattningsvis är programmering en arbetsprocess som framförallt behandlar
problemlösning och kodning. Programmering innefattar även olika programspråk, så som ett
blockbaserat eller textbaserat språk. Undervisningen i programmering skiljer sig till viss del
från ordinarie undervisning. Lärare upplever utmaningar att undervisa i programmering då de
själva anses besitta låga kunskaper inom området. Flera programmeringsdidaktiska
förhållningssätt har därför presenterats för att synliggöra dessa skillnader.
Programmeringsprocessen innehåller fem faser som eleverna arbetar med systematiskt för att
komma fram till en lösningsmetod. I första fasen analyserar eleverna problemet och skapar en
strategi. Problemet delas in i flera delproblem för att minska dess komplexitet, det är andra
fasen. Tredje fasen innebär att eleverna arbetar med att lösa delproblemen var för sig till olika
dellösningar. För att sedan sätta ihop alla dellösningar till en helhetslösning i fjärde fasen. Femte
fasen är testfasen. Eleverna testar sin lösningsmetod och får feedback på om programkoden är
korrekt eller ej.
3. Teori Nedan följer en redogörelse för studiens teoretiska ramverk som innehåller två delar. Första
delen är datalogiskt tänkande och används för att beskriva hur elever kan lösa problem med
hjälp av en dator och specifikt programmering. Andra delen innefattar kreativa matematiska
resonemang, vilket används som ett verktyg vid analys av studiens insamlade data.
3.1 Datalogiskt tänkande Datorn har under en längre tid ansetts vara en del av matematikundervisningen. Eleverna
använder räknemaskiner för att beräkna utmanande uppgifter som bedöms besvärliga att
beräkna i huvudet. Dock kan datorer bidra med flera positiva aspekter i undervisningen än att
endast hanteras som räknemaskiner. Datorer anses vara en viktig del i barnens lärande,
kreativitet och uttrycksförmåga. Programmering kan bidra till att utveckla lärares undervisning
i skolan och utgångspunkten är att eleverna istället för att endast konsumera datorprogram även
själva bör bygga dem (Papert, 1980). Under de senaste åren har begreppet datalogiskt tänkande
(eng. Computational thinking) blivit alltmer känt. Grunden i datalogiskt tänkande är
problemlösning. Problemlösning är en process som eleverna arbetar med utan givna metoder
(Hagland et al., 2005). Det främsta syftet med att använda datalogiskt tänkande är att främja
elevernas kreativitet och att de ska lära sig att utveckla olika programkoder på datorn (Wing,
2010).
12
Datalogiskt tänkande kan definieras som en metod för att lösa problem, utforma system och
förstå människors beteenden med hjälp av grundläggande datorvetenskap (Wing, 2008). En
vanlig tolkning av datalogiskt tänkande är att endast datorns teknologi står i fokus vilket inte
överensstämmer med definitionen. Det innebär således att bryta ned svåra problem till mindre
bekanta problem som är enklare att lösa. För att hitta lösningen används olika algoritmer som
kan liknas med ett recept som senare automatiseras och implementeras i ett datorverktyg
(Yadav, Stephenson & Hong, 2017). Datalogiskt tänkande är ett förhållningssätt för hur elever
kan analysera problem och sedan utnyttja en dator för att lösa problemet. Datalogiskt tänkande
är något som vi människor ägnar oss åt för att kunna dra så stor nytta som möjligt av datorer.
Det är alltså inte någonting som datorerna gör, utan något som vi människor gör (Wing, 2006).
3.1.1 Datalogiskt tänkande och programmering En modell har tagits fram i syfte att synliggöra relationen mellan datalogiskt tänkande och
programmering. Modellen anses innehålla attityder och förmågor vilka kan tränas via
programmering. Denna modell består av sex koncept och fem tillvägagångssätt (Barefoot
Computing, 2014).
Första konceptet uppmärksammar att en dator är förutsägbar och gör exakt det den blivit tillsagd
att göra. Dessutom att vi människor är logiska och kan resonera oss fram till vad ett program
kommer att göra. Detta koncept benämns logiskt tänkande. Nästa koncept är algoritm som
tidigare nämnts är ett recept på hur programkoderna ska se ut och hur de ska struktureras. För
att kunna strukturera upp algoritmer behöver problemet brytas ned i mindre delar och på så sätt
kan komplexa situationer hanteras. Det tredje konceptet är därför nedbrytning i mindre delar
och detta möjliggör att arbetet kan fördelas på flera personer (Barefoot Computing, 2014).
Fjärde konceptet är mönsterigenkänning och innebär att hitta likheter och mönster som skapar
förutsättningar att lösa problemet. Det här konceptet infattar även att kunna generalisera ett
program för att kunna användas på flera olika sätt. Ett exempel på ett program som ritar
månghörningar med olika många sidor. Det innebär att även om en triangel och en sexhörning
inte har lika många sidor delar de några egenskaper. Ytterligare ett sätt att minska problemets
komplexitet är att endast fokusera på de relevanta detaljerna och minimera de detaljer som är
mindre viktiga. Det kallas abstraktion och är det femte konceptet. Det avslutande konceptet
innebär att kunna utvärdera lösningen och de olika lösningsmodellerna. Detta anses avgörande
för att kunna välja den lösningsmetod som är bäst lämpad för att få en effektiv och korrekt
lösning (Barefoot Computing, 2014).
13
De fem tillvägagångssätten eller även kallade arbetssätten är själva skapandet av lösningen. För
att lösa ett problem med programmering krävs det möjlighet att utforska och experimentera sig
fram med olika lösningsmetoder. Det första tillvägagångssättet är därför den utforskande delen
av arbetet. Det andra tillvägagångssättet innebär att programmering är problemlösning och en
kreativ process som också är skapande. Genom programmering finns det möjligheter att skapa
nya idéer, dock krävs det en viss förkunskap och det är en fördel att starta med de små slutna
problemen. Det tredje tillvägagångsättet är den delen som programkoderna ska testas,
felsökning. Detta är en mycket viktig process som syftar till att hitta vad som orsakat önskad
lösning (Barefoot Computing, 2014). Avslutningsvis krävs uthållighet och samarbete. Att skapa
ett program är inte en enkel uppgift och det finns många aspekter som måste beaktas, bland
annat är samarbete en viktig aspekt för att skapa ett team och utnyttja varje individs
kompetenser (Barefoot Computing, 2014).
3.2 Kreativa matematiska resonemang Utvecklingen av elevers kunskaper i matematik kräver både procedurella och konceptuella
kunskaper (Jäder, 2015). Studier indikerar att majoriteten av matematikuppgifterna som
eleverna ges möjlighet att arbeta med är procedurella och att endast var tionde
matematikuppgift kräver att eleverna resonerar kreativ och matematiskt. De
matematikuppgifter som innehåller delar av resonemang anses som utmanande och är ofta
frivilliga för eleverna att arbeta med. Det medför att elever ges begränsade möjligheter till att
utveckla sitt kreativa matematiska resonemang och istället fokuserar eleverna främst på att
komma fram till ett svar som stämmer överens med facit (Jäder, 2015; Lithner, 2008; Sidenvall,
Lithner & Jäder, 2015).
Matematikuppgifter som är utformade för att främja elevers resonemang har positiv inverkan
på elevernas inlärningsförmåga. Kreativa matematikuppgifter främjar elevernas minne,
rekonstruktion och tränar eleverna i att skapa egna lösningsmetoder. Eleverna kan även skapa
en djupare förståelse för matematik då flera viktiga matematiska egenskaper sätts i fokus under
tiden eleverna resonerar kreativt och matematiskt (Nordqvist, 2016).
Kreativa matematiska resonemang är ett mål och ett hjälpmedel för att nå förståelse i
matematikämnet. Resonemang kan användas för att bygga ny kunskap och skapa förståelse för
nya begrepp som därefter kan implementeras in i en arbetsprocess. Lithner (2008) har
kategoriserat olika typer av resonemang som tar hänsyn till om eleverna arbetar med andra
beräkningar än bara procedurberäkningar. En kategorisering benämns kreativa matematiska
14
resonemang. För att ett resonemang ska kunna kategoriseras som kreativt och matematiskt ställs
det tre krav:
1) Eleverna ska argumentera för sitt strategival samt motivera varför svaret på problemet är rimligt
eller inte.
2) Eleverna argumenterar utifrån matematikens grund och använder sig av relevanta begrepp.
3) Resonemanget ska vara nytt för eleverna och slutligen leda till en lösning på problemet.
(Lithner, 2008)
Studier gör anspråk på att elever som får möjlighet att resonera kreativt under
matematiklektionerna har förbättrat sina matematikkunskaper. Det har visats att elever vars
resonemang fått utrymme i matematikundervisningen presterat bättre på matematikprov än de
elever som resonerat algebraiskt (Jonsson, Nordqvist, Liljekvist & Lithner, 2014).
4. Metod Syftet med forskningsstudien är att undersöka hur digitala lärmiljöer i programmering kan
utveckla elevers förmåga att föra resonemang i algebra. I detta avsnitt presenteras studiens
tillvägagångssätt. Första delen av avsnittet redogör för val av studiens forskningsansats samt
presenterar studiens utbildningsvetenskapliga designforskning. Därefter följer ett avsnitt om
studiens deltagare, planerade lektionen och bearbetning av data. Slutligen diskuteras studiens
tillvägagångssätt och etiska överväganden.
4.1 Val av forskningsansats Med utgångspunkt från studiens syfte och forskningsfrågor har en kvalitativ forskningsansats
valts. Huvudsyftet med en kvalitativ forskningsansats är att analysera data som fokuserar på
ord, handling och tolkning (Bryman, 2018). Studien har undersökt hur en matematikuppgift i
algebra kan utformas med hjälp av ett programmeringsverktyg för att utveckla elevers kreativa
matematiska resonemang, samt i vilka faser i programmeringsprocessen som eleverna resonerar
kreativt och matematiskt. Data som ansågs relevant för att besvara studiens forskningsfrågor
var elevernas resonemang gällande matematikuppgiften i algebra, elevernas förmåga att ta sig
an problemet samt elevernas handlingar när de arbetade med uppgiften i
programmeringsverktyget.
15
4.1.1 Utbildningsvetenskaplig designforskning För att uppnå studiens syfte används utbildningsvetenskaplig designforskning1 som
metodansats. Begreppet utbildningsvetenskaplig designforskning har förkortats och benämns i
texten som UDF. Syftet med UDF är att undersöka hur undervisningens praktik skulle kunna
se ut eller till och med hur undervisningen ska bedrivas. UDF är en intervention som vill lösa
ett problem och skapa ett användbart resultat. Metoden skapar potential för att studera ny
teknologi och skapa ny kompetens som lärare kan använda sig av i sin undervisning.
Exempelvis kan UDF bidra till nytt undervisningsmaterial och ny kunskap om datorverktyg och
lärandeaktiviteter (Bakker, 2018). Metoden kan tolkas som framåtsyftande då den skapar nya
vägar och idéer kring lärares undervisning i jämförelse med andra metoder som endast studerar
den för närvarande befintliga undervisningen. Bakkers (2018) resonemang kring användandet
av metoden är relevant för denna studie, för att kunna bidra till ett användbart resultat samt
studera ny teknologi.
UDF är en metodansats som är relevant för utbildningens praktik eftersom syftet är att utveckla
forskningsbaserade lösningar för komplexa problem på ett systematiskt sätt. Oavsett syftet med
att använda UDF som metodansats innehåller alltid forskningsprocessen en systematisk
pedagogisk designprocess (Plomp & Nieveen, 2013). Systematiska designprocessen
förekommer i form av diverse olika modeller, dock har de en gemensam utgångspunkt vilket
betonar cykliska processer och interaktioner. Modellerna har växlande utformning då en cyklisk
process kan innefatta olika delar styrd utifrån forskningsstudiens syfte. Dock förekommer tre
komponenter frekvent, vilka anses relativt generella och oberoende av UDF-modell. Bakkers
(2018) tre faser och Plomp och Nieveens (2013) systematiska designprocess kan sammanställas
i en figur.
(Figur 3: Utformning av en cyklisk process.)
1 Utbildningsvetenskaplig designforskning benämns internationellt Educational design research (Bakker, 2018).
16
Första fasen, analys och design är starten på forskningsstudien där problemet identifieras och
exakta problemet bestäms. När problemet är fastställt påbörjas ett arbete med att bland annat
bestämma de första designprinciperna och de teoretiska delarna i forskningsstudien. I denna fas
är det viktigt att skapa ett ramverk för forskningsstudien (Bakker, 2018). Problemet behöver
analyseras för att forskaren ska kunna utforma en design och en prototyp som ska testas (Plomp
& Nieveen, 2013). I andra fasen, implementation sker det faktiska genomförandet av studien.
Studien kan exempelvis genomföras som en intervention eller som ett experiment. Data som är
relevant för studiens resultat samlas in och de vanligaste datainsamlingsmetoderna är elevers
arbeten, fältanteckningar, ljud- eller videoinspelningar (Bakkar, 2018; Plomp & Nieveen,
2013). Tredje fasen, retrospektiv analys innebär att forskaren tittar tillbaka på studiens
genomförande samt påbörjar en bearbetning av det insamlade datamaterialet. Forskaren
utvärdera och fastställer om designen och prototypen behöver revideras för att sedan återigen
påbörja designprocessen. Revideringen fortskrider till dess att det uppstått en balans mellan det
som avsetts och det som uppnåtts (Plomp & Nieveen, 2013).
Den här forskningsstudien har sin utgångspunkt i UDF, vars syfte är att skapa ett användbart
resultat för lärare i matematikundervisningen och att genomföra en intervention som undersöker
hur undervisningspraktiken skulle kunna bedrivas. Forskningsstudien genomförs med hjälp av
den cykliska processen som beskrivits ovan, detta för att systematisera studiens
tillvägagångssätt.
