Problemas de Estimación de Una y Dos Muestras
UCR – ECCICI-1352 Probabilidad y EsradísticaProf. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides
UCR-ECCI CI-1352 Probabilidad y EstadísticaProblemas de Estimación de Una y Dos Muestras 2
Inferencia Estadística La teoría de la inferencia estadística consiste en aquellos
métodos por los que se realizan inferencias o generalizaciones acerca de una población.
La inferencia estadística se puede dividir en dos áreas principales: estimación y prueba de hipótesis.
En este capítulo se tratará sobre el área de estimación.
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Estimación de la MediaUna Muestra Si la muestra se selecciona de una población normal o, a falta
de esta, si n es suficientemente grande, se puede establecer un intervalo de confianza para μ al considerar la distribución muestral de .
La estimación de la media de la población (μ), se hace por medio del teorema del límite central.
De acuerdo a este teorema se puede establecer la distribución muestral de , que está distribuida de forma aproximadamente normal con y desviación estándar .
X
Xµµ =X nX σσ =
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.) Al escribir zα/2 para el valor z el cual se tiene un área de α/2 a
la derecha, se puede ver que
( )
ασ
µ
σµ
α
αα
αα
−=
<
−<−
−=
−=<<−
1
1
22
22
zn
XzP
nXZ
zZzP
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.)
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.) Al multiplicar cada término en la desigualdad por ,
después restar y multiplicar por -1, se obtiene:
Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n de una población cuya varianza σ2 se conoce y se calcula la media de la muestra para obtener un intervalo de confianza de (1 – α)100%.
ασµσαα −=
+<<− 122 nzX
nzXP
Xnσ
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.) Intervalo de Confianza de μ con σ conocida. Si es la
media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con varianza σ2, conocida, un intervalo de confianza de (1 – α) 100% para μ está dado por
Donde zα/2 es el valor z que deja un área de α/2 a la derecha.
nzx
nzx σµσ
αα 22 +<<−
x
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.) Para muestras pequeñas que se seleccionan de poblaciones no
normales, no se puede esperar que el grado de confianza sea preciso.
Para muestras de tamaño n ≥ 30, sin importar la forma de la mayor parte de las poblaciones, la teoría de muestreo garantiza buenos resultados.
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.) Si μ es realmente el valor central del intervalo, entonces
estima μ sin error. La mayor parte de las veces, no será exactamente igual a μ y la estimación puntual es errónea.
La magnitud de este error será el valor absoluto de la diferencia entre μ y , y se puede tener (1 – α)100% de confianza de que esta diferencia no excederá .
μ
ERROR
nzx σα 2−
nzx σα 2+x
xx
xnz σα 2
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.)
10
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.) Teorema. Si se utiliza como una estimación de μ, se puede
tener una confianza de (1 – α)100% de que el error no excederá de .
Teorema. Si se utiliza x como una estimación de μ, se puede tener una confianza de (1 – α)100% de que el error no excederá una cantidad específica e cuando el tamaño de la muestra es
nze
ezn σσ
αα 2
2
2 =
=
x
nz σα 2
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.) Con frecuencia no se conoce la varianza de la población, por
lo que para estimar la media de la población se recurre a la distribución t.
Al escribir tα/2 para el valor t el cual se tiene un área de α/2 con v grados de libertad, se puede ver que
( )
αµ
µ
α
αα
αα
−=
<
−<−
−=
−=<<−
1
1
22
22
tnS
XtP
nSXT
tTtP
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.)
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.) Al multiplicar cada término en la desigualdad por ,
después restar y multiplicar por -1, se obtiene:
Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n de una población cuya varianza no se conoce y se calcula la media y la desviación estándar de la muestra para obtener un intervalo de confianza de (1 – α)100%.
αµ αα −=
+<<− 122 nStX
nStXP
XnS
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.) Intervalo de Confianza de μ con σ desconocida. Si y s
son la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con varianza σ2, desconocida, un intervalo de confianza de (1 – α)100% para μestá dado por
Donde tα/2 es el valor t con v = n – 1 grados de libertad, que deja un área de α/2 a la derecha.
nstx
nstx 22 αα µ +<<−
x
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.) Teorema. Si se utiliza como una estimación de μ, se puede
tener una confianza de (1 – α)100% de que el error no excederá de .
