Prof. Marco La Fata
I prodotti notevoli sono particolari prodotti o potenze di polinomi, che si sviluppano secondo formule facilmente memorizzabili. Questi consentono di effettuare i calcoli in maniera più veloce in una qualsiasi espressione algebrica. I più comuni sono: • Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza; • il quadrato di un binomio; • il quadrato di un trinomio; • il cubo di un binomio 1. Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza Es. Supponiamo di avere il seguente prodotto :
a+ b( ) a− b( ) = eseguendo il prodotto normalmente avremo: a2 − ab+ ab− b2 Come possiamo notare −ab e +ab sono opposti e quindi si elidono e ciò che rimane sarà: a2 − b2 Quindi possiamo scrivere che : a+ b( ) a− b( ) = a2 − b2 Es. 3a+1( ) 3a−1( ) = eseguendo il prodotto normalmente avremo: 9a2 −3a+3a−1 Anche qui possiamo notare che −3a e +3a sono opposti e quindi si elidono e ciò che rimarrà sarà: 9a2 −1 Quindi possiamo scrivere che : 3a+1( ) 3a−1( ) = 9a2 −1
Prodotti Notevoli
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Da qui la regola: Attenzione E’ importante osservare che nel prodotto della somma di due monomi per la loro differenza si hanno due termini uguali e due termini opposti, per cui il risultato sarà uguale al quadrato dei termini uguali meno il quadrato dei termini opposti Es. −5ab2 +3a( ) −5ab2 −3a( ) = 25a2b4 -‐ 9a2
Termini uguali Termini opposti Es.
−a+ x5( ) a+ x5( ) = x10 -‐ a2
Termini uguali Termini opposti
Risolvi i seguenti esercizi: • 1+ x( ) 1− x( ) = • x + 2y( ) x − 2y( ) =
• −a2 +3b( ) −a2 −3b( ) =
• −3x2 + 2y( ) 3x2 + 2y( ) =
• a2 +3b( ) −a2 +3b( ) =
• ab−3( ) ab+3( ) =
• 14+ x
!
"#
$
%& −
14+ x
!
"#
$
%&=
• 12x + 2y
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"#
$
%&12x − 2y
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• Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo
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2. Quadrato di un Binomio Consideriamo di avere un binomio al quadrato del tipo :
a+ b( )2
a+ b( )2 per definizione di potenza equivale a:
a+ b( ) a+ b( )
Calcolando il prodotto si avrà: a2 + ab+ ab+ b2
Sommando i termini si otterrà: a2 + 2ab+ b2
Quindi a+ b( )2 = a2 + 2ab+ b2 Questa uguaglianza ci dà la seguente regola:
Attenzione • Per doppio prodotto del primo termine per il secondo s’intende 2 ⋅ a( ) ⋅ b( ) • Il segno del doppio prodotto sarà positivo +( ) se i due termini del binomio sono
concordi, mentre sarà negativo −( ) se i termini del binomio sono discordi. Es. Calcoliamo il seguente quadrato di binomio:
2x +3y2( )2=
Seguendo la regola si avrà:
• Il quadrato del primo termine cioè 2x( )2 = 4x2 • ± il doppio prodotto del primo termine per il secondo, poiché i due termini del
binomio sono concordi il segno sarà + e si avrà: 2 ⋅ +2x( ) ⋅ +3y2( ) = +12xy2 • Più, il quadrato del secondo termine cioè: 3y2( )
2= 9y4
Quindi 2x +3y2( )2= 4x2 +12xy2 + 9y4
Il Quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine il doppio prodotto del primo termine per il secondo più il quadrato del secondo.
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Es. Calcoliamo il seguente quadrato di binomio:
43a− 72b
"
#$
%
&'2
=
Seguendo sempre la regola avremo:
• Il quadrato del primo termine cioè 43a
!
"#
$
%&2
= 169a2
• ± il doppio prodotto del primo termine per il secondo, poiché i due termini del
binomio sono discordi il segno sarà −( ) e si avrà: 2 ⋅ + 43a
"
#$
%
&'⋅ −
72b
"
#$
%
&'= −
283ab
• Più, il quadrato del secondo termine cioè: Quindi :
43a− 72b
"
#$
%
&'2
=169a2 − 28
3ab + 49
4b2
Esegui i seguenti esercizi:
• 4a− 5b( )2 =
• x2 − 2y( )2=
• −x −3( )2 =
• 2x −1( )2
• 3+ a( )2 =
• 13x +3y
!
