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Principio de Inducción MatemáticaPrincipio de Inducción Matemática
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Supóngase que tenemos la sucesión de números naturales con la propiedad de que dichos números son de color rojo.
1,2,3,4,5,6,7...
Supongamos que:
• El primer natural es de color rojo (1).
• Si todos los naturales que preceden al (n+1)-ésimo son de color rojo, entonces el (n+1)-ésimo número es de color rojo (2).
Para demostrar que el número 8 es de color rojo, se observa que todos los que preceden al 7 y, por (2) el número 7 también es de color rojo.
Este ejemplo ilustra el Principio de Inducción Matemática
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Inducción Matemática
Ejemplo:
Denótese por Sn=1+2+3+4+...+n (1)
Consideremos que se afirma que:
Sn=n(n+1)/2 para n=1,2,... (2)
Se ha elaborado una sucesión de proposiciones, a saber
S1=1(2)/2=1
S2=2(3)/2=3
S3=3(4)/2=6
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Supóngase que cada ecuación verdadera está marcada con una “X”. Dado que la primera ecuación es verdadera,
S1=1(2)/2 X
S2=2(3)/2 X
S3=3(4)/2 X
Sn-1=(n-1)n/2 X
Sn=n(n+1)/2 X
Sn+1=(n+1)(n+2)/2 ?
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Supóngase ahora que puede demostrarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima ecuación están señaladas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también lo está.Debe probarse que si todas las ecuaciones que preceden a la (n+1)-ésima son verdaderas, entonces la (n+1)-ésima ecuación también es verdadera.
Sn+1=1+2+3+...+n+(n+1)
=Sn+(n+1)=n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)(n+2)/2
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Principio de Inducción Matemática: Supóngase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Consideremos que
Paso Básico:
S(1) es verdadera
Paso Inductivo:
si S(i) es verdadera para todo i<n+1, entonces S(n+1) es verdadera.
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Ejemplo: Use inducción para demostrar que si a es distinto de 1, (Suma Geométrica).
1+a1+a2+...+an=(an+1-1)/(a-1) (1)Paso Básico: Se obtiene cuando n=0,1=(a1-1)/(a-1), lo cual es verdadero.Paso Inductivo:Supongamos que la proposición es verdadera para n. Ahora1+a1+a2+...+an+an+1 =(an+1-1)/(a-1)+an+1
=(an+1-1)/(a-1)+(an+1(a-1))/(a-1)=(an+2-1)/(a-1)
Como el paso básico y el paso inductivo ya han sido verificados, el principio de inducción matemática establece que (1) es verdadera para n=0,1,2,...
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Grafo Normal
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Grafo Ciencias de la Computación
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Definición
Un grafo es una conjunto de vértices V y un conjunto de arcos E,tal que
Así E, es simplemente una relación binaria en el conjunto V.
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Relaciones y Grafos
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Propiedades de Relación
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Representación de Matriz Booleana
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Operaciones sobre la Matriz Booleana
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Composición Usando Matrices
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DefiniciónUn grafo simple es una conjunto de vértices V y un conjunto de arcos E, donde cada arco es una par no ordenado de distintos vértices a y b.
El grado de un vértice es el número de arcos que se conectan a el.
Ejercicio: Dibuje un grafo con 3 vértices de grado 2,2 y 1.
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Un grafo Imposible
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Problema:Localización de galpones para aeronaves.
Horario de Aerolíneas
Dado un conjunto de vuelos que llegan a distintos horarios, ¿Cuántos galpones necesitamos para poder acomodar dichos aviones?
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Solución: Coloreo de Grafo
Se colorea cada vértice de manera que no queden dos vértices adyacentes con el mismo color.
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Asignación de Galpones (o colores)
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Fuente de Problemas• ¿Cómo podemos programar los exámenes finales
con el objetivo de que no se tomen dos al mismo tiempo?.
• ¿cuántos habitad diferente necesito para que algunas especies animales puedan coexitir con otras especies?.
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Número Cromático
• Pregunta: ¿Cuál es la cantidad mínima de colores que necesito para resolver el problema?
• ¿Cómo se yo que esa cantidad es la mínima?
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Principio de Inducción Matemática: Supóngase que se tiene una proposición S(n) para cada entero positivo n, la cual es verdadera o falsa. Consideremos que
Paso Básico:
S(1) es verdadera
Paso Inductivo:
si S(i) es verdadera para todo i<n+1, entonces S(n+1) es verdadera.