Octavian G. Mustafa
Problema Plana a n Puncte
Materiale
Introducere ın conjectura lui D.G. Saari
Publicatiile DAL
Craiova
Fisier prelucrat ın data de [November 24, 2016]
Avertisment
Acest eseu nu a fost raportat vreunui referent. In consecinta, continutul sau trebuie
considerat “ca atare.”
Autorul va asteapta comentariile la adresa lui de e-mail1 si va multumeste anti-
cipat pentru efortul depus.
Fiecare proiect de la Publicatiile DAL trebuie considerat “santier” daca nu este
declarat altfel. Versiunea sa este cea a datei de pe pagina cu titlul.
Craiova, Mai 18, 2015 O.G.M.
v
Prefata
In aceasta lucrare sunt prezentate aspecte introductive ale conjecturii lui Donald G.
Saari — miscarea particulelor ın problema generala a n puncte materiale este rigida
daca momentul de inertie total fata de centrul maselor sistemului este o marime
constanta —.
Lucrarea se compune din trei capitole. In primul este analizata miscarea unei
particule materiale ın camp gravitational newtonian punctiform. Este realizata inte-
grarea ecuatiei diferentiale a miscarii prin introducerea schimbarii de variabila a lui
Karl F. Sundman. Al doilea capitol prezinta teorema colapsului total (Weierstrass
si Sundman), o varianta a teoremei virialului datorata lui Harry Pollard si o analiza
asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari). Ultimul capitol prezinta teoria rigidu-
lui generalizat a lui D.G. Saari, miscarile omografice plane ale sistemului mecanic
(teorema Lagrange-Pizzetti) si o demonstratie simpla a conjecturii lui Saari ın cazul
punctelor coliniare (2005).
Craiova, [November 24, 2016] O.G.M.
vii
Cuprins
1 Problema fortei centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Formularea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Conservarea momentului cinetic: a doua lege a lui Kepler . . . . . . . . . 2
1.3 Coliziune ın timp finit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Conservarea energiei mecanice. Ecuatia diferentiala a miscarii
gravitationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Miscarea pe sectiuni conice: prima lege a lui Kepler. Metoda lui
Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Cele cinci constante de miscare independente. Formula energetica
a vitezei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 A treia lege a lui Kepler. Identitatea Lagrange-Jacobi . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Conservarea momentului cinetic total si a energiei mecanice.
Identitatea Lagrange-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Inegalitatea lui Sundman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Teorema colapsului total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Teorema virialului (Pollard). O teorema tauberiana neliniara . . . . . . . 20
2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari) . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Conjectura lui Saari: introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 O reprezentare computationala a rotatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Miscari omografice. Descompunerea Saari a vitezelor . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Miscarea omografica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Conjectura lui Saari: cazul particulelor coliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Referinte Bibliografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ix
Lista de Figuri
1.1 Miscarea circumstelara a planetei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sectiunea conica de excentricitate e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Ariile hasurate sunt egale. Cand ajungem ın P: iarna sau vara? . . . . . . 6
1.4 Caderea din M0, fara viteza initiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 “Infinit” de departe de observator, miscarea particulei M are loc pe
asimptota traiectoriei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Estimarea lui f ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1 Rotatia ın jurul lui O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Miscari omografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Miscare de ansamblu pe sectiuni conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Miscare ın planul particulelor coliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Miscare pe cercuri concentrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
xi
Capitolul 1
Problema fortei centrale
1.1 Formularea problemei
In sistemul de referinta inertial R = (O,−→B), unde B = {i, j,k}, vezi [13, Cap.
1], consideram miscarea particulei (M,m) generata de interactiunea cu (O,m0). Vom
presupune ca forta cu care M este atras de catre O depinde numai de masele m, m0
si de distanta r = |OM|.Ecuatia de miscare are formula
m..r =−m
f (r)
r· r, (1.1)
Fig. 1.1 Miscarea circumste-
lara a planetei
1
2 1 Problema fortei centrale
unde f : (0,+∞)→ (0,+∞) este neteda. Se admite ca f (0) = limrց0
f (r) = +∞. Vezi
[22, Cap. 4]. Cazul particular fundamental este cel al legii patratice inverse
f (r) =µr2, r > 0, unde µ = γm0. (1.2)
Aici, γ reprezinta constanta lui Cavendish. Alte exemple sunt date de potentialele
Manev, Einstein, Lennard-Jones, cf. [22, pg. 43–44], [13, pg. 152–154].
Ecuatia de miscare se poate rescrie ca
{ .r = v.v =− f (r)
r· r.
(1.3)
1.2 Conservarea momentului cinetic: a doua lege a lui Kepler
Inmultind vectorial cea de-a doua ecuatie din (1.3), obtinem ca
d
dt(r× v) = r×
.v =− f (r)
r· (r× r) = 0,
respectiv
r× v = c ∈ TR3. (1.4)
Marimea K = r× (mv) se numeste momentul cinetic sau unghiular al particulei
M. Aici, p = mv este impulsul particulei.
Relatia (1.4) este cea de-a doua lege a lui Kepler si anume, momentul cinetic al
planetei se conserva ın miscarea sa circumsolara.
Daca c 6= 0, atunci miscarea are loc ın planul fix de ecuatie c · r = 0. Pentru
simplitate, putem considera ca acest plan este chiar Oxy — luand c = c · k, unde
c > 0.
In coordonate polare, relatia (1.4) se rescrie ca
r2.θ = c, unde r = r(cosθ i+ sinθ j), (1.5)
conducandu-ne la formularea clasica a legii lui Kepler si anume, vectorul de pozitie
al planetei “matura” arii egale ın intervale de timp egale.
In cazul c = 0, folosim identitatea
d
dt
(
u
u
)
=(u ×
.u)×u
u3, u 6= 0, u = |u|.
Astfel, avem
1.3 Coliziune ın timp finit 3
d
dt
(
r
r
)
=(r× v)× r
r3=
c× r
r3= 0,
de unde concludem ca miscarea are loc pe o dreapta fixa care trece prin O.
Deci, miscarea particulei M sub actiunea fortei centrale (1.1) este ıntotdeauna
plana.
1.3 Coliziune ın timp finit
Presupunem ca v0 = v(0) = 0. Atunci, indiferent de formula functiei f , particula
M “cade” ın timp finit peste particula din O.
Intr-adevar, cum c = 0, miscarea este rectilinie, astfel ca — notand cu r coordo-
nata pe semidreapta (OM0, vezi Figura 1.1 — ecuatiile de miscare sunt
..r =− f (r), t > 0,r(0) = R > 0.r (0) = 0
(1.6)
Cum..r < 0, functia
.r descreste. Deci
.r (t)< 0 cand t > 0.
Trebuie eliminate urmatoarele situatii: (1) limt→+∞
r(t) = R∞ ∈ (0,R), respectiv (2)
limt→+∞
r(t) = 0.
Ecuatia (1.6) ne conduce la
d
dt
(
.r
2
2
)
=− f (r).r,
respectiv la
.r (t)
2
2=
∫ R
r(t)f (q)dq,
.r (t) =−
√
2
∫ R
r(t)f (q)dq. (1.7)
In oricare din situatiile (1), (2), obtinem ca
limt→+∞
.r (t) = lim
t→+∞
r(t)
t∈ [−∞,0),
ceea ce reprezinta, evident, o contradictie.
4 1 Problema fortei centrale
1.4 Conservarea energiei mecanice. Ecuatia diferentiala a
miscarii gravitationale
Plecand de la (1.3), putem scrie ca
v.v = v ·
.v = − f (r)
r· (r · v)
= − f (r).r,
respectiv
v2
2= F1(r)+h, F1(r) ∈ −
∫
f (r)dr, h ∈ R. (1.8)
In cazul legii patratice inverse, F1(r) =∫ +∞
rµq2 dq = µ
rpentru orice r > 0.
Identitatea lui Lagrange, (a×b)2 = a2b2− (a ·b)2, ne conduce la (a = r si b = v)
c2 = r2v2 − (r.r)2, (1.9)
de unde — conform (1.8) —, deducem ecuatia diferentiala a miscarii ın camp cen-
tral newtonian, vezi [24],
(r2v2 =) (r.r)2 + c2 = 2µr+2hr2. (1.10)
Egalitatea (1.8), rescrisa ca
T =U +h1 sau T +V = h1,
unde T = mv2
2, U = mF1, h1 = mh si V = −U , reprezinta teorema conservarii en-
ergiei mecanice. Aici, T desemneaza energia cinetica, V energia potentiala iar U
potentialul campului gravitational.
1.5 Miscarea pe sectiuni conice: prima lege a lui Kepler. Metoda
lui Laplace
In cazul legii patratice inverse, formula ddt
(
rr
)
= c×rr3 se rescrie ca
µd
dt
(
r
r
)
=(
− µr3
· r)
× c =.v ×c = (v× c)·,
de unde, prin integrare, obtinem legea (vectoriala) de conservare
µ(
e+r
r
)
= v× c, (1.11)
1.5 Miscarea pe sectiuni conice: prima lege a lui Kepler. Metoda lui Laplace 5
unde e este o constanta de integrare numita axa de excentricitate, cf. [17, pg. 5].
Vectorul µe este numit uneori vectorul Runge-Lenz, cf. [14, pg. 335] — mai rar
ıntalnit ın dinamica orbitala, cf. [4, pg. 47] —.
Cand c 6= 0, relatia (1.11) ne conduce la e · c = 0 — tinem seama de faptul ca
r ·c = 0 —, deci −→e ∈ TOR3, −→e ∈ e, se gaseste ın planul miscarii. Cand c = 0, avem
e =−ρ , unde ρ este versorul razei vectoare a particulei M.
Presupunand ca avem c 6= 0, o ınmultire scalara a relatiei (1.11) ne conduce la
µ(e · r+ r) = r · (v× c) = (v,c,r) = (r,v,c) = (r× v) · c = c2,
respectiv la
e · r+ r =c2
µ. (1.12)
Un caz particular important este dat de e = 0. Aici, regasim miscarea circulara:
r = c2
µ si, conform (1.9), concludem ca miscarea circulara uniforma — avem v = µc
— este un caz particular de miscare cereasca. Vezi o serie de detalii, istorice si
matematice, ın [4, 9].
Sa consideram ca e 6= 0. Atunci, notand cu f unghiul facut de vectorii −→r , −→e ∈TOR
3, relatia (1.12) ne conduce la
r =c2/µ
1+ ecos f. (1.13)
O rescriere a formulei (1.13) sub forma
Fig. 1.2 Sectiunea conica de
excentricitate e
6 1 Problema fortei centrale
r = e
(
c2
µe− r cos f
)
ne permite urmatoarea interpretare (vezi Figura 1.2): particula M se deplaseaza pe
traiectorie astfel ıncat d(O,M) = e · d(M,L), unde L este o dreapta — fixa — sit-
uata ın planul miscarii la distanta dL = c2
µede originea O, perpendiculara pe dreapta
∆(O,−→e ).Am ajuns la prima lege a lui Kepler: particula M se misca pe o (sectiune) conica
de excentricitate e avandu-l pe O (Soarele) ıntr-unul din focare.
Pozitia P — cea mai apropiata de focarul O — se numeste pericentrul traiecto-
riei.
Formula (1.5) ne arata ca particula M se misca pe traiectorie ıntr-un singur sens
(.f> 0):
r2.f= c, f = θ −ω, ω = constant,
unde f reprezinta anomalia adevarata.
De asemeni, viteza particulei creste atunci cand ea se apropie de P si scade odata
cu ındepartarea de aceasta pozitie — vezi ilustrarea observatiei ın cazul e ∈ (0,1)ın Figura 1.3; aici, ariile hasurate corespund miscarii segmentului OM ın intervale
de timp egale —. Altfel, particula ar cadea ın focarul O, conform calculelor din
sectiunea 1.3.
O formula importanta este
µa|e2 −1|= c2 cand e 6= 1 (1.14)
ın notatiile standard. De exemplu, ın cazul elipsei,
2a = rmin + rmax =c2
µ·(
1
1− e+
1
1+ e
)
= 2 · c2
µ(1− e2).
Fig. 1.3 Ariile hasurate sunt
egale. Cand ajungem ın P:
iarna sau vara?
1.6 Cele cinci constante de miscare independente. Formula energetica a vitezei 7
In cazul cercului (e = 0), cum r = a = b = c2
µ , obtinem µa = c2.