"#
$
%&2
=
• −6x + y( )2 =
• 34a− 12b
"
#$
%
&'2
=
• a3b4 − 4a2b5( ) =
• 14a+ 32b
!
"#
$
%&2
=
• −2x −1( )2 =
• 25x +10y
!
"#
$
%&2
=
• −2a−3( )2 =
• x2 −3xy( )2=
• a3 − b2( )2=
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3. Quadrato di un trinomio Consideriamo di avere il seguente trinomio al quadrato a+ b+ c( )2 = a+ b+ c( )2 per definizione di potenza equivale a:
a+ b+ c( ) a+ b+ c( ) = Calcolando il prodotto si avrà: a2 + ab+ ac+ ab+ b2 + bc+ ac+ bc+ c2 Sommando i termini si otterrà: a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc Quindi: a+ b+ c( )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc Questa uguaglianza ci dà la seguente regola:
Attenzione • Per doppio prodotto del primo termine per il secondo s’intende 2 ⋅ a( ) ⋅ b( ) • Per doppio prodotto del primo termine per il terzo s’intende 2 ⋅ a( ) ⋅ c( ) • Per doppio prodotto del secondo termine per il terzo s’intende 2 ⋅ b( ) ⋅ c( ) • Il segno del doppio prodotto sarà positivo +( ) se i due termini di cui si effettua il
prodotto sono concordi, mentre sarà negativo −( ) se i due termini di cui si effettua il prodotto sono discordi.
Il Quadrato di un trinomio è uguale al quadrato del primo termine + il quadrato del secondo + il quadrato del terzo il doppio prodotto del primo termine per il secondo il doppio prodotto del primo per il terzo termine il doppio prodotto del secondo per il terzo termine.
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Es. Calcoliamo il seguente quadrato di trinomio:
a− 2b+3c( )2 = Seguendo la regola avremo:
• Il quadrato del primo termine cioè: a( )2 = a2
• Il quadrato del secondo termine cioè: −2b( )2 = +4b2
• Il quadrato del terzo termine cioè: 3c( )2 = 9c2 • ± doppio prodotto del primo termine per il secondo cioè: 2 ⋅ a( ) ⋅ −2b( ) = −4ab • ± doppio prodotto del primo termine per il terzo cioè: 2 ⋅ a( ) ⋅ +3c( ) = +6ac • ± doppio prodotto del secondo termine per il terzo cioè: 2 ⋅ −2b( ) ⋅ +3c( ) = −12bc
Quindi : a− 2b+3c( )2 = a2 +4b2 +9c2 −4ab +6ac −12bc Esegui i seguenti esercizi:
• 3x − 2y+3z( )2 =
• 1− x2 + x4( )2=
• a3 − x3 + y3( )2=
• 2x − y+1( )2 =
• x +3y− 4( )2 =
• 3a3 + 2a2 + a( )2=
• x + ay− 2( )2 = • 2ax − y−1( )2 =
• x2 − y2 +3( )2=
• − 34x2 − 1
2xy+ 2
3y2
"
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&'2
=
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4. Cubo di un Binomio Consideriamo di avere il seguente cubo di binomio :
a+ b( )3 a+ b( )3possiamo scriverlo sotto forma di quadrato di binomio per il binomio stesso cioè:
a+ b( )2 ⋅ a+ b( )
Calcolando si avrà: a2 + 2ab+ b2( ) ⋅ a+ b( )
Moltiplicando avremo:
a3 + a2b+ 2a2b+ 2ab2 + ab2 + b3
Sommando i termini simili si avrà:
a3 +3a2b+3ab2 + b3
Quindi a+ b( )3= a3 +3a2b+3ab2 + b3 Questa uguaglianza ci dà la seguente regola:
Seguendo l’ordine della suddetta regola , per quanto riguarda i segni si avrà: • Se i termini del cubo di binomio sono entrambi positivi come ad es. a+ b( )3
tutti i termini dello sviluppo saranno positivi.
