Poisson核，熱核の情報幾何学Information geometry of Poisson kernels and heat kernels

佐藤弘康（筑波大学大学院数理物質科学研究科）Hiroyasu Satoh (University of Tsukuba)

（伊藤光弘氏（筑波大）との共同研究に基づく）Joint work with M. Itoh (University of Tsukuba)

大阪市立大学数学研究所情報幾何学研究集会 2009

平成 21 年 1 月 25 日

はじめに

(X, g)に関連した空間 M 上のRiemann多様体 正値確率測度全体のなす空間

(X, g) φ−−−−−−−−−−−−−−−−→（計量 gが誘導）

P(M)...

GFisher情報計量

• 計量 gと写像 φの性質（部分多様体としての）の関係．• (Itoh-Shishido ’08) Poisson核写像 ϕ : X → P(∂X)

(X, g) : 階数 1非コンパクト型対称空間 =⇒ϕは相似的，極小埋め込み．

(1)

1.1 統計モデルと Fisher計量• (Ω,F , λ)：測度集合• P(U,Ω)：U ⊂ Rn（開集合）で径数付けられた正値確率密度関数の族

P(U,Ω) =

p(x, ξ)

∣∣∣∣∣∣ p(x, ξ) > 0,∫ξ∈Ω

p(x, ξ) dλ(ξ) = 1, x ∈ U

Fisher計量 G = (gi j(x))x∈U

gi j(x) =∫ξ∈Ω

∂

∂xi log p(x, ξ) · ∂

∂x j log p(x, ξ) · p(x, ξ) dλ(ξ)

=Epx

[∂i log px · ∂ j log px

]

→

分布 px による期待値

(2)

1.2 正値確率測度のなす空間と Fisher情報計量• M：向き付けられた多様体• dvM：M 上の体積要素• P(M)：M 上の正値確率測度全体のなす集合

P(M) :=µ = p dvM

∣∣∣∣∣ p : M → R, p > 0,∫

Mµ = 1

• 接空間は TµP(M) 'τ = q dvM

∣∣∣∣ q : M → R,∫

Mq2

p dvM < ∞,∫

M τ = 0．

Fisher情報計量 G = Gµ

Gµ(τ1, τ2) =∫

M

q1

pq2

pp dvM ,

(τi = qi dvM ∈ TµP(M), µ = p dvM

).

(3)

1.2 正値確率測度のなす空間と Fisher情報計量• X：多様体• ϕ : X 3 x 7−→ p(x, ξ) dvM(ξ) ∈ P(M)：単射• v1, v2 ∈ TxX にたいし，Gの引き戻し ϕ∗Gは

ϕ∗G(v1, v2) =∫ξ∈M

v1 p(x, ξ) · v2 p(x, ξ)p(x, ξ)

dvM(ξ)

=

∫ξ∈M

v1 log p(x, ξ) · v2 log p(x, ξ) · p(x, ξ) dvM(ξ)

=Eµ[v1 log p(x, ξ) · v2 log p(x, ξ)

].

=⇒

ϕ∗Gは X で径数付けられた統計モデルの Fisher計量

(4)

1.2 (P(M),G)の性質定理（T. Friedrich, Math. Nachr. 153, 1991）¶ ³• Gの Levi-Civita接続 ∇G は

∇Gτ1τ = −1

2

(qp· q1

p−

∫M

qp· q1

pµ

)µ.

ここで，τ = q dvM , τ1 = q1 dvM ∈ TµP(M)，µ = p dvM．ただし，τは各点 µ ∈ P(M)で τとなるベクトル場と見ている．• Gの断面曲率は一定で，その値は 1/4．• Diff+(M)は (P(M),G)に引き戻しとして等長的に作用する（特に，

M がコンパクトのとき，この作用は推移的）．• 測地的に完備ではない．µ ´

(5)

1.2 (P(M),G)の性質定理（T. Friedrich, Math. Nachr. 153, 1991）¶ ³• c(t) = ft dvM : P(M)上の曲線

• Gc(t)(c′(t), c′(t)) =∫

M

(f ′tft

)2

ft dvM = 1

c(t)が測地線 ⇐⇒ ft = ( f0)2 + ( f ′0)2

f0

cos2(arctan

(f ′0f0

)− t

2

).