1.6 Cele cinci constante de miscare independente. Formula
energetica a vitezei
Vom stabili ın continuare urmatoarea identitate
µ2(e2 −1) = 2hc2. (1.15)
Ridicand la patrat relatia (1.11), obtinem (reamintesc ca vectorii v si c sunt per-
pendiculari)
µ2
[
e2 +2
r· (e · r)+1
]
= (v× c)2 = v2c2,
respectiv — conform (1.10), (1.12) —
µ2
[
e2 +2
r·(
c2
µ− r
)
+1
]
=
(
2h+2µr
)
c2.
Evident, ultima relatie este echivalenta cu (1.15).
Am obtinut cele sapte constante (scalare) ale miscarii ın camp gravitational punc-
tiform. Mai precis,
Fig. 1.4 Caderea din M0, fara
viteza initiala
8 1 Problema fortei centrale
c = r0 × v0
e = v0×cµ − r0
r0
h =v2
02− µ
r0.
Din cele sapte constante, cinci sunt independente — acest numar nu poate fi
micsorat, cf. [17, pg. 8] — datorita urmatoarelor relatii
e · c = 0, µ2(e2 −1) = 2hc2.
In cazul general al problemei celor n puncte materiale, exista zece constante de
miscare independente — conform teoremei lui Bruns [3, 8], [23, pg. 23].
Pe baza formulelor (1.14), (1.15) — de unde a = µ2|h| —, putem scrie viteza
particulei M ın raport cu energia h si anume,
v2 =
µ(
2r+ 1
a
)
, cand h > 02µr, cand h = 0
µ(
2r− 1
a
)
, cand h < 0.
(1.16)
O interpretare interesanta a acestei formule ın cazul h < 0 este ilustrata ın Figura
1.4, vezi [12, pg. 150, 151]. Mai precis, viteza particulei materiale ın pozitia M este
egala cu viteza pe care ar avea-o particula daca ar “cadea”, fara viteza initiala, din
pozitia M0 atunci cand ar ajunge ın M — vezi formula (1.7). Punctul (geometric)
M0 se gaseste pe cercul de raza R = 2a centrat ın focarul O al elipsei (traiectoria).
1.7 A treia lege a lui Kepler. Identitatea Lagrange-Jacobi
Viteza areolara a particulei M este, conform (1.5), c2, de unde rezulta ca
prev ·c
2= πab = πa2
√
1− e2.
Aici, prev reprezinta perioada miscarii de revolutie a particulei M. Tinand seama
de (1.14), deducem ca
prev =2πc
·a2√
1− e2 =2πa2
√1− e2
√
µa(1− e2)=
2π√µ·a3/2. (1.17)
Am obtinut cea de-a treia lege a lui Kepler si anume patratul perioadei de
revolutie a planetei ın miscarea circumsolara este direct proportional cu cubul
semiaxei mari a traiectoriei, raportul de proportionalitate fiind acelasi pentru toate
planetele.
Marimea I = 12·mr2 se numeste moment de inertie (polar) al particulei materiale
M. Prin derivare obtinem.I= m · r .
r= m · (r · v), respectiv
1.8 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h = 0 9
..I = m · (v · v)+ r ·ma
= mv2 −m · f (r)r = mv2 − mµr
= 2T −U. (1.18)
Relatia (1.18) se numeste identitatea Lagrange-Jacobi. Ea a fost remarcata de
Lagrange ın problema celor 3 puncte materiale si apoi generalizata de Jacobi, cf.
[10, pg. 23].
1.8 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h = 0
Introducem schimbarea de variabila
u = k
∫ t
T
dτr(τ)
, unde k =√
µ (1.19)
iar T este un moment (de timp) pe care ıl vom interpreta ulterior. Acest tip1 de
schimbare de variabila ıi apartine lui Sundman, vezi [22, p. 145], care a folosi-
t-o ca tehnica de regularizare a coliziunilor binare ın problema celor trei puncte
materiale. Alte tehnici de regularizare au fost introduse de Delaunay, Levi-Civita,
Kustaanheimo-Stiefel, Marchal, etc. — vezi prezentarile din [9, 10, 11, 24, 22].
Astfel, avem
.r=
dr
du
.u=
k
r· dr
du.
Ecuatia (1.10) devine ın acest caz
(r′)2 +c2
k2=
2µk2
r, unde r′ =dr
du,
respectiv
(r′)2 +c2
µ= 2r. (1.20)
Teorema de inversiune locala, aplicata relatiei (1.19), ne asigura ca r este constant
ca functie de u daca si numai daca este constant ca functie de t. Astfel, lasand la
o parte miscarea circulara uniforma, functia r′ are (eventual) zerouri izolate. Prin
urmare, derivand ecuatia (1.20), ajungem la r′′ = 1.
Solutia generala a acestei ecuatii este
r =1
2(u−u0)
2 + r1(u−u0)+ r0
1 K.F. Sundman considera k = 1 [27, p. 5].
10 1 Problema fortei centrale
=1
2
[
(u−u0)2 +2r1(u−u0)+ r2
1
]
+c2
2µ
=1
2(u−u0 + r1)
2 +c2
2µ,
deoarece r21 +
c2
µ = 2r0. Putem alege u0 = r1, adica r = 12
(
u2 + c2
µ
)
.
Schimbarea de variabila (1.19), adica r du = k dt, ne conduce la
k(t −T ) =∫ u
0r(q)dq =
1
2
∫ u
0
(
q2 +c2
µ
)
dq
=u3
6+
c2
2µu.
Am obtinut ecuatiile parametrice ale integralei generale
√µ(t −T ) = 16
u3 + c2
2µ u
r = 12
(
u2 + c2
µ
)
.(1.21)
Momentul T , numit pasaj la pericentru, corespunde trecerii — unice pe parcur-
sul unei perioade a miscarii — particulei M prin pozitia P.
Din relatiile (1.21) deducem ca
r3
t2∼ r3
(t −T )2=
18
(
u2 + c2
µ
)3
1µ
(
u3
6+ c2
2µ u)2
∼ 9
2µ cand |t|, |u| →+∞,
adica
r
|t|2/3→ 3
√
9
2µ cand |t| →+∞. (1.22)
Din relatiile (1.21), (1.19) putem obtine formula pasajului la pericentru ca functie
de conditiile initiale. Astfel,
.r =
d
dt
[
1
2
(
u2 +c2
µ
)]
= u.u = u · k
r, (1.23)
de unde u = r.r√µ = 1√µ · (r · v). In sfarsit,
−√µ T =
u30
6+
c2
2µu0,
√µ u0 = r0· v0 pentru u0 = u(0).
De asemeni, din relatiile (1.21), (1.13) rezulta ca
1.9 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h 6= 0 11
1
2
(
u2 +c2
µ
)
=c2/µ
1+ cos f=
c2/µ2cos2 ( f/2)
,
respectiv
u2 =c2
µ
(
1
cos2 ( f/2)−1
)
=c2
µ· tan2
(
f
2
)
.
Conventia ca u > 0 daca si numai daca f > 0 implica relatia fundamentala
u =cõ
· tan
(
f
2
)
.
In particular, este determinata anomalia adevarata initiala, f0 = f (0). Mai precis,
f0 = 2arctan
(
r0 · v0
c
)
.
1.9 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h 6= 0
Ca si anterior, nu vom discuta subcazul c = 0. In (1.19) vom folosi coeficientul
k =√
µa=√
2|h|.Ecuatia (1.10) devine ın acest caz
(r′)2 +c2
k2= (r′)2 +
ac2
µ
=2µk2
r+2h
k2r2
= 2ar+(sign h)r2. (1.24)
Relatia (1.15) ne arata ca sign(e2 −1) = signh, deci — conform (1.14) — avem
identitatea
c2
µ= a(e2 −1)(signh). (1.25)
In sfarsit, tinand seama de (1.25) ın ecuatia (1.24), obtinem ca
(r′)2 +a2e2(signh) = (signh)[a+(signh)r]2.
Schimbarea de variabila eaρ(u) = a+(signh)r ne conduce la
(ρ ′)2 − (signh)ρ2 =−signh. (1.26)
Cand h > 0 luam ρ = coshu iar cand h < 0 luam ρ = cosu.
12 1 Problema fortei centrale
Reamintim cateva proprietati ale functiilor hiperbolice si anume
cosh′ u = sinhu, sinh′ u = coshu, cosh2 u− sinh2 u = 1,
respectiv
coshu =1+ tanh2
(
u2
)
1− tanh2(
u2
) , tanh2(u
2
)
=coshu−1
coshu+1.
La fel ca ın sectiunea precedenta, integrala timpului ıncheie calculul. Am ajuns
la (marimea T desemneaza pasajul la pericentru)
{
r = a(ecoshu−1)n(t −T ) = esinhu−u
cand h > 0, (1.27)
respectiv
{
r = a(1− ecosu)n(t −T ) = u− esinu
cand h < 0. (1.28)
Aici, n = ka=
√µ ·a−3/2 reprezinta miscarea medie, vezi [26, pg. 2, 45]. Marimea
l = n(t −T ) face parte din sistemul de variabile canonice Delaunay, cf. [9, pg. 39].
In cazul miscarii pe elipsa (h < 0), cea de-a treia lege a lui Kepler — relatia (1.17)
— ne conduce la n = 2πprev
.
Formulele parametrice ale timpului din (1.27), (1.28) constituie ecuatiile lui Ke-
pler.
Relatia (1.19) si ecuatiile lui Kepler ne permit sa determinam pasajul la pericen-
tru ca functie de conditiile initiale. Mai precis, avem formulele
r · v = r.r = r · dr
du
.u = k
dr
du
=
{õaesinhu cand h > 0,õaesinu cand h < 0.(1.29)
Pentru calculul anomaliei adevarate folosim relatia (1.14). Astfel, cand h < 0,
identitatea
(r =)a(1− e2)
1+ ecos f= a(1− ecosu)
ne conduce la cos f = cosu−e1−ecosu
, respectiv la — reamintim conventia ca f > 0 daca si
numai daca u > 0 —
tan
(
f
2
)
=
√
1+ e
1− etan(u
2
)
,
1.9 Integrarea ecuatiei (1.10). Cazul h 6= 0 13
pe baza formulei trigonometrice cosu =1−tan2( u
2 )1+tan2( u
2 ). Cand h > 0, avem
tan
(
f
2
)
=
√
e+1
e−1tanh
(u
2
)
.
In miscarea pe hiperbola (h > 0) a particulei materiale M apar urmatoa-rele es-
timari asimptotice
r
|t| →√
2h cand |t| →+∞, (1.30)
respectiv — aici, indexul “+” corespunde cazului t →+∞, iar indexul “−” cazului
t →−∞ —
r
r→ l±, v →V± cand |t| →+∞, (1.31)
unde
l± · e =−1, l± ‖ ±V±, V± = |V±|=√
2h. (1.32)
Pentru a obtine formula (1.30), utilizam relatiile (1.27) si anume
r
t∼ r
t −T= k
ecoshu−1
esinhu−u→±k cand t, u →±∞.
Pentru prima dintre formulele (1.31), folosim cea de-a doua lege a lui Kepler,
adica relatia (1.5) — cand t →+∞ —:
θ(t) = θ0 + c
∫ t
0
ds
r2(s)→ θ+∞ = θ0 + c
∫ +∞
0
ds
r2(s)<+∞.
Convergenta integralei improprii este o consecinta a estimarii (1.30). Astfel, l+ =cosθ+∞ i+ sinθ+∞ j.
Pentru cea de-a doua dintre formulele (1.31), ınmultind vectorial relatia (1.11),
ajungem la
µ(
c× e+ c× r
r
)
= c× (v× c) = c2 · v → c2V+ cand t →+∞,
unde V+ = µc2 (c× e+ c× l+).
Conform (1.31), limt→+∞
v(t) = V+. Trecand la limita ın (1.16) — formula ener-
getica a vitezei — si tinand seama de (1.30), concludem ca V+ =√
µa= k.
Rescriind formula (1.4) drept
c = r× v = r
(
r
r× v
)
→ (+∞) · (l+×V+) cand t →+∞,
14 1 Problema fortei centrale
deducem ca vectorii l+ si V+ sunt coliniari.
In sfarsit, pe baza estimarilor asimptotice (1.31), identitatea (1.11) ne conduce la
µ(e+ l+) =V+× c. (1.33)
Prima din formulele (1.29) arata ca, ın miscarea pe hiperbola, rr· v > 0 — adica,
vectorii l+ si V+ au acelasi sens: l+ = V+V+
. Relatia (1.33) devine
µ(e+ l+) =√
2h (l+× c),
de unde, prin ınmultire scalara cu l+ ın ambii membri, ajungem la prima din for-
mulele (1.32). Aceasta, si anume e · l+ =−1, arata ca versorul l+ este directia asimp-
totei dusa prin centrul C al hiperbolei la ramura acesteia pe care se deplaseaza par-
ticula M:
cos(l+,e) =−1
e,
cf. [26, pg. 75]. Vezi Figura 1.5.
