Semana 5 [1/28]
Primitivas
August 24, 2007
Primitivas
Primitivas Semana 5 [2/28]
Integración por partes
Fórmula de integración por partesSean u y v dos funciones de x , entonces:
∫
u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x) −
∫
u′(x)v(x)dx
o, equivalentemente∫
u · v ′ = u · v −
∫
u′· v .
NotaciónUsualmente la fórmula se escribe:
∫
udv = uv −
∫
vdu,
donde dv = v ′(x)dx y du = u′(x)dx .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [3/28]
Integración por partes
Fórmula de integración por partesSean u y v dos funciones de x , entonces:
∫
u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x) −
∫
u′(x)v(x)dx
o, equivalentemente∫
u · v ′ = u · v −
∫
u′· v .
NotaciónUsualmente la fórmula se escribe:
∫
udv = uv −
∫
vdu,
donde dv = v ′(x)dx y du = u′(x)dx .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [4/28]
Integración por partes
Fórmula de integración por partesSean u y v dos funciones de x , entonces:
∫
u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x) −
∫
u′(x)v(x)dx
o, equivalentemente∫
u · v ′ = u · v −
∫
u′· v .
NotaciónUsualmente la fórmula se escribe:
∫
udv = uv −
∫
vdu,
donde dv = v ′(x)dx y du = u′(x)dx .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [5/28]
Integración por partes
Fórmula de integración por partesSean u y v dos funciones de x , entonces:
∫
u(x)v ′(x)dx = u(x)v(x) −
∫
u′(x)v(x)dx
o, equivalentemente∫
u · v ′ = u · v −
∫
u′· v .
NotaciónUsualmente la fórmula se escribe:
∫
udv = uv −
∫
vdu,
donde dv = v ′(x)dx y du = u′(x)dx .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [6/28]
Ejemplos
∫
xexdx = xex− ex + c.
(
u = x → du = dxdv = exdx → v = ex
)
∫
ln xdx = x ln x − x + c.(
u = ln x → du = (1x )dx
dv = dx → u = x
)
In =
∫
xn ln xdx =xn+1 lnn + 1
−xn+1
(n + 1)2 + c.(
u = ln → du = 1x dx
dv = xndx → v = xn+1
n+1
)
Primitivas
Primitivas Semana 5 [7/28]
Ejemplos
∫
xexdx = xex− ex + c.
(
u = x → du = dxdv = exdx → v = ex
)
∫
ln xdx = x ln x − x + c.(
u = ln x → du = (1x )dx
dv = dx → u = x
)
In =
∫
xn ln xdx =xn+1 lnn + 1
−xn+1
(n + 1)2 + c.(
u = ln → du = 1x dx
dv = xndx → v = xn+1
n+1
)
Primitivas
Primitivas Semana 5 [8/28]
Ejemplos
∫
xexdx = xex− ex + c.
(
u = x → du = dxdv = exdx → v = ex
)
∫
ln xdx = x ln x − x + c.(
u = ln x → du = (1x )dx
dv = dx → u = x
)
In =
∫
xn ln xdx =xn+1 lnn + 1
−xn+1
(n + 1)2 + c.(
u = ln → du = 1x dx
dv = xndx → v = xn+1
n+1
)
Primitivas
Primitivas Semana 5 [9/28]
Ejemplos
In =
∫
xmexdx ; n ∈ N.
u = xn→ du = nxn−1dx
dv = exdx → v = ex .
Luego In = xnex− nIn − 1, para n ∈ N.
I0 = ex + c
I1 = xex− I0
I2 = x2ex− 2I1
...In = xnex
− nInn − 1.
Primitivas
Primitivas Semana 5 [10/28]
Ejemplos
In =
∫
xmexdx ; n ∈ N.
u = xn→ du = nxn−1dx
dv = exdx → v = ex .
Luego In = xnex− nIn − 1, para n ∈ N.
