Produto Escalar
Laura Goulart
UESB
30 de Julho de 2018
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 1 / 11
De�nição
Nesta seção, vamos de�nir um "produto"entre dois vetores que resulta em
um número real.
Sejam −→u = (x1, . . . , xn) e −→v = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. De�nimos o produto
escalar (ou produto interno) de −→u e −→v por x1 · y1 + . . .+ xn · yn.Notação: < −→u ,−→v > ou u · v .
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De�nição
Nesta seção, vamos de�nir um "produto"entre dois vetores que resulta em
um número real.
Sejam −→u = (x1, . . . , xn) e −→v = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. De�nimos o produto
escalar (ou produto interno) de −→u e −→v por x1 · y1 + . . .+ xn · yn.Notação: < −→u ,−→v > ou u · v .
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Aplicação em Física
Na Física, o trabalho realizado por uma força constante é o produto escalar
do vetor força pelo vetor deslocamento.
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Propriedades
1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)
2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >
3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)
4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >
5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >
6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2
7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
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Propriedades
1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)
2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >
3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)
4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >
5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >
6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2
7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
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Propriedades
1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)
2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >
3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)
4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >
5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >
6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2
7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
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Propriedades
1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)
2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >
3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)
4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >
5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >
6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2
7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
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Propriedades
1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)
2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >
3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)
4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >
5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >
6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2
7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
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Propriedades
1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)
2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >
3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)
4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >
5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >
6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2
7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 4 / 11
Propriedades
1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)
2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >
3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)
4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >
5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >
6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2
7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
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Propriedades
1 < −→u ,−→u >> 0, quando −→u 6= 0. (trivial)
2 ||−→u || =√< −→u ,−→u >
3 < −→u ,−→v >=< −→v ,−→u > (trivial)
4 < −→u ,−→v +−→w >=< −→u ,−→v > + < −→u ,−→w >
5 < α−→u ,−→v >= α· < −→u ,−→v >
6 ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + 2 < −→u ,−→v > +||−→v ||2
7 | < −→u ,−→v > | ≤ ||−→u || · ||−→v || (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
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Ângulo entre vetores
O ângulo entre os vetores não nulos ~u e ~v é o ângulo θ formado pelas
duas semi-retas de mesma origem contendo os vetores, onde 0 ≤ θ ≤ π.
Observação
Se ~u e ~v são l.d. com o mesmo sentido então θ = 0.
Observação
Se ~u e ~v são l.d. com sentidos contrários então θ = π.
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 5 / 11
Ângulo entre vetores
O ângulo entre os vetores não nulos ~u e ~v é o ângulo θ formado pelas
duas semi-retas de mesma origem contendo os vetores, onde 0 ≤ θ ≤ π.
Observação
Se ~u e ~v são l.d. com o mesmo sentido então θ = 0.
Observação
Se ~u e ~v são l.d. com sentidos contrários então θ = π.
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Ângulo entre vetores
O ângulo entre os vetores não nulos ~u e ~v é o ângulo θ formado pelas
duas semi-retas de mesma origem contendo os vetores, onde 0 ≤ θ ≤ π.
Observação
Se ~u e ~v são l.d. com o mesmo sentido então θ = 0.
Observação
Se ~u e ~v são l.d. com sentidos contrários então θ = π.
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 5 / 11
Vamos determinar uma expressão para o cálculo de um ângulo entre
vetores no plano.
Pela lei dos cossenos temos que
||~w ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2||~u|| · ||~v || cos (~u, ~v).Por outro lado, ||~w ||2 = ||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2· < ~u, ~v > +||~v ||2.
Portanto, cos (~u, ~v) =< ~u, ~v >
||~u|| · ||~v ||.
Os vetores ~u e ~v são ortogonais ⇔ < ~u, ~v >= 0.
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 6 / 11
Vamos determinar uma expressão para o cálculo de um ângulo entre
vetores no plano.
Pela lei dos cossenos temos que
||~w ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2||~u|| · ||~v || cos (~u, ~v).
Por outro lado, ||~w ||2 = ||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2· < ~u, ~v > +||~v ||2.
Portanto, cos (~u, ~v) =< ~u, ~v >
||~u|| · ||~v ||.
Os vetores ~u e ~v são ortogonais ⇔ < ~u, ~v >= 0.
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 6 / 11
Vamos determinar uma expressão para o cálculo de um ângulo entre
vetores no plano.
Pela lei dos cossenos temos que
||~w ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2||~u|| · ||~v || cos (~u, ~v).Por outro lado, ||~w ||2 = ||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2· < ~u, ~v > +||~v ||2.
Portanto, cos (~u, ~v) =< ~u, ~v >
||~u|| · ||~v ||.
Os vetores ~u e ~v são ortogonais ⇔ < ~u, ~v >= 0.
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 6 / 11
Vamos determinar uma expressão para o cálculo de um ângulo entre
vetores no plano.
Pela lei dos cossenos temos que
||~w ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2||~u|| · ||~v || cos (~u, ~v).Por outro lado, ||~w ||2 = ||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2· < ~u, ~v > +||~v ||2.
Portanto, cos (~u, ~v) =< ~u, ~v >
||~u|| · ||~v ||.
Os vetores ~u e ~v são ortogonais ⇔ < ~u, ~v >= 0.
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 6 / 11
Vamos determinar uma expressão para o cálculo de um ângulo entre
vetores no plano.
Pela lei dos cossenos temos que
||~w ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2||~u|| · ||~v || cos (~u, ~v).Por outro lado, ||~w ||2 = ||~u − ~v ||2 = ||~u||2 − 2· < ~u, ~v > +||~v ||2.
Portanto, cos (~u, ~v) =< ~u, ~v >
||~u|| · ||~v ||.
Os vetores ~u e ~v são ortogonais ⇔ < ~u, ~v >= 0.
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 6 / 11
Projeção ortogonal
Sejam ~u e ~v vetores no plano. Podemos decompor ~v em uma soma de
dois vetores ~v1 e ~v2 , onde ~v1 e ~u são l.d. e ~v2 é ortogonal ao vetor~u.
O vetor ~v1 é dito projeção ortogonal de ~v na direção do vetor ~u e é
denotado por proj~u~v .
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 7 / 11
Projeção ortogonal
Sejam ~u e ~v vetores no plano. Podemos decompor ~v em uma soma de
dois vetores ~v1 e ~v2 , onde ~v1 e ~u são l.d. e ~v2 é ortogonal ao vetor~u.
O vetor ~v1 é dito projeção ortogonal de ~v na direção do vetor ~u e é
denotado por proj~u~v .
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 7 / 11
Projeção ortogonal
Sejam ~u e ~v vetores no plano. Podemos decompor ~v em uma soma de
dois vetores ~v1 e ~v2 , onde ~v1 e ~u são l.d. e ~v2 é ortogonal ao vetor~u.
O vetor ~v1 é dito projeção ortogonal de ~v na direção do vetor ~u e é
denotado por proj~u~v .
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 7 / 11
Teorema
proj~u~v =< ~u, ~v >
||~u||2· ~u
Laura Goulart (UESB) Produto Escalar 30 de Julho de 2018 8 / 11