Teorema. Si se utiliza como una estimación de μ, se puede tener una confianza de (1 – α)100% de que el error no excederá una cantidad específica e cuando el tamaño de la muestra es
nste
estn 2
2
2 αα =
=
x
nst 2α
x
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Estimación de la MediaUna Muestra (cont.) Los estadísticos recomiendan que aun cuando no se puede
suponer la normalidad, con σ desconocida y n ≥ 30, s puede remplazar a σ y utilizar el intervalo de confianza
Por lo general, este se denomina como un intervalo de confianza de muestra grande.
La calidad de este enfoque mejora conforme el tamaño de la muestra crece más.
nszx 2α±
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Límites de Confianza Unilaterales Los intervalos de confianza y los límites de confianza vistos
hasta ahora son en realidad bilaterales (se da tanto el límite inferior como superior).
Sin embargo, hay muchas aplicaciones en que sólo se requiere un límite. Si la medida de interés es la resistencia a la tensión, el ingeniero
recibe más información del límite inferior, escenario del peor caso. Si para la medida de una variable un valor relativamente grande de µ
no es provechoso o deseable, entonces resultará de interés el límite superior.
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Límites de Confianza Unilaterales (cont.) Los límites de confianza unilaterales se desarrollan de la
misma forma que los intervalos bilaterales. Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n a partir
de una población con varianza σ2, los límites de confianza unilaterales de (1 – α)100% para µ están dados por
nzx
nzx
σ
σ
α
α
+
−
superior límite
inferior límite
X
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Límites de Confianza Unilaterales (cont.) Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n a partir
de una población con varianza desconocida, los límites de confianza unilaterales de (1 – α)100% para µ están dados por
nstxnstx
α
α
+
−
superior límite
inferior límite
X
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Error Estándar de una Estimación Puntual La desviación estándar de se conoce en la estimación como
error estándar de . De manera simple, el error estándar de un estimador es su desviación
estándar. En el caso donde σ se desconoce y el muestreo es sobre una
distribución normal, s reemplaza a σ y se incluye el error estándar estimado.
El punto importante a considerar es que el ancho del intervalo de confianza de μ depende de la calidad del estimador puntual a través de su error estándar.
XX
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Error Estándar de una Estimación Puntual (cont.) De esta forma los límites de confianza de μ son
Donde s.e. (e.e.) es el error estándar y s.e. (e.e.) es el error estándar estimado.
( )( ) adesconocid ,.ˆ.ˆ
conocida ,..
22
22
σ
σσ
αα
αα
xestxnstx
xeszxn
zx
±=±
±=±
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Límites de Predicción Algunas veces, aparte de estimar la media de la población,
interese predecir los posibles valores de una observación futura.
Este tipo de requerimiento se satisface muy bien mediante la construcción de un intervalo de predicción.
Al predecir una observación futura se necesita la variación de la media y la variación de una observación futura. Por suposición se sabe que la varianza del error aleatorio en una
nueva observación es σ2.
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Límites de Predicción (cont.) El desarrollo de un intervalo de predicción se representa mejor
empezando con una variable aleatoria normal , donde X0 es la variable aleatoria de los valores de la nueva observación. Como X0 y son independientes, entonces
( )
ασ
σσσ
α
αα
αα
−=
<
+−
<−
+−
=+
−=
−=<<−
111
11
1
20
2
022
0
22
zn
XXzP
nXX
nXXZ
zZzP
XX −0
X
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Límites de Predicción (cont.) Para un distribución normal de mediciones con media
desconocida µ y varianza conocida σ2, un intervalo de predicción de (1 – α)100% de una observación futura x0 es
Donde zα/2 es el valor z que deja un área de α/2 a la derecha.
nzxxnzx 1111 202 ++<<+− σσ αα
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Límites de Predicción (cont.) Resulta importante tratar con el intervalo de predicción de una
observación futura en la situación en que se desconoce la varianza de la población; para lo cual se utiliza la distribución t de Student en vez de la distribución normal.