Putem astfel afirma ca particula materiala M, aflata ıntr-o miscare hiperbolica,
se deplaseaza — odata ajunsa la distanta mare fata de originea O — “aproape”
rectiliniu si uniform.
In miscarea parabolica (h = 0), un calcul asemanator ne conduce la l+ = −e si
V+ = 0.
Fig. 1.5 “Infinit” de departe
de observator, miscarea par-
ticulei M are loc pe asimptota
traiectoriei
Capitolul 2
Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
2.1 Conservarea momentului cinetic total si a energiei mecanice.
Identitatea Lagrange-Jacobi
Vom lucra ın raport cu centrul de masa G. Raza vectoare a particulei Mk din
sistemul mecanic S = {(Mk,mk) : k ∈ 1,n}, unde n ≥ 2, verifica ecuatia de miscare
mk
..rk = γ
n
∑j=1
mkm j
r2jk
· r j − rk
r jk
=∂U
∂ rk
, (2.1)
unde 1rkk
≡ 0 si r jk = |M jMk|. Aici, U = γ ∑1≤ j≤l≤n
m jml
r jl.
Inmultind vectorial relatia (2.1), deducem ca
n
∑k=1
mk(rk×..rk) = γ ∑
1≤ j≤k≤n
m jmk
r3jk
[(r j × rk)+(rk × r j)] = 0.
Observand ca rk×..rk=
ddt(rk×
.rk), concludem ca
n
∑k=1
mk(rk × vk) = c ∈ TR3, (2.2)
adica are loc conservarea momentului cinetic total.
Reamintim relatiile fundamentale privind centrului maselor si anume,
n
∑k=1
mkrk =n
∑k=1
mkvk = 0. (2.3)
Inmultind scalar ecuatia (2.1), deducem ca
15
16 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
n
∑k=1
mk(.rk ·
..rk) =
n
∑k=1
mk(vk·.vk) =
d
dt
(
1
2
n
∑k=1
mkv2k
)
=n
∑k=1
∂U
∂ rk
·.rk=
dU
dt,
respectiv
T =U +h, h ∈ R. (2.4)
Aici, T = 12
n
∑k=1
mkv2k este energia cinetica totala a sistemului mecanic S.
La fel ca ın capitolul anterior, se arata usor ca
..I =
n
∑k=1
mkv2k +
n
∑k=1
mk(rk·..rk)
=n
∑k=1
mkv2k +
n
∑k=1
rk ·∂U
∂ rk
= 2T −U, (2.5)
unde I = 12
n
∑k=1
mkr2k reprezinta momentul de inertie total (polar) al sistemului
mecanic S. Am folosit teorema lui Euler privind functiile omogene, cf. [13, pg.
154-155], mai precis
−U =n
∑k=1
∂U
∂ rk
· rk. (2.6)
Formula (2.5) reprezinta identitatea Lagrange-Jacobi.
2.2 Inegalitatea lui Sundman
Are loc urmatoarea estimare
c2 +(.I)2 ≤ 4IT = 4I(
..I−h), (2.7)
stabilita de K.F. Sundman, vezi [1, 28]. O demonstratie a sa foloseste inegalitatile
de mai jos — cf. [22, pg. 62] —
(.I)2 ≤ 4IQ, c2 ≤ 4I(T −Q), (2.8)
unde Q = 12
n
∑k=1
mk.r
2k .
2.2 Inegalitatea lui Sundman 17
Astfel, conform inegalitatii Cauchy-Buniakovski-Schwarz (CBS), avem ca —
reamintim identitatea u ·.u = u
.u —
(.I)2 =
[
n
∑k=1
(√
mk rk) · (√
mk.rk)
]2
≤ (2I) · (2Q) = 4IQ.
Apoi, pe baza inegalitatii triunghiului si, din nou, a CBS, ajungem la
c2 ≤(
n
∑k=1
mk|rk × vk|)2
=
[
n
∑k=1
(√
mk rk) ·(√
mk|rk × vk|
rk
)
]2
≤ (2I) ·[
n
∑k=1
mk
r2k v2
k − (rk · vk)2
r2k
]
= 2In
∑k=1
mk(v2k−
.r
2k)
= 4I(T −Q).
Este evident ca inegalitatea lui Sundman (2.7) se obtine prin sumarea estimarilor
(2.8). Ultima parte a formulei (2.7) rezulta din (2.4), (2.5).
Plecand de la un comentariu din [22, pg. 63], introducem alt set de inegalitati de
tipul (2.8), si anume
(.I)2 ≤ 4IR, c2 ≤ 4I(T −R), (2.9)
unde R = 12M ∑
1≤ j≤k≤n
m jmk.r
2jk si M =
n
∑s=1
ms.
Conform formulei lui Lagrange [13, pg. 235], putem scrie ca
I =1
2∑
1≤l≤n
mlr2l =
1
2M∑
1≤ j≤k≤n
m jmkr2jk. (2.10)
De asemeni, tinand seama de (2.3), relatia (2.2) poate fi rearanjata ca
1
M∑
1≤ j≤k≤n
m jmk(r jk × v jk) = c, (2.11)
unde r jk = r j − rk si.r jk= v jk. Intr-adevar, membrul stang al egalitatii (2.11) este dat
de relatiile — avem v jk = v j − vk —
1
M∑
1≤ j≤k≤n
m jmk(r jk × v jk) =1
2M
n
∑j=1
n
∑k=1
m jmk(r jk × v jk)
=1
2M
n
∑j=1
m j
[
n
∑k=1
mk(rk × vk)−(
n
∑k=1
mkrk
)
× v j
−r j ×(
n
∑k=1
mkvk
)
+
(
n
∑k=1
mk
)
(r j × v j)
]
18 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
=1
2M
n
∑j=1
m j[c+M(r j × v j)]
(
=c
2+
c
2
)
.
In mod asemanator, se arata ca
T =1
2M∑
1≤ j≤k≤n
m jmkv2jk. (2.12)
Demonstratia inegalitatilor (2.9) reproduce calculul de la demonstratia inegalita-
tilor (2.8) unde marimile I, c si T sunt date de cea de-a doua dintre relatiile (2.10),
respectiv de (2.11) si (2.12).
2.3 Teorema colapsului total
Avem nevoie de urmatorul rezultat auxiliar: fiind data functia f : [a,b) →(0,+∞), de clasa C2, astfel ıncat f ′′(t) ≥ ε > 0 ın ıntreg domeniul de definitie si
limtրb
f (t) = 0, atunci f ′(t)< 0 ın [a,b). Vezi Figura 2.1. Aici, a, b > 0.
Pentru a stabili acest rezultat, fixam t0 ∈ [a,b) si integram de doua ori inegalitatea
din enunt:
f (t)− f (t0)− f ′(t0)(t − t0)≥ε2(t − t0)
2, t0 ≤ t < b.
Mai departe, facand t ր b, obtinem
Fig. 2.1 Estimarea lui f ′
2.3 Teorema colapsului total 19
0 >− f (t0)−ε2(b− t0)
2 ≥ f ′(t0)(b− t0), a ≤ t0 < b,
de unde rezulta concluzia.
Spunem ca, ın problema celor n puncte materiale, intervine o coliziune la mo-
mentul t∗ ∈ R daca exista limtրt∗
rk = Lk ∈ TR3 pentru orice k ∈ 1,n si cel putin doua
dintre aceste limite coincid, cf. [22, pg. 163]. Prin colaps total ıntelegem ca Lk = L
pentru orice k ∈ 1,n.
Pentru a stabili teorema Weierstrass-Sundman, prezentam doua rezultate inter-
mediare. Primul afirma ca: daca se produce colapsul total, el are loc ın centrul
maselor O.
Reamintim formula (2.10). Deoarece colapsul total implica
limtրt∗
r jk = limtրt∗
|r j − rk|= 0 pentru orice j 6= k,
deducem ca limtրt∗
I = 0. Insa definitia momentului de inertie I ne conduce la limtրt∗
rl =
0 pentru orice l ∈ 1,n, de unde concluzia.
Cel de-al doilea rezultat intermediar afirma ca: daca se produce colapsul total, el
are loc ın timp finit — t∗ <+∞ —.
Sa presupunem ca, prin absurd, t∗ =+∞. Atunci, pe baza formulelor (2.4), (2.5),
deducem ca
..I=U +2h →+∞ cand r jk → 0 pentru orice j 6= k. (2.13)
In particular,..I ≥ 1 pentru orice t ≥ t0 suficient de mare. Prin integrare, ajungem la
I ≥ 1
2(t − t0)
2+.I (t0)(t − t0)+ I(t0)→+∞ cand t →+∞.
Aceasta estimare contrazice primul rezultat intermediar, de unde concluzia.
Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman), vezi [17, pg. 43-44], [22, pg.
147], afirma ca: pentru colapsul total este necesar sa avem c = 0.
Sa presupunem, prin absurd, ca avem c > 0. Deoarece limtրb
U = +∞, unde b =
t∗ < +∞, formula (2.13) implica limtրb
..I= +∞, respectiv
..I≥ ε = 1 ın [a,b) pentru
un anumit a > 0 suficient de aproape de b. Primul rezultat intermediar arata ca
limtրb
I(t) = 0, deci putem aplica rezultatul de la ınceputul acestei sectiuni — vezi
Figura 2.1 — :.I < 0 ın [a,b).
Conform (2.7), avem
c2 ≤ 4I(..I−h),
respectiv
20 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
c2 · −.I
4I≤ h
.I −
.I..I . (2.14)
Integrand inegalitatea (2.14) ın [a, t], unde t < b, obtinem
c2
4· log
(
1
I
)
≤ hI − 1
2(.I)2 +C ≤ hI +C, unde C ∈ R. (2.15)
Facand t ր b ın (2.15), ajungem la +∞ ≤C, o contradictie. Teorema colapsului
total a fost demonstrata.
2.4 Teorema virialului (Pollard). O teorema tauberiana neliniara
Avem nevoie de un rezultat auxiliar datorat lui Landau si anume, fiind data
functia f : [a,+∞) → R, de clasa C2, astfel ıncat f ′′(t) ≥ −M ın [a,+∞), unde
M ∈ [0,+∞), avem limt→+∞
f (t)t2 = 0 daca si numai daca lim
t→+∞f ′(t)
t= 0. Aici, a ≥ 0.
Pentru implicatia directa, fie ε ∈(
0, 12
)
fixat. In particular,
1− ε ∈(
1
2,1
)
. (2.16)
Atunci, formula lui Taylor
f ((1+ ε)t) = f (t)+ f ′(t) · (εt)+ f ′′(ξε ,t) ·(εt)2
2, (2.17)
unde ξε ,t ∈ (t,(1+ ε)t), implica
εf ′(t)
t≤ (1+ ε)2 f ((1+ ε)t)
[(1+ ε)t]2− f (t)
t2+M
ε2
2, t > a,
respectiv
limsupt→+∞
f ′(t)t
≤ Mε2. (2.18)
O noua aplicare a formulei lui Taylor si anume
f ((1− ε)t) = f (t)+ f ′(t) · (−εt)+ f ′′(ηε ,t) ·(εt)2
2, (2.19)
unde ηε ,t ∈ ((1− ε)t, t), implica
εf ′(t)
t≥ f (t)
t2− (1− ε)2 f ((1− ε)t)
[(1− ε)t]2−M
ε2
2, t > a,
2.4 Teorema virialului (Pollard). O teorema tauberiana neliniara 21
respectiv
liminft→+∞
f ′(t)t
≥−Mε2. (2.20)
Concluzia rezulta facand ε ց 0 ın relatiile (2.18), (2.20).
Teorema virialului, ın formularea datorata lui Harry Pollard [16], afirma ca:
Tdef= lim
t→+∞
1
t
∫ t
0T (s)ds =−h
daca si numai daca limt→+∞
I(t)t2 = 0.
Integrand identitatea Lagrange-Jacobi —..I = T +h —, obtinem ca
.I
t=
1
t
∫ t
0T (s)ds+h+
C
t, t > 0, unde C ∈ R. (2.21)
Implicatia directa ne conduce, via (2.21), la limt→+∞
.It= 0. Concluzia rezulta
aplicand teorema lui L’Hopital.