I0 = ex + c
I1 = xex− I0
I2 = x2ex− 2I1
...In = xnex
− nInn − 1.
Primitivas
Primitivas Semana 5 [11/28]
Ejemplos
In =
∫
xmexdx ; n ∈ N.
u = xn→ du = nxn−1dx
dv = exdx → v = ex .
Luego In = xnex− nIn − 1, para n ∈ N.
I0 = ex + c
I1 = xex− I0
I2 = x2ex− 2I1
...In = xnex
− nInn − 1.
Primitivas
Primitivas Semana 5 [12/28]
Sustituciones trigonométricas tradicionales
Cambios de variable convenientesPara a2 + x2, usar x = a tan υ o bien x = a senh t .
Para a2− x2, usar x = a sen υ ’o x = a cos υ.
Para x2− a2, usar x = a sen cυ ’o x = a cosh t .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [13/28]
Sustituciones trigonométricas tradicionales
Cambios de variable convenientesPara a2 + x2, usar x = a tan υ o bien x = a senh t .
Para a2− x2, usar x = a sen υ ’o x = a cos υ.
Para x2− a2, usar x = a sen cυ ’o x = a cosh t .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [14/28]
Sustituciones trigonométricas tradicionales
Cambios de variable convenientesPara a2 + x2, usar x = a tan υ o bien x = a senh t .
Para a2− x2, usar x = a sen υ ’o x = a cos υ.
Para x2− a2, usar x = a sen cυ ’o x = a cosh t .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [15/28]
Integración de funciones racionales
Se desea integrar funciones R(x) de la forma:
R(x) =P(x)
Q(x)=
anxn + · · · + a1x + a0
bmxm + · · · + b1x + b0,
con n < m.
Suponemos:
Q(x) = bm(x − r1)α1(x − rs)
αs· (x2 + b1x + c1)
β1 · · · (x2 + btx + ct)βt
r1, . . . rs son las raíces de Q, de multiplicidades α1, . . . , αs.
β1, . . . , βt son numeros enteros positivos.
x2 + bix + ci polinomios irreductibles.
Primitivas
Primitivas Semana 5 [16/28]
Integración de funciones racionales
Se desea integrar funciones R(x) de la forma:
R(x) =P(x)
Q(x)=
anxn + · · · + a1x + a0
bmxm + · · · + b1x + b0,
con n < m.
Suponemos:
Q(x) = bm(x − r1)α1(x − rs)
αs· (x2 + b1x + c1)
β1 · · · (x2 + btx + ct)βt
r1, . . . rs son las raíces de Q, de multiplicidades α1, . . . , αs.
β1, . . . , βt son numeros enteros positivos.
x2 + bix + ci polinomios irreductibles.
Primitivas
Primitivas Semana 5 [17/28]
Integración de funciones racionales
Se desea integrar funciones R(x) de la forma:
R(x) =P(x)
Q(x)=
anxn + · · · + a1x + a0
bmxm + · · · + b1x + b0,
con n < m.
Suponemos:
Q(x) = bm(x − r1)α1(x − rs)
αs· (x2 + b1x + c1)
β1 · · · (x2 + btx + ct)βt
r1, . . . rs son las raíces de Q, de multiplicidades α1, . . . , αs.
β1, . . . , βt son numeros enteros positivos.
x2 + bix + ci polinomios irreductibles.
Primitivas
Primitivas Semana 5 [18/28]
Integración de funciones racionales
Se desea integrar funciones R(x) de la forma:
R(x) =P(x)
Q(x)=
anxn + · · · + a1x + a0
bmxm + · · · + b1x + b0,
con n < m.
Suponemos:
Q(x) = bm(x − r1)α1(x − rs)
αs· (x2 + b1x + c1)
β1 · · · (x2 + btx + ct)βt
r1, . . . rs son las raíces de Q, de multiplicidades α1, . . . , αs.
β1, . . . , βt son numeros enteros positivos.
x2 + bix + ci polinomios irreductibles.