4.2 Deltagare i studien Studien genomfördes på en kommunal gymnasieskola i centrala delar av Sverige. Deltagarna i
studien valdes utifrån kunskapsnivå både i matematik och programmering. Detta för att
programmeringsverktyget som används i studien är enkelt och riktar sig till en elevgrupp som
tidigare inte arbetat med programmering. Deltagarna valdes utefter kunskapsnivå i matematik
eftersom programmeringsverktyget ansågs som okomplicerat fanns det begräsningar i
programmet som medförde att vissa mer komplicerade matematikuppgifter inte gick att
genomföra i verktyget. Sista och avgörande faktorn för valet av deltagare var självklart vilka
lärare och elever som kunde tänka sig att delta. Lärare upplever ofta tidsnöd under terminerna
och ett flertal lärare tackade nej på grund av detta.
Elevgruppen som tackade ja var en förstaårsklass på teknikprogrammet på en gymnasieskola.
Elevgruppen bestod av 32 stycken elever som delades in i två mindre grupper. Innan studien
kunde genomföras skickades ett missivbrev (se bilaga A) ut till alla deltagare och respektive
17
vårdnadshavare. Av totalt 32 stycken elever var det 31 stycken som samtyckte och godkände
medverkan i studien. Elevgruppens undervisande lärare deltog inte i studien och valde att inte
närvara under studiens genomförande. Lektionssekvenserna med respektive halvklass
genomfördes vid olika tidpunkter för att där emellan arbeta med den cykliska processen som
har sin utgångspunkt i UDF. Matematikuppgiften som eleverna arbetade med utformades av
forskaren själv och syftade till att skapa förutsättningar att utveckla elevernas
resonemangsförmåga.
4.3 Planerad lektion Lektionen inleddes med att presentera studiens syfte, forskningsfrågor och ansvariga forskare.
Därefter kontrollerades att alla deltagare lämnat in missivbrevet (se bilaga A) och fått godkänt
att få delta i studien. Eleverna informerades om studiens och datainsamlingens
tillvägagångssätt. Innan eleverna började följde en kort introduktion till
programmeringsverktyget Blockly, verktygets utseende och funktioner (se bilaga B). För att
alla elever skulle få samma utgångspunkt visades verktygets funktioner med två olika exempel.
Första exemplet visade hur eleverna skapade variabler och utformade ett algebraiskt uttryck.
Andra exemplet var något mer avancerat och visade hur loop-funktionen skulle kunna användas
för att utforma ett algebraiskt uttryck (Alfredsson et al., 2011). Se bilaga B för detaljerade
exempelbeskrivningar.
Lektionerna dokumenterades med hjälp av ett program som spelade in elevernas röster och
datorskärmar. Örebro Universitet lånade ut dokumentationsprogrammet via USB-stickor som
hette FScapture. Syftet med att spela in elevernas röster och datorskärmar var att dokumentera
elevernas programmeringsprocess och att vid ett senare tillfälle analysera elevernas
tillvägagångssätt.
Efter introduktionen delades gruppen in i par och datainsamlingsverktyget delades ut och
kontrollerades att det fungerade på respektive dator (se bilaga C). Först då fick eleverna tillgång
till matematikuppgiften och började arbeta. Matematikuppgiften var en aritmetisk talföljd som
eleverna skulle arbeta med i programmeringsverktyget Blockly. Första versionen av
matematikuppgiften visas i figur 4 och andra, reviderade versionen visas i figur 5.
18
(Figur 4: Första versionen av (Figur 5: Reviderade versionen av
matematikuppgiften, Se bilaga D) matematikuppgiften, Se bilaga E)
Den cykliska designprocessen som innefattar matematikuppgiftens utformning, utvärdering och
revidering kommer att behandlas nedan som resultatet på första forskningsfrågan.
4.4 Dataanalys Vid avslutad datainsamling påbörjades analysen av det insamlade materialet och det första
steget var att strukturera och sammanställa materialet (Bryman, 2018). Varje videofilm sågs
igenom ett flertal gånger från början till slut. Detta för att bli bekant med materialet men också
för att utskilja vilka delar av videofilmerna som var relevanta för studiens resultat. De relevanta
delarna innefattande elevers resonemang kring matematikuppgiftens utformning,
programmeringsverktyget och elevernas programmeringsprocess. Anteckningar skrevs i detalj
på vilka delar av videofilmerna som var relevanta och i sista steget transkriberades dessa
samtliga delar (Eriksson Barajas et al., 2018).
Analysen av det insamlade datamaterialet genomfördes med hjälp av analysverktyg från
grundad teori. För att förtydliga innebörden av grundad teori kan redskap och resultat urskiljas.
Redskap är ett teoretiskt urval, vilket betyder att urvalet väljs ut för att passa in i studien och
det är en kontinuerlig process. Inom begreppet redskap ingår även kodning, vilket är den
process i grundad teori som den insamlade data bryts ned till mindre delar. Processen medför
att forskaren sätter koder på de delar som anses relevant för studiens resultat (Bryman, 2018;
(Strauss & Corbin, 1990).
19
I den aktuella studien baserades den grundade analysen på studiens två teoretiska ramverk:
datalogiskt tänkande och kreativa matematiska resonemang. Datalogiskt tänkande är en metod
för att lösa diverse problem med hjälp av grundläggande datorvetenskap. Eleverna ska
analysera ett problem och därefter med hjälp av en dator lösa problemet, vilket den här studien
fokuserar på. Studien väljer även att fokusera på datalogiskt tänkande i relation till
programmering. Detta för att synliggöra på vilket sätt datalogiskt tänkande tolkar och förstår
programmering som ett verktyg vid problemlösning. Studiens två forskningsfrågor behandlar
på olika sätt kreativa matematiska resonemang, utformningen av en specifik matematikuppgift
och via elevernas programmeringsprocess. Lithners (2008) tre krav används som analysverktyg
och ligger till grund för vad som anses relevant för studiens resultat. Det medför att
dataanalysen inte helt följer principen för kodning inom grundad teori då kategorierna var
förutbestämda med stöd i studiens teoretiska ramverk.
Analysen av datamaterialet påbörjades genom en första kodning. Analysen genomfördes på två
olika sätt då det krävs två olika analysprocesser i arbetet för att besvara studiens två
forskningsfrågor. Första forskningsfrågan utgick ifrån en cyklisk designprocess i UDF för att
systematisera och utveckla matematikuppgiften under studiens gång. Analysen av första
forskningsfrågan påbörjades med en kodning utifrån två kategorier: uppgiftens utformning och
elevernas lärande. Matematikuppgiftens utformning var en del av den cykliska
designprocessen i UDF, detta för att finna luckor i utformningen, reflektera och utvärdera
lektionssekvenserna. Cykliska designprocessen medförde ett flertal revideringar av
matematikuppgiften. Elevernas lärande, den andra kategorin innebar att synliggöra vilket
lärande som förekom eller uteblev under lektionssekvenserna med utgångspunkt från studiens
hypotetiska lärandebanan.
Analysen av andra forskningsfrågan påbörjades även den med en kodning utifrån tre kategorier:
strategi, argument och lösning. De tre kategorierna symboliserar de tre krav i ett kreativt
matematiskt resonemang. Elevernas resonemang skulle innehålla argument för strategival
utifrån matematikens grund med relevanta begrepp. Resonemanget skulle anses nytt för
eleverna, slutligen leda till en lösning på problemet samt eleverna skulle motivera relevansen
på problemets svar (Lithner, 2008).
I en andra kodning jämfördes datamaterialet i respektive forskningsfråga för att finna likheter
och skillnader som till sist resulterade i ett antal huvudkategorier. Resultat för första
forskningsfrågan redovisas utifrån fem identifierade huvudkategorier: 1) hypotetiska
20
lärandebanan 2) matematikuppgiftens design 3) utvärdering och revidering av första lektionen
4) utvärdering och revidering av andra lektionen och 5) nyckelaspekter i hypotetiska
lärandebanan. En grundidé i denna typ av analys var att jämföra den hypotetiska lärandebanan
med den faktiska lärandebanan, dvs. den lärandebana som visade sig i undervisningen. Utifrån
den faktiska lärandebanan kunde matematikuppgiftens design utvärderas som resulterade i ett
flertal revideringar, sammanställda i en ny, förfinad hypotetisk lärandebana med ett flertal
nyckelaspekter.
Vid analys och kodning av andra forskningsfrågan användes tre kategorier: strategi, argument
och lösning med utgångspunkt från Lithners (2008) ramverk. Kodningen, baserat på Lithners
(2008) ramverk resulterade i huvudkategorier som visade på vilka delar i
programmeringsprocessen som utvecklade elevernas kreativa matematiska resonemang. De tre
huvudkategorierna var: 1) abstrahera 2) delproblem och 3) testa.
4.5 Tillförlitlighet Kvalitativ forskning kan kvalitetssäkras med hjälp av begreppen trovärdighet, överförbarhet,
pålitlighet och en möjlighet att styrka och konfirmera (Bryman, 2018).
Trovärdighet innebär att forskarna kommer överens om hur det insamlade datamaterialet ska
tolkas och förstås (Bryman, 2018). Denna studie genomförs endast av en forskare vilket medför
att tolkningen av datamaterialet kommer genomföras på ett sätt. Dataanalysen genomfördes i
två olika cykliska processer och därmed vid olika tidpunkter. Detta innebar att forskaren
behövde inneha samma utgångspunkt vid varje tillfälle som datamaterialet skulle analyseras för
att inte tolka de olika cykliska processerna på olika sätt.
Det andra kriteriet, överförbarhet är i hur stor utsträckning som studien skulle kunna överföras
till en annan miljö (Bryman, 2018). Studien kan genomföras i andra miljöer då forskaren
beskrivit studiens tillvägagångssätt samt matematikuppgiftens utformning. Dock krävs det att
eleverna går på gymnasiet för att inneha tillräckligt med matematikkunskaper samt att eleverna
anses nybörjare inom programmering.
Pålitlighet som är det tredje kriteriet innebär att forskaren tar ett granskande synsätt och
säkerställer att studiens forskningsprocess har en fullständig redogörelse (Bryman, 2018). För
att denna studie ska anses pålitlig har forskaren i varje steg av arbetsprocessen antecknat och
vid ett senare tillfälle redogjort för varje del i arbetsprocessen.
21
Till sist det fjärde kriteriet, möjlighet att styrka och konfirmera. Forskaren ska kunna styrka och
konfirmera att studien är genomförd av goda skäl samt att forskaren själv agerat i god tro
(Bryman, 2018). Vid genomförandet av studien fick båda grupperna samma information innan
studiens start. Elevgrupperna fick även se två olika exempeluppgifter för att få en inblick i hur
programmeringsverktyget fungerade. Forskaren befann sig i bakgrunden under studiens
genomförande och observerade elevernas programmeringsprocess. Vid frågor från eleverna
hade forskaren som avsikt att bolla tillbaka frågan till eleverna eller ställa en ny fråga för att
inte påverka deras programmeringsprocess och resonemang.
4.6 Etiska aspekter Forskningsetiska aspekter är när det ställs etiska krav på forskaren, forskarens inriktning samt
hur forskningen har genomförts. Det finns framförallt fyra etiska förhållningssätt som en
forskare måste ha i åtanke under studiens genomförande. Majoriteten av de forskningsetiska
aspekterna berör de individer som väljer att medverka i forskningsstudien (Vetenskapsrådet,
2017).
Informations- och samtyckeskravet innebär att deltagarna måste ge sitt samtycke innan studien
kan genomföras och att forskaren informerar deltagarna om vilken roll de kommer få under
studien. Deltagarna måste även få information om att deltagande är frivilligt och att de alltid
kan välja att avstå. I denna studie är deltagarna under arton år och därmed inte myndiga. Detta
medför att deltagarnas vårdnadshavare måste informeras om studiens syfte, tillvägagångssätt
samt det krävs ett godkännande från vårdnadshavare för att individen ska få delta i studien. För
att informera deltagarnas vårdnadshavare skapades ett missivbrev (se bilaga A) som skickades
ut med ett svarskrav. Efter att vårdnadshavare läst igenom missivbrevet och diskuterat
tillsammans med sitt barn skriver de tillsammans under, antingen ett godkännande eller ett icke
godkännande och därefter skickas brevet tillbaka till matematikläraren på skolan
(Vetenskapsrådet, 2017). Detta kan dock upplevas som utmanande då forskaren inte vill
påverka deltagarna och deras handlingar under studiens gång. Därför kan forskaren noggrant
bestämma hur studien ska presenteras för deltagarna för att inte inverka på studiens resultat
(Vetenskapsrådet, 2017). Resultatet i denna studie visar att deltagarna inte diskuterade studien
i sig eller dess syfte under genomförandet av lektionerna, utan eleverna hade full fokus på
matematikuppgiften och att finna en lösning på problemet.
Konfidentialitetskravet och nyttjandekravet berör studiens insamlade data.
Konfidentialitetskravet innebär att det insamlade datamaterialet inte är åtkomlig för andra utan
22
endast kan ses och användas av forskaren själv. Forskaren får varken sprida information
muntligt eller skriftligt om deltagarna i studien (Vetenskapsrådet, 2017). I denna studie har
datainsamlingen genomförts på USB-stickor som sedan förts över till en låst dator. Deltagarna
ska vara anonyma genom hela studien (Vetenskapsrådet, 2017). För att skydda deltagarnas
anonymitet och integritet har skolan ej definierats samt fiktiva namn har använts under hela
studien. Det avslutande kravet, nyttjandekravet betyder att den data som samlats in endast
används inom ramarna för studiens syfte och till det som deltagarna fått information om. I denna
studie används det insamlande datamaterialet endast för att studera studiens syfte. Efter att
studien genomförts raderas det insamlade datamaterialet.
5. Resultat I detta avsnitt presenteras forskningsstudiens resultat. Första delen behandlar studiens första
forskningsfråga och i andra delen redovisas resultatet för studiens andra forskningsfråga. De
två forskningsfrågorna avslutas med en kort sammanfattande text.