( )
α
α
αα
αα
−=
<
+−
<−
+−
=+
−=
−=<<−
111
11
1
20
2
022
0
22
tns
XXtP
nsXX
nssXXT
tttP
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Límites de Predicción (cont.) Para un distribución normal de mediciones con media
desconocida µ y varianza desconocida σ2, un intervalo de predicción de (1 – α)100% de una observación futura x0 es
Donde tα/2 es el valor t con v = n – 1 grados de libertad, que deja un área de α/2 a la derecha.
nstxxnstx 1111 202 ++<<+− αα
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Límites de Predicción (cont.) Los intervalos de predicción unilaterales también son
importantes de considerar. Casos donde se debe enfocarse en observaciones futuras grandes se
aplican los límites de predicción superiores. Casos donde se debe concentrarse en observaciones futuras pequeñas se
sugieren los límites de predicción inferiores.
+++−
+++−
nstxnstxnzxnzx
11superior límite11inferior límite
adesconocid
11superior límite11inferior límite
conocida
α
α
α
α
σ
σσ
σ
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Límites de Tolerancia En otros casos, el interés se centra en saber donde cae la
mayoría de los valores de la población. Esto es útil para conocer el desempeño a largo plazo, no en la
siguiente observación. Un método para establecer el límite deseado consiste en
determinar un intervalo de confianza sobre una proporción fija de las mediciones. Al visualizar un muestreo aleatorio de una distribución normal con
media conocida µ y varianza σ2; un límite que cubre el 95% de la población de observaciones es µ ± 1.96σ.
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Límites de Tolerancia (cont.) Lo anterior denota un intervalo de tolerancia y, en realidad,
es exacta la cobertura de 95% de las observaciones medidas. Sin embargo, en la práctica µ y σ rara vez se conocen; por
ello, se debe aplicar , el intervalo es una variable aleatoria y la cobertura de una proporción de la población disfrutada por el intervalo no es exacta.
Como resultado se aplica un intervalo de confianza de (1 – γ) 100% al planteamiento, ya que no se puede esperar que todo el tiempo el intervalo cubra cualquier proporción específica.
ksx ±
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Límites de Tolerancia (cont.) Para una distribución normal de mediciones con media μ y
desviación estándar σ, desconocidas, los límites de tolerancia bilaterales están dados por , donde k se determina de modo que se pueda asegurar con una confianza de (1 – γ) 100% que los límites dados contienen al menos la proporción 1 – α de las mediciones.
La tabla A.7 da valores de k para 1 – α = 0.9, 0.95, 0.99; γ = 0.05, 0.01; y para valores seleccionados de n de 2 a 1000.
ksx ±
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Límites de Tolerancia (cont.) Los límites de tolerancia unilaterales están dados por
donde k se determina de modo que se pueda asegurar con una confianza de (1 – γ)100% que los límites dados contienen al menos la proporción 1 – α de las mediciones.
La tabla A.7 da valores de k para 1 – α = 0.9, 0.95, 0.99; γ = 0.05, 0.01; y para valores seleccionados de n de 2 a 1000.
ksxksx
+−
superior límiteinferior límite
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Diferencia entre Límites de Confianza, Límites de Predicción y Límites de Tolerancia El intervalo de confianza sobre la media es útil cuando el
analista de datos esté interesado en la media de la población. La media de la población se necesita estimar y el intervalo de
confianza produce los límites apropiados. El intervalo de tolerancia está mucho más atento a dónde cae
la mayoría de las observaciones individuales. ¿Dónde estará la mayor parte de los valores de la población?
El intervalo de predicción se aplica cuando es importante determinar un límite para un solo valor. Ni la media ni la ubicación de la mayoría de la población son la
cuestión clave, sólo se requiere la ubicación de una sola nueva observación.
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Estimación de la Diferencia entre MediasDos Muestras Si se tiene dos poblaciones normales o, a falta de esta, si n1 y
n2 son suficientemente grandes, se puede establecer un intervalo de confianza para μ1 – μ2 al considerar la distribución muestral de .
La estimación de la diferencia de dos medias de dos poblaciones μ1 – μ2, se hace por medio del teorema del límite central.
De acuerdo a este teorema se puede establecer las distribuciones muestrales de , que está distribuida de forma aproximadamente normal con y desviación estándar .