Reciproc, conform identitatii Lagrange-Jacobi, observam ca..I ≥ h ≥ −M, unde
M = |h|. Teorema lui Landau stabilita la ınceputul acestei sectiuni arata ca limt→+∞
.It=
0. Concluzia rezulta facand t →+∞ ın (2.21).
Teorema lui Pollard arata ca — reamintim teorema conservarii energiei mecanice
(2.4) —
2T = U (2.22)
daca limt→+∞
I(t)t2 = 0. In formularea sa clasica (Clausius), relatia (2.22) are loc atunci
cand marimile I, T raman marginite pe tot parcursul miscarii, vezi [22, pg. 47-48],
[13, pg. 154-156].
O practica ıntalnita uneori ın astronomie la studiul miscarii galaxiilor este de a
ınlocui identitatea (2.22) cu relatia 2T = U atunci cand I ramane practic constant
[15]. D. Saari a conjecturat ın anii ’60 ai secolului trecut ca o asemenea ipoteza va
face ca galaxia sa se miste practic ca un rigid, ceea ce este aberant. Vezi si analiza
din [7].
Rezultatul lui Landau de la ınceput face parte din teoria tauberiana. Variante
neliniare ale sale au fost utilizate la analiza singularitatilor si a expansiunilor ın
problema celor n puncte materiale. Vezi [2, 18, 21]. Urmatoarea teorema ıi este
datorata lui Saari [22, pg. 177]. Fiind data functia f : [t0,+∞) → [0,+∞), de clasa
C2, astfel ıncat
f (t)∼ Atα cand t →+∞,
unde α > 1, A > 0 si
22 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
f ′′(t)< B| f ′(t)|α−γ−2
α−1 tγ , t ≥ t0, (2.23)
unde B ≥ 0, γ >−1 si α > γ +2, are loc estimarea
f ′(t)∼ αAtα−1 cand t →+∞. (2.24)
Aici, t0 ≥ 0.
Incepem demonstratia cu observatia ca, fiind date functiile F,G : [t0,+∞) →[0,+∞) astfel ıncat G(t)> t pentru orice t ≥ t0, avem inegalitatile
liminft→+∞
F(t)≤ liminft→+∞
(F ◦G)(t)
≤ limsupt→+∞
(F ◦G)(t)≤ limsupt→+∞
F(t). (2.25)
Ele rezulta imediat din inegalitatile evidente
infs≥t
F(s)≤ infs≥t
(F ◦G)(s)≤ sups≥t
(F ◦G)(s)≤ sups≥t
F(s)
pentru orice t ≥ t0.
Mai departe, remarcam ca f ′(t)> 0 ın (t0,+∞). Intr-adevar, daca ar exista t1 > t0cu proprietatea ca f ′(t1) = 0, atunci f ′′(t1) < 0, deci f ′ devine descrescatoare ıntr-
un mic interval situat la dreapta lui t1. In acest interval, evident, f ′(t) < 0. Daca
marginea superioara, notata t2, a micului interval pe care f ′ ia valori negative este
finita, atunci ea va constitui un punct de maxim local pentru f ′. In concluzie, f ′(t)≤0 ın [t1,+∞), de unde f (t)≤ f (t1)<+∞. Marginirea functiei f intra ın contradictie
cu dezvoltarea sa asimptotica.
Relatia (2.17) ne conduce la
(1+ ε)α f ((1+ ε)t)[(1+ ε)t]α
− f (t)
tα
≤ εf ′(t)tα−1
+Bε2
2·[
f ′(ξε ,t)
ξ α−1ε ,t
]α−γ−2
α−1
·(
ξε ,tt
)α−2
≤ εf ′(t)tα−1
+Bε2
2·[
f ′(ξε ,t)
ξ α−1ε ,t
]α−γ−2
α−1
·max{
(1+ ε)α−2,1}
,
de unde1
(1+ ε)α −1
ε·A ≤ liminf
t→+∞
f ′(t)tα−1
+B
2ε max
{
(1+ ε)α−2,1}
1 Folosim urmatoarea observatie
liminft→+∞
[F(t)+G(t)]≤ liminft→+∞
F(t)+ limsupt→+∞
G(t).
2.4 Teorema virialului (Pollard). O teorema tauberiana neliniara 23
× limsupt→+∞
[
f ′(ξε ,t)
ξ α−1ε ,t
]α−γ−2
α−1
. (2.26)
Inegalitatea (2.23) se rescrie ca
f ′′(t)
[ f ′(t)]1−γ+1α−1
≤ Btγ , t ≥ t0 +ζ , ζ > 0,
de unde, prin integrare, avem
[ f ′(t)]γ+1α−1 − [ f ′(t0 +ζ )]
γ+1α−1 ≤ B
α −1[tγ+1 − (t0 +ζ )γ+1].
Aceasta ultima estimare —γ+1α−1
> 0 — arata ca aplicatia t 7→ f ′(t)tα−1 este marginita
ın (t0,+∞). Conform (2.25), unde F(t) =[
f ′(t)tα−1
]α−γ−2
α−1si G(t) = ξε ,t , avem
limsupt→+∞
[
f ′(ξε ,t)
ξ α−1ε ,t
]α−γ−2
α−1
≤ limsupt→+∞
[
f ′(t)tα−1
]α−γ−2
α−1
<+∞.
Facand ε ց 0 ın (2.26), obtinem
αA ≤ liminft→+∞
f ′(t)tα−1
. (2.27)
Relatia (2.19) ne conduce la
εf ′(t)tα−1
≤ f (t)
tα − (1− ε)α f ((1− ε)t)[(1− ε)t]α
+Bε2
2
×[
f ′(ηε ,t)
ηα−1ε ,t
]α−γ−2
α−1
·(ηε ,t
t
)α−2
≤ f (t)
tα − (1− ε)α f ((1− ε)t)[(1− ε)t]α
+Bε2
2
× (marginit).
Am folosit inegalitatea (2.25) pentru F(t) = f ′(t)tα−1 si G(t) =ηε , t
1−εsi restrictia (2.16).
De aici rezulta ca
limsupt→+∞
f ′(t)tα−1
≤ 1− (1− ε)α
ε·A+ ε · (marginit),
respectiv, facand ε ց 0,
24 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
limsupt→+∞
f ′(t)tα−1
≤ αA. (2.28)
Estimarile (2.27), (2.28) ne conduc la (2.24).
2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari)
Vom stabili mai ıntai alt rezultat tauberian neliniar: fiind data functia f : [t0, t⋆)→
[0,+∞), de clasa C2, astfel ıncat
f (t)∼ A(t⋆− t)α cand t ր t⋆,
unde α ∈ (0,1), A > 0 si
f ′(t)< 0, | f ′′(t)| ≤ B| f ′(t)|2+γ−α
1−α (t⋆− t)γ , t ∈ [t0, t⋆), (2.29)
unde B > 0, γ >−1, are loc estimarea
f ′(t)∼−αA(t⋆− t)α−1 cand t ր t⋆. (2.30)
Aici, t0 ≥ 0 si t⋆ <+∞.
Incepem prin a arata ca exista sirul crescator (tn)n≥1 din (t0, t⋆) astfel ıncat
limn→+∞
tn = t⋆ si
| f ′(tn)|(t⋆− tn)1−α ≤ A, n ≥ 1, (2.31)
cf. [21, p. 459, Claim].
Intr-adevar, ın caz contrar ar exista T ∈ (t0, t⋆) cu proprietatea ca
| f ′(t)|(t⋆− t)1−α > A, t ∈ (T, t⋆).
Prin integrare — tinand seama de limtրt⋆
f (t) = 0 — obtinem
f (t) =∫ t⋆−
t[− f ′(s)]ds > A
∫ t⋆−
t
ds
(t⋆− s)1−α =A
α(t⋆− t)α
> (2−α)A(t⋆− t)α cand t ր t⋆,
adica o contradictie.
Mai departe, afirmam ca marimea | f ′(t)|(t⋆− t)1−α este marginita ın inter-valul
[t0, t⋆):
| f ′(t)|(t⋆− t)1−α ≤C <+∞. (2.32)
2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari) 25
Pentru a proba aceasta, vom presupunem ca, prin absurd, ar exista sirul crescator
(sn)n≥1 din (t0, t⋆), unde lim
n→+∞sn = t⋆, pentru care
tn < sn < tn+1, n ≥ 1, limn→+∞
| f ′(sn)|(t⋆− sn)1−α =+∞. (2.33)
Inegalitatile (2.29) ne conduc la
− (| f ′(t)|)′
| f ′(t)|1+γ+11−α
≤ | f ′′(t)|| f ′(t)|1+
γ+11−α
≤ B(t⋆− t)γ , t ∈ [t0, t⋆),
respectiv la
∣
∣
∣
∣
∣
∫ | f ′(sn)|
| f ′(tn)|
du
u1+ γ+11−α
∣
∣
∣
∣
∣
≤∫ sn
tn
| f ′′(t)|| f ′(t)|1+
γ+11−α
dt
≤ B
γ +1[(t⋆− tn)
γ+1 − (t⋆− sn)γ+1],
de unde∣
∣
∣
∣
∣
1
| f ′(tn)|γ+11−α
− 1
| f ′(sn)|γ+11−α
∣
∣
∣
∣
∣
≤ B
1−α[(t⋆− tn)
γ+1 − (t⋆− sn)γ+1]
si
∣
∣
∣
∣
∣
1
[| f ′(tn)|(t⋆− tn)1−α ]γ+11−α
−(
t⋆− sn
t⋆− tn
)γ+1
· 1
[| f ′(sn)|(t⋆− sn)1−α ]γ+11−α
∣
∣
∣
∣
∣
≤ B
1−α
[
1−(
t⋆− sn
t⋆− tn
)γ+1]
.
Deoarece t⋆−snt⋆−tn
≤ 1, pe baza proprietatilor (2.31), (2.33), deducem existenta
numarului N ≥ 1 astfel ıncat
1
2A− γ+1
1−α ≤
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
[| f ′(tn)|(t⋆− tn)1−α ]γ+11−α
−
(
t⋆−snt⋆−tn
)γ+1
[| f ′(sn)|(t⋆− sn)1−α ]γ+11−α
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ B
1−α
[
1−(
t⋆− sn
t⋆− tn
)γ+1]
<B
1−α
pentru orice n ≥ N.
Daca 12A− γ+1
1−α > B1−α , atunci am ajuns la o contradictie. In caz contrar, deducem
ca
26 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
0 <t⋆− sn
t⋆− tn< η =
(
1− 1−αB
· 1
2A− γ+1
1−α
) 1γ+1
< 1, n ≥ N,
respectiv
sn = sn − tn + tn = tn +[(t⋆− tn)− (t⋆− sn)]
≥ tn +(1−η)(t⋆− tn), n ≥ N. (2.34)
Conform inegalitatii (2.34), orice sir (wn)n≥1, unde tn ≤ wn < tn +(1−η)(t⋆−tn), n ≥ 1, verifica inegalitatea
lw = limsupn→+∞
| f ′(wn)|(t⋆−wn)1−α <+∞.
Mai mult, exista δ ∈(
0, 12
)
, unde δ = δ (lw), cu proprietatea ca
max{0,4lw} ≥ limsupn→+∞
| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α (= lξ )
pentru orice ξn ∈ (wn −δ (t⋆−wn),wn +δ (t⋆−wn)) si n ≥ 1.
Intr-adevar, prin integrare — cand wn ≤ ξn —, avem
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
[| f ′(wn)|(t⋆−wn)1−α ]γ+11−α
−
(
t⋆−ξn
t⋆−wn
)γ+1
[| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α ]γ+11−α
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ B
1−α
[
1−(
t⋆−ξn
t⋆−wn
)γ+1]
<B
1−α[1− (1−δ )γ+1].
Astfel, daca lw = 0, atunci lξ = 0. Daca lw ∈ (0,+∞), atunci
1
[| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α ]γ+11−α
≥
(
t⋆−ξn
t⋆−wn
)γ+1
[| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α ]γ+11−α
≥ 1
[| f ′(wn)|(t⋆−wn)1−α ]γ+11−α
− B
1−α[1− (1−δ )γ+1]
≥ (2lw)− γ+1
1−α − B
1−α[1− (1−δ )γ+1] (pentru n suficient de mare)
> (4lw)− γ+1
1−α ,
unde
B
1−α[1− (1−δ )γ+1]
≤ B
1−α{1− [1−δ (lw)]γ+1}= (2lw)
− γ+11−α − (4lw)
− γ+11−α .