5.1 Forskningsfråga 1: Matematikuppgiftens design Resultatet för studiens första forskningsfråga redovisas utifrån fem identifierade
huvudkategorier: 1) hypotetiska lärandebanan 2) matematikuppgiftens design 3) utvärdering
och revidering av första lektionen 4) utvärdering och revidering av andra lektionen och 5)
nyckelaspekter i hypotetiska lärandebanan.
5.1.1 Hypotetiska lärandebanan Matematikuppgiftens huvudsakliga mål är att ge eleverna möjlighet att utveckla två förmågor
som ingår i styrdokumenten för ämnet matematik i gymnasieskolan. Första förmågan beskriver
att eleverna i matematikundervisningen ska ges möjlighet att utveckla kunskaper i att lösa
problem. Ytterligare ska eleverna ges möjlighet att formulera, analysera, värdera olika metoder
samt resonera över sitt resultat. Den andra förmågan som är aktuell för matematikuppgiften är
att eleverna ska kunna följa och föra ett matematiskt resonemang (Skolverket, 2011).
Vidare i ämnesplanen för matematik i gymnasieskolan beskrivs kursens centrala innehåll. Det
finns framförallt två centrala innehåll som anses aktuella för den specifika matematikuppgiften.
Det första är att eleverna ska ges möjlighet att utveckla strategier för matematiska problem i
olika situationer med hjälp av digitala verktyg och specifikt programmering. Det andra är att
eleverna ska få kunskaper om algebraiska uttryck (Skolverket, 2011). Styrdokumenten kan
upplevas abstrakta och svåråtkomliga, därför har lärandemålen för den utformade
23
matematikuppgiften konkretiserats. Lärandemålen har delats upp följande: 1) algebraiska
generaliseringar av mönster 2) variabler och 3) resonemang.
Algebraiska generaliseringar av mönster är elevernas första lärandemål. Lärandemålet ska ge
eleverna kunskaper i diverse algebraiska uttryck samt tolka och förstå olika mönster.
Matematikuppgiften är en aritmetisk talföljd som eleverna ska tolka och resonera fram ett
algebraiskt uttryck som stämmer överens med talföljden. Eleverna har tidigare arbetat med
algebraiska uttryck och bör inneha kunskaper om hur ett uttryck utformas.
Andra lärandemålet är variabler som ska ge eleverna möjlighet att utveckla förståelse för
begreppet variabler, i egenskap av att förstå variabelns funktion och ramverk. För att koppla
tillbaka till styrdokumentets centrala innehåll ska eleverna ges möjlighet att utveckla förståelse
för algebraiska uttryck, vilket i detta fall innebar en förståelse för variablers innebörd. Eleverna
har tidigare haft möjlighet att erövra kunskap om att en variabel kan anta vilket värde som helst.
I matematikuppgiften får eleverna möjlighet att fördjupa sin förståelse för variabler. Variabelns
funktion innefattar en förståelse för att en variabel behöver definieras för att kunna användas
samt att variabelns placering har betydelse för programkodens resultat. Ramverket innebär att
variabeln inte kan sättas till vilket värde som helst. I detta fall finns det inte något negativt värde
då en figur inte kan inneha ett minusantal stickor.
Tredje och sista konkretiserade lärandemålet är resonemang. Detta lärandemål är speciellt
eftersom elevernas hela programmeringsprocess präglas av diskussioner, reflektioner och
resonemang. Det medför att resonemang kan vävas in i de två tidigare lärandemålen,
algebraiska generaliseringar av mönster och variabler. För att tydligt konkretisera lärandemålet
kan programmeringsprocessen beskrivas utifrån en ytterligare lärandeprogression med
utgångspunkt i lärandemålen. Första delen i progressionen och elevernas
programmeringsprocess innebär att eleverna ska tolka och förstå den specifika
matematikuppgiften. Nästa del i programmeringsprocessen ger en progression då eleverna
själva utformar ett algebraiskt uttryck med hjälp av programmeringsverktyget. Sista och
avslutande delen i lärandemålet resonemang är att eleverna med hjälp av
programmeringsverktyget testar sin lösningsmetod och utefter resultatet felsöker
programkoden.
24
5.1.2 Matematikuppgiftens utformning Matematikuppgiftens utformning innehåller flera deluppgifter som eleverna ska lösa (Figur D).
Matematikuppgiften är en aritmetisk talföljd som eleverna ska arbeta med på olika sätt. En
talföljd är en bestämd sekvens och struktur sådan att ”differensen mellan ett godtyckligt element
(utom det första) och närmast föregående alltid är lika stor” (Kiselman & Mouwitz, 2008, s.
109). En talföljd kan nästan se ut hur som helst där talen förhåller sig till de givna kriterierna.
Kiselman och Mouwitz (2008) ger ett exempel på en aritmetisk talföljd (2, 6, 10, 14, 18, 22…).
Denna talföljd har differensen 4 mellan varje tal. En allmän aritmetisk talföljd kan skrivas
𝑎$, 𝑎$ + 𝑑, 𝑎$ + 2𝑑, 𝑎$ + 3𝑑,… (Alfredsson et al., 2011).
Eleverna arbetar i första deluppgiften med att utforma ett algebraiskt uttryck för den specifika
talföljden med hjälp av programmeringsverktyget. Uppgiftsbeskrivningen presenterar de första
fyra figurerna i aritmetiska talföljden (se bilaga D). I andra deluppgiften arbetar eleverna med
att bestämma hur många stickor som fanns i figur sju respektive figur ett hundra. Eleverna testar
lösningsmetoden i första deluppgiften och bör få rätt antal stickor för respektive figur. Tredje
deluppgiften behandlar återigen det algebraiska uttrycket för aritmetiska talföljden. Eleverna
ska arbeta med att utforma ytterligare en programkod.
Elevernas programmeringsprocess genomförs med hjälp av ett programmeringsverktyg som
heter Blockly. Blockly är ett enkelt programmeringsprogram som innehåller ett blockbaserat
programspråk. Det innebär att eleverna använder sig av pusselbitar för att skapa en programkod
och en lösningsmetod (Manilla, 2018). Blockly är ett verktyg som med fördel kan användas för
att både introducera programmering för elever samt användas av elever med begränsade
programmeringskunskaper. Ett programmeringsverktyg utformat som Blockly benämns ofta
som en visuell programmeringsmiljö eftersom pusselbitarna skapar en bild av programkoderna.
Det är också ett bra programmeringsintroducerande verktyg eftersom det finns en funktion i
programmet där eleverna kan välja ett textbaserat programspråk som pusselbitarna kan
översättas till.
(Figur 4: programmeringsverktyget Blockly)
25
Figur fyra visar hur programmeringsverktyget som använts under lektionssekvenserna ser ut. I
den vänstra delen av fönstret finns det block som liknar pusselbitar. Blocken är av olika färger
och former beroende på vilken kategori de befinner sig i. För att arbeta i programmet drar
eleverna in blocken i den mittersta delen av fönstret och sätts ihop till en programkod. För att
köra programkoden används play-knappen längst ned till höger. Längst till höger i fönstret visas
ett textbaserat programspråk som har översatt blocken till ett textspråk. Textbaserade
programspråket är valbart.
5.1.3 Utvärdering och revidering av första lektionen Analysen av första lektionen visar att majoriteten av eleverna lyckades lösa
matematikuppgiften, vilket kan tolkas som att den hade en passande svårighetsgrad. Eleverna
påbörjade programmeringsprocessen med första deluppgiften och det insamlande
datamaterialet visar att de flesta elevgrupperna arbetade med uppgiftsbeskrivningen. Följande
sekvens visar hur en elevgrupp arbetade med algebraiska uttrycket för aritmetiska talföljden. Elin: Jag tror att det är, typ här fyra gånger fyra minus ett, kanske… En, två, tre, fyra, fem, sex, sju, åtta, nio, tio, elva, tolv, tretton. Nej. Paus 60sek… Max: Yes, jag tror jag har löst det. Elin: Tror du? Max: Yes! Elin: Ok, hur tror du formeln är då? Max: Det kan vara tre n plus ett. ett gånger tre plus ett. Två gånger tre plus ett. Elin: Jättebra ok! Max: nu ska vi bara få in det i det här.
Sekvensen visar att eleverna använde sig av en strategi för att hitta det algebraiska uttrycket.
När Elin räknade en, två, tre… använde hon sig av uppgiftsbeskrivningen och figurerna som
visar stickorna i aritmetiska talföljden. Eleverna använde sig inte av programmeringsverktyget
när de arbetade med matematikuppgiftens första deluppgift. Istället använde eleverna
programmeringsverktyget efter att de bestämt det algebraiska uttrycket. Detta medför att
eleverna inte utnyttjade programmeringsverktyget från start, utan blev snarare ett hjälpmedel
senare i programmeringsprocessen. Programmeringsverktyget fick en passiv roll, eleverna
varken använde eller resonerade kring programmeringsverktygets funktioner. Utvärderingen av
lektionen visar alltså att den första deluppgiften bör revideras för att skapa ytterligare
möjligheter för eleverna att nå lärandemålen med hjälp av programmeringsverktyget.
Ytterligare en aspekt som behandlar matematikuppgiftens utformning var att elevgrupperna
redan i första deluppgiften testade sin lösningsmetod och programkod. Eftersom testa är en del
av programmeringsprocessen, blev det naturligt för eleverna att vilja testa sin lösningsmetod
26
innan de tog sig an en ny deluppgift. Följande sekvens visar hur elevgruppen testade sin
programkod. Elias: Set n to. Sätt en variabel. Samir: Vi har S, då ska vi sätta det till Elias: n, då blir det tre n plus ett. Samir: vi måste sätta in en till Elias: Ja, exakt. Sätt den på den där. Samir: Ett, så lägger vi till en till mattegrej. Vi måste flytta n in i parentesen annars blir det fel. (läser av python). Tre n plus ett. Elias: Japp. Klar med första uppgiften. Ta nu och sätt n. Den måste sitta före S. Samir: ja, sådär. Vad ska vi sätta n som Elias: 1,2,3,4,5,6,7 Samir: Vi sätter n till ett. Sen måste vi lägga på en print, S. (testar). Oj, den ska inte printa S. Vi måste lägga till variabeln S. (testar) ja, nu fyra. Elias: Jo, det stämmer. Elias: Vi ändrar n till sju. 22
Sekvensen visar hur eleverna började med att skapa variabler som ansågs relevanta för
matematikuppgiften. Samir läste uppgiftsbeskrivningen och uttryckte att en variabel bör
benämnas med 𝑠, troligtvis för att uppgiftsbeskrivningen frågade efter antal stickor 𝑠. Därefter
skapade Elias en variabel 𝑛 efter uppgiftsbeskrivningens benämning på figurerna i aritmetiska
talföljden. Eleverna resonerade kring hur de skulle placera matematikblocken under tiden som
de byggde sin programkod. Detta för att datorn skulle tolka programkoden korrekt. Samir
uttryckte att variabeln 𝑛 måste flyttas in i en parantes för att datorn skall läsa av programkoden
korrekt. Här synliggörs det att eleverna tidigare arbetat med programmering då de läser av
textspråket som finns på sidan av blocken. Eleverna testade sin programkod och fick datorn att
printa 𝑠, vilket inte var korrekt. Eleverna placerade ytterligare ett block i programkoden och
skapade en ny variabel som de ville att datorn skulle printa. Eleverna testade programkoden
och fick svaret fyra. Eleverna har alltså testkört sin programkod innan de började arbeta med
andra deluppgiften.
Andra deluppgiften arbetade eleverna med i sista delen av sekvensen. Deluppgiften bidrog inte
med någon ny kunskap då eleverna redan testat sin programkod och var medvetna om att
lösningen var korrekt. Det resulterade i att andra deluppgiften inte uppfyllde sitt syfte då
elevgrupperna redan innan testat sin lösningsmetod och var medvetna om att den fungerade.
Analysen av den andra deluppgiften är därför inte till någon nytta. Eleverna fick inte möjlighet
att utveckla sin resonemangförmåga och deluppgiften bör revideras för att uppfylla
matematikuppgiftens lärandemål.
Utvärderingen av lektionen visade att lärandemålet för den tredje och sista deluppgiften
uppfyllts. Av de tre deluppgifterna var det denna uppgift som upplevdes svårast för eleverna att
27
lösa. Eleverna blev tvingade att föra kreativa matematiska resonemang och arbetade flitigt med
de olika faserna i omgångar. Analysen av tredje deluppgiften visade att eleverna fick arbeta
problemlösande utan en given lösningsmetod och eftersom eleverna innan löst
matematikuppgiften med en annan lösningsmetod, hade alla elever möjlighet att förstå och
lyckas med den tredje deluppgiften. Analysen visar även att eleverna resonerade med hjälp av
matematiska begrepp som var relevanta för matematikuppgiften, motiverade strategier för
varandra samt påbörjade nya matematiska resonemang efter ett misslyckat test.
Utifrån utvärderingen ovan har matematikuppgiften reviderats med syfte att skapa ytterligare
möjligheter för eleverna att utveckla sin resonemangsförmåga med hjälp av ett
programmeringsverktyg. Första revideringen innebar att eleverna inte fick tillgång till penna
och papper i samma utsträckning. Vid lektionens start fick eleverna information om att de
redovisade sin programmeringsprocess och sitt svar i programmeringsverktyget. Syftet med
revideringen var att försöka få eleverna att redan i första fasen arbeta i
programmeringsverktyget. Andra revideringen medförde en omformulering av första och andra
deluppgiften till endast en deluppgift. Utvärderingen visar att elevgruppernas
programmeringsprocess bestod av att testa sin lösningsmetod i första deluppgiften, vilket
betyder att andra deluppgiften inte uppfyllde sitt syfte. Ytterligare en anledning till att slå ihop
första och andra deluppgift var att skapa mer utrymme för tredje och sista deluppgiften.
Utvärderingens resultat visar att tredje deluppgiften var den uppgift som eleverna gavs störst
möjlighet att utveckla sitt kreativa matematiska resonemang.