Primitivas
Primitivas Semana 5 [19/28]
Integración de funciones racionales
Se desea integrar funciones R(x) de la forma:
R(x) =P(x)
Q(x)=
anxn + · · · + a1x + a0
bmxm + · · · + b1x + b0,
con n < m.
Suponemos:
Q(x) = bm(x − r1)α1(x − rs)
αs· (x2 + b1x + c1)
β1 · · · (x2 + btx + ct)βt
r1, . . . rs son las raíces de Q, de multiplicidades α1, . . . , αs.
β1, . . . , βt son numeros enteros positivos.
x2 + bix + ci polinomios irreductibles.
Primitivas
Primitivas Semana 5 [20/28]
Integración de funciones racionales
Se desea integrar funciones R(x) de la forma:
R(x) =P(x)
Q(x)=
anxn + · · · + a1x + a0
bmxm + · · · + b1x + b0,
con n < m.
Suponemos:
Q(x) = bm(x − r1)α1(x − rs)
αs· (x2 + b1x + c1)
β1 · · · (x2 + btx + ct)βt
r1, . . . rs son las raíces de Q, de multiplicidades α1, . . . , αs.
β1, . . . , βt son numeros enteros positivos.
x2 + bix + ci polinomios irreductibles.
Primitivas
Primitivas Semana 5 [21/28]
Integración de funciones racionales
Entonces R(x) es igual a la suma de funciones racionales del siguiente tipo:
1 Por cada término (x − ri)αi aparece la suma de αi funciones:
A1i
(x − ri)+
A2i
(x − ri)2 + · · · +Aαi i
(x − ri)αi.
2 Por cada término (x2 + bix + ci)βi aparece la suma de βi funciones de la
forma:
B1ix + C1i
x2 + bix + Ci+
B2ix + C2i
(x2 + bix + ci)2 + · · · +Bβi ix + Cβi i
(x2 + bix + ci)βi
Primitivas
Primitivas Semana 5 [22/28]
Integración de funciones racionales
Entonces R(x) es igual a la suma de funciones racionales del siguiente tipo:
1 Por cada término (x − ri)αi aparece la suma de αi funciones:
A1i
(x − ri)+
A2i
(x − ri)2 + · · · +Aαi i
(x − ri)αi.
2 Por cada término (x2 + bix + ci)βi aparece la suma de βi funciones de la
forma:
B1ix + C1i
x2 + bix + Ci+
B2ix + C2i
(x2 + bix + ci)2 + · · · +Bβi ix + Cβi i
(x2 + bix + ci)βi
Primitivas
Primitivas Semana 5 [23/28]
Integración de funciones racionales
Entonces R(x) es igual a la suma de funciones racionales del siguiente tipo:
1 Por cada término (x − ri)αi aparece la suma de αi funciones:
A1i
(x − ri)+
A2i
(x − ri)2 + · · · +Aαi i
(x − ri)αi.
2 Por cada término (x2 + bix + ci)βi aparece la suma de βi funciones de la
forma:
B1ix + C1i
x2 + bix + Ci+
B2ix + C2i
(x2 + bix + ci)2 + · · · +Bβi ix + Cβi i
(x2 + bix + ci)βi
Primitivas
Primitivas Semana 5 [24/28]
Integración de funciones racionales
Entonces R(x) es igual a la suma de funciones racionales del siguiente tipo:
1 Por cada término (x − ri)αi aparece la suma de αi funciones:
A1i
(x − ri)+
A2i
(x − ri)2 + · · · +Aαi i
(x − ri)αi.
2 Por cada término (x2 + bix + ci)βi aparece la suma de βi funciones de la
forma:
B1ix + C1i
x2 + bix + Ci+
B2ix + C2i
(x2 + bix + ci)2 + · · · +Bβi ix + Cβi i
(x2 + bix + ci)βi
Primitivas
Primitivas Semana 5 [25/28]
Integración de funciones racionales
Entonces R(x) es igual a la suma de funciones racionales del siguiente tipo:
1 Por cada término (x − ri)αi aparece la suma de αi funciones:
A1i
(x − ri)+
A2i
(x − ri)2 + · · · +Aαi i
(x − ri)αi.