21 XX −
21 XX −2121
µµµ −=−XX
2221
2121
nnXX σσσ +=−
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Estimación de la Diferencia entre MediasDos Muestras (cont.) Al escribir zα/2 para el valor z el cual se tiene un área de α/2 a
la derecha, se puede ver que
( )( ) ( )
( ) ( ) ασσ
µµ
σσµµ
α
αα
αα
−=
<
+
−−−<−
+
−−−=
−=<<−
1
1
2
2221
21
21212
2221
21
2121
22
znn
XXzP
nnXXZ
zZzP
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Estimación de la Diferencia entre MediasDos Muestras (cont.) Al multiplicar cada término en la desigualdad por
, después restar y multiplicar por -1, se obtiene:
Se selecciona dos muestras aleatorias de tamaño n1 y n2 de dos poblaciones cuyas varianzas σ1
2 y σ22 se conocen y se calcula
la diferencia de las medias de las muestras para obtener un intervalo de confianza de (1 – α)100%.
( ) ( ) ασσµµσσαα −=
++−<−<+−− 1
2
22
1
21
221212
22
1
21
221nn
zXXnn
zXXP
21 XX −2221
21 nn σσ +
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Estimación de la Diferencia entre MediasDos Muestras (cont.) Intervalo de Confianza de μ1 – μ2 con σ1 y σ2 conocidas. Si
son las medias de muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 de poblaciones con varianzas conocidas σ1
2
y σ22, respectivamente, un intervalo de confianza de (1 – α)
100% para μ1 – μ2 está dado por
Donde zα/2 es el valor z que deja un área de α/2 a la derecha.
( ) ( )2
22
1
21
221212
22
1
21
221nn
zxxnn
zxx σσµµσσαα ++−<−<+−−
21 y xx
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Estimación de la Diferencia entre MediasDos Muestras (cont.) Para muestras pequeñas que se seleccionan de poblaciones no
normales, no se puede esperar que el grado de confianza sea preciso.
Para muestras de tamaño n ≥ 30, sin importar la forma de la mayor parte de las poblaciones, la teoría de muestreo garantiza buenos resultados.
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Estimación de la Diferencia entre MediasDos Muestras (cont.) Intervalo de Confianza de μ1 – μ2 con σ1 y σ2 iguales pero
desconocidas. Si son las medias de muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2, de poblaciones aproximadamente normales con varianzas iguales pero desconocidas, un intervalo de confianza de (1 – α)100% para μ1 – μ2 está dado por
Donde sp es la estimación de unión de la desviación estándar poblacional y tα/2 es el valor t con v = n1 + n2 – 2 grados de libertad, que deja un área de α/2 a la derecha.
( ) ( )( ) ( )
211
1111
21
222
2112
2122121
21221
−+−+−
=
++−<−<+−−
nnSnSnS
nnstxx
nnstxx
p
pp αα µµ
21 y xx
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Estimación de la Diferencia entre MediasDos Muestras (cont.) Intervalo de Confianza de μ1 – μ2 con σ1 y σ2 diferentes pero
desconocidas. Si son las medias de muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2, de poblaciones aproximadamente normales con varianzas diferentes y desconocidas, un intervalo de confianza de (1 – α)100% para μ1 – μ2 está dado por
Donde tα/2 es el valor t con v grados de libertad, que deja un área de α/2 a la derecha.
( ) ( )
( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]11 2
22
221
21
21
22
221
21
2
22
1
21
221212
22
1
21
221
−+−
+=
++−<−<+−−
nnsnnsnsnsv
ns
nstxx
ns
nstxx αα µµ
21 y xx
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Estimación de la Diferencia entre MediasDos Muestras (cont.) En el caso de una diferencia entre dos medias, la
interpretación se puede extender a una comparación de dos medias: Si el intervalo de confianza de la diferencia μ1 – μ2 es positivo, se
infiere que la μ1 > μ2 con poco grado de error. Si el intervalo de confianza de la diferencia μ2 – μ1 es positivo, se
infiere que la μ1 < μ2 con poco grado de error. Si el intervalo de confianza de la diferencia μ2 – μ1 puede permitir
que μ2 – μ1 sea igual a 0, se infiere que las medias de las poblaciones pueden ser μ1 = μ2 con poco grado de error.
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Error Estándar de una Estimación Puntual La desviación estándar de se conoce en la estimación
como error estándar de . De manera simple, el error estándar de un estimador es su desviación
estándar. En el caso donde σ1 y σ2 se desconocen y el muestreo es sobre una
distribución normal, s1 y s2 reemplaza a σ1 y σ2 y se incluye el error estándar estimado.