5.1.4 Utvärdering och revidering av andra lektionen Andra lektionen visar att eleverna upplevde matematikuppgiften utmanande och att de arbetade
med första deluppgiften under en lång tid. Flertalet grupper var i behov av ytterligare stöttning
under programmeringsprocessen. Detta resulterade i ett stort engagemang, diskussioner och
nyfikenhet. Eleverna utvecklade sin resonemangsförmåga kreativt och matematiska. I första
deluppgiften som reviderats (se bilaga E) visar analysen att eleverna snabbt fokuserade på figur
sju och inte på det algebraiska uttryckets utformning. Första deluppgiften blev därför en
programmeringsprocess där eleverna fokuserade på resultatet. Följande sekvens visar hur
programmeringsprocessen hos en elevgrupp fokuserar på att hitta svaret till figur sju. Johan: Sedan om vi gör såhär. Vi sätter en loop. Och så… Axel: repeterar vi den sju gånger, eftersom vi ska ha figur sju. Eftersom den ska repetera sju. Johan: Mm, vet du vad vi skulle kunna göra? Axel: Nej, Johan: Vi sätter att vi repeterar loopen n gånger. Såhär. Sen har vi en set n to, då kan vi välja vilket n vi ska ha.
28
Axel: Ja, men det är bra. Johan: Precis, och då kan vi sätta n till sju. Axel: Ja, Johan: Ok, och n gånger ska vi addera tre till x to eller hur? Axel: Ja just det, stämmer. Johan: Precis, då ska vi alltså ha en som heter. Sätt x to… Axel: Vi hade x till figur n. X är antal stickor. Då blir det tre n plus ett, där tre n är inom parantes Johan: Sen ska vi ha en print Axel: x Johan: Print x. Nu borde den funka. Axel: Testa. 22. Rätt.
Vid sekvensens start resonerade eleverna om att repetera en loop sju gånger för att beräkna
figur sju. Elevgruppen testade sin programkod snabbt och fick rätt svar. Elevernas
programmeringsprocess bestod till viss del av att gissa för att komma fram till det rätta svaret
för figur sju. Det resulterade i att eleverna inte reflekterade över programkodens funktion, utan
fokuserade istället på att finna det korrekta svaret. Lärandemålet för första deluppgiften var att
eleverna skulle utveckla sin resonemangsförmåga samt få kunskaper i att förstå och skapa ett
algebraiskt uttryck. Analysen visar att eleverna till viss del uppnådde lärandemålet dock med
för lite fokus på det algebraiska uttrycket.
Ett syfte med första revideringen var att elevgrupperna skulle få mer tid att utveckla sista
deluppgiften (se bilaga E). Analysen av lektionen visar dock att flera elevgrupper uttryckte att
första deluppgiften var svår och initierade att de inte skulle klara av andra deluppgiften.
Analysen visade även på bristande motivation under andra deluppgiften, vilket skulle kunna
förklaras med att eleverna upplevde matematikuppgiften omöjlig att lösa.
Matematikuppgiftens andra revidering genomfördes efter avslutad lektion och utvärderingen
ovan. Första revideringen innebär att omformulera första deluppgiften för att ändra elevernas
fokus. Under lektionstillfällena har en deluppgift syftat till att eleverna ska ta reda på hur många
stickor en viss figur har. Analysen av första utvärderingen visade att denna typ av deluppgift
inte utvecklade elevers resonemangsförmåga som önskat. Även i andra utvärderingen visar
resultatet att denna typ uppgift inte möjliggör det lärandemål som var tänkt för elevernas
resonemangsförmåga. Analysen har istället visat att eleverna själva testar sin programkod och
lösningsmetod genom att välja en valfri figur i aritmetiska talföljden. Första revideringen
innebär därför att utesluta deluppgiften som ber eleverna att ta reda på antal stickor för en viss
figur samt förtydliga syftet för att få eleverna att fokusera på de delar som anses viktigast. Första
deluppgiften får därför ett nytt fokus som syftar till utformningen av algebraiska uttrycket.
29
Analysen visar att ytterligare en revidering med syfte att stötta elevernas resonemang behöver
genomföras. Eleverna upplevde andra deluppgiften som utmanande och eventuellt omöjlig att
lösa. Revideringen innebär att skapa en matematikuppgift där eleverna kan använda sig av
lösningsmetoden i första deluppgiften och arbeta med att förenkla den för närvarande befintliga
lösningsmetoden. Revideringen medför att omformulera uppgiftsbeskrivningen till en
deluppgift som initierar ytterligare diskussion eleverna emellan.
Utifrån andra lektionen, utvärdering och revidering kan tredje och sista versionen av
matematikuppgiften specificeras. Första deluppgiften revideras för att förtydliga syftet med
uppgiften. Eleverna ska i sin programmeringsprocess skapa ett fungerande algebraiskt uttryck
för aritmetiska talföljden i programmeringsverktyget. Andra deluppgiften var väl fungerande
under första lektionen men ansågs utmanande under andra lektionen. Detta innebär att andra
deluppgiften eventuellt behöver revideras efter deltagarnas kunskaper och tidigare erfarenheter.
Dock kan andra deluppgiften utifrån andra lektionen revideras till en reflekterande uppgift med
utgångspunkt från första deluppgiften. Det skulle kunna betyda att andra deluppgiften
behandlar en optimering av första deluppgiften.
5.1.5 Nyckelaspekter i hypotetiska lärandebanan En inledande hypotetisk lärandebana har tidigare redovisats för att synliggöra en idé om vilket
lärande matematikuppgiften skulle kunna bidra med. I den inledande utformningen av den
hypotetiska lärandebanan konkretiserades lärandemålen i tre delar: 1) algebraiska
generaliseringar av mönster 2) variabler och 3) resonemang. Lektionssekvenserna har via den
cykliska processen i UDF synliggjort vilket lärande som matematikuppgiften faktiskt bidrog
med och vilka delar av den hypotetiska lärandebanan som uteblev. De delar i
matematikuppgiften som inte bidrog till elevers lärande resulterade i ett antal revideringar för
att sträva mot en större måluppfyllelse (se 5.1.3 och 5.1.4). De delar i matematikuppgiften som
gav goda förutsättningar för elever att utveckla sitt kreativa matematiska resonemang
resulterade i en ny, förfinad hypotetisk lärandebana som redovisas nedan och sammanställs i
ett flertal nyckelaspekter.
I hypotetiska lärandebanans första lärandemål, algebraiska generaliseringar av mönster har flera
nyckelaspekter identifierats. Första nyckelaspekten innebar att eleverna i starten på sin
programmeringsprocess arbetade med att tolka och förstå aritmetiska talföljden. Till sin hjälp
fick eleverna en uppgiftsbeskrivning (se bilaga D) med de fyra första figurerna i aritmetiska
talföljden. Eleverna arbetade med att beräkna antalet stickor i figur ett till fyra och letade efter
30
likheter och skillnader. I denna del av programmeringsprocessen fick eleverna träna på att
analysera matematikuppgiften genom att hitta likheter och skillnader figurerna emellan.
Likheten som eleverna fann var att differensen mellan varje efterföljande figur var konstant.
Eleverna uppmärksammade även att figur ett skiljde sig från de övriga figurerna. I
styrdokumenten för ämnet matematik ska eleverna ges möjlighet att utveckla sin analytiska
förmåga och det fick eleverna träna på i början av programmeringsprocessen.
Efter att eleverna analyserat och tolkat aritmetiska talföljden identifierades ytterligare en
nyckelaspekt. Eleverna arbetade med att formulera ett algebraiskt uttryck för vilket 𝑛 som helst
med hjälp av programmeringsverktyget. Eleverna var i behov av att kunna använda
informationen från tidigare analys och formulera ett algebraiskt uttryck. Eleverna fick kunskap
om hur differensen mellan figurerna kunde skrivas i ett algebraiskt uttryck. I detta fall ökade
varje figur med tre stickor som kan skrivas 3𝑛. Elevernas analys gav även information om att
det måste finnas en figur noll som endast hade en sticka för att kunna utforma ett korrekt
algebraiskt uttryck.
Tredje nyckelaspekten innebar att eleverna fullföljde sin strategi och utformade det algebraiska
uttrycket i programmeringsverktyget som senare testades. Programmeringsverktyget gav
eleverna kunskap om hur datorn läste av algebraiska uttrycket och de blev medvetna om vad
ett uttryck behövde innehålla för att betraktas som läsbart av datorn. Under denna del av
programmeringsprocessen fick eleverna vetskap om att prioriteringsreglerna var av relevans för
att datorn skulle läsa av algebraiska uttrycket korrekt. Ytterligare en nyckelaspekt har
identifierats då programmeringsverktyget blev till en ram för det algebraiska uttrycket.
Fjärde nyckelaspekten identifierades då sista delen av programmeringsprocessen liknades vid
ett detektivarbete och eleverna tränade på att utveckla olika strategier med hjälp av
programmeringsverktyget för att finna lösningen på matematikuppgiften. Elevernas
programmeringsprocess kan ses som en lärande progression, från att eleverna tolkar aritmetiska
talföljden, till att eleverna skapar ett algebraiskt uttryck, till sist förstår hur
programmeringsverktyget läser av det algebraiska uttrycket och kan hitta nya strategier utefter
detta.
Variabler är det andra lärandemålet som synliggjorts i den hypotetiska lärandebanan. När
eleverna började arbeta med matematikuppgiften fick eleverna själva skapa de variabler som
ansågs relevanta för uppgiften. Nästa steg för eleverna var att själva sätta ett värde på de
31
variabler som valts och därmed innebörden för respektive variabel. En nyckelaspekt
identifierades när eleverna i sin programmeringsprocessen arbetade med att bygga en
programkod i programmeringsverktyget, de fick då kunskaper om variabelns ramar.
Programmeringsverktyget gav eleverna kunskap om vad som behövde göras för att datorn
skulle kunna läsa av variabeln och vilka möjligheter som fanns för eleverna att arbeta med
variabler. För att datorn skulle kunna läsa av programkoden måste variablerna definieras och
sättas till ett startvärde. För att därefter byggas ihop med ett algebraiskt uttryck.
Programmeringsverktyget gav även eleverna kunskap om vad som inte går att göra med en
variabel, variabelns begräsningar.
Lärandemålet resonemang har identifierat en sista nyckelaspekt som kan konkretiserats likt en
progression. Första delen i progressionen och elevernas programmeringsprocess innebar att
eleverna tolkade och förstod den specifika matematikuppgiften. Uppgiftsbeskrivningen var
utformad med text och bild för att förtydliga elevernas uppgift. I den inledande delen av
programmeringsprocessen följde eleverna ett resonemang som redan fanns, vilket var en av de
aktuella matematikförmågorna i styrdokumentet. Nästa del i programmeringsprocessen
skapade en progression då eleverna själva utformade ett algebraiskt uttryck med hjälp av
programmeringsverktyget. Eleverna bestämde själva innehållet i resonemanget och styrde
diskussionen mot den strategi som valts.
Sista och avslutande delen i lärandemålet resonemang var att eleverna med hjälp av
programmeringsverktyget testade sin lösningsmetod och utefter resultatet felsökte
programkoden. Eleverna resonerade om nya matematiska begrepp och fick en förståelse för
varför datorn läste av lösningsmetoden på ett visst sätt. Lärandeprogressionen var att eleverna
måste resonera fram nya strategier som tidigare inte diskuterats och vidga sitt perspektiv utan
styrning. De identifierade nyckelaspekterna i hypotetiska lärandebanan som nämnts ovan har
sammanställts i en punktlista.
Nyckelaspekter
• Eleverna förstod och analyserade aritmetiska talföljden genom att resonera om likheter och skillnader mellan figurerna på uppgiftsbeskrivningen.
• Eleverna resonerade fram en strategi med målet att skapa ett korrekt algebraiskt uttryck i programmeringsverktyget.
• Eleverna arbetade med att fullfölja sin strategi och utformade ett algebraiskt uttryck i programmeringsverktyget.
32
• Programmeringsverktyget skapade en ram för variabler och algebraiska uttrycket, vilket bidrog till att eleverna utvecklade fördjupade kunskaper och resonemang om variablernas funktion, placering samt algebraiska uttryckets utformning.
• Programmeringsverktyget gav eleverna direkt feedback på lösningsmetoden. Eleverna felsökte och resonerade fram nya strategier för att finna den korrekta lösningsmetoden.
• Programmeringsprocess synliggjorde en progression i elevernas resonemangsförmåga: förstå och analysera problemet, skapa ett algebraiskt uttryck med hjälp av programmeringsverktyget som ram, felsöka eventuella fel och skapa nya strategier för att revidera felen i algebraiska uttrycket.
5.1.6 Sammanfattning design Syftet med matematikuppgiften var att utveckla elevers kreativa matematiska resonemang med
hjälp av ett programmeringsverktyg. Matematikuppgiften är en aritmetisk talföljd och
innehåller tre deluppgifter som eleverna skulle lösa. Studien genomfördes via en cyklisk
process i UDF för att synliggöra och systematisera lektionssekvensernas genomförande,
utvärdering och revidering av matematikuppgiften. En inledande, första utformning av
hypotetiska lärandebanan arbetades fram för att synliggöra en idé om vilket lärande
matematikuppgiften skulle kunna bidra med. Lärandemålen konkretiserades utifrån
matematikämnets styrdokument och delats in på följande sätt: 1) algebraiska generaliseringar
av mönster 2) variabler och 3) resonemang. Hypotetiska lärandebanan låg till grund för
matematikuppgiftens utvärdering och de revideringar som valdes att genomföras. Detta för att
skapa en matematikuppgift som bidrog till en ny, förfinad hypotetisk lärandebana med ett flertal
nyckelaspekter. Matematikuppgiften bidrog till att eleverna fick möjlighet att utveckla sin
analytiska förmåga för att tolka och förstå matematikuppgiften med hjälp av ett
programmeringsverktyg. Programmeringsverktyget skapade en faktisk progression som
utvecklade elevernas resonemangförmåga genom att ge feedback och synliggöra fel som
eleverna behövde åtgärda för att finna en korrekt lösning. Eleverna utvecklade en djupare
förståelse för variabler och algebraiska uttryck med hjälp av programmeringsverktyget som
ram. Till sist konstateras att matematikuppgiftens design är användbar för lärare och kan
appliceras i matematikundervisningen för att ge mer utrymme för problemlösning och kreativa
matematiska resonemang.