2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari) 27
Daca ξn < wn, prin integrare, avem
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
[| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α ]γ+11−α
−
(
t⋆−wn
t⋆−ξn
)γ+1
[| f ′(wn)|(t⋆−wn)1−α ]γ+11−α
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ B
1−α
[
1−(
t⋆−wn
t⋆−ξn
)γ+1]
<B
1−α[1− (1+δ )−(γ+1)],
de unde
1
[| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)1−α ]γ+11−α
≥
(
t⋆−wn
t⋆−ξn
)γ+1
[| f ′(wn)|(t⋆−wn)1−α ]γ+11−α
− B
1−α[1− (1+δ )−(γ+1)]
≥(
1
1+δ
)γ+1
· (2lw)− γ+1
1−α (pentru n suficient de mare)
− B
1−α[1− (1+δ )−(γ+1)]
> 2−(γ+1) · (2lw)− γ+1
1−α − B
1−α[1− (1+δ )−(γ+1)]
> (4lw)− γ+1
1−α
pentru
B
1−α[1− (1+δ )−(γ+1)]
≤ B
1−α{1− [1+δ (lw)]−(γ+1)}= (22−α lw)
− γ+11−α − (4lw)
− γ+11−α .
Introducem numerele q0 = 1−η ∈ (0,1), respectiv θ ,τ ∈ (0,q0) cu
1
2(q0 +q2
0)≤ θ < τ
si ζ = q0 − τ . Fie sirul (vn)n≥1 astfel ıncat
tn < tn +θ(t⋆− tn)< vn < tn + τ(t⋆− tn)< tn +q0(t⋆− tn)≤ sn.
Atunci, au loc estimarile
tn < vn −θ(t⋆− vn)< vn (2.35)
< vn +ζ (t⋆− vn)< tn +q0(t⋆− tn), n ≥ 1. (2.36)
28 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
Intr-adevar, pentru a stabili inegalitatea (2.35), observam ca
tn +θ(t⋆− vn)< tn +θ(t⋆− tn)< vn.
Inegalitatea (2.36) se rescrie ca
vn +(q0 − τ)(t⋆− vn) = (1−q0 + τ)vn +(q0 − τ)t⋆
< tn +q0(t⋆− tn) = (1−q0)tn +q0t⋆,
respectiv
(1−q0 + τ)vn < (1−q0)tn + τt⋆.
Am obtinut
(1−q0)(vn − tn)+ τvn < τt⋆, n ≥ 1.
Insa
(1−q0)(vn − tn)+ τvn < (1− τ)(vn − tn)+ τvn
= vn − (1− τ)tn < tn + τ(t⋆− tn)− (1− τ)tn = τt⋆.
In sfarsit, fie ε ∈ (0,min{θ ,ζ ,δ (lv)}). Atunci, toate numerele de forma vn ±ε(t⋆− vn) se gasesc ın intervalul (tn, tn +q0(t
⋆− tn)).Pentru a aplica formula lui Taylor vom ınlocui marimea (1+ ε)t din (2.17) cu
vn + ε(t⋆− vn), respectiv marimea (1− ε)t din (2.19) cu vn − ε(t⋆− vn).Au loc identitatile elementare
{
t⋆− [vn + ε(t⋆− vn)] = (1− ε)(t⋆− vn),t⋆− [vn − ε(t⋆− vn)] = (1+ ε)(t⋆− vn).
Relatia (2.17) ne conduce la — avem 2+ γ −α > 0 —
εf ′(vn)
(t⋆− vn)α−1≤ (1− ε)α f (vn + ε(t⋆− vn))
{t⋆− [vn + ε(t⋆− vn)]}α − f (vn)
(t⋆− vn)α
+ Bε2
2· [| f ′(ξn)|(t⋆−ξn)
1−α ]2+γ−α
1−α ·(
t⋆− vn
t⋆−ξn
)2−α
≤ (1− ε)α f (vn + ε(t⋆− vn))
{t⋆− [vn + ε(t⋆− vn)]}α − f (vn)
(t⋆− vn)α
+ Bε2
2· (max{0,4lv})
2+γ−αγ+1 ·22−α . (2.37)
Am tinut seama de (2.16). Aici, ξn = ξε ,vn .
Astfel,
2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari) 29
limsupn→+∞
f ′(vn)
(t⋆− vn)α−1≤ (1− ε)α −1
ε·A+ ε · (marginit),
respectiv
limsupn→+∞
[ f ′(vn)(t⋆− vn)
1−α ]≤−αA. (2.38)
Relatia (2.19) ne conduce la
εf ′(vn)
(t⋆− vn)α−1≥ f (vn)
(t⋆− vn)α − (1+ ε)α f (vn − ε(t⋆− vn))
{t⋆− [vn − ε(t⋆− vn)]}α
− Bε2
2· (max{0,4lv})
2+γ−αγ+1 , (2.39)
de unde
liminfn→+∞
f ′(vn)
(t⋆− vn)α−1≥ 1− (1+ ε)α
ε·A+ ε · (marginit),
respectiv
liminfn→+∞
[ f ′(vn)(t⋆− vn)
1−α ]≥−αA. (2.40)
Din (2.38), (2.40) rezulta ca
limn→+∞
[ f ′(vn)(t⋆− vn)
1−α ] =−αA,
respectiv
| f ′(vn)|(t⋆− vn)1−α ≤ 1+α
2A < A cand n →+∞.
Aceasta estimare, similara lui (2.31), ne conduce la urmatoarea varianta a ine-
galitatii (2.34):
sn ≥ vn +q0(t⋆− vn) (2.41)
≥ tn +θ(t⋆− tn)+q0(t⋆− vn)
≥ tn +θ(t⋆− tn)+q0(1−q0)(t⋆− tn)
≥ tn +
[
1
2(q0 +q2
0)+q0(1−q0)
]
(t⋆− tn)
= tn +
[
q0 +1
2(q0 −q2
0)
]
(t⋆− tn) cand n →+∞.
Fie acum Q supremumul multimii Q a numerelor q ∈ [q0,1) cu proprietatea ca
pentru orice θ ,τ ∈ (0,q), unde
30 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
q− 1
2q0(1−q)≤ θ < τ ,
si orice sir crescator (vn)n≥1, unde
tn +θ(t⋆− tn)< vn < tn + τ(t⋆− tn)< tn+1, n ≥ 1,
au loc relatiile
sn ≥ tn +q(t⋆− tn) cand n →+∞
si
limn→+∞
[ f ′(vn)(t⋆− vn)
1−α ] =−αA.
Afirmam ca Q = 1.
Pentru a proba acest lucru, sa presupunem ca Q < 1.
Din definitia numarului Q rezulta ca exista q ∈ Q astfel ıncat
q > Q− 1
2q0(1−Q).
Introducem sirul (vn)n≥1 cu formula vn = tn +ω(t⋆− tn), n ≥ 1, unde
q > ω > Q− 1
2q0(1−Q).
(
≥ q− 1
2q0(1−q) !
)
Atunci, marimea vn +q0(t⋆− vn) din (2.41) verifica inegalitatea
vn +q0(t⋆− vn)> tn +Q(t⋆− tn)
pentru orice n ≥ 1. Intr-adevar, avem relatiile
vn +q0(t⋆− vn) > tn +
[
Q− 1
2q0(1−Q)
]
(t⋆− tn)+q0(1−Q)(t⋆− tn)
= tn +
[
Q+1
2q0(1−Q)
]
(t⋆− tn)
> tn +Q(t⋆− tn).
Afirmatia a fost probata.
Cum tn+Q(t⋆− tn) = tn+1 ·(t⋆− tn) = t⋆ > tn+1, deducem ca sn nu se poate afla
ın [tn, tn+1], adica are loc (2.32).
Pentru a stabili relatia (2.30), se reiau estimarile Taylor (2.37), (2.39), ınlocu-
indu-l pe vn cu t.
Avem nevoie si de un rezultat tauberian liniar, mai precis: fiind data functia f :
[t0, t⋆)→ [0,+∞), de clasa C2, astfel ıncat
f (t)∼ A(t⋆− t)α cand t ր t⋆,
2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari) 31
unde A ≥ 0 si α > 1, respectiv
f ′′(t)≥−M(t⋆− t)α−2, t ∈ [t0, t⋆),
unde M ≥ 0, are loc relatia
f ′(t)∼−αA(t⋆− t)α−1 cand t ր t⋆.
Vezi [22, pg. 174].
La fel ca anterior, avem relatiile — ε ∈(
0, 12
)
—
(1− ε)α f (t + ε(t⋆− t))
{t⋆− [t + ε(t⋆− t)]}α − f (t)
(t⋆− t)α
≥ εf ′(t)
(t⋆− t)α−1−M
ε2
2
(
t⋆−ξε ,tt⋆− t
)α−2
,
de unde
(1− ε)α −1
ε·A+M
ε2· (marginit)≥ limsup
tրt⋆
f ′(t)(t⋆− t)α−1
,
respectiv
−αA ≥ limsuptրt⋆
f ′(t)(t⋆− t)α−1
.
Apoi,
εf ′(t)
(t⋆− t)α−1
≥ f (t)
(t⋆− t)α − (1+ ε)α f (t − ε(t⋆− t))
{t⋆− [t − ε(t⋆− t)]}α −Mε2
2
(
t⋆−ηε ,tt⋆− t
)α−2
,
de unde
liminftրt⋆
f ′(t)(t⋆− t)α−1
≥ 1− (1+ ε)α
ε·A−M
ε2· (marginit),
respectiv
liminftրt⋆
f ′(t)(t⋆− t)α−1
≥−αA,
ceea ce ıncheie demonstratia.
Urmatorul rezultat a fost stabilit de Pollard si Saari ın 1968, cf. [22, pg. 173],
[19]: daca la momentul t⋆ < +∞ cel putin doua din cele n particule se ciocnesc,
atunci, introducand multimile (Gk)1≤k≤N care descriu coliziunile, unde Gk = {i ∈
32 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
1,n : limtրt⋆
ri = Li = Lk}, si marimea
J =1
2
n
∑q=1
mq(rq −Lq)2 =
1
2
N
∑k=1
∑i∈Gk
mi(ri −Lk)2,
au loc estimarile asimptotice
U ∼ 49J⋆(t⋆− t)−
23 ,
J ∼ J⋆(t⋆− t)43 ,
.J∼− 4
3J⋆ 3√
t⋆− t
cand t ր t⋆ (2.42)
pentru o anumita constanta J⋆ > 0.
Pentru demonstratie avem nevoie de mai multe estimari auxiliare, si anume
..J=U +O(1),
.J (t)< 0 cand t ր t⋆,
(.J)2 ≤ 4JT,
liminftրt⋆
..J√
J ≥ A > 0,
limtրt⋆
.J4√
J= b < 0.
(2.43)
Fie Gk centrul de masa al punctelor (Mi)i∈Gksi mk = ∑
i∈Gk
mi. Atunci, via (2.1),
putem scrie ca
mi
..ri= γ ∑
j∈Gk
mim j
r3i j
(r j − ri)+ γ ∑j/∈Gk
mim j
r3i j
(r j − ri).
Deoarece — i ∈ Gk —
limsuptրt⋆
∣
∣
∣
∣
∣
∑j/∈Gk
mim j
r3i j
(r j − ri)
∣
∣
∣
∣
∣
≤ mi
(
∑j/∈Gk
m j
)
· 1
minj/∈Gk
∣
∣L j −Li
∣
∣
2
=mi(M−mk)
minj/∈Gk
∣
∣
∣L j −Lk∣
∣
∣
2,
obtinem
mi
..ri= γ ∑
j∈Gk
mim j
r3i j
(r j − ri)+O(1) cand t ր t⋆,
respectiv
mk..rGk
= ∑i∈Gk
mi
..ri
2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari) 33
= γ ∑i≤ j; i, j∈Gk
mim j
r3i j
· [(r j − ri)+(ri − r j)]+O(1)
= O(1) cand t ր t⋆.
Aici, rGk= GGk.
Cum
J =1
2
n
∑q=1
mqr2q −
N
∑k=1
(
∑j∈Gk
m jr j
)
·Lk+
1
2
N
∑k=1
mk(Lk)2
= I −N
∑k=1
(mkrGk) ·Lk
+(constanta),
deducem ca
..J =
..I −
N
∑k=1
(mk..rGk
) ·Lk=
..I +O(1)
= U +O(1) cand t ր t⋆,
adica prima din estimarile (2.43).