El punto importante a considerar es que el ancho del intervalo de confianza de μ1 y μ2 depende de la calidad del estimador puntual a través de su error estándar.
21 XX −21 XX −
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Error Estándar de una Estimación Puntual (cont.) De esta forma los límites de confianza de μ1 – μ2 son
Donde s.e. (e.e.) es el error estándar y s.e. (e.e.) es el error estándar estimado.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) asdesconocidy igualesson y ,.ˆ.ˆ11
asdesconocidy diferentesson y ,.ˆ.ˆ
conocidasson y ,..
2121221
21221
2121221
2
22
1
21
221
2121221
2
22
1
21
221
σσ
σσ
σσσσ
αα
αα
αα
xxestxxnn
stxx
xxestxxns
nstxx
xxeszxxnn
zxx
p −±−=+±−
−±−=+±−
−±−=+±−
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Estimación de la VarianzaUna Muestra Si se extrae una muestra de tamaño n de una población normal
con varianza σ2, y se calcula la varianza muestral s2 se obtiene un valor de la estadística S2. Esta varianza muestral calculada se usará como estimación puntual
de σ2, por ello la estadística S2 se llama estimador de σ2. Se puede establecer una estimación por intervalos de σ2
mediante el uso de la estadística
La estadística X2 tiene una distribución chi-cuadrada con v = n – 1 grados de libertad cuando las muestras se eligen de una población normal.
( )2
22 1
σSnX −
=
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Estimación de la VarianzaUna Muestra (cont.) Se puede escribir:
Donde χ21–α/2 y χ2
α/2 son valores de la distribución chi-cuadrada con v = n – 1 grados de libertad, que dejan áreas de 1 – α/2 y α/2, respectivamente, a la derecha.
( )( ) αχσ
χ
αχχ
αα
αα
−=
<
−<
−=<<
−
−
11
1
222
22
21
22
2221
SnP
XP
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Estimación de la VarianzaUna Muestra (cont.)
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Estimación de la VarianzaUna Muestra (cont.) Al dividir cada término de la desigualdad entre (n – 1)S2, e
invertir cada término (lo que cambia el sentido de las desigualdades), se obtiene:
Para la muestra aleatoria particular de tamaño n, se calcula la varianza muestral s2, y se obtienen el intervalo de confianza de (1 – α)100% para σ2.
( ) ( ) αχ
σχ αα
−=
−<<
−
−
1112
21
22
22
2 SnSnP
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Estimación de la VarianzaUna Muestra (cont.) Intervalo de confianza para σ2. Si s2 es la varianza de una
muestra aleatoria de tamaño n de una población normal, un intervalo de confianza (1 – α)100% para σ2 es:
Donde χ2α/2 y χ2
1–α/2 son valores χ2 con v = n – 1 grados de libertad, que dejan áreas de α/2 y 1 – α/2, respectivamente, a la derecha.
( ) ( )2
21
22
22
2 11
αα χσ
χ −
−<<
− snsn
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Estimación de la VarianzaUna Muestra (cont.) Intervalo de confianza para σ. Un intervalo de confianza
(1 – α)100% para σ se obtiene al tomar la raíz cuadrada de cada extremo del intervalo de confianza para σ2.
Donde χ2α/2 y χ2
1–α/2 son valores χ2 con v = n – 1 grados de libertad, que dejan áreas de α/2 y 1 – α/2, respectivamente, a la derecha.
( ) ( )2
21
2
22
2 11
αα χσ
χ −
−<<
− snsn
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Estimación de la Razón de Dos VarianzasDos Muestras Una estimación puntual de la razón de dos varianzas
poblacionales σ21/σ2
2 está dada por la razón s21/s2
2 de las varianzas muestrales. Esta varianza muestral calculada se usará como estimación puntual
de σ21/σ2
2, por ello la estadística S21/S2
2 se llama estimador de σ21/σ2
2.
Si σ21 y σ2
2 son las varianzas de poblaciones normales, se puede establecer una estimación por intervalos de σ2
1/σ22
mediante el uso de la estadística:
La variable aleatoria F tiene una distribución f con v1 = n1 – 1 y v2 = n2 – 1 grados de libertad.