5.2 Forskningsfråga 2: Analys av programmeringsprocessen av aspekter av kreativa resonemang Resultatet för studiens andra forskningsfråga redogör för i vilka faser i elevernas
programmeringsprocess som stödjer ett kreativt matematiskt resonemang, detta utifrån Lithners
(2008) tre krav. Tre huvudkategorier har identifierats: 1) abstrahera 2) delproblem och 3) testa.
33
5.2.1 Abstrahera Analysen visar att fasen abstrahera uppmuntrar till kreativa matematiska resonemang när
eleverna arbetade med att skapa en modell och en plan för hur de skulle gå tillväga. Eleverna
påbörjade ett nytt resonemang kring de olika figurerna som tillhörde aritmetiska talföljden i
uppgiftsbeskrivningen. Efter att eleverna tolkat och förstått matematikuppgiften inledde
majoriteten av elevgrupperna programmeringsprocessen med att räkna antalet stickor i varje
figur. Därefter skapades ett resonemang kring hur många stickor som fanns i varje figur, vilken
skillnad det var figurerna emellan samt hur det algebraiska uttrycket för talföljden skulle kunna
se ut. I följande sekvens, från första lektionssekvensen förtydligas hur en elevgrupp påbörjade
sitt resonemang med syfte att identifiera det mest relevanta problemet och skapa ett algebraiskt
uttryck. Moa: Man lägger till tre hela tiden, så n… Jesper: Det är n gånger tre plus ett. Moa: Ja! Jesper: Två gånger tre plus ett. Tre gånger tre plus ett. Moa: ja exakt! Jesper: Alltså det är n, N bokstaven N gånger tre plus ett. Moa: Ja, då måste vi lägga in här [drar muspekaren runt i verktygets fönster]. Ok då kör vi.
Eleverna använde sig av uppgiftsbeskrivningen och tolkade de första fyra figurerna i aritmetiska
talföljden. De kommer fram till att för varje figur ökar antalet stickor med tre. Sista delen i
sekvensen visar att eleverna hittat en strategi och är redo att börja arbeta med nästa fas som är
delproblem. Den ovannämnda sekvensen uppmuntrar eleverna till kreativa matematiska
resonemang då eleverna för ett nytt resonemang med hjälp av relevanta matematiska begrepp.
Dock visar analysen av första fasen att eleverna ännu inte börjat arbeta i
programmeringsverktyget, vilket medför att eleverna planerade sin strategi utan att reflektera
över programmet som de skulle arbeta i. Programmeringsverktygets roll blir därför passivt och
varken elevernas programmeringsprocess eller resonemang behandlade
programmeringsverktygets roll eller funktion.
I andra lektionssekvensen påbörjade en elevgrupp sin programmeringsprocess direkt i
programmeringsverktyget. Eleverna inledde med att mata in all information som de tagit del av
via uppgiftsbeskrivningen och skrev in respektive figur som ett block. Karl: Ok, så vi ska skriva upp det först. Ola: Mm, figur ett måste vi skriva upp först. Karl: Figur ett, ska man bara skriva upp här? [Rör med muspekaren i programmeringsverktyget] Ola: Mm, ja lägg upp figur ett. Hur många stickor har den? Ett, två, tre, fyra. Så vi kan hitta ett mönster. Karl: Var finns…variabler [letar i verktyget], här. S, set S to. [drar in de block som ska användas]. Sedan så... ska vi sätta den till noll först? Ola: Ja.
34
Karl: En variabel till [skapar en ny variabel], n. Set n to. Ska den också vara noll? Men ska det inte vara att S är lika med n. Ola: S är lika med n. Nej vänta vad säger jag. n upphöjt i två plus ett, eller plus två. Karl: Vänta, n är. Jag får tre nya vid varje så annars skulle det vara minus två. Det måste vara plus två. n är två n. Nej. Ola: Kan vi inte bara göra såhär istället. Tre n plus ett. Eller? Karl: Jo, det är det. Vänta, tre gånger ett plus ett är fyra. Ola: För det här är sju. Karl: Två n plus ett. Ett, två, tre. Ne, tre n plus ett. Ja det är tre n plus ett.
Sekvensen synliggör att fasen uppmuntrar till kreativa matematiska resonemang då eleverna
förde ett nytt resonemang och påbörjade sin lösningsmetod via figurerna som utformats på
uppgiftsbeskrivningen. Eleverna har under sekvensen identifierat det relevanta problemet,
vilket var att finna ett algebraiskt uttryck, en formel för aritmetiska talföljden. Lithners (2008)
första och andra krav för ett kreativt matematiskt resonemang återspeglar delen i sekvensen då
eleverna ska bestämma 𝑛 och kommer tillsammans fram till att stickorna ökar med tre vid varje
figur. Programmeringsverktygets roll blir därför ett sätt för eleverna att sammanställa de
befintliga figurerna som finns i uppgiftsbeskrivningen. För att sedan arbeta med de olika
blocken för att komma fram till en lösningsmetod.
5.2.2 Delproblem I andra fasen har elevgrupperna valt ett flertal olika strategier för att finna lösningen på
matematikuppgiften. Analysen visar att eleverna arbetade med den redan valda strategin och
delade in problemet i mindre delar. Eleverna arbetade därefter med en del i taget. Ett flertal
elevgrupper arbetade på liknande sätt i båda lektionssekvenserna. Följande sekvens visar hur
en av elevgrupperna resonerade och arbetade med sin lösning. Simon: Då kan vi börja med att skapa en variabel [skapar variabel n]. Liam: Ok. Simon: Då var det n, math. [sveper förbi matematikblocken] Liam: Vi måste lägga ut variabeln. vi vill ju ha den [Initierar att Simon ska välja blocket set n.]. Set n. Simon: [tar ut variabeln set n] Liam: Så bra, sen kan vi ta en mattedel. Simon: En vad? Liam: n ska ju vara... Simon: [sätter n till 0] Liam: n är inte noll. n är figurens nummer. Simon: n är numret, nej det ska vara såhär. N ska sitta till noll. Liam: nej, för n är inte noll. Nu kommer n alltid vara noll. Simon: Jo, men vi kommer välja sen. Vi kommer välja vilka nummer vi ska ha sen. Då byter vi ut noll. Liam: Ja ok, ok. Ja Exakt.
Eleverna inleder arbetet i andra fasen med att skapa de variabler i programmeringsverktyget
som ansågs relevanta för problemet. Sekvensen visar hur programmeringsverktyget styr
elevernas förståelse för variabler. Programmeringsverktyget fungerade som en ram för hur
eleverna fick och kunde tänka vid användandet av variabler. Därefter arbetade eleverna med att
lösa första delproblemet, vilket var att definiera 𝑛. Här skapades en diskussion kring 𝑛 och om
35
𝑛 var noll eller figurens nummer. Elevernas arbete i andra fasen uppmuntrar till kreativa
matematiska resonemang då de argumenterade för sin åsikt med hjälp av matematiska begrepp
och som avslutades med att eleverna kom överens om att till en början definiera 𝑛 som noll.
För att senare i lösningen byta ut noll mot den aktuella figurens nummer. Elevernas kreativa
matematiska resonemang får även utrymme när de använder programmeringsverktygets
funktioner för att stärka sina argument samt resonerar kring variabelns betydelse.
Eleverna arbetade vidare med nästa delproblem och de utformade ett algebraiskt utryck som
såg ut på följande sätt, 𝑆 = 𝑛 ∗ 3 + 1. Programmeringsverktyget fick återigen en roll som ram
men i detta fall för det algebraiska uttrycket. Andra fasen uppmuntrar till kreativa matematiska
resonemang då eleverna för nya resonemang om algebraiska uttryckets utformning, både
uttryckets möjligheter och begränsningar. Elevernas resonemang innehöll argument för vilka
delar som behövde finnas med i algebraiska uttrycket men även hur de olika delarna i uttrycket
skulle placeras i programmeringsverktyget.
Ytterligare en strategi som flera elevgrupper, i första lektionssekvensen valde att använda var
att repetera delar av det algebraiska uttrycket med hjälp av en loop. David: Men kanske om du tar det här på repeat och sen... jag vet vad formeln är men jag vet inte hur jag får in den i Blockly. För jag har aldrig använt Blockly. Emil: Vår kod kan jag ju rätt. n… David: Vi ska lista ut vad n är, även om vi redan vet formeln för allt det här. Emil: Det vi har här är n eller? David: Ok, vi vet vad formeln är. Men borde vi inte kunna ha att den har det där mönstret och sedan typ upprepar den sig. Då kan vi skriva typ vad S är. Emil: Jaha då vet jag. Då gör vi så här då. Frågan är om vi kan lägga in en mattegrej i en loop. Nej, det kan vi inte. Då får vi gör så här då. [tar fram ett block som ser ut som en ekvation]. Ett plus ett och sedan tar vi X, plus X säger vi. Vi sätter vad X är. X är då tre. Då blir det här då. Beroende på. David: Borde vi inte kunna sätta in den där delen i loopen? Emil: Jo men nu så kommer det bli konstigt.
Sekvensen påvisar att eleverna var medvetna om att det algebraiska uttrycket skulle kunna
skrivas som en repetition. Elevernas resonemang ledde till att hela uttrycket skulle skrivas på
så vis att det repeterades ett visst antal gånger. Analysen visar att elevgruppen använde kreativa
matematiska resonemang då de argumenterade för aritmetiska talföljdens uppbyggnad med
hjälp av matematiska begrepp. Dock visar sekvensen att eleverna inte lyckades identifiera vad
i uttrycket som skulle repeteras för att få en fungerande programkod. Istället visar analysens
resultat att eleverna argumenterade för att datorn själv skulle kunna se och uppfatta det mönster
som utformats till en programkod. Programmeringsverktygets roll skiljer sig i denna sekvens
då elevgruppen var övertygade om att datorn själv kunde urskilja algebraiska uttrycket, förstå
och tolka programkoden. Om eleverna förstått innebörden av programmeringsverktyget hade
36
de troligtvis arbetat mot att själva lösa delproblemet för vilken del i algebraiska uttrycket som
behövde repeteras. Det hade utvecklat elevernas kunskaper om algebraiska uttryck och
programmeringsverktygets funktion. Programmeringsverktyget hade då fått en ny roll som givit
eleverna kunskaper om hur en loop fungerade samt i vilken del i det algebraiska uttrycket som
var i behov av att repeteras.
5.2.3 Testa Analysen av fasen redovisar att eleverna testade sina lösningsmetoder direkt efter att
programkoden utformats eller reviderats. Efter att eleverna testat sin programkod skapades ett
kreativt matematiskt resonemang kring testets resultat och en felsökning genomfördes om
resultatet inte blev som väntat. Vidare i analysen urskiljs denna del markant gentemot de andra
faserna då elevernas uppgift var att resonera om lösningsmetodens resultat. Eleverna utvecklade
ett kreativt resonemang om lösningsmetodens utfall samt nya resonemang skapades kring vilka
block i programkoden som krävde revidering. Det innebar att elevernas resonemang var under
ständig förändring utifrån programkodens resultat och nya idéer skapas utifrån lösningens
felsökning. Följande sekvens visar hur en elevgrupp i andra lektionssekvensen arbetade och
felsökte utifrån testresultatet. Moa: Kan vi inte fortsätta på det vi har [pekar med datormusen på koden] Jesper: Det går ju tydligen inte. Eller så gör man såhär. Vi kan stoppa in fler mattegrejer i den där [initierar att de ska sätta in ytterligare ett block som en ekvation]. Moa: Vi testar att stoppa in en likadan. Vi säger såhär, Sätt n to. Vi provar att sätta n till ett. Jesper: Vi provar nu Moa: Ne, vänta. Vi måste ha en print först. Jesper: just ja. [testar] Moa: Ne vänta vi måste ändra vad den ska printa. S ska den printa. [tar fram variabeln S] Jesper: funkar det? Moa: Varför är den delen av print ljus? Oj, nu tog jag bort print. Jesper: Vad gör du? Lägg till en print igen, en text. Moa: Så Jesper: Lägg till n sen Moa: Ne, vi ska väl printa S? Jesper: Ja printa S. Prova sen. Nej Moa: Nej, Nan. Vaddå Nan? [resultatet är ej definierat]
Eleverna i sekvensen insåg att deras programkod var oanvändbar och reviderade en av
dellösningarna. Eleverna testade på nytt sin programkod men insåg att det saknas ett textblock.
Därefter testade eleverna återigen programkoden och fick fel svar. En felsökning påbörjades
som uppmuntrar till aspekter av kreativa matematiska resonemang då eleverna behövde skapa
en ny idé och argumenterade för sin nya strategi med hjälp av matematiska begrepp.
Programmeringsverktyget fick här en avgörande roll genom att ge eleverna feedback och
vägleda mot en korrekt lösningsmetod. Eleverna arbetade fram en lösning, vilket var att texten
måste sitta ihop med en variabel för att programmet ska förstå vilken text som ska skrivas ut.
37
Eleverna testade programkoden igen och fick svaret Nan, programkoden var inte definierad.
Elevernas kreativa matematiska resonemang fick nu återigen utrymme för att felsöka
programkoden, finna en ny strategi och argumenterade gentemot varandra den nya strategins
innebörd för programkoden. I denna del av programmeringsprocessen utmanades eleverna i att
lösa delproblem, resonera nytt och kreativ, använda matematiska begrepp och lösa hela
matematikuppgiften.