Relatiile
limtրt⋆
..J= lim
tրt⋆U +(marginit) = +∞, lim
tրt⋆J(t) = 0
arata ca functia.J este crescatoare si ia valori negative pe un mic interval la stanga
lui t⋆: limtրt⋆
.J (t) =J ≤ 0. Vezi Figura 2.1 si rezultatul auxiliar de la teorema colap-
sului total.
Urmatoarea estimare (2.43) este o consecinta a inegalitatii Cauchy-Bunia-kovski-
Schwarz, si anume
(.J)2 =
[
N
∑k=1
∑i∈Gk
mi(ri −Lk) · vi
]2
≤[
N
∑k=1
∑i∈Gk
√mi|ri −L
k| ·√mivi
]2
≤ (2J) · (2T )
= 4JT.
Mai departe, fie i, j ∈ Gk. Avem relatiile
2J ≥ mi(ri −Lk)2 +m j(r j −L
k)2
≥ min{mi,m j} · [|ri −Lk|2 + |r j −L
k|2]
≥ min{mi,m j} ·1
2[|ri −L
k|+ |r j −Lk|]2
34 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
≥ min{mi,m j}2
|ri − r j|2 =min{mi,m j}
2r2
i j (2.44)
si
U ≥ γ · mim j
ri j≥ γ
[min{mi,m j}]2√
4Jmin{mi,m j}
=γ2[min{mi,m j}]
52 · 1√
J.
Astfel, pe un mic interval la stanga lui t⋆, are loc inegalitatea
..J ≥ U
2≥ γ
4
{
min1≤q≤n
mq
} 52
· 1√J
=A√J.
Fie t1 < t⋆ cu proprietatea ca
.J (t)< 0,
..J (t)≥ A
√
J(t), t ∈ [t1, t
⋆).
Integrand inegalitatea
..J.J=
d
dt
( .J
2
2
)
≤ A
.J√J,
avem — aici, t1 ≤ t2 < t⋆ —
[.J (t2)]
2
2− [
.J (t1)]
2
2≤ 2A(
√
J(t2)−√
J(t1)),
de unde, facand t2 ր t⋆, ajungem la
4A√
J(t1)≤ J 2 +4A√
J(t1)≤ [.J (t1)]
2.
Tinand seama de semnul functiei.J, obtinem
.J (t1)≤−2
√A · 4√
J(t1)
pentru orice t1 < t⋆ suficient de aproape de t⋆.
O noua integrare implica
2
3
{
[J(t2)]34 − [J(t1)]
34
}
≤−√
A(t2 − t1)
2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari) 35
si, facand t2 ր t⋆, se ajunge la
J(t1)≥[
3
2
√A(t⋆− t1)
] 43
, t1 < t⋆. (2.45)
In particular, integrala improprie∫ t⋆−
tds
4√
J(s), unde t ∈ [t1, t
⋆), este convergenta.
Observam ca, vezi [22, pg. 182],
4d
dt
( .J4√
J
)
=4J
..J −(
.J)2
J54
=4J[
..I +O(1)]− (
.J)2
J54
=4J[T +O(1)]− (
.J)2
J54
=4JT − (
.J)2
J54
+O
(
14√
J
)
.
Exista D > 0 astfel ıncat
4JT − (.J)2
J54
+D4√
J≥ 4
d
dt
( .J4√
J
)
(2.46)
≥ 4JT − (.J)2
J54
− D4√
J. (2.47)
Prin integrarea inegalitatii (2.47) — t1 ≤ t2 ≤ t3 < t⋆ —, avem
0 ≤∫ t3
t2
4JT − (.J)2
J54
ds ≤ 4
[ .J (t3)4√
J(t3)−
.J (t2)4√
J(t2)
]
+D
∫ t3
t2
ds4√
J(s)
≤ −4
.J (t2)4√
J(t2)+D
∫ t⋆−
t1
ds4√
J(s)
= −4
.J (t2)4√
J(t2)+E <+∞, E > 0.
Facand t3 ր t⋆, deducem ca integrala improprie∫ t⋆−
t4JT−(
.J)2
J54
ds, unde t ∈ [t1, t⋆),
este convergenta.
Prin integrarea inegalitatilor (2.46), (2.47), obtinem ca
∣
∣
∣
∣
∣
4
[ .J (t3)4√
J(t3)−
.J (t2)4√
J(t2)
]
−∫ t3
t2
4JT − (.J)2
J54
ds
∣
∣
∣
∣
∣
≤ D
∫ t3
t2
ds4√
J(s),
respectiv
4
∣
∣
∣
∣
∣
.J (t3)4√
J(t3)−
.J (t2)4√
J(t2)
∣
∣
∣
∣
∣
≤∫ t⋆−
t2
{
4JT − (.J)2
J54
+D4√
J
}
ds
36 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
= o(1) cand t2 ր t⋆.
Exista, asadar, limtրt⋆
.J(t)
4√
J(t)= b ∈ (−∞,0]. In particular, J = lim
tրt⋆
.J (t) = 0. Prin
integrare, ajungem la
J(t)∼[
−3
4b(t⋆− t)
] 43
cand t ր t⋆.
Inegalitatea (2.45) implica −b >√
A > 0. In particular, b < 0.
Justificarea estimarilor (2.43) s-a ıncheiat.
Recapituland, avem urmatoarele date privindu-l pe J:
J(t)∼(
− 34b)
43 · (t⋆− t)α , α = 4
3> 1,
..J (t)≥ A√
J(t)> 0 ≥−M(t⋆− t)α−2, t ∈ [t1, t
⋆), M ≥ 0.
Conform rezultatului tauberian liniar din aceasta subsectiune,
.J (t)∼− 3
√
3
4b4 · 3
√t⋆− t cand t ր t⋆. (2.48)
Astfel, J⋆ =(
− 34b)
43 ın (2.42).
In sfarsit, are loc estimarea auxiliara, cf. [22, pg. 178],
|.
U (t)| ≤ E[U(t)]52 cand t ր t⋆, (2.49)
unde E > 0.
Intr-adevar,
|.
U | ≤ γ ∑1≤ j≤l≤n
m jml
r2jl
| .r jl |= γ ∑
1≤ j≤l≤n
m jml
r2jl
|v j − vl |
≤ γ ∑1≤ j≤l≤n
m jml
(
U
γm jml
)2
(|v j|+ |vl |)
≤ 1
γ ∑1≤ j≤l≤n
1
m jml
·U2
(√
2T
m j+
√
2T
ml
)
=
√2
γ ∑1≤ j≤l≤n
√m j +
√ml
(m jml)32
·U2√
T .
Cum U → +∞ cand t ր t⋆ si T =U +h, avem T ≤ 2U suficient de aproape de
momentul coliziunii t⋆. Aceasta observatie ne conduce la (2.49), unde
E =2
γ ∑1≤ j≤l≤n
√m j +
√ml
(m jml)32
.
2.5 O analiza asimptotica a coliziunilor (Pollard, Saari) 37
Pentru a stabili estimarea asimptotica a lui U , plecam de la
..J=U +O(1) cand t ր t⋆,
de unde, prin integrare — t1 ≤ t ≤ t2 < t⋆ —, obtinem
.J (t2)−
.J (t) =
∫ t2
tU(s)ds+O(t2 − t),
ceea ce, facand t2 ր t⋆ si tinand seama de formula (2.48), implica convergenta
integralei improprii∫ t⋆−
t U(s)ds, unde t ∈ [t1, t⋆).
Deoarece O(t⋆− t) = o( 3√
t⋆− t) cand t ր t⋆, avem relatia
∫ t⋆−
tU(s)ds =−
.J (t)+O(t⋆− t)∼ 4
3J⋆(t⋆− t)α , α =
1
3.
De asemeni,
∣
∣
∣
∣
d2
dt2
(
∫ t⋆−
tU(s)ds
)∣
∣
∣
∣
= |.
U (t)| ≤ E[U(t)]52
= E
∣
∣
∣
∣
d
dt
(
∫ t⋆−
tU(s)ds
)∣
∣
∣
∣
2+γ−α1−α
(t⋆− t)γ ,
unde γ = 0.
Aplicatia t 7→ ∫ t⋆−t U(s)ds satisface asadar ipotezele teoremei tauberiene neliniare
de la ınceputul acestei subsectiuni. In concluzie,
U(t) =− d
dt
(
∫ t⋆−
tU(s)ds
)
∼ 4
9J⋆(t⋆− t)−
23 cand t ր t⋆.
Demonstratia teoremei Pollard-Saari s-a ıncheiat.
Estimarile (2.42) arata ca, daca particulele Mi si M j se ciocnesc la momentul t⋆,
atunci exista constantele Ai j,Bi j > 0 cu proprietatea ca
Ai j(t⋆− t)
23 ≤ ri j ≤ Bi j(t
⋆− t)23 cand t ր t⋆. (2.50)
Intr-adevar, foarte aproape de t⋆ au loc inegalitatile
J⋆(t⋆− t)−23 >U ≥ γmim j
ri j,
de unde Ai j =γmim j
J⋆, respectiv — via (2.44) —
2J⋆(t⋆− t)43 > J ≥ min{mi,m j}
4r2
i j,
38 2 Teorema colapsului total (Weierstrass-Sundman)
de unde Bi j = 2√
2J⋆
min{mi,m j} .
Raportul 23
din (2.50) a fost stabilit ın diverse cazuri particulare de Sundman
(coliziuni binare), C. L. Siegel (coliziuni triple) si A. Wintner (colaps total), cf. [22,
pg. 172] si [23, 28]. O serie de dezvoltari recente sunt prezentate ın [25].
Capitolul 3
Conjectura lui Saari: introducere
3.1 O reprezentare computationala a rotatiei
In sistemul de referinta inertial R = (O,−→B) ne intereseaza o reprezentare
computationala a rotatiilor ın jurul lui O. Vezi Figura 3.1.
Fie M un punct al E3 supus rotatiei. La momentul initial,
rM = r0 = x0i+ y0 j+ z0k = ( i j k )
x0
y0
z0
.
Dupa rotatie,
Fig. 3.1 Rotatia ın jurul lui O
39
40 3 Conjectura lui Saari: introducere
rM = r∗ = xi+ y j+ zk = ( i j k )
x
y
z
.
Introducem matricea ortogonala A — A −1 = A t , detA =±1 — astfel ca
A
x0
y0
z0
=
x
y
z
. (3.1)
Deci,
rM = r∗ = ( i j k )A
x0
y0
z0
. (3.2)
Daca “spatiul” S — de care M este legat rigid (solidar) — se suprapunea la mo-
mentul initial peste Oxyz, dupa rotatie el este vizibil fiind dat de reperul Ox∗y∗z∗ ın
raport cu care M este ın repaus. Asadar, distantele de la M la planele de coordonate
ale lui Ox∗y∗z∗ sunt constante, adica coincid cu distantele de la pozitia initiala a lui
M la axele lui Oxyz. Aceste distante sunt x0, y0, z0, deci
r∗ = x0i∗+ y0 j∗+ z0k∗ = ( i∗ j∗ k∗ )
x0
y0
z0
. (3.3)
Formulele (3.2), (3.3) implica
( i j k )A = ( i∗ j∗ k∗ ) . (3.4)
Astfel, matricea A se poate scrie ca
A =
i
j
k
( i∗ j∗ k∗ ) =
i · i∗ i · j∗ i · k∗j · i∗ j · j∗ j · k∗k · i∗ k · j∗ k · k∗
. (3.5)
Conform formulelor lui Poisson [13, pg. 40-41], exista si este unic vectorul neted
ω ∈ TR3 astfel ıncat
.
i∗= ω × i∗.
j∗= ω × j∗.
k∗= ω × k∗.
(3.6)
Mai precis, ω = 12 ∑ i∗×
.
i∗.
Formula lui Euler a vitezelor [13, pg. 247] este.
r∗= ω × r∗. In continuare, intro-
ducem matricea A ın aceasta relatie.
3.1 O reprezentare computationala a rotatiei 41
Avem egalitatile — via (3.2) —
.
r∗=d
dt
( i j k )A
x0
y0
z0
= ( i j k ).
A
x0
y0
z0
. (3.7)
Pe de alta parte,
ω × r∗ =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
ω1 ω2 ω3
x y z
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= ( i j k )
0 −ω3 ω2
ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
x
y
z
= ( i j k )
0 −ω3 ω2
ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
A
x0
y0
z0
. (3.8)
Formulele (3.7), (3.8) ne conduc la
.A =
0 −ω3 ω2
ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
A . (3.9)
Reluam calculul ın baza mobila. Asadar, conform (3.7), (3.4), avem
.
r∗ =[
( i∗ j∗ k∗ )A t]
.A
x0
y0
z0
= ( i∗ j∗ k∗ )(A t.