2 Por cada término (x2 + bix + ci)βi aparece la suma de βi funciones de la
forma:
B1ix + C1i
x2 + bix + Ci+
B2ix + C2i
(x2 + bix + ci)2 + · · · +Bβi ix + Cβi i
(x2 + bix + ci)βi
Primitivas
Primitivas Semana 5 [26/28]
Ejemplo
R(x) =P(x)
(x − 1)2(x − 7)(x2 + 1)3(x2 + 2x + 9)2 .
Entonces,
R(x) =A
x − 1+
B(x − 1)2 +
Cx − 7
+Dx + Ex2 + 1
+Fx + G
(x2 + 1)2 +Hx + I
(x2 + 1)3
+Jx + K
x2 + 2x + 9+
Lx + M(x2 + 2x + 9)2 .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [27/28]
Ejemplo
R(x) =P(x)
(x − 1)2(x − 7)(x2 + 1)3(x2 + 2x + 9)2 .
Entonces,
R(x) =A
x − 1+
B(x − 1)2 +
Cx − 7
+Dx + Ex2 + 1
+Fx + G
(x2 + 1)2 +Hx + I
(x2 + 1)3
+Jx + K
x2 + 2x + 9+
Lx + M(x2 + 2x + 9)2 .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [28/28]
Integrales trigonométricas reducibles a integrales racionales
Consideramos integrales del tipo∫
R(sen x , cos x)dx ,
en donde R es una función racional en la cual aparecen sólo sen x y cos x .
Ejemplos∫
dxsen x + cos x
,
∫
sen x + cos xsen x − cos x
dx .
En estos casos se aconseja el cambio de variable:
t = tan(x/2).
Con ello
t = tan(x
2
)
, sen x =
(
2t1 + t2
)
, cos x =
(
1 − t2
1 + t2
)
, dx =2dt
1 + t2 .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [29/28]
Integrales trigonométricas reducibles a integrales racionales
Consideramos integrales del tipo∫
R(sen x , cos x)dx ,
en donde R es una función racional en la cual aparecen sólo sen x y cos x .
Ejemplos∫
dxsen x + cos x
,
∫
sen x + cos xsen x − cos x
dx .
En estos casos se aconseja el cambio de variable:
t = tan(x/2).
Con ello
t = tan(x
2
)
, sen x =
(
2t1 + t2
)
, cos x =
(
1 − t2
1 + t2
)
, dx =2dt
1 + t2 .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [30/28]
Integrales trigonométricas reducibles a integrales racionales
Consideramos integrales del tipo∫
R(sen x , cos x)dx ,
en donde R es una función racional en la cual aparecen sólo sen x y cos x .
Ejemplos∫
dxsen x + cos x
,
∫
sen x + cos xsen x − cos x
dx .
En estos casos se aconseja el cambio de variable:
t = tan(x/2).
Con ello
t = tan(x
2
)
, sen x =
(
2t1 + t2
)
, cos x =
(
1 − t2
1 + t2
)
, dx =2dt
1 + t2 .
Primitivas
Primitivas Semana 5 [31/28]
Integrales trigonométricas reducibles a integrales racionales
Consideramos integrales del tipo∫
R(sen x , cos x)dx ,
en donde R es una función racional en la cual aparecen sólo sen x y cos x .
Ejemplos∫
dxsen x + cos x
,
∫
sen x + cos xsen x − cos x
dx .
En estos casos se aconseja el cambio de variable:
t = tan(x/2).
Con ello
t = tan(x
2
)
, sen x =
(
2t1 + t2
)
, cos x =
(
1 − t2
1 + t2
)
, dx =2dt
1 + t2 .
Primitivas