Analysen i tredje fasen visar att majoriteten av elevgrupperna tillslut utformade en programkod
som fungerade och stämde överens med aritmetiska talföljden i matematikuppgiften. Sekvensen
nedan är från första lektionssekvensen och visar hur en elevgrupp testade, felsökte och till sist
kom fram till en fungerande programkod. Karl: Lägger den där så sätter vi istället för n där så har vi bara hur många gånger det händer [placerar formeln i en loop]. Nu så, [testar]. Nej fel. Karl: Just ja vänta [testar]. Nej fel. Va?? Tre gånger… det blir nio. Men den här ska bara hända en gång. Ola: Dra ut den då. Karl: Sen tillbaka med det som ska repeteras. Så sätter vi den andra delen nedanför. [delar på ekvationen och placerar + ett nedanför loopen]. Change S by ett. [testar] tio, ok ok. Karl: Om vi stället testar med 2 [test] 7. Ola: Du måste lägga in en etta. Karl: Nej, det är rätt. Karl: Vi provar 100, om det blir 301. Yes!!!
Elevgruppens strategi var att använda sig av en loop för att repetera det algebraiska uttrycket.
Vid elevernas första test skrev programmeringsverktyget ut ett svar som inte var förväntat och
en felsökning påbörjades. Fasen uppmuntrar till kreativa matematiska resonemang då eleverna
felsöker det algebraiska uttrycket och insåg att datorn repeterat hela uttrycket. Det var först då
som eleverna reflekterade över att det endast var en del av uttrycket som bör repeteras. Det
medförde att eleverna behövde felsöka, skapa en ny idé, genomföra nya planen och återigen
testa lösningsmetoden. Eleverna omformulerade programkoden och flyttade runt blocken som
inte skulle repeteras. Till sist testade eleverna lösningsmetoden och fick ett korrekt svar.
5.2.4 Sammanfattning programmeringsprocessen Sammanfattningsvis presenterar analysen att eleverna ges möjlighet att utveckla sitt kreativa
matematiska resonemang med hjälp av ett programmeringsverktyg under studiens utformade
lektioner. Med utgångspunkt från McCracken et al. (2001) fem faser beskrivs tre av dessa faser
relevanta för studiens resultat. De tre faserna som visas i analysen och utvecklar elevers kreativa
matematiska resonemang är: 1) abstrahera 2) delproblem och 3) testa. Första fasen i
programmeringsprocessen medför att eleverna skapar ett nytt resonemang om
matematikuppgiftens innehåll, val av strategi samt om programmeringsverktygets funktioner.
38
Andra fasen, delproblem arbetar eleverna med olika delproblem för att i ett senare skede sätta
ihop till en helhetslösning. Eleverna utvecklar sitt kreativa matematiska resonemang genom att
resonera om variabler, blockens position i programmeringsverktyget, hur det algebraiska
uttrycket för aritmetiska talföljden kan skrivas i programmeringsverktyget samt vilka delar av
det algebraiska uttrycket som skulle kunna utformas som en repetition. I sista och avslutande
fasen, testa provkör eleverna sin programkod och därefter påbörjades en felsökning. Analysen
visar att eleverna var mycket aktiva i testfasen och upplevdes engagerade och motiverade.
Programmeringsverktyget gav eleverna feedback på om programkodens utformning, vilket
medförde att nya resonemang skapades. Eleverna resonerade främst om vilken del i
programkoden som inte var korrekt, hur blocken var placerade i programkoden, huruvida svaret
var korrekt eller ej och det skapades även argument för de handlingar som eleverna resonerade
kring. Avslutningsvis visar analysen att eleverna utvecklar sitt kreativa matematiska
resonemang i tre olika faser under programmeringsprocessen. Dock konstateras det att den sista
och tredje fasen, testa ger störst möjlighet till utveckling och lärande.
6. Diskussion I följande avsnitt presenteras studiens metod- och resultatdiskussion. Avsnittet inleds med
resultatdiskussion som diskuterar och problematiserar studiens resultat. Därefter följer
metoddiskussionen som behandlar för- och nackdelar med studiens metod. Avsnittet avslutas
med studiens kunskapsbidrag och presenterar studiens konsekvenser för framtida
matematikundervisning.
6.1 Resultatdiskussion Resultatdiskussionen är indelad i två delar utifrån studiens två forskningsfrågor. Första delen
diskuterar första forskningsfrågan och andra delen diskuterar andra forskningsfrågan.
6.1.1 Matematikuppgiftens design Studiens resultat presenterar hur en matematikuppgift kan utformas med hjälp av ett
programmeringsverktyg med syfte att utveckla elevers kreativa matematiska resonemang.
Programmeringsverktyget medförde en programmeringsprocess där eleverna värdesatte sista
och femte fasen, testa. Eleverna reflekterade över sin lösningsmetod, skapade nya strategier och
resonemang för att lösa matematikuppgiften. Det visade sig att i slutet på
programmeringsprocess skapades störst möjligheter för eleverna att utveckla sitt kreativa
matematiska resonemang. Detta kan kopplas till ett av de sex koncepten i datalogiskt tänkande
39
då människan ska vara logisk och resonera kring vad programmet ska göra (Barefoot
Computing, 2014).
Med utgångspunkt från hypotetiska lärandebanans identifierade nyckelaspekter konstateras att
elevernas förkunskaper är avgörande för att matematikuppgiftens syfte ska uppnås. En
nyckelaspekt var att eleverna förstod och analyserade aritmetiska talföljden genom att resonera
om likheter och skillnader mellan figurerna på uppgiftsbeskrivningen. Elevernas förkunskaper
bör sträcka sig till att förstå och se olika typer av mönster samt ha kunskaper om algebraiska
uttryck (Drijvers et al., 2010). Ett av det fem tillvägagångsätten i datalogiskt tänkande beskriver
att eleverna behöver inneha vissa förkunskaper för att arbeta med programmering (Barefoot
Computing, 2014). Detta skapade ett dilemma eftersom ett flertal elevgrupper visade sig inte
inneha tillräckligt med förkunskaper inom detta område. En annan nyckelaspekt som
identifierats var att elevgrupperna i programmeringsprocessen arbetade med att skapa en
programkod i linje med det algebraiska uttrycket. Ett flertal elevgrupper upplevde det
utmanande att sätta ihop ett algebraiskt uttryck så att datorn förstod och läste av programkoden
på ett korrekt sätt. Dock bör alla elevgrupper inneha goda förkunskaper att skapa ett algebraiskt
uttryck som stämde överens med den aritmetiska talföljden. En förklaring till dilemmat skulle
kunna vara att eleverna inte är vana vid att testa sina lösningsmetoder. Wing (2008) och Papert
(1980) talar för att det är viktigt att implementera datalogiskt tänkande tidigt i skolåren, vilket
eventuellt hade inneburit en större programmeringsvana hos eleverna.
Studiens design utvärderades och reviderades efter varje lektion. Totalt reviderandes studiens
design i två omgångar. Utvärderingen av lektionerna visar att eleverna fick möjlighet att
utveckla sitt kreativa matematiska resonemang och resulterade i ett flertal nyckelaspekter i
hypotetiska lärandebanan. Lektionernas utvärdering strävade efter att synliggöra de delar i
lektionerna som uppfyllde studiens syfte, men framförallt synliggöra de delar i lektionerna som
inte motsvarade studiens syfte och därmed behövde revideras. Min studie motsäger Kalelioglu
och Gülbahar (2014) som uttrycker att programmering inte bidrar till att elever utvecklar sina
kunskaper i matematik.
Studiens resultat visar att revideringen av matematikuppgiften framförallt innehöll
omformuleringar av uppgiftsbeskrivningen för att skapa förståelse hos eleverna. Ett av de fem
tillvägagångssätten i datalogiskt tänkande är att eleverna förstår matematikuppgiften, vilket kan
kopplas till de revideringar som genomfördes för att skapa en större förståelse hos eleverna
(Barefoot Computing, 2014). Det skapas ett dilemma när matematikuppgiften utformades och
40
reviderades efter en elevgrupp som forskaren inte tidigare träffat. Åkerfeldt et al. (2018),
Mannila (2018) och Drijvers et al. (2010) uttrycker i tidigare forskning att det är viktigt att
anpassa undervisningen efter eleverna och deras tidigare erfarenheter för att möjliggöra ett
lärande. Det innebär att matematikuppgiften troligtvis hade utformats på ett helt annat sätt om
forskaren var medveten om elevernas exakta kunskapsnivå, tidigare erfarenheter samt fick
möjlighet att utveckla en relation till varje enskild elev. Ett försök till att möta eleverna utifrån
deras tidigare erfarenheter var att vid starten på lektionssekvenserna visa
programmeringsverktygets funktioner för att alla elever skulle få samma utgångspunkt. Två
exempel presenterades för att påvisa hur eleverna skapade variabler och utformade ett
algebraiskt uttryck. Under lektionerna blev det märkbart att dessa exempel var till stor nytta för
eleverna som snabbt skapade en förståelse för programmeringsverktyget, vilket medförde att
eleverna kunde fokusera på att lösa matematikuppgiften.
Lektionerna utvärderades även utefter vilken roll programmeringsverktyget fick under
lektionerna. Under första lektionen visade det sig att de flesta elever i första delen av
matematikuppgiften inte använde sig av programmeringsverktyget som därmed en passiv roll.
Det medförde att resultatet inte blev som tänkt och matematikuppgiften reviderades till nästa
lektion. Under andra lektionen arbetade vissa elevgrupper med programmeringsverktyget från
start, vilket visade på flera uppfyllda lärandemål. En förklaring till att eleverna i början av
matematikuppgiften inte använde sig av programmeringsverktyget kan vara att de är vana vid
att arbeta med penna och papper, därmed upplevde det enklare att påbörja
programmeringsprocessen med en känd metod.
I matematikuppgiftens andra delar fick programmeringsverktyget en roll som ram och
responsgivare. En nyckelaspekt som resultatet identifierade var att programmeringsverktyget
blev en ram för hur eleverna kunde arbeta med och utforma det algebraiska uttrycket. Det
innebar att eleverna, med hjälp av programmeringsverktyget fick en förståelse för det
algebraiska uttryckets möjligheter och begränsningar.
Tidigare forskning visar att programmeringsprocessen innebär i stor utsträckning att testa
programkoder och att det är en del av inlärningsprocessen (McCracken et. al., 2001; Åkerfeldt
et al., 2018). Ytterligare en nyckelaspekt som identifierats var att programmeringsverktyget gav
eleverna direkt feedback på lösningsmetoden. Responsen från programmeringsverktyget bidrog
sedan till att eleverna skapade ny kunskap och nya strategier för att finna den korrekta
lösningsmetoden. Eftersom eleverna anses oerfarna inom programmering har de inte fått
41
kunskaper om hur viktigt det är att avsluta programmeringsprocessen med att testa
programkoden. En förklaring till dilemman skulle kunna ses utifrån lärarens perspektiv.
Tidigare forskning visar att matematiklärare upplever okunskap inom datorkunskap och
programmering och det skulle kunna vara en bidragande faktor till att eleverna inte arbetat med
programmering tidigare (Benton et al., 2017; Drijvers et al., 2010). För att återkoppla till
studiens syfte konstateras att för att ge eleverna möjlighet att utvecklas krävs det en didaktisk
princip som utgår från elevernas tidigare kunskaper men också fortutbildning för lärare för att
uppleva bekvämlighet i en den specifika undervisningssituationen.
Min studie visar alltså samma sak som Dalton och Goodrum (1991) studie, att eleverna fick en
effektiv inlärning när matematikuppgiften utformats som en problemlösningsuppgift men löstes
med hjälp av ett programmeringsverktyg. Om eleverna arbetat med matematikuppgiften med
penna och papper, utan programmeringsverktyget hade elevernas lärande troligtvis sätt
annorlunda ut. Eleverna hade exempelvis inte arbetat efter en ram för det algebraiska uttrycket.
Eleverna skulle inte kunna få feedback på samma sätt, utan istället blir läraren respondent och
lösningsmetoden skulle inte kunna testas. Elevernas arbete med matematikuppgiften genom
programmeringsverktyget har således bidragit till flera kreativa matematiska resonemang som
annars inte varit aktuella.
Ett annat resultat värt att diskutera är valet av programmeringsverktyget och hur det påverkade
uppgiftens utformning. Första och mest centrala förklaringen till att programmeringsverktyget
Blockly använts i studien är programspråket. Blockly har ett blockbaserat programspråk, vilket
innebär att eleverna använder sig av färgade block som liknar pusselbitar. Manilla (2018)
skriver i tidigare forskning att blockbaserat programspråk är att föredra vid introduktion av
programmering. Det är ett enkelt språk som är lätt att förstå och går snabbt att lära sig. Som
tidigare nämnts har eleverna inte läst programmering i skolan innan och ansågs därför vara
nybörjare. Andra förklaringen är att Blockly finns tillgängligt för alla och eleverna behöver inte
logga in eller registrera sig för att använda programmeringsverktyget. Detta upplevdes som en
fördel eftersom eleverna snabbt kunde starta igång sin programmeringsprocess utan förarbete.
Valet av programmeringsverktyg hade givetvis sätt annorlunda ut om eleverna hade haft större
kunskaper inom området, men även om forskaren hade haft större kunskaper om elevernas
tidigare erfarenheter. Fördelen med matematikuppgiftens utformning är att den undervisande
läraren kan anpassa programmeringsverktyget till elevgruppen, vilket medför att uppgiften kan
appliceras i flera elevgrupper på ett enkelt sätt. Ytterligare en fördel är att det inte krävs speciellt
42
mycket förkunskaper av den undervisande läraren för att implementera programmet i
undervisningen. Tidigare forskning uttrycker att undervisande lärare upplever det utmanande
att använda teknik i sin undervisning eftersom det krävs nya didaktiska förhållningssätt
(Drijvers et al., 2010). Då kan ett program som Blockly vara till fördel eftersom det inte krävs
speciellt mycket förkunskaper samt elever och undervisande lärare kan lära tillsammans.