• Se i termini del cubo di binomio sono entrambi negativi come ad es. −a− b( )3 tutti i termini dello sviluppo saranno negativi.
• Se i termini del cubo di binomio sono discordi come ad es. a− b( )3 tutti i termini dello sviluppo saranno a segni alterni partendo dal segno + se a è positivo, dal segno meno se a è negativo.
Il Cubo di un binomio è uguale: • al cubo del primo termine • al triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo • al triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo • al cubo del secondo termine
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Es. Calcoliamo a+ 2b( )3 Cominciamo il nostro calcolo seguendo la regola. Intanto poiché i due termini del polinomio sono entrambi positivi, siamo in grado di dire che tutti i termini dello sviluppo saranno tutti positivi.
1. Il cubo del primo termine e cioè a( )3 = a3 2. Il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo cioè: 3⋅ a( )2 ⋅2b = 6a2b 3. Il triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo cioè:
3⋅ 2b( )2 ⋅a = 3⋅ 4b2( ) ⋅a =12ab2 4. Il cubo del secondo termine cioè: 2b( )3 = 8b3
Quindi lo sviluppo di a+ 2b( )3 = a3 +6a2b +12ab2 +8b3
Es. Calcoliamo −a− 2b( )3 Questa volta i termini del binomio sono entrambi negativi quindi , seguendo la regola, tutti i termini dello sviluppo saranno negativi. Cominciamo il calcolo 1. Il cubo del primo termine cioè: −a( )3 = −a3 2. Il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo cioè:
3⋅ −a( )2 ⋅ −2b( ) = 3⋅ +a2( ) ⋅ −2b( ) = −6a2b 3. Il triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo cioè:
3⋅ −2b( )2 ⋅ −a( ) = 3⋅ +4b2( ) ⋅ −a( ) = −12ab2
4. Il cubo del secondo termine cioè: −2b( )3 = −8b3 Quindi lo sviluppo di −a− 2b( )3= −a3 −6a2b −12ab2 −8b3
Es. Calcoliamo a− 2b( )3 Questa volta i termini del binomio sono discordi quindi tutti i termini dello sviluppo saranno a segni alterni partendo dal segno + perché a è positivo. Cominciamo il calcolo:
1. Il cubo del primo termine cioè: +a( )3 = a3 2. Il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo cioè:
3⋅ +a( )2 ⋅ −2b( ) = 3⋅ +a2( ) ⋅ −2b( ) = −6a2b 3. Il triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo cioè:
3⋅ −2b( )2 ⋅ +a( ) = 3⋅ +4b2( ) ⋅ +a( ) = +12ab2
4. Il cubo del secondo termine cioè: −2b( )3 = −8b3
Quindi lo sviluppo di a− 2b( )3 = + a3 −6a2b +12ab2 −8b3
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Es. Calcoliamo − 12x2 +3xy2
"
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&'3
=
1. Il cubo del primo termine cioè: − 12x2
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&'3
= −18x6
2. Il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo cioè:
3⋅ − 12x2
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$%
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'(2
⋅ +3xy2( ) = 3⋅ + 14 x4#
$%
&
'(⋅ 3xy2( ) = + 94 x
5y2
3. Il triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo cioè:
3⋅ +3xy2( )2⋅ −
12x2
#
$%
&
'(= 3⋅ +9x2y4( ) ⋅ − 12 x
2#
$%
&
'(= −
272x4y4
4. Il cubo del secondo termine cioè: +3xy2( )3= +27x3y6
Quindi lo sviluppo di − 12x2 +3xy2
"
#$
%
&'3
= −18x6 + 9
4x5y2 − 27
2x4y4 +27x3y6
Come possiamo notare, poiché i due termini del polinomio sono discordi, i segni dello sviluppo sono alternati a partire dal segno meno in quanto il primo termine è negativo Esegui i seguenti esercizi: • x − 2y( )3 =
• −x + 2y( )3 = • −1− a( )3 =
• x2 + y( )3=
• 3x − x2( )3=
• x − 4y( )3 =
• 2a+3b( )3 =
• −x2 − 2( )3=
• −1+ a2( )3=
• 12a− 2b
"
#$
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&'3
=
• 3a+ 13b
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=
• 2x2 − 23xy
"
#$
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&'3
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