µ ´ξ ∈ M を固定．arctan

(f ′0(ξ)/ f0(ξ)

)∈ (−π/2, π/2)より

arctan(

f ′0(ξ)f0(ξ)

)− T

2= −π

2

を満たす T ∈ Rが存在する．つまり c(T ) < P(M)．(6)

1.2 例：離散型確率分布の場合• P =

p = (p1, p2, p3)

∣∣∣ pi ∈ R, pi > 0 (i = 1, 2, 3),∑3

i=1 pi = 1

• TpP 'v = (v1, v2, v3)

∣∣∣ vi ∈ R (i = 1, 2, 3),∑3

i=1 vi = 0

• Gp(v, v′) =3∑

i=1

viv′i

pi, v = (v1, v2, v3), v′ = (v′1, v

′2, v′3).

• Gp =(

1p1+ 1

p3

)(dp1)2 + 2

p3dp1dp2 +

(1p2+ 1

p3

)(dp2)2 (p3 = 1− p1 − p2)

p1 = r2 cos2 θ, p2 = r2 sin2 θ (0 < r < 1, 0 < θ < π/2)と変数変換すると

G =4

1 − r2 (dr)2 + 4r2(dθ)2.⇐=

(P,G)は半径 2の球面の一部（ガウス曲率 1/4）．

(7)

1.3 Poisson核写像Itoh–Shishido

• (X, g)：n次元 Hadamard多様体（単連結，完備，非正曲率）• ∂X : X の理想境界（(n − 1)次元球面と同相）• Poisson 核とよばれる X × ∂X 上の関数 P(x, θ) を用いて，写像 ϕ :

(X, g)→ (P(∂X),G)を定義．

定理 (Itoh–Shishido, Diff. Geom. Appl. 26, 2008)¶ ³(X, g)：階数 1,非コンパクト型対称空間

=⇒ Poisson核写像は相似的かつ極小的埋め込み; ϕ∗G =ρ2

ng．

ここで，ρは (X, g)の体積エントロピー：ρ = limr→∞

1r

log Vol (B(x; r))．µ ´(8)

1.3 問題と結果• Poisson核写像 ϕ : X → P(∂X)が相似的かつ極小 =⇒空間 X？階数 1非コンパクト型対称空間の場合：P(x, θ) = exp(−ρ B(x, θ))．

Busemann 関数

– P(x, θ) = exp (−c B(x, θ))かつ X は等質的⇒ ϕ は相似的（§2），かつ極小（極小性の証明には調和写像の議論が必要 §3）．

– Poisson核写像 ϕが相似的，極小⇒ P(x, θ) = exp (−c B(x, θ))．（§3）– exp (−c B(x, θ))が Poisson核になる必要十分条件：X の漸近的調和性と可視性，

∫θ∈∂X exp (−B(x, θ)) dθが xに依らない．（§2）

– Damek-Ricci空間は上の 3条件を満たす．（§4）• 熱核でも，同様の議論ができないか？（§5）

– 熱核写像 ϕt : X 3 x 7→ H(t, x, y) dv(y) ∈ P(X)

– Xが調和的等質 Hadamard多様体 =⇒ ϕt は相似的（極小ではない）．

(9)

• §1) イントロダクション• §2) Poisson核と Busemann関数• §3) φ : (X, g)→ (P(M),G)の調和性• §4) Damek-Ricci空間• §5) 熱核の場合

(10)

2.1 Poisson核• (X, g)：n次元 Hadamard多様体（完備，単連結，非正曲率多様体）• ∂X = γ : [0,∞)→ X : 半開測地線, |γ′| = 1/ ∼ (' S n−1(1) ⊂ Tx0 X)

：Xの理想境界（γ1 ∼ γ2 ⇐⇒ d(γ1(t), γ2(t))が tに関して上に有界）

（x0 を基点とする）Poisson核 P(x, θ) =無限遠 Dirichlet問題の基本解；与えられた f ∈ C0(∂X)（境界条件）にたいして，方程式 ∆u = 0, u|∂X = f

の解は積分表示u(x) =

∫θ∈∂X

P(x, θ) f (θ) dθ

で与えられる．ただし，dθは同一視 ∂X ' S n−1(1) ⊂ Tx0 X の下，S n−1(1)の標準的な単位体積要素．

Poisson核写像 ϕ : X 3 x 7−→ P(x, θ) dθ ∈ P(∂X)

