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IEIM 2015-2016
Esercitazione 1I“Codifica Binaria ed Algebra di Bool”
Alessandro A. [email protected] - www.alessandronacci.it
1
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Cosa facciamo oggi?
• Un ripasso sulla codifica binaria
• E un po di esercizi…
• Un ripasso sulla algebra di Boole
• Con un po di esercizi…
2
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La lezione di oggi…
3
INFORMATICA ELETTRONICADIGITALE
MATEMATICA(ALGEBRA E
LOGICA)
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La codifica binaria
ATTENZIONE!
Questi li facciamo alla lavagna ;)
Trovate delle scansioni sul mio sito internet alessandronacci.it
4
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George Boole
George Boole (Lincoln, 2 novembre 1815[1] – Ballintemple, 8 dicembre 1864[1]) è stato un matematico e logico britannico, ed è considerato il fondatore della logica matematica[1]. La sua opera influenzò anche settori della filosofia e diede vita alla scuola degli algebristi della logica.
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Le operazioni logiche (booleane)
6
A B A and B
F F F
F V F
V F F
V V V
A B A or B
F F F
F V V
V F V
V V V
A not A
F V
V F
Operazione “and” Operazione “or”
Operazione “not”
Ci sono altri operatori?
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Le operazioni logiche (booleane) - 2
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Un riassunto non esaustivo su…https://it.wikipedia.org/wiki/Algebra_di_Boole#NOT
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Proprietà logiche
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Dimostrazione della proprietà di assorbimento
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Dimostrazione
Dimostrazione
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Leggi di De Morgan
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Esercizi sulla Algebra di Boole
ATTENZIONE!
Questi li facciamo alla lavagna ;)
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Esercizio sulla Algebra di Boole
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AXO – esame di giovedì 4 marzo 2010 - CON SOLUZIONI pagina 13 di 22
seconda parte – algebra booleana
Si consideri la funzione booleana di 3 variabili G(a ,b, c) espressa dall’equazione seguente:
G(a, b, c) = a b c + !a !b c + !a b c + a b !c Si trasformi - tramite le proprietà dell’algebra di commutazione - l’equazione di G in modo da ridurre il co-sto della sua realizzazione, indicando le singole operazioni svolte e il nome oppure la forma della proprietà utilizzata.
Soluzione
via breve
a b c + !a !b c + !a b c + a b !c distributiva
!a c (b + !b) + a b (c + !c) elemento neutro
!a c 1 + a b 1 elemento neutro
!a c + a b forma minima
oppure (ma è più lunga)
a b c + !a !b c + !a b c + a b !c
a b c + !a !b c + !a b c + a b !c + a b c + !a b c idempotenza
a b c + !a b c + !a b c + !a !b c + a b c + a b !c commutativa
(a + !a) b c + !a (b + !b) c + a b (c + !c) distributiva
1 b c + !a 1 c + a b 1 elemento neutro
b c + !a c + a b elemento neutro
1 b c + !a c + a b elemento inverso
(a + !a) b c + !a c + a b distributiva
a b c + !a b c + !a c + a b commutativa
a b c + a b + !a b c + !a c assorbimento
a b + !a c forma minima
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Esercizio sulla Algebra di Boole (soluzione)
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AXO – esame di giovedì 4 marzo 2010 - CON SOLUZIONI pagina 13 di 22
seconda parte – algebra booleana
Si consideri la funzione booleana di 3 variabili G(a ,b, c) espressa dall’equazione seguente:
G(a, b, c) = a b c + !a !b c + !a b c + a b !c Si trasformi - tramite le proprietà dell’algebra di commutazione - l’equazione di G in modo da ridurre il co-sto della sua realizzazione, indicando le singole operazioni svolte e il nome oppure la forma della proprietà utilizzata.
Soluzione
via breve
a b c + !a !b c + !a b c + a b !c distributiva
!a c (b + !b) + a b (c + !c) elemento neutro
!a c 1 + a b 1 elemento neutro
!a c + a b forma minima
oppure (ma è più lunga)
a b c + !a !b c + !a b c + a b !c
a b c + !a !b c + !a b c + a b !c + a b c + !a b c idempotenza
a b c + !a b c + !a b c + !a !b c + a b c + a b !c commutativa
(a + !a) b c + !a (b + !b) c + a b (c + !c) distributiva
1 b c + !a 1 c + a b 1 elemento neutro
b c + !a c + a b elemento neutro
1 b c + !a c + a b elemento inverso
(a + !a) b c + !a c + a b distributiva
a b c + !a b c + !a c + a b commutativa
a b c + a b + !a b c + !a c assorbimento
a b + !a c forma minima
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Esercizio sulla Algebra di Boole (soluzione)
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AXO – esame di giovedì 4 marzo 2010 - CON SOLUZIONI pagina 13 di 22
seconda parte – algebra booleana
Si consideri la funzione booleana di 3 variabili G(a ,b, c) espressa dall’equazione seguente:
G(a, b, c) = a b c + !a !b c + !a b c + a b !c Si trasformi - tramite le proprietà dell’algebra di commutazione - l’equazione di G in modo da ridurre il co-sto della sua realizzazione, indicando le singole operazioni svolte e il nome oppure la forma della proprietà utilizzata.
Soluzione
via breve
a b c + !a !b c + !a b c + a b !c distributiva
!a c (b + !b) + a b (c + !c) elemento neutro
!a c 1 + a b 1 elemento neutro
!a c + a b forma minima
oppure (ma è più lunga)
a b c + !a !b c + !a b c + a b !c
a b c + !a !b c + !a b c + a b !c + a b c + !a b c idempotenza
a b c + !a b c + !a b c + !a !b c + a b c + a b !c commutativa
(a + !a) b c + !a (b + !b) c + a b (c + !c) distributiva
1 b c + !a 1 c + a b 1 elemento neutro
b c + !a c + a b elemento neutro
1 b c + !a c + a b elemento inverso
(a + !a) b c + !a c + a b distributiva
a b c + !a b c + !a c + a b commutativa
a b c + a b + !a b c + !a c assorbimento
a b + !a c forma minima
MOLTO CARINO MA…
Troppo intuitivo! Ergo, poco automatizzatile…
Esiste quindi un metodo più meccanico?
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Mappe di Karnaugh (1)
15
f (a,b,c) = 001,011,101,110,111( )∑0 0 0 0 10 0 0 1 10 0 1 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 01 1 0 1 11 1 1 0 01 1 1 1 1
a b c d f
00 01 11 1000 1 1 0 0
1 1 1 10 0 1 11 0 0 1
a,bc,d
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Mappe di Karnaugh (2)
16
f (a,b,c) = 001,011,101,110,111( )∑0 0 0 0 10 0 0 1 10 0 1 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 01 1 0 1 11 1 1 0 01 1 1 1 1
a b c d f
a'c'; ad
a'b'd'; b'cd'; ab'c; c'd
00 01 11 1000011110
1 1 0 01 1 1 10 0 1 11 0 0 1
a,bc,d
Implicanti primi essenziali
Implicanti primi
Completamente ridondante
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Mappe di Karnaugh (3)
17
a'c'; ad
a'b'd'; b'cd'; ab'c; c'd
00 01 11 1000011110
0 0
0 0 1 0 0 1
a,bc,d
Implicanti primi essenziali
Implicanti primi
f(a,b,c,d)= a'c'+ad+b'cd‘Forma minima (unica)
Parzialmente ridondanti
Tabella ottenuta dopo la selezione
degli implicanti primi essenziali
1 da coprire
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Mappe di Karnaugh (4)
18
( )∑= 15,13,11,10,5,4,2,0),,,( dcbaf
Nessuno
a'c'd'; bc’d; acd; b’cd’;a’b’d’; a’bc’; abd; ab’c
00 01 11 1000011110
1 1 0 00 1 1 00 0 1 11 0 0 1
a,bc,d
Implicanti primi essenziali
Implicanti primi
f(a,b,c,d)= a'c'd'+ bc’d+ acd+ b’cd’f(a,b,c,d)= a’b’d’+ a’bc’+ abd+ ab’c
Due forme minime
a b c d f0 0 0 0 10 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 0 1 01 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 01 1 0 1 11 1 1 0 01 1 1 1 1
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Mappe di Karnaugh (5)
• Online trovate una dispensa che le spiega con un altro esempio! :)
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