D E P A R T A M E N T O A C A D É M I C O

D E M A T E M Á T I C A Y F Í S I C A

Fecha: ! de o c t u b r e de 2014

2 d a G U Í A D E P R A C T I C A P A R A E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S O R D I N A R I A S

( 1 ) D e t e r m i n a r l a ecuación y l a gráfica de las curvas que satisfacen las condiciones geométricas siguientes:

a ) L a proyección sobre el eje de las abscisas, del segmento tangente entre el p u n t o P{x,y) y dicho eje, t iene

l o n g i t u d lu.

b ) L a ordenada al or igen de cua lquier rec ta tagente a l a c u r v a es i gua l a la s u b n o r m a l correspondiente .

Además l a c u r v a pasa por el p u n t o (0 ,1 )

c ) E n u n p u n t o de la curva , el ángulo entre el r a d i o vector y la tngente es igual a u n terc io de la m e d i d a

de l ángulo de inclinación de la tangente .

d ) L a curva pasa por el or igen de coordenadas y d i v i d e en dos regiones ( u n a de ellas es tres veces l a o t r a )

a l rectángulo f o rmado a l t razar parálalas a los ejes coordenados, desde u n p u n t o de la curva P{x, y) que se

encuentra en el p r i m e r cuadrante , (dos respuestas)

e ) L a c u r v a pasa por el p u n t o ( 4 , 8 ) además la tangente a l a c u r v a en el p u n t o P{x,y) c o r t a al eje de las

abscisas en u n p u n t o M equ id i s tante del p u n t o P y del p u n t o v4(0,4) .

f ) E l coeficiente angular de l a tangente en cualquier de sus puntos sea i g u a l a la ordenada del mismo p u n t o ,

a ' . i i n ' 'n tadf . tres veces. Además la c u r v a íDasa p o r el p u n t o (0 . —2).

g) E l segmento tangente c o m p r e n d i d a entre el p u n t o de contac to P{x,y) y el eje de las abscisas se d i v i d e

en dos partes iguales en el p u n t o de intersección con el eje de ordenadas.

h ) E n t o d o p u n t o P{x,y) de la curva , l a proyección de l a n o r m a l sobre el eje X y l a abscisa de P son de

i g u a l l o n g i t u d . Además la curva pasa por el p u n t o ( 2 , 3 ) . (dos respuestas)

i ) L a proyección de la tangente sobre el eje X s iempre tenga la l o n g i t u d 2u. Además la c u r v a pasa por el

p u n t o (0 ,2 )

( 2 ) C u a t r o hormigas s i tuadas en las esquinas de u n a mesa c u a d r a d a de lado I m comienzan a andar s imul tanea -

mente a la m i s m a ve loc idad , cada u n a en la dirección de su vecina más próxima en la dirección c o n t r a r i a a

las agujas del r e l o j . T o m a n d o coordenadas polares con or igen en el centro de la mesa y eje po lar a lo largo

de u n a d iagona l , h a l l a r l a t r a y e c t o r i a de l a h o r m i g a que p a r t e del eje p o l a r .

( 3 ) Real izar u n esbozo p a r a l a gráfica de las siguientes fami l ias uniparamétricas de curvas con sus respectivas

t rayec tor ias ortogonales p r e v i a determinación.

a ) y = ke^ b) y = e''^ c) y = kx? d) 2x? + 7/ = k

e)y^ = kx f ) i / - A : . x = f g) x^ + {y - k)^ = ^ h)x^ + 3y^ = ky

( 4 ) Real izar u n esbozo p a r a la gráfica de las siguientes fami l ias uniparamétricas de curvas con sus respectivas

trayector ias ortogonales p r e v i a determinación.

a) r = k{l + cos9) h)r = 2ksene c) r = d) = ,^¿¿g^l,,^,s

1

U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E

S A N C R I S T Ó B A L D E H U A M A N G A

E . F . P . I N G . C I V I L

(5) Demostrar que la familia de trayectorias de la familia (x - y){2x + T/)^ = fc.x^con una rotación de 90° en el

origen está dado por (x + y)(x - 2i/)2 = cy^.

Hallar el valor de m y n de modo que .x™ + 7 / " + 25 = ex sean las trayectorias ortogonales de las circunferencias

+ ?/ - 2ky = 25.

(7) Dado los operadores diferenciales L i y ¿ 2 , verificar si {Li){L2)y = {L2){Li)y en los siguientes casos

a)Li{D)^D + 2-L2{D) = D'^-2D + ^ h) L^iD) = D + x • L2{D) = D - x

c) Li{D) = 4D + 1; L2{D) D - 2 d ) L i ( D ) =xD + 2; L2ÍD) = xD - l

(8) Haga uso de la propiedad de la traslación exponencial L{D - 'r)[e'''^y] = eJ''^L{D)y para demostrar cjue

L{D - r)"[.T '=e'"^] = O para /c = 0 ,1 , 2 , [ v . - 1)

(9) Haga uso de la propiedad de la traslación exponencial para resolccr las EDO:

a) {D + 3)^7/ = 0 b ) ( D - 2fy = 0 c) ( D + ify = 0 d ) {2D - ify = O

(10) Resolver las siguientes E D O :

a) T/í") + 4 y " ' = 7

b ) y" - Ay' + 3y = lOO-x^e^^ + 340(3^ eos 2x

y" + y = sec X tan x

d) y" - y + 2y=j^

^) y" — y~ fi""^'^sen(e~^)

f ) y" - 9y = 3e^ 4:x - s e n 4 x .1..,, (11) Resolver las siguientes E D O :

a) ( D 2 _ 3 D + 2)y = cos(e-^)

h)[D^-ZD + 2 ) y = ^

c) {D^ 4- l ) y = sec^ x esc x

d ) ( D 2 + i ) y = sec^x

e) (D^ + 2 ^ + 2)y = e"^ escx

f ) ( D 2 - l)y = e2^[tan(e^) + sec2(e^)]

(12) Ejemplo para los ejercicios (1, 3 y 4 ) . f

j

Mat. Coaquira Cárdenas Víctor A. WÍ£^

2