(11)

2.1 Poisson核の存在定理（負曲率の場合）定理（Schoen-Yau, Lect. Diff. Geom., 1994）¶ ³(X, g)を曲率条件 −b2 ≤ KX ≤ −a2 < 0を満たす Hadamard多様体とする．このとき，基点 x0 にたいして次を満たす関数 Pが一意的に存在する;

• θ ∈ ∂X にたいし，P(·, θ) ∈ C0(X ∪ ∂X\θ),• P(·, θ)は X 上の正値調和関数,

• P(x0, θ) = 1,

• limx→θ′

P(x, θ) = 0 (θ′ , θ).

さらに，無限遠 Dirichlet問題の解は P(x, θ)の積分表示で与えられる．µ ´階数 1非コンパクト型対称空間の場合，exp(−ρB(x, θ))は上の条件を満たす．

(12)

2.2 Busemann関数（x0 を基点とする）Busemann関数 B(x, θ)

θ ∈ ∂X にたいし，x0 を始点とし θ に漸近収束する半開測地線を γθ とする．このとき，

B(x, θ) = limt→∞d(x, γθ(t)) − t .

Busemann関数の性質

• B( · , θ)は X上の C2 級の凸関数．• B(x0, ·) = 0

• v ∈ TxX にたいし，vB(x, θ) = −g(v, u)．ただし，uは xを始点とし，θに漸近収束する半開測地線の速度ベクトル．特に，| gradX B(x, θ)| = 1．• Bp(x, θ) = Bq(x, θ) + Bp(q, θ).

(13)

2.3 P(x, θ) = exp(−cB(x, θ))となる場合定理 1¶ ³(X, g)を n次元等質 Hadamard多様体とする．Poisson核が Busemann関数を用いて P(x, θ) = exp(−cB(x, θ))と書けるとき，Poisson核写像は相似的埋め込みである ; ϕ∗G = c2

n g．さらに極小埋め込みである．µ ´（証明）等長変換群 Isom+(X, g)は理想境界 ∂X に自然に作用．P(∂X)にも引き戻しとして作用．ψ ∈ Isom+(X, g)にたいし

• Busemann関数の変換公式 : B(ψx, θ) = B(x, ψ−1θ) + B(ψx0, θ)

P(ψx, θ) = P(x, ψ−1θ) P(ψx0, θ).

• 無限遠 Dirichlet問題の解の Poisson積分表示,解の一意性 (ψ−1)∗(dθ) = P(ψ(x0), θ) dθ.

(14)

2.3 P(x, θ) = exp(−cB(x, θ))となる場合• 上の 2つの条件から等長変換 ψと Poisson核写像 ϕは次の意味で可換;

(ψ−1)∗ ϕ = ϕ ψ.

• X の等質性から，基点 x0 でのみ考えればよい;

単位ベクトル v ∈ Tx0 X にたいし

ϕ∗G(v, v) =∫∂X

(v log P(·, θ))2 P(x0, θ) dθ = c2

∫∂X

(vB(·, θ))2 dθ

=c2∫

u∈S n−1(1)〈v, u〉2dµS n−1(1) =

c2

n.

•（極小性の証明は次節）

(15)

2.3 P(x, θ) = exp(−cB(x, θ))となる場合Poisson核が exp(−cB(x, θ))の形で書けるための条件；

1. ∆X exp(−cB(x, θ)) = 0

⇐⇒ ∆X B = −c

⇐⇒ Busemann関数 B(·, θ)の等位超曲面は平均曲率一定（漸近的調和）

2. limx→θ′

exp(−cB(x, θ)) dθ = δθ(θ′)

⇐⇒

• limx→θ′,θ

B(x, θ) = ∞

⇔ ∂X の任意の 2点は X 上の測地線で結べる（可視公理）

•任意の x ∈ X にたいして，∫θ∈∂X

exp(−cB(x, θ)) = 1

(16)

• §1) イントロダクション• §2) Poisson核と Busemann関数• §3) φ : (X, g)→ (P(M),G)の調和性• §4) Damek-Ricci空間• §5) 熱核の場合

(17)

3.1 φ : (X, g)→ (P(M),G)の調和性• (X, g) : Riemann多様体• (M, