PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET U SPLITU
DIPLOMSKI RAD
PRIMJENA LEVEL SET METODA U PRIMJENA LEVEL SET METODA U TOPOLOŠKOM OPTIMIRANJU
KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA
Mentor: Dr. sc. Željan LozinaStudent: Krešimir Ivišić
Split, srpanj 2012. godine
PRIMJENA LEVEL SET METODA U TOPOLOŠKOM OPTIRANJU KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA
1. Uvod
2. Parcijalne diferencijalne jednadžbe
3. Level set metode
4. Princip virtualnog rada i minimuma ukupne potencijalne energije
5. Metode konačnih elemenata5. Metode konačnih elemenata
6. Optimiranje u tehnici
7. Optimiranje pomoću level set metoda
8. Primjeri
9. Zaključak
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
• opći oblik PDJ za funkciju je
- - nezavisne varijable
- - nepoznata varijabla
- - označava parcijalnu derivaciju
( )1 2, ,..., nu x x x
( )1 2 1 2 11, ,..., , , , ,..., ,... 0n x xF x x x u u u u =
1 2, ,...,n
x x x
xiu /i
u x∂ ∂
u
- - označava parcijalnu derivaciju
• problem opisan ovakvim jednadžbama naziva se dobro definiranim ako zadovoljava sljedeće kriterije:
- egzistenciju
- jedinstvenost
- stabilnost
xi /i
u x∂ ∂
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
• jednadžba titranja žice (Jean D’Alambert, 1752.g.)
• Poissonova jednadžba
• Laplaceova jednadžba (Pierre – Simon Laplace, 1780.g.)
( )2 1,
tt xxu c u f x t
ρ− =
2φ ρ∇ =
• jednadžba provođenja topline (Joesph Fourier, 1768.g.)
• Schrodingerova jednadžba (Ervin Schrodinger, 1926.g.)
2 0φ∇ =
( )tu k u= ∇ ∇ 2t
u k u= ∇
2
2
hV ih
m t
ψψ ψ
∂− ∇ + =
∂
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
• početni uvjeti
• rubni uvjeti- Dirichletov rubni uvjet
- Neumannov rubni uvjet
- Robinov rubni uvjet
• linearna PDJ II. reda s dvije nezavisne varijable ima oblik
( ) ( )0, , ,0 , ,u x y z u x y z=
( ) ( )0, , , ,u x y z u x y z=
( ), ,nu E x y z∂ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , ,n
x y z u x y z x y z u x y z f x y zα β∂ + =
( ), ,x y z D∈∂
• linearna PDJ II. reda s dvije nezavisne varijable ima oblik
- A, B, C, D, E, F, G – f-je varijabli x i y
- glavni dio operatora L je
- glavnom dijelu operatora L pridružena je diskiminanta
hiperbolička u točki ako je
parabolična u točki ako je
eliptička u točki ako je
[ ] 2xx xy yy x yL u Au Bu Cu Du Eu Fu G= + + + + + =
[ ]0 2xx xy yyL u Au Bu Cu= + +
( ) ( ) ( ) ( )2, , , ,x y B x y A x y C x y∆ = −
( ),x y ( ), 0x y∆ >
( ),x y ( ), 0x y∆ =
( ),x y ( ), 0x y∆ <
• za f-ju jedne varijable , za koju vrijedi
kaže se da je implicitno zadana jednadžbom
RUB PODRUČJA
:f I → I ⊆
( )( ), 0F x f x = x I∀ ∈( ), 0F x φ =