Sammanfattningsvis konstateras att studiens uppgiftsdesign är utformad efter en elevgrupp utan
tidigare erfarenheter av programmering samt utifrån matematikämnets kursplan för årskurs ett
i gymnasieskolan. En inledande hypotetisk lärandebana låg till grund för de revideringar som
genomfördes efter avslutad lektionssekvens och resulterade i ett flertal nyckelaspekter.
Matematikuppgiftens utformning är avgörande för hur eleverna tolkar problemet, skapar en
strategi och på vilket sätt de tar sig ann problemet.
6.1.2 Analys av programmeringsprocessen av aspekter av kreativa resonemang Resultatet visar att abstrahera, delproblem och testa är de tre faser i programmeringsprocessen
som eleverna utvecklar sitt kreativa matematiska resonemang (McCracken et al., 2001). För att
betrakta ett resonemang som kreativt och matematiskt ska elevernas resonemang innehålla
argument för strategival utifrån matematikens grund med relevanta begrepp. Resonemanget
skulle anses nytt för eleverna, slutligen leda till en lösning på problemet samt eleverna skulle
motivera relevansen på problemets svar (Lithner, 2008).
De tre faser som resultatet presenterar är tre skilda delar i elevernas programmeringsprocess.
Elevernas resonemang utformades på olika sätt beroende på vilken av faserna som de befann
sig i. Första fasen behandlade uppgiftsbeskrivningen och elevernas förståelse för vad som
förväntades av dem. För att koppla tillbaka till studiens syfte förde eleverna kreativa
matematiska resonemang men inte med hjälp av programmeringsverktyget. Första delen av
programmeringsprocessen innehöll endast resonemang kring matematikuppgiften. Detta skapar
ett dilemma då eleverna påbörjar sina resonemang och väljer en strategi innan de börjat arbeta
i programmeringsverktyget. Elevernas valda strategi fick snabbt revideras eftersom de inte haft
programmeringsverktyget i åtanke. Det var endast ett fåtal elevgrupper som påbörjade sin
programmeringsprocess genom att arbeta direkt i programmeringsverktyget och därefter valde
en strategi utifrån verktyget. Elevgrupperna som påbörjade sitt arbete med hjälp av
programmeringsverktygen blev snabbt bekväma och anpassade strategin utefter
programmeringsverktygets möjligheter. En logisk förklaring till att flertalet elevgrupper inte
43
använde programmeringsverktyget i programmeringsprocessen start kan vara att eleverna
upplevde programmering som ett nytt moment.
Andra fasen, delproblem fick en helt ny innebörd med hjälp av programmeringsverktyget.
Eleverna resonerade kring hur de olika blocken skulle placeras för att programkoden skulle
fungera. Eftersom eleverna inte arbetat med programmering innan och ansågs nybörjare
uppstod det ett dilemma för de elever som inte vågade prova sig fram. Ett flertal elevgrupper
upplevde att de fastnade och inte kom vidare. Jäder (2015) har en relevant förklaring på
dilemmat. Han uttrycker att elever sällan arbetar med uppgifter som inte har en given
lösningsmetod, vilket resulterar i att eleverna inte tränas tillräckligt i att våga prova sina
strategier. Vidare skriver han att eleverna är vana vid att beräkna proceduruppgifter och behöver
därmed inte välja strategi (Jäder, 2015). Dock skriver Åkerfeldt et al. (2018) att grunden till att
lyckas inom programmering är att först misslyckas och våga testa. Ytterligare en förklaring till
dilemmat skulle därför kunna vara att de elever som aldrig kommit i kontakt med
programmering upplevde fasen delproblem som utmanande eftersom de inte fått kunskaper om
att programmering till viss del innebär att testa sig fram.
Testa som är den tredje fasen var enligt resultatavsnittet den fas som eleverna fick störst
möjlighet att utveckla sitt kreativa matematiska resonemang. Sista delen i en
problemlösningsprocess är den mest relevanta eftersom det är då som programkoden testas
(McCracken et al., 2011). Under den sista delen i programmeringsprocessen har eleverna tid
för reflektion och ser tillbaka på sin lösningsmetod. Det finns flera förklaringar till att testfasen
var den del av programmeringsprocessen som främst möjliggjorde elevers utveckling av
kreativa matematiska resonemang. Första förklaringen är att när eleverna testade sin
programkod fick de direkt feedback på om programkoden var korrekt eller ej. När eleverna
testade programkoden och fick resultatet skapades ett kreativt resonemang kring svaret, oavsett
om det ansågs korrekt eller ej. Andra förklaringen är att efter eleverna testat programkoden
påbörjades en felsökning, vilket innebar att eleverna försökte ta reda på vilken del i
programkoden som inte var korrekt. Felsökningen skapade nya resonemang och eleverna fick
ofta revidera sin strategi. Tredje och sista förklaringen är att programmeringsverktyget ansågs
nytt för eleverna, vilket resulterade i flertalet resonemang om verktygets möjligheter och
begränsningar.
Resultatet visar även att programmeringsverktyget bidrog till att eleverna resonerade och
diskuterade det algebraiska uttrycket för aritmetiska talföljden på ett sätt som de troligtvis inte
44
hade gjort om de skulle löst uppgiften som en vanlig matematikuppgift. Ett flertal elevgrupper
stötte på dilemman som hur programmeringsverktyget prioriterade i blocken, vilka variabler
som var relevanta för datorn att ha kunskaper om samt i vilken ordning blocken skulle sitta för
att datorn skulle läsa av programkoden på ett korrekt sätt. Dessa dilemman bidrog till att
eleverna utvecklade sitt kreativa matematiska resonemang samt sitt datalogiska tänkande. Inget
av dessa dilemman ovan hade varit aktuellt om matematikuppgiften hade lösts på ett vanligt
sätt med exempelvis penna och papper.
Avslutningsvis konstateras att programmering och matematik har många likheter. Lovric
(2018) uttrycker att programmering och matematik går hand i hand. Han syftar till att
matematikens teoretiska delar kan användas praktiskt inom programmeringen genom att skapa
programkoder. Detta medför att programmering kan användas som ett verktyg för att främja
elevers lärande i matematik samt skapa förutsättningar för elever att utveckla sitt kreativa
matematiska resonemang.
6.2 Metoddiskussion För att uppnå studiens syfte och besvara forskningsfrågorna valdes en kvalitativ
forskningsansats och UDF som metodansats. En reflektion som är värd att diskutera är valet av
studiens metod och om det finns ytterligare en metod som hade varit relevant för studiens syfte
och forskningsfrågor. Studiens syfte är att undersöka hur digitala lärmiljöer i programmering
kan utveckla elevers förmåga att föra resonemang i algebra. I detta fall hade inte en kvantitativ
forskningsansats varit aktuell eftersom syftet med en kvantitativ metod är kvantifiering och
siffror och därmed hade syftet med studien ej uppnåtts. Kvalitativa forskningsansatsen är vald
utefter studiens syfte och forskningsfrågor vilket innebär att resultatet kan anses trovärdigt.
Detta eftersom studiens metod motsvarar det resultat som ansågs relevant och bidrog därmed
till ett väsentligt resultat.
UDF är en metod vars studiens resultat direkt kan appliceras i undervisningen och användas av
undervisande matematiklärare. Hade en annan metodansats valts hade givetvis resultatet sätt
annorlunda ut och studien hade inte bidragit med ett direkt användbart resultat. Dock hade en
observationsstudie varit relevant eftersom ett syfte med studien är att undersöka elevers
utveckling av kreativa matematiska resonemang. En vidare reflektion är att om en observation
hade genomförts skulle det kräva mer av deltagarna och den undervisande läraren. Det hade
eventuellt upplevts mer utmanande att få deltagare till studien samt innehållet i den
45
observerande lektionen hade varit styrt av den undervisande läraren. Av den anledningen kan
UDF anses som bäst lämpad för studiens syfte och forskningsfrågor.
Metodens utgångspunkt är en cyklisk process som bidrar till att urskilja i resultatet vad eleverna
egentligen lärt sig. I denna studie genomfördes två cyklar av processen, vilket innebar att
matematikuppgiften utformades, testades i en lektion, utvärderades och sist reviderades.
Metodens cykliska process var ett systematiskt arbetssätt som skapade utvecklingsmöjligheter
för den valda matematikuppgiften. Efter den första cykliska processen blev det tydligt att
programmeringsverktyget inte användes i en av deluppgifterna. Detta medför att denna
information inte hade uppmärksammats utan den cykliska processen och därmed hade
lärandemålen inte uppnåtts. Efter att den andra cykliska processen genomförts fanns det delar i
matematikuppgiften som inte uppfyllde lärandemålen. Utvärderingen pekade på att eleverna
missförstod syftet med en av deluppgifterna och blev resultatfokuserade istället för att fokusera
på att lösa problemet. Återigen hade informationen inte uppmärksammats utan den cykliska
processen. Det systematiska arbetssättet innehållande cykliska processen ger studien en
trovärdighet genom att forskaren steg för steg arbetat för att konkretisera delar av studiens
resultat. Systematiken i den cykliska processen visar även hur forskaren arbetat med att stärka
studiens pålitlighet och säkerhetsställa en fullständig redogörelse. Revideringar av
matematikuppgiften genomfördes efter varje avslutad lektion och utvärdering med syfte att
skapa en matematikuppgift som främjade och utvecklade elevers kreativa matematiska
resonemang. Ytterligare revideringar hade varit till nytta för att utveckla matematikuppgiften
för en större måluppfyllelse.
Studiens urval av deltagare motiverades utifrån elevernas förkunskaper och utifrån kursplanen.
Gymnasieelever i årskurs ett ansågs inneha de förkunskaper som krävdes för att kunna
genomföra matematikuppgiften. Deltagarna skulle anses nybörjare i programmering eftersom
programmeringsverktyget som användes var blockbaserat och enkelt. Kursplanen för
matematikkurserna 1 a-c beskriver hur programmering ska användas i
matematikundervisningen och var därför relevant för studien.
6.3 Studiens kunskapsbidrag Studien har visat på vad en matematiklärare på gymnasiet bör tänka på när hen ska utforma en
matematikuppgift med hjälp av ett programmeringsverktyg, med syfte att skapa förutsättningar
för elever att utveckla sin resonemangsförmåga. Tidigare forskning har uttryckt att elever inte
får tillräckligt med utrymme i matematikundervisningen för att utveckla sin
46
resonemangsförmåga (Jäder, 2015). Forskningen visar även att de matematikuppgifter som
innehåller delar av resonemang anses som utmanande och är ofta frivilliga för eleverna att
beräkna. Detta medför att eleverna får en begränsad kunskap inom matematikämnet som
framförallt innehåller olika typer av procedurberäkningar (Jäder, 2015). Lärare som undervisar
i matematik behöver därför utveckla undervisningen mot att erbjuda eleverna olika typer av
matematikuppgifter som utmanar och utvecklar elevernas olika förmågor. Som tidigare nämnts
är programmering ett nytillkommet ämne i grundskolan och gymnasieskolan. Tidigare
forskning har visat att programmering och matematik går hand i hand och eleverna ges större
möjlighet till inlärning när eleverna får konstruera egna problem (Lovric, 2018; Marshall &
Buteau, 2013). Programmeringsprocessen beskrivs ofta som en problemlösningsprocess med
ett flertal olika faser, vilket medför att programmering kan användas som verktyg för att
utveckla elevers resonemangsförmåga (Manilla, 2018). Därav hade det varit intressant att skapa
ytterligare förståelse för hur programmeringsverktyget spelar roll i elevernas utveckling genom
att jämföra grupper av elever som löser samma matematikuppgift med och utan verktyget.
Resultatet i första forskningsfrågan presenterar hur en matematikuppgift kan utformas med
hjälp av ett programmeringsverktyg, med syfte att utveckla elevers kreativa matematiska
resonemang. Programmeringsverktyget får en central roll under elevernas
programmeringsprocess och blir till en ram för vad som kan utföras, både utifrån verktygets
funktioner men även utifrån matematikämnet. Programmeringsverktyget fungerade även som
en responsgivare och gav eleverna feedback på lösningsmetoden och eleverna fick vägledning
i deras fortsatta arbete. Matematikuppgiften behöver upplevas enkel att förstå för att eleverna
ska uppleva en inre motivation att vilja lösa problemet. Matematikuppgiftens utformning kräver
dock ett relativt avancerat problem eftersom det ska inneha flera olika metoder som eleverna
måste använda sig av för att finna lösningen på problemet. Matematikuppgiften kan med fördel
även inneha flera olika lösningsalternativ, vilket innebär flera alternativa lösningsmetoder.
En förfinad hypotetisk lärandebanan med ett flertal nyckelaspekter har presenterats för att
synliggöra elevernas lärande och till följd av detta få ett underlag för matematikuppgiftens
revideringar. Programmeringsverktyget skapade en progression som utvecklade elevernas
resonemangförmåga genom att ge feedback och synliggöra fel som eleverna behövde åtgärda
för att finna en korrekt lösning. Eleverna utvecklade en djupare förståelse för variabler och
algebraiska uttryck med hjälp av programmeringsverktyget som ram.
47
Den utformade matematikuppgiften som är en del av studiens resultat kan direkt implementeras
in i matematikundervisningen eller användas som en inspiration till undervisande
matematiklärare att själva utforma en liknande matematikuppgift med hjälp av ett
programmeringsverktyg.
Andra forskningsfrågan har studerat i vilka faser i programmeringsprocessen som eleverna gavs
möjlighet att utveckla sitt kreativa matematiska resonemang. Analysens resultat visar att faserna
abstrahera, delproblem och testa ger eleverna möjlighet att resonera kreativt och matematiskt.