22
21
21
22
SSF
σσ
=
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Estimación de la Razón de Dos VarianzasDos Muestras (cont.) Se puede escribir:
Donde f1–α/2(v1,v2) y fα/2(v1,v2) son valores de la distribución fcon v1 y v2 grados de libertad, que dejan áreas de 1 – α/2 y α/2, respectivamente, a la derecha.
( ) ( )( )
( ) ( ) ασσ
α
αα
αα
−=
<<
−=<<
−
−
1,,
1,,
21222
21
21
22
2121
2122121
vvfSSvvfP
vvfFvvfP
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Estimación de la Razón de Dos VarianzasDos Muestras (cont.)
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Estimación de la Razón de Dos VarianzasDos Muestras (cont.) Al multiplicar cada término en la desigualdad por S2
2/S21, y
después invertir cada término (para cambiar el sentido de las desigualdades), se obtiene:
( ) ( ) ασσ
αα
−=
<<
−
1,
1,
1
212122
21
22
21
21222
21
vvfSS
vvfSSP
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Estimación de la Razón de Dos VarianzasDos Muestras (cont.) Además, se puede reemplazar la cantidad f1–α/2(v1,v2) y por
1/fα/2(v1,v2). Por lo tanto:
Para cualesquiera dos muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 que se seleccionan de dos poblaciones normales, la razón de las varianzas muestrales s2
2/s21, se
calcula y se obtiene el intervalo de confianza de (1 – α)100% para σ2
1/σ22.
( ) ( ) ασσ
αα
−=
<< 1,
,1
12222
21
22
21
21222
21 vvf
SS
vvfSSP
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Estimación de la Razón de Dos VarianzasDos Muestras (cont.) Intervalo de confianza para σ2
1/σ22. Si s2
1 y s22 son las
varianzas de muestras independientes de tamaño n1 y n2, respectivamente, de dos poblaciones normales, entonces un intervalo de confianza (1 – α)100% para σ2
1/σ22 es:
Donde fα/2(v1,v2) es un valor de la distribución f con v1 = n1 – 1 y v2 = n2 – 1 grados de libertad, que deja área de α/2 a la derecha.
( ) ( )12222
21
22
21
21222
21 ,
,1 vvf
SS
vvfSS
αα σ
σ<<
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Estimación de la Razón de Dos VarianzasDos Muestras (cont.) Intervalo de confianza para σ1/σ2. Un intervalo de confianza
(1 – α)100% para σ1/σ2 es se obtiene al tomar la raíz cuadrada de cada extremo del intervalo de confianza para σ2
1/σ22:
Donde fα/2(v1,v2) es un valor de la distribución f con v1 = n1 – 1 y v2 = n2 – 1 grados de libertad, que deja área de α/2 a la derecha.
( ) ( )12222
21
2
1
21222
21 ,
,1 vvf
SS
vvfSS
αα σ
σ<<
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Estimación de la Razón de Dos VarianzasDos Muestras (cont.) En el caso de la razón de dos varianzas, la interpretación se
puede extender a una comparación de dos varianzas: Si el intervalo de confianza de la razón σ2
1/σ22 permite la posibilidad
de que σ21/σ2
2 sea igual a 1, se infiere que σ21 = σ2
2 con poco grado de error.
Si el intervalo de confianza de la razón σ21/σ2
2 no permite la posibilidad de que σ2
1/σ22 sea igual a 1, se infiere que σ2
1 ≠ σ22 con
poco grado de error.
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Estimación de la Razón de Dos VarianzasDos Muestras (cont.) En el caso de la razón de dos desviaciones estándar, la
interpretación se puede extender a una comparación de dos desviaciones estándar: Si el intervalo de confianza de la razón σ1/σ2 permite la posibilidad
de que σ1/σ2 sea igual a 1, se infiere que σ1 = σ2 con poco grado de error.
Si el intervalo de confianza de la razón σ1/σ2 no permite la posibilidad de que σ1/σ2 sea igual a 1, se infiere que σ1 ≠ σ2 con poco grado de error.
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Referencias Bibliográficas Walpole, R.E.; Myers, R.H.; Myers, S.L. & Ye, K.
“Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias”. OctavaEdición. Pearson Prentice-Hall. México, 2007.