2 1xφ = − 2 2 1x yφ = + −2 2 2 1x y zφ = + + −
• Gradijent pokazuje smjer u kojem funkcija najbrže raste i uvijek je okomit na izoliniju funkcije
• Vektor normale:
• Zakrivljenost ruba područja definirana je kao divergencija vektora normale
VEKTOR NORMALE I ZAKRIVLJENOST PODRUČJA
, ,x y z
φ φ φφ
∂ ∂ ∂∇ =
∂ ∂ ∂
Nφ
φ
∇=
∇
31 2 nn nNκ
∂∂ ∂= ∇ ⋅ = + + φ
κ ∇
= ∇ ⋅
( ) 2 2 1x x yφ = + −
31 2 nn nN
x y zκ
∂∂ ∂= ∇ ⋅ = + +
∂ ∂ ∂
φκ
φ
∇= ∇ ⋅ ∇
( )2 2 2 2 2 2
3
2 2 2x yy x y xy y xx x zz x z zz z xx y zz y z yz z yy
φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φκ
φ
− + + − + + − +=
∇
• James A. Sethian, Stanley Osher – kraj 1980-ih godina
• opisivanje krivulje pomoću
LEVEL SET METODE
Nφ
φ
∇=
∇
• opisivanje krivulje pomoću
level seta funkcije ( ), 0x yφ =
( ) 2 2, 5z x y x yφ= = + =
• funkcija udaljenosti
• brzina gibanja ruba područja
• jednadžba konvekcije
LEVEL SET METODE
( ),d x y 1d∇ =
, ,V u v w=
( ) 2 2,d x y x y r= + =2 2 2 2
,x y
dx y x y
∇ = + +
2 2 2 2, 1
x yd
x y x y
∇ = = + +
• jednadžba konvekcije
• LEVEL SET JEDNADŽBA
0Vt
φφ
∂+ ⋅∇ =
∂nV V V
φφ φ φ
φ
∇⋅∇ = ⋅ ∇ = ⋅ ∇
∇
0nVt
φφ
∂+ ⋅ ∇ =
∂
• Level set toolbox: http://barissumengen.com/level_set_methods
PRIMJENA LEVEL SET METODA
NS V bt
φφ φ κ φ
∂+ ⋅∇ + ∇ = ∇
∂
( ) 2 2, 5 0x y x yφ = + − =
• GIBANJE U SMJERU NORMALE
PRIMJENA LEVEL SET METODA
0NVt
φφ
∂+ ∇ =
∂
• GIBANJE U SMJERU ZAKRIVLJENOSTI
PRIMJENA LEVEL SET METODA
bt
φκ φ
∂= ∇
∂
• GIBANJE U VANJSKOM VEKTORSKOM
POLJU
PRIMJENA LEVEL SET METODA
0St
φφ
∂+ ⋅∇ =
∂
• KOMBINACIJA GIBANJA U SMJERU NORMALE I VANJSKOG VEKTORSKOG POLJA
0NS Vt
φφ φ
∂+ ⋅∇ + ∇ =
∂
PRINCIP VIRTUALNOG RADA I MINIMUM UKUPNE POTENCIJALNE ENERGIJE
1
0n
i i
i
W F uδ δ=
= =∑* *
* * * *B A
u uW F u dx F u dx dydz u dx dydzu
x x x
σδ σ σ
∂ ∂ ∂ = + − = + + −
∂ ∂ ∂
* * *
t
T T T
s vu f d u f d dε σ
Γ Ω Ω
Γ + Ω = Ω∫ ∫ ∫
( ) ( ) 0t
T T T
s vd d dδ δ δ
Ω Γ Ω
Ω − Γ − Ω =∫ ∫ ∫L u DLu u f u f
Π = U + VΠ = U + V
( ) 0δ δ =Π = U + V
*
t
T T
sd d dδ δ δ
Γ Ω Ω
Γ + Ω = Ω∫ ∫ ∫u f u f ε σ
t
T T
sd dδ δ
Γ Ω
= − Γ − Ω∫ ∫V u f u f
δ δ− =V U
0t
T T T
sd d dδ δ δ
Ω Ω Γ
Ω − Ω − Γ =∫ ∫ ∫vε Dε u f u f
METODE KONAČNIH ELEMENATA
q = Nu
ε = DNu = Bu
δ δ=q N u
δ δ=ε B u
T T T T T T Td u d dδ δ δ δ
Ω = Ω + Ω + ∫ ∫ ∫v s ku B DB u N f u N f u F
t
d u d dδ δ δ δΩ Ω Γ
Ω = Ω + Ω + ∫ ∫ ∫v s ku B DB u N f u N f u F
Td
Ω
Ω∫k = B DB
Td
Ω
= Ω∫v vF N f
t
Td
Γ
= Ω∫s sF N f
v s kku = F + F + F v s kF = F + F + F
ku = F [ ][ ] [ ]=K u F
OPTIMIRANJE
• Level set model specificira rub područja strukture kao nultu levelset razinu funkcije tako da je
• ukupna domena podijeljena je na tri područja:
• dinamički model:
• Hamilton – Jacobijeva jednadžba:
LEVEL SET MODEL
