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Adição esubtração de arcos
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Adição e subtração de arcos
Se α e β são dois números reais quaisquer, é verdade que sen (α + β) = sen α + sen β?
A partir dos valores do seno e do co-seno de dois arcos, podemos obter o seno e o co-seno de sua soma ou de sua diferença.
sen (30º + 60º)
= sen 30º + sen 60º
= 1/2 + √3/2= (1 + √3)/2
(F)
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Adição de subtração de arcos
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
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Adição de subtração de arcos
tg (a + b) =
sen (a + b)cos (a + b)
tg (a – b) =
sen (a – b)cos (a – b)
tg (a + b) =
tg a + tg b1 – tg a . tg b
tg (a – b) =
tg a – tg b1 + tg a . tg b
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Exemplos
Utilizando a fórmula de soma e diferença de arcos, calcular sen 15º e cos 105º.
15º = 45º – 30º ⇒ sen 15 = sen (45 – 30)
sen (45 – 30) = sen 45 . cos 30 – sen 30 . cos 45sen (45 – 30)
= √2/2 . √3/2 – 1/2 . √2/2
= (√6 – √2)/4
105º = 60º + 45º ⇒ cos 105 = cos (60 + 45)
cos (60 + 45) = cos 60 . cos 45 – sen 60 . sen 45sen (60 + 45)
= 1/2 . √2/2 – √3/2 . √2/2
= (√2 – √6)/4
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Exemplos
Sendo cos x = 5/13, x do 3º quadrante, calcular sen (x + 30º).
⇒ sen2 x + (5/13)2 = 1
sen2 x + cos2 x = 1
sen (x + 30)
= –12/13.√3/2 + 1/2.(–5/13)
⇒ sen2 x = 1 – 25/169
⇒ sen2 x = 144/169
⇒ sen x = – 12/13 (3º. Quadrante)
sen (x + 30) = sen x . cos 30 – sen 30 . cos x
sen (x + 30)
= (–12√3 – 5)/26
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tg (a – b)
Exemplos
Sabendo que tg a = 3 e tg b = 2, calcule cotg (a – b).
cotg (a – b) =
1
tg (a – b) =
tg a – tg b1 + tg a . tg b
3 – 21 + 3.2
= 1
7=
cotg (a – b) = 7
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Arco duplo
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Arco duplo
Podem-se obter o seno e o co-seno do dobro de um arco, a partir do seno e do co-seno do arco.
Para isso, vamos retomar as fórmulas de adição de arcos. sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
Fazendo b = a nas duas fórmulas,
sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a
= 2 sen a . cos a cos (a + a) = cos a . cos a – sen
a . sen a= cos2 a –
sen2 a
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Arco duplo
Podem-se obter o seno e o co-seno do dobro de um arco, a partir do seno e do co-seno do arco.
Para isso, vamos retomar as fórmulas de adição de arcos.
tg (a + b) =
tg a + tg b1 – tg a . tg b
Fazendo b = a na fórmula acima,
tg (a + a) =
tg a + tg a1 – tg a . tg a
2tg a1 – tg2
a
=
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Arco duplo
sen 2a = 2 sen a . cos a
cos 2a = cos2 a – sen2 a
2tg a1 – tg2
a
tg 2a =
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Arco duplo
Observação
Lembrando que sen2 a + cos2 a = 1, temos
cos 2a = cos2 a – sen2 a
cos 2a = 1 – 2 sen2 a
cos 2a = 2 cos2 a – 1
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Transformação em produto
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Transformação em produto
Como calcular as somas e diferenças abaixo?
sen p + sen q, sen p – sen q, cos p + cos q e cos p – cos q.
Em muitas ocasiões, é importante transformar somas e diferenças de senos e co-senos em produtos. As fórmulas de seno e co-seno da soma e diferença de arcos nos ajudam.
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Transformação em produto
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a (I) sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a (II) cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b (III) cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b (IV)
Adicionando, membro a membro, e subtraindo, membro a membro, as relações (I) e (II). Obtemos: sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen
a . cos b sen (a + b) – sen (a – b) = 2 sen b . cos a
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Transformação em produto
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a (I) sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a (II) cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b (III) cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b (IV)
Adicionando, membro a membro, e subtraindo, membro a membro, as relações (III) e (IV). Obtemos: cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a
. cos b cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a . sen b
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Transformação em produto
cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a . cos b cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a . sen b
sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen a . cos b sen (a + b) – sen (a – b) = 2 sen b . cos a
a + b = p
a – b = q
p + q2
⇒ a =
p – q2
e b =
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Transformação em produto
sen p + sen q = 2 sen . cos
p + q 2
p – q2
sen p – sen q = 2 cos . sen
p + q 2
p – q2
cos p + cos q = 2 cos . cos
p + q 2
p – q2
cos p – cos q = –2 sen . cos
p + q 2
p – q2
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Exemplos
Fatorar as expressões abaixo
a) sen 40º + sen 20º
b) sen 20º – sen 10º
c) cos 80º + cos 20º
d) cos 70º – cos 50º
e) cos 50º + sen 80º
f) 1 + cos 20º
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Exemplos
Fatorar as expressões abaixo
a) sen 40º + sen 20º
= 2 sen (40 + 20)/2 . cos (40 – 20)/2
= 2 sen 30 . cos 10= 2 . 1/2 . cos 10= cos 10º.
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Exemplos
Fatorar as expressões abaixo
b) sen 20º – sen 10º
= 2 cos (20 + 10)/2 . sen (20 – 10)/2
= 2 cos 15º . sen 5º.
c) cos 80º + cos 20º= 2 cos (80 + 20)/2 . cos (80 – 20)/2
= 2 cos 50 . cos 30
= 2 cos 50 . √3/2
= √3 . cos 50º.
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Exemplos
Fatorar as expressões abaixo
= – 2 sen (70 + 50)/2 . sen (70 – 50)/2
= – 2 sen 60 . sen 10= 2 . √3/2 . sen 10= – √3 . sen 10º.
d) cos 70º – cos 50º
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Exemplos
Fatorar as expressões abaixo
e) cos 50º + sen 80º
= 2 cos (50 + 10)/2 . cos (50 – 10)/2
= 2 cos 30 . cos 20
= 2 . 1/2 . cos 20
= cos 20º.
= cos 50º + cos 10º
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Exemplos
Fatorar as expressões abaixo
f) 1 + cos 20º
= 2 cos (0 + 20)/2 . cos (0 – 20)/2
= 2 cos 10 . cos (–10)
= 2 cos2 10º.
= cos 0º + cos 20º
= 2 cos 10 . cos 10
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Exemplos
Fatorar as expressões y = sen a + 2 sen 2a + sen 3a.
y = sen a + sen 3a + 2 sen 2a
y = 2 sen (a + 3a)/2 . cos (a – 3a)/2 + 2 sen 2ay = 2 sen 2a . cos (–a) + 2 sen 2a
y = 2 sen 2a . cos a + 2 sen 2a
y = 2 sen 2a . (cos a + 1)
= 2 sen 2a . (cos a + cos 0)
y = 2 sen 2a . [2 cos (a + 0)/2 . cos (a – 0)/2]y = 4 sen 2a . cos2 (a/2)