A )
x0
y0
z0
. (3.10)
Apoi,
ω × r∗ =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i∗ j∗ k∗
ω∗1 ω∗
2 ω∗3
x0 y0 z0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= ( i∗ j∗ k∗ )
0 −ω∗3 ω∗
2
ω∗3 0 −ω∗
1
−ω∗2 ω∗
1 0
x0
y0
z0
. (3.11)
Formulele (3.10), (3.11) implica
.A = A
0 −ω∗3 ω∗
2
ω∗3 0 −ω∗
1
−ω∗2 ω∗
1 0
. (3.12)
42 3 Conjectura lui Saari: introducere
Marimile ω∗i sunt cunoscute: ω∗
1 =.
j∗ · k∗, ω∗2 =
.
k∗ · i∗, ω∗3 =
.
i∗ · j∗, cf. [13, pg.
41].
Combinand formulele (3.9), (3.12), obtinem relatia
0 −ω3 ω2
ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
= A
0 −ω∗3 ω∗
2
ω∗3 0 −ω∗
1
−ω∗2 ω∗
1 0
A t .
In particular, vectorul de rotatie (instantanee) ω este exprimat ın raport cu baza
canonica B. Am obtinut reprezentarea sa tensoriala.
Vom formaliza ın cele ce urmeaza rotatia ın jurul lui O de matrice A prin for-
mula
r∗ = A r0,
care este echivalenta cu (3.1) — ın raport cu sistemul de referinta —. Formula (3.5)
a matricei A arata ca definitia rotatiei nu depinde de reprezentanti.
In sfarsit, tinand seama de relatia (3.9), formula lui Euler a vitezelor se rescrie ca
.
r∗ =.
A r0 =
0 −ω3 ω2
ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
A
r0
=
0 −ω3 ω2
ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
r∗
= ω ×A r0. (3.13)
Relatia (operatoriala).
A = ω ×A constituie reprezentarea computationala a
rotatiilor ın jurul punctului O.
Intr-o formulare a la Cartan, putem spune ca evolutiile bazelor mobile ortonor-
mate {i⋆, j⋆,k⋆} si pozitiv (direct) orientate — k⋆ = i⋆× j⋆ si analoagele — se afla
ıntr-o relatie biunivoca cu multimea matricelor 3× 3 antisimetrice de clasa C∞ via
sistemul diferential
.
i⋆.j⋆.
k⋆
=
0 −ω⋆3 ω⋆
2
ω⋆3 0 −ω⋆
1
−ω⋆2 ω⋆
1 0
i⋆
j⋆
k⋆
.
Pentru a vedea aceasta este suficient sa introducem formula vectorului ω ın (3.6),
cf. [20, pg. 45, Exercise 2.22].
3.2 Miscari omografice. Descompunerea Saari a vitezelor 43
3.2 Miscari omografice. Descompunerea Saari a vitezelor
Fie functiile netede λ : R → (0,+∞) si A : R → M3(R) astfel ıncat matricea
A (t) sa fie ortogonala ın orice moment t.
Miscarea sistemului mecanic S = {(Mk,mk) : k ∈ 1,n} se numeste omografica
[28] daca sunt valabile formulele
rk = λ (t)A (t)r 0k , t ∈ R, k ∈ 1,n. (3.14)
Cand A ≡ I3 — matricea unitate 3× 3 — miscarea se numeste omotetica. In
acest caz, particulele se deplaseaza rectiliniu (vezi Figura 3.2).
Avem
MkMl = rl − rk = λ (t)(r 0l − r 0
k ) = λ (t)M0k M0
l ,
adica dreptele MkMl , unde k 6= l, raman paralele cu directia lor initiala.
Cand λ (t)≡ 1 miscarea este rigida. Observam ca
|MkMl |2 = (rl − rk)2 = [A (t)(r 0
l − r 0k )]
t [A (t)(r 0l − r 0
k )]
= (r 0l − r 0
k )t(A tA )(r 0
l − r 0k ) = (r 0
l − r 0k )
2
= |M0k M0
l |2, (3.15)
adica distantele ıntre particule nu se modifica.
Campul vitezelor are urmatoarea expresie — via (3.13) —
Fig. 3.2 Miscari omografice
44 3 Conjectura lui Saari: introducere
vk =.
λ A r 0k +λ
.A r 0
k =
.
λλ
rk +λ (ω ×A r 0k )
= τ rk +ω × rk, unde τ =
.
λλ. (3.16)
Momentul cinetic total ın miscarea omografica admite scrierea
LO =n
∑k=1
mk(rk × vk) =n
∑k=1
mk[rk × (ω × rk)]
=n
∑k=1
mk[r2k ω − (rk ·ω)rk] = I ω,
unde
I =
n
∑k=1
mk(y2k + z2
k) −n
∑k=1
mkxkyk −n
∑k=1
mkxkzk
−n
∑k=1
mkxkyk
n
∑k=1
mk(x2k + z2
k) −n
∑k=1
mkykzk
−n
∑k=1
mkxkzk −n
∑k=1
mkykzk
n
∑k=1
mk(x2k + y2
k)
.
Matricea I desemneaza tensorul de inertie al sistemului mecanic S ın punctul
O, cf. [13, pg. 239].
Pe baza relatiei (2.2) — teorema conservarii momentului cinetic total — de-
ducem ca: ın problema celor n puncte materiale, daca miscarea este omografica,
atunci are loc egalitatea
I ω = c. (3.17)
Dinamica generala a sistemului mecanic S poate fi privita ca o perturbare a
miscarii omografice. Au loc relatiile
vk =d
dt
(
rk ·rk
rk
)
=.rk ·
rk
rk
+ rk ·(rk×
.rk)× rk
r3k
= τk rk +ωk × rk,
unde
τk =
.rk
rk
, ωk =rk × vk
r2k
.
Pentru a “omografia” miscarea, scriem vitezele astfel [22, pg. 53-54]
vk = τ rk +ω × rk +[(τk − τ)rk +(ωk −ω)× rk]
= vscal,k + vrot,k + vconfig,k, (3.18)
3.2 Miscari omografice. Descompunerea Saari a vitezelor 45
unde marimile din (3.18) desemneaza vitezele scalara, rotativa si configurativa.
Ramane sa fixam marimile τ , ω . Cea de-a doua este introdusa cu ajutorul relatiei
(3.17) — chiar daca miscarea celor n puncte materiale nu este omografica —. In
ceea ce priveste marimea τ , sa ne ıntoarcem la identitatea (3.16). Vectorii rk si ω×rk
fiind perpendiculari, deducem ca
2T =n
∑k=1
mkv2k = τ2
n
∑k=1
mkr2k +
n
∑k=1
mk(ω × rk)2. (3.19)
Observam ca (vezi si [13, pg. 286])
(ω × rk)2 = ω2r2
k − (ω · rk)2 = [r2
k ω − (ω · rk)rk] ·ω,
de unde
n
∑k=1
mk(ω × rk)2 =
[(
n
∑k=1
mkr2k
)
ω −n
∑k=1
mk(ω · rk)rk
]
·ω = I ω ·ω
= c ·ω.
Am obtinut — via (3.19) —
τ2 =2T − c ·ω
2I. (3.20)
Pe de alta parte, conform (3.14), avem ca
n
∑k=1
mkr2k = λ 2
n
∑k=1
mk(A r 0k )
2 = λ 2n
∑k=1
mk(r0k)
2.
Am folosit faptul ca rotatia r 0k 7→ A r 0
k pastreaza distantele, vezi (3.15).
Asadar, λ 2 = II(0) , de unde — tinand seama de formula (3.16) — rezulta ca
λ =
√
I
I(0), τ =
.I
2I. (3.21)
Relatiile (3.20), (3.21) ne conduc la o identitate fundamentala a miscarii omo-
grafice a celor n puncte materiale:
4IT = (.I)2 +2I(c ·ω). (3.22)
In concluzie, putem omografia miscarea generala a celor n puncte materiale via
(3.18), unde τ , ω sunt date de (3.17), (3.21).
46 3 Conjectura lui Saari: introducere
3.3 Miscarea omografica plana
Sa presupunem ca particulele sistemului mecanic S, nu toate coliniare, se misca
numai ın planul de referinta inertial Oxy. Atunci, vectorii −→r k ×−→v k ∈ TOR3 sunt
perpendiculari pe acest plan, deci momentul cinetic total−→L O =−→c este si el perpen-
dicular pe Oxy. Vom presupune ın cele ce urmeaza ca c > 0, unde c = ck.
Relatia (3.17) devine ın acest caz
n
∑k=1
mky2k −
n
∑k=1
mkxkyk 0
−n
∑k=1
mkxkyk
n
∑k=1
mkx2k 0
0 0n
∑k=1
mk(x2k + y2
k)
ω1
ω2
ω3
=
0
0
c
.
Decupland ecuatiile, scriem ca
n
∑k=1
mky2k −
n
∑k=1
mkxkyk
−n
∑k=1
mkxkyk
n
∑k=1
mkx2k
(
ω1
ω2
)
=
(
0
0
)
, (3.23)
respectiv
ω3 =c
n
∑k=1
mk(x2k + y2
k)=
cn
∑k=1
mkr2k
=c
2I.
Determinantul sistemului algebric (3.23) este
(
n
∑k=1
mkx2k
)(
n
∑k=1
mky2k
)
−(
n
∑k=1
mkxkyk
)2
= ∑1≤ j≤k≤n
m jmk(x jyk − xky j)2.
El este nul daca si numai daca toate particulele sunt coliniare.
Conform presupunerii initiale, ω1 = ω2 = 0, deci
ω = ω3k =c
2I. (3.24)
Urmand ideea lui Euler din 1767, cf. [28], [6, pg. 4218], spunem ca miscarea
celor n particule materiale este ın configuratie centrala daca exista functia neteda
Λ : R→ R astfel ıncat
..rk = Λ(t) rk, t ∈ R,
3.3 Miscarea omografica plana 47
pentru orice k ∈ 1,n.
Plecand de la (2.1), (2.6), avem
mkΛ(t)rk =∂U
∂ rk
,
respectiv
−U =n
∑k=1
∂U
∂ rk
· rk
= Λ(t) ·n
∑k=1
mkr2k .
Astfel,
Λ(t) =−U
2I, (3.25)
cf. [22, pg. 40, Theorem 2.1].
Are loc urmatorul rezultat (Lagrange, Pizzetti — 1903/4 —, cf. [22, pg. 56-57]):
sa presupunem ca miscarea omografica a sistemului mecanic S, ın problema celor
n puncte materiale, este plana; atunci, ea este ın configuratie centrala.
Intr-adevar, daca
vk = τ rk +ω × rk, τ =
.I
2I, ω =
c
2I, (3.26)
atunci putem scrie ca
..rk =
.vk =
.τ rk + τ vk+
.ω ×rk +ω × vk
=.τ rk + τ2rk +2τ(ω × rk)+
.ω ×rk +ω × (ω × rk).
Insa.
ω =−.I
2I2 c si.τ =
..I
2I− (
.I)2
2I2 . De asemeni,
ω × (ω × rk) =−ω2rk =− c2
4I2rk.
Am ajuns la
..rk =
[ ..I
2I− (
.I)2
2I2
]
rk +(.I)2
4I2rk +2
.I
2I
(
c
2I× rk
)
−( .
I
2I2c× rk
)
− c2
4I2rk.
In sfarsit,
48 3 Conjectura lui Saari: introducere
..rk = Λ(t) rk =
[ ..I
2I− (
.I)2 + c2
4I2
]
rk. (3.27)
Urmatorul rezultat face legatura cu relatia (2.7), cf. [22, pg. 63]: Sa presupunem
ca miscarea omografica a celor n particule este plana. Atunci, are loc egalitatea ın
inegalitatea lui Sundman si anume,
4IT = (.I)2 + c2, t ∈ R. (3.28)
Acest rezultat este o consecinta imediata a formulelor (3.22), (3.24).
Ce legatura exista ınsa ıntre expresiile lui Λ(t) din (3.25) si (3.27)? Identitatea
Lagrange-Jacobi (2.5) si egalitatea lui Sundman (3.28) stabilesc egalitatea dintre
cele doua expresii si anume: ın problema celor n puncte materiale, ın miscarea o-
mografica plana se verifica identitatea
..rk =
2I..I −[(
.I)2 + c2]
4I2rk =
..I −2T
2Irk =−U
2Irk, (3.29)
conform [22, pg. 40-41].