DΓ = ∂
: dφ → ( ) : 0x xφΓ = =
( ) ( ) ( )( ) : , 0t x t x t tφΓ = =
• Hamilton – Jacobijeva jednadžba:
0t
dxV
t dt
φφ φ φ
∂+ ∇ = + ∇ ⋅ =
∂
dxV
dt=
• funkcija cilja, odnosno funkcija koja se minimizira je podatljivost, odnosno energija, označena s u izrazu
• ograničenje volumena:
• matematički zapis problema:
FUNKCIJA CILJA I OGRANIČENJA LEVEL SET MODELA
( )F u
( ) ( ) ( ) ,D
J F H dφ φ= Ω∫u u
( ) ( ) ( ) ,D
G g H dφ φ= Ω∫u u
• formiranjem Lagrangeove funkcije
• kombinacijom prošlih jednadžbi dobiva se složena Lagrangeova funkcijakoja ovisi još i o level set funkciji tako da je ukupna funkcija cilja danaizrazom
( ) ( ) ( ), , ,L J Gφ λ φ λ φ= +u u
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0
1min. : , ,
2
T
xD D
L D H d H d Vφ
φ λ ε ε φ λ φ ζ= − Ω + − Ω −∫ ∫u u v
ALGORITAM OPTIMIRANJA
PRIMJER 1
Ulazni parametri:
1 1E = 0 0.001E =
Mreža konačnih elemenata: 80 40×
1F = − 100λ =
0.5α =
PRIMJER 1
PRIMJER 1
PRIMJER 2
Ulazni parametri:
1 1E = 0 0.001E =
Mreža konačnih elemenata: 80 40×
1F = − 100λ =
0.5α =
PRIMJER 2
PRIMJER 2
PRIMJER 3
Ulazni parametri:
1 1E = 0 0.001E =
Mreža konačnih elemenata: 100 50×
1F = − 100λ =
0.5α =
PRIMJER 3
PRIMJER 3
PRIMJER 4
Ulazni parametri:
1 1E = 0 0.001E =
Mreža konačnih elemenata: 80 40×
1F = − 20λ =
0.5α =
PRIMJER 4
PRIMJER 4
PRIMJER 5
Ulazni parametri:
1 1E = 0 0.001E =
Mreža konačnih elemenata: 40 80×
1F = − 20λ =
0.5α =
PRIMJER 5
PRIMJER 5
• Level set metode primijenjene na optimiranje topologije
• prikazano je u nekoliko primjera optimalan oblik konstrukcije za zadanerubne uvjete i odgovarajuće opterećenje konstrukcije. U procesuoptimiranja problema primijenjena je upwind metoda u kombinaciji s semi– Lagrangeovom metodom. Algoritam postupka napisan je u programskompaketu MATLAB 7.0.1. Koefijent alpha postavljen je na vrijednost 0.5 da seosigura stabilnost rješenja.
• cilj ovog rada bio je pronaći optimalan oblik konstrukcije, tj. optimalnu
ZAKLJUČAK
• cilj ovog rada bio je pronaći optimalan oblik konstrukcije, tj. optimalnuraspodjelu materijala, uz pripadne rubne uvijete i ograničenja koja pri tompostoje a da bi se pri tom zadvoljila nosivost konstrukcije. To je postignutoprimjenom level set metoda u kombinaciji s metodom konačnih elemenata.
• uz ovaj rad, sljedeći korak bi bio proširenje ove teorije za trodimenzionalnesustave te pisanje prikladnog programskog koda za vizualizaciju problema.Kako je potrebno relativno dosta vremena za računanje ovakvih problema,s obzirom na tehnologiju današnjih računala, daljnji rad bi u ovom područjutrebao svesti i na reduciranje vremena proračuna.
HVALA NA PAŽNJI !!!HVALA NA PAŽNJI !!!