I första fasen abstrahera krävs det att eleverna tillsammans resonerar för att skapa en förståelse
för matematikuppgiftens innebörd. Eleverna skapar en förståelse och väljer en strategi för att
påbörja programmeringsprocessen. Andra fasen, delproblem kräver resonemang för varje del i
problemet som eleverna arbetar med. Eleverna resonerar om variabler och dess betydelse,
blockens placeringar och på vilket sätt delarna kan bli en helhetslösning. Tredje och sista fasen,
testa får eleverna feedback från programmeringsverktyget och elevernas resonemang innehåller
framförallt problemlösande argument för hur de ska revidera sin programkod för att hitta den
rätta lösningen på problemet.
Även om studien bidragit till ny kunskap krävs det ytterligare forskning inom området. Ett
förslag till ytterligare forskning inom området är att med en intervention studera traditionell
matematikundervisning och matematikundervisning innehållande programmering. Detta för att
studera vilka möjligheter eleverna får att utveckla sin resonemangsförmåga med hjälp av
programmering i jämförelse med traditionell matematikundervisning. Det finns ett intresse att
fortsatt studera huruvida programmering faktiskt ger en positiv effekt på elevernas förmåga att
utveckla sin resonemangsförmåga.
48
7. Referenser Alfredsson, L., Bråting, K., Erixon, P., & Heikne, H. (2011). Matematik 5000, 1c. Stockholm:
Natur & Kultur.
Bakker, A. (2018). Design research in education, A practical guide for early career
researchers. England: TJ International Ltd.
Barefoot computing. (2014). Barefoot computing. Hämtad 2019-09-23, från
https://www.barefootcomputing.org/about-barefoot.
Benton, L., Hoyles, C., Kalas, I., & Noss, R. (2017). Bridging Primary Programming and
Mathematics: Some Findings of Design Research in England. Digital Experiences in
Mathematics Education, 3(2), 115-138. doi: 10.1007/s40751-017-0028-x.
Bryman, A. (2018). Samhällsvetenskapliga metoder. Stockholm: Liber.
Corbin, J., & Strauss, A. (2008). Basics of Qualitative Research (3rd ed.): Techniques
and Procedures for Developing Grounded Theory. USA: Sage Publications. Tillgänglig:
http://methods.sagepub.com.db.ub.oru.se/book/basics-of-qualitative-research.
Dalton, D., & Goodrum, D. (1991). The effects of computer programming on problem-
solving skills and attitudes. Educational computing research, 7(4), 483-506. doi:
10.2190/762V-KV6T-D3D1-KDY2.
Drijvers, P., Doorman, M., Boon, P., Reed, H., & Gravemeijer, K. (2010). The teacher and the
tool: instrumental orchestrations in the technology-rich mathematics classroom. Science
and Mathematics Education, 75(2), 213-234. doi: 10.1007/s10649-010-9254-5.
Eriksson Barajas, K., Forsberg, C., & Wengström, Y. (2018). Systematiska litteraturstudier i
utbildningsvetenskap. Stockholm: Natur & Kultur.
Hagland, K., Hedrén, R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem – inspiration till
variation. Malmö: Liber.
Jonsson, B., Nordqvist, M., Liljekvist., Y. & Lithner, J. (2014). Learning mathematics
through algorithmic and creative reasoning. The Journal of Mathematical Behavior, 36,
20-32. doi: 10.1016/j.jmathb.2014.08.003.
Jäder, J. (2015). Elevers möjligheter till lärande av matematiska resonemang
(Licentiatavhandling). Norrköping: Linköpings Universitet. Tillgänglig:
http://webstaff.itn.liu.se/~micho58/research/Licentiatavhandling_Jonas_Jader.pdf.
Kalelioglu, F., & Gülbahar, Y. (2014). The effects of teaching programming via Scratch on
problem solving skills: A discussion from learners´ perspective. Informatics in
education, 13(1), 33–50.
49
Kiselman, C., & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg: Nationellt
Centrum för Matematikutbildning, NCM Göteborgs Universitet.
Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Education
studies in mathematics, 67 (3),255–276. doi: 10.1007/s10649-007-9104-2.
Lovric, M. (2018). Programming and Mathematics in an Upper-Level University Problem-
Solving Course. Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate
Studies, 28(7), 683–698. doi:10.1080/10511970.2017.1403524.
Mannila, L. (2018). Att undervisa programmering i skolan. Lund: Studentlitteratur.
Marshall, N., & Buteau, C. (2013). Learning Mathematics by Designing, Programming, and
Investigating with Interactive, Dynamic Computer-based Objects. International Journal
of Technology in Mathematics Education, 21(2), 1-6.
McCracken, M., Almstrum, V., Diaz, D., Guzdial, M., Hagen, D., Kolikant-Yifat, B., Laxer,
C., Thomas, L., Utting, I., & Wilusz, T. (2001). A Multi-National, Multi-Institutional
study of assessment of programming skills of first-year CS students. SIGCSE Bull,
33(4), 125–140.
Moreno-León, J., Robles, G., & Román-González, M. (2016). Code to Learn: Where Does It
Belong in the K-12 Curriculum?. Journal of Information Technology Education, 15,
283-303.
Nordqvist, M. (2016). On Mathematical Reasoning - being told or finding out. Department of
Mathematics and Mathematical Statistics. Umeå: Umeå Universitet. Tillgänglig:
http://umu.diva-portal.org/smash/get/diva2:954413/FULLTEXT01.pdf
Papert, S. (1980). Mindstorms, Children, Computers, and Powerful Ideas. Brighton:
Harvester Press.
Plomp, T., & Nieveen, N. (2013). Educational Design research, part A: an introduction.
Nederländerna: Enchede. Tillgänglig:
https://www.researchgate.net/profile/Brenda_Bannan/publication/263733328_The_Inte
grative_Learning_Design_Framework_114_-
_133_An_Illustrated_Example_from_the_Domain_of_Instructional_Technology/links/0
046353bc22945ecfd000000/The-Integrative-Learning-Design-Framework-114-133-An-
Illustrated-Example-from-the-Domain-of-Instructional-Technology.pdf#page=12.
Polya, G. (2003). Problemlösning, en handbok i rationellt tänkande av G. Polya. Stockholm:
P.A Norstedt & Söner.
50
Sidenvall, J., Lithner, J., & Jäder, J. (2015). Students’ reasoning in mathematics textbook
task-solving, International Journal of Mathematical Education in Science and
Technology, 46(4), 533-552. doi: 10.1080/0020739X.2014.992986.
Skolverket. (2011). Läroplan, examensmål och gymnasiegemensamma ämnen för
gymnasieskola 2011. Tillgänglig:
https://www.skolverket.se/undervisning/gymnasieskolan/laroplan-program-och-amnen-
i-gymnasieskolan/laroplan-gy11-for-gymnasieskolan.
Strauss, A., & Corbin, J. M. (1990). Basic of qualitative research: grounded theory procedures
and techniques. Newbury park, CA: Sage.
Trangius, K., & Hall, E. (2018). Programmering i matematiken. Lidköping: Thelin Förlag.
Ulin, B. (2008). Fibonacci-talen och gyllne snittet. Nationellt Centrum för
Matematikutbildning, NCM. Göteborg: Göteborgs universitet. Tillgänglig:
http://bestallning.ncm.gu.se/wp-content/uploads/2017/03/fibonacci-talen.pdf.
Vetenskapsrådet. (2017). God forskningssed. Stockholm: vetenskapsrådet.
Wing, J. (2006). Computational thinking. Communications of the ACM, 49 (3).
Wing, J. (2008). Computational thinking and thinking out computing. The Royal Society, 366,
3717–3725. doi:10.1098/rsta.2008.0118.
Wing, J. (2010). Computational Thinking: What and Why?. Tillgänglig:
https://www.cs.cmu.edu/~CompThink/resources/TheLinkWing.pdf.
Yadav, A., Stephenson, C., & Hong, H. (2017). Computational Thinking for Teacher
Education. Communications of the ACM, 60(4), 55-62. doi:10.1145/2994591.
Åkerfeldt, A., Kjällander, S., & Selander, S. (2018). Programmering, introduktion till digital
kompetens i grundskolan. Stockholm: Liber.
51
8. Bilagor 8.1 Bilaga A: Missivbrev Hej! Jag heter Amanda Scherdin och läser till ämneslärare på Örebro Universitet. Just nu arbetar jag med mitt examensarbete som syftar till att undersöka hur digitala lärmiljöer i programmering ger eleverna förutsättning att utveckla sin resonemangs- och problemlösningsförmåga. Min studie ska också undersöka hur programmering kan främja elevernas kreativa resonemang i matematikundervisningen. Som en del av denna studie så ber jag dig om tillåtelse att spela in ljud och bildskärm på ett digitalt hjälpmedel under en matematiklektion där ditt barn medverkar. Syftet med inspelningen är att kunna analysera i detalj vad som sker när eleverna får arbeta med programmering som ett digitalt verktyg. Med hjälp av denna analys kommer undervisningen i matematik kunna förbättras både för ditt barn och för framtida elever. Ljudklippen kommer ej att bli tillgängliggjorda på internet eller på annat allmänt sätt utan är endast till för mina analyser. Alla namn som kommer presenteras i dokumentationen är fiktiva så att ditt barns medverkan förblir anonymt. Om ni av något skäl inte vill att ditt barn ska delta respekterar jag ert beslut. Det är även möjligt att alltid avsäga sin medverkan, både under studiens gång eller vid senare tillfälle. Var vänligen att diskutera detta med ditt barn och därefter kryssa i ett alternativ nedan som sedan lämnas till er matematiklärare. Om ni har några frågor får ni gärna kontakta mig, [email protected]. ……………………………… ( ) Det är ok att mitt barn spelas in. Målsmans underskrift och namnförtydligande
( ) Jag vill inte att mitt barn spelas in.
……………………………… Elevens underskrift och namnförtydligande Hälsningar Amanda Scherdin
52
8.2 Bilaga B: Inledning och instruktioner inför genomförande av studie Visa programmeringsverktyget ”Blockly” https://developers.google.com/blockly Logic – Bestämmer vägval, sant eller falskt
Loops – Upprepning av en kod medans någonting fortfarande stämmer
Math - Matematik
Text - Text
Lists – Ej aktuell för studien
Color – Ej aktuell för studien
Variables – Skapar egna variabler
Functions – Kan sätta in koder i andra koder med hjälp av endast en variabel
Genomgång av exempeluppgift:
1. 𝑦 beror av 𝑥 enligt formeln 𝑦 = 1200 − 4𝑥 Beräkna 𝑥 = 100
2. Startkostnaden 𝑠 för att hyra en bil är 250kr, därefter är kostnaden för varje mil 25kr. 𝑥 = 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑚𝑖𝑙. Vad blir den totala kostnaden 𝐾 för att hyra en bil om man åker 10mil?
𝐾 = 250 + 25𝑥
53
8.3 Bilaga C: Instruktioner till att använda FScapture (datainsamling)
1. Stäng alla fönster på datorn. 2. Googla Blockly och öppna programmeringsverktyget.
https://developers.google.com/blockly 3. Sätt i USB-stickan i datorn (stickan heter Kingston)
4. Klicka på genvägen som finns på stickan, då:
a. Öppnas en panel med olika verktyg b. Klicka på filmrullen c. Ställ sedan in verktyget med: full screen, record audio –
microphone d. Tryck start
5. För att se om inspelningen är igång, titta efter en ikon, filmrullen nere i högra hörnet på datorn. Ikonen ska blinka vit och röd.
6. Arbeta i Blockly
7. När ni är färdiga med uppgiften tyck på ikonen i högra hörnet a. TRYCK SPARA. b. SPARA PÅ FSCAPTURE (stickan) och döp inspelningen till
siffran som ni blivit tilldelade.
8. Ta ut stickan
54
8.4 Bilaga D: Matematikuppgift – Aritmetisk talföljd Uppgift
Figurerna på bilden är lagda med stickor och mönstret antas fortsätta på samma sätt.
a) Finn en formel för antalet stickor 𝑆i figur nummer 𝑛 med hjälp av
programmeringsverktyget Blockly.
b) Beräkna därefter 𝑛 = 7 och 𝑛 = 100
c) Kan ni hitta ytterligare en lösningsmetod på problemet?
Lösning:
55
Lösning Det finns flera olika lösningar. Tre metoder visas nedan. Metod 1 Börja med att göra en tabell: Figur nr n 1 2 3 4 Antal stickor S 4 7 10 13
Antalet stickor ökar med 3 från en figur till nästa figur. Så skulle figurerna kunna vara uppbyggda på följande sätt: Figur nr n 1 2 3 4 Antal stickor S 1+3 1+3∙2 1+3∙3 1+3∙4
Detta ger oss formeln 𝑆 = 1 + 3𝑛. Metod 2 Figur nummer n innehåller n kvadrater, var och en med 4 stickor. Vi får antalet om vi justerar för att de inre stickorna, som är 𝑛 − 1, räknas två gånger. 𝑆 = 4𝑛 − (𝑛 − 1) = 3𝑛 + 1. Metod 3 Använd figur 3𝑛 för lösningsmetod men resonemanget är allmängiltigt. Beräkna först de horisontella stickorna 2𝑛 (se de svarta pilarna på bilden) Formeln ser ut:𝑆 = 2𝑛 Beräkna sedan de yttre stickorna (2) Formeln ser ut: 𝑆 = 2𝑛 + 2
Figur 3𝑛
56
Till sist besräkna de inre stickorna (𝑛 − 1) Då får vi formeln: 𝑆 = 2𝑛 + 2 + 𝑛 − 1 = 1 + 3𝑛 𝑆 = 1 + 3𝑛 (Alfredsson et al., 2011)
Figur 3𝑛
57
Lösning med programmeringsverktyg Blockly 𝑛 = 7 Metod 1 Metod 2
Metod 3
58
𝑛 = 100 Metod 1 Metod 2 Metod 3
59
8.5 Bilaga E: Matematikuppgift – Aritmetisk talföljd (revidering) Uppgift
Figurerna på bilden är lagda med stickor och mönstret antas fortsätta på samma sätt.
a) Skriv en kod i programmeringsverktyget Blockly som beräknar hur många stickor som
finns i figur 7.
b) Kan ni hitta ytterligare en lösningsmetod på problemet?