Un calcul asemanator celui din (3.15) arata ca
|MkMl |2 = λ 2|M0k M0
l |2, r2k = λ 2(r0
k)2,
ceea ce implica — via (3.21) —
rkl = αkl
√I, rk = αk
√I,
unde marimile αkl , αk sunt constante. Deducem de aici ca
Fig. 3.3 Miscare de ansamblu
pe sectiuni conice
3.3 Miscarea omografica plana 49
U = γ ∑1≤ j≤l≤n
m jml
r jl
=β√
I=
δk
rk
, k ∈ 1,n,
unde marimile β , δk sunt constante — exprimabile ın raport cu α jl , αk —.
Relatiile precedente implica — vezi Figura 3.3 si (3.29) —
..rk=−µk
r3k
rk, t ∈ R, µk > 0, (3.30)
unde marimea µk este constanta. Aceasta ecuatie descrie miscarea particu-lei ma-
teriale Mk ın camp gravitational newtonian punctiform — conform calculelor de la
primul capitol.
In concluzie, particulele sistemului mecanic se misca pe sectiuni conice ale plan-
ului fix atunci cand ansamblul lor realizeaza o miscare omografica plana datorata
interactiunilor newtoniene.
Urmatorul rezultat a fost stabilit de Donald G. Saari ın 1969, cf. [22, pg. 50-51].
In miscarea plana a celor n puncte materiale, unde n ≥ 3 si c 6= 0, presupunem ca I
este constant si h < 0. Atunci,
c2
4|h| ≤ I.
Daca I este constant, atunci o conditie necesara si suficienta ca miscarea sa fie o
rotatie rigida — plana — este ca
h < 0, I =c2
4|h| . (3.31)
Prima parte rezulta din inegalitatea lui Sundman (2.7). Mai precis,
c2 ≤ 4I(−h).
Pentru partea a doua, daca miscarea este rigida — deci omografica —, formulele
(3.16), (3.21), (3.24) implica
2T =n
∑k=1
mk(ω × rk)2 = ω2
n
∑k=1
mkr2k =
c2
4I2· (2I) =
c2
2I.
Pe de alta parte, din identitatea Lagrange-Jacobi 0 =..I= T + h rezulta ca h < 0 si
T = |h|. Aceste relatii ne conduc la (3.31).
Reciproc, sa reamintim cea de-a doua din inegalitatile (2.9) si anume,
c2 ≤ 4I(T −R) = 4c2
4|h| (−h−R) =c2
|h| (|h|−R)≤ c2.
Asadar, R = 0 ın orice moment t. Este evident acum ca marimile r jk, unde j 6= k,
raman constante pe tot parcursul miscarii, adica miscarea este rigida.
50 3 Conjectura lui Saari: introducere
Acest rezultat surprinzator arata ca exista posibilitatea ca o galaxie care are mo-
mentul de inertie constant sa se roteasca asemeni unui rigid.
3.4 Conjectura lui Saari: cazul particulelor coliniare
Avem nevoie de un rezultat auxiliar: ın problema celor n puncte materiale, unde
n ≥ 3, c 6= 0, daca particulele raman coliniare pe toata durata miscarii, atunci
aceasta are loc ıntr-un plan fix, cf. [6, pg. 4217], [28].
Intr-adevar, se verifica prin inductie matematica faptul ca dreapta comuna ∆ a
particulelor din S trece prin punctul O — centrul de masa al sistemului mecanic —.
Fie u versorul director al dreptei ∆ si Rk proiectia vectorului rk pe directia u,
adica rk = Rku. Atunci,
rk × vk = R2k(u ×
.u),
respectiv — Rk =±rk —
LO =n
∑k=1
mk(rk × vk) =
(
n
∑k=1
mkR2k
)
(u ×.u)
= (2I)(u ×.u).
Formula
u ×.u=
c
2I
Fig. 3.4 Miscare ın planul
particulelor coliniare
3.4 Conjectura lui Saari: cazul particulelor coliniare 51
arata ca u · c = 0, deci dreapta ∆(O,−→u ), unde −→u ∈ u, evolueaza ıntr-un plan fix —
pentru simplitate, acesta este Oxy —. De asemeni, c > 0, unde c = ck. Vezi Figura
3.4.
Introducand unghiul θ prin formula u = cosθ i+ sinθ j, obtinem ca
c =n
∑j=1
m j(r j × v j) =
(
n
∑j=1
m jR2j
)
.θ k =
(
n
∑j=1
m jr2j
)
.θ k,
de unde
.θ =
c
2I. (3.32)
De asemeni,
.u =
.θ (k×u) =
c
2I×u.
Ecuatia fundamentala a dinamicii (2.1) arata ca vectorii..rk, u, rk sunt coliniari.
Aceasta implica
((rk × vk)· =) rk×
..rk= 0,
respectiv — cf. [6, pg. 4218] —
rk × vk = ck = ckk, r2k
.θ = ck. (3.33)
Fig. 3.5 Miscare pe cercuri
concentrice
52 3 Conjectura lui Saari: introducere
Aici, marimile ck sunt constante.
Din (3.32), (3.33) rezulta ca
rk =
√
2ck
cI, ck > 0, k ∈ 1,n. (3.34)
In particular,
r jk = |r j ± rk|=√
2
c|√c j ±
√ck| ·
√I. (3.35)
Daca I este constant, atunci formulele (3.32), (3.34) arata ca particulele materiale
Mk se misca uniform pe cercuri concentrice de raze constante. Vezi Figura 3.5.
Este stabilita — via (3.35) — valabilitatea conjecturii lui Saari ın cazul partic-
ulelor coliniare [6, Theorem 2]: daca particulele sistemului mecanic S, unde n ≥ 3,
c 6= 0, interactioneaza newtonian ramanand coliniare pe toata durata miscarii iar
momentul de inertie I este constant, atunci miscarea este rigida —avem o figura de
echilibru relativ —.
In cazul general, cum semnul este constant ın formula Rk =±rk, deducem ca
.Rk
Rk
=
.rk
rk
= (via (3.34)) =
.I
2I.
Campul vitezelor are formula
vk = (Rku)· =.Rk u+Rk
.u =
.Rk
Rk
rk +Rk
(
c
2I×u
)
= τ rk +ω × rk,
unde τ =.I
2Isi ω = c
2I.
Astfel, distributia vitezelor este cea corespunzatoare unei miscari (plane) omo-
grafice. Plecand de la (3.26), refacem calculul din demonstratia teoremei Lagrange-
Pizzetti si ajungem la (3.27). In concluzie, miscarea este ın configuratie centrala si
ın cazul coliniar [22, pg. 68-69]. Tinand seama de (3.25), (3.34), (3.35), ajungem
la (3.30). Asadar, particulele descriu sectiuni conice ale planului Oxy. Asemenea
solutii exista dar sunt “improbabile”, cf. [5, pg. 264].
Referinte Bibliografice
1. Albouy, A., Chenciner, A.: Le probleme des n corps et les distances mutuelles. Invent. Math.
131, 151–184 (1998)
2. Boas, R.P.: A Tauberian theorem connected with the problem of three bodies. Amer. J. Math.
61, 161–164 (1939)
3. Bruns, H.: Uber die integrale des vielkorper-problems. Acta Math. 11, 25–96 (1887/1888)
4. Cook, A.: The motion of the moon. IOP Publishing, London (1988)
5. Diacu, F.: Wintner’s collinear and flat solutions are nowhere dense. Celestial Mech. 44, 261–
265 (1988)
6. Diacu, F., Perez-Chavela, E., Santoprete, M.: Saari’s conjecture for the collinear n–body prob-
lem. Trans. Amer. Math. Soc. 357, 4215–4223 (2005)
7. Hernandez-Garduno, A., Lawson, J.K., Marsden, J.E.: Relative equilibria for the generalized
rigid body. J. Geom. Phys. 53, 259–274 (2005)
8. Julliard-Tosel, E.: Bruns’ theorem: the proof and some generalizations. Celestial Mech. Dyn.
Astron. 76, 241–281 (2000)
9. Kovalevsky, J.: Introduction to celestial mechanics. D. Reidel Publish., Dordrecht (1967)
10. Marchal, C.: The three-body problem. Elsevier, Amsterdam (1990)
11. Marchal, C.: How the method of minimization of action avoids singularities. Celest. Mech.
Dyn. Astron. 83, 325–353 (2002)
12. Moulton, F.R.: An introduction to celestial mechanics. Dover Publ., Inc., New York (1970)
13. Mustafa, O.G.: Elemente de mecanica punctului material si a solidului rigid. EDP, Bucuresti
(2006) On-line la adresa: under construction
14. Olver, P.J.: Applications of Lie groups to differential equations. Springer-Verlag, New-York
(1993)
15. Palmore, J.I.: Relative equilibria and the virial theorem. Celestial Mech. 19, 167–171 (1979)
16. Pollard, H.: A sharp form of the virial theorem. Bull. Amer. Math. Soc. LXX, 703–705 (1964)
17. Pollard, H.: Mathematical introduction to celestial mechanics. Prentice-Hall, Inc., Englewood
Cliffs, New Jersey (1966)
18. Pollard, H.: Some non-linear Tauberian theorems. Proc. Amer. Math. Soc. 18, 399–401
(1967)
19. Pollard, H., Saari, D.G.: Singularities of the n–body problem I. Arch. Rational Mech. Anal.
30, 263–269 (1968)
20. Pressley, A.: Elementary differential geometry. Springer-Verlag, London (2001)
21. Saari, D.G.: Some large 0 nonlinear Tauberian theorems. Proc. Amer. Math. Soc. 21, 459–462
(1969)
22. Saari, D.G.: Collisions, rings, and other newtonian N–body problems. CBMS 104, AMS,
Providence, Rhode Island (2005)
23. Siegel, C.L., Moser, J.K.: Lectures on celestial mechanics. Springer-Verlag, Berlin (1971)
53
54 Referinte Bibliografice
24. Stiefel, E.L., Scheifele, G.: Linear and regular celestial mechanics. Springer-Verlag, Berlin
(1971)
25. Straume, E.: On the geometry and behavior of n-body motions. Internat. Journ. Math. Math.
Sci. 28, 689–732 (2001)
26. Szebehely, V.G.: Adventures in celestial mechanics, A first course in the theory of orbits.
Univ. Texas Press, Austin (1991)
27. Waldvogel, J.: Fundamentals of regularization in celestial mechanics and linear perturbation
theories. Scottish Universities Summer School in Physics, Skye (2007)
http://www.sam.math.ethz.ch/˜joergw/Papers/scotpaper.pdf
28. Wintner, A.: The analytical foundations of celestial mechanics. Princeton Univ. Press, Prince-
ton (1941)
Index
anomalia adevarata, 6, 11
atractie, 1
axa de excentricitate, 5
Bruns, H., 8
camp central, 4
camp gravitational, vii, 7, 49
centrul maselor, vii, 15, 19, 32, 50
colaps total, vii, 19, 20, 33, 38
coliziune, vii, 9, 19, 31, 36, 38
configuratie centrala, 46, 47, 52
conjectura, vii
ecuatia diferentiala a miscarii, 4
egalitatea lui Sundman, 48
energia mecanica, 4, 8, 16, 21
figura de echilibru, 52
focar, 6, 8
forta centrala, 3
formula energetica a vitezei, 13
formula lui Euler, 40, 42
formula lui Lagrange, 17
formulele lui Poisson, 40
identitatea Lagrange-Jacobi, 9, 16, 21, 48, 49
identitatea lui Lagrange, 4
impuls, 2
Kepler, J., 2, 6, 12
lege de conservare, 4
legea patratica inversa, 2, 4
miscare circulara, 5, 9, 52
miscare de revolutie, 8
miscare omografica, vii, 43–45, 47, 49, 52
miscarea circumsolara, 2
miscarea medie, 12
moment cinetic, 2, 15, 44, 46
moment de inertie, vii, 8, 16, 19, 50
moment unghiular, 2
pericentru, 6, 10, 12
Pollard, H., 21, 31
potential gravitational, 2, 4
regularizare, 9
reprezentare tensoriala, 42
rigidul generalizat, vii
Saari, Donald G., vii, 31, 49
sectiune conica, 6, 49, 52
Sundman, Karl F., vii, 9, 16, 38, 48
tensor de inertie, 44
teorema functiilor omogene, 16
teorema virialului, vii, 21
teoria tauberiana, 21, 24, 30, 36, 37
variabile canonice, 12
vectorul Runge-Lenz, 5
viteza configurativa, 45
viteza rotativa, 45
viteza scalara, 45
viteza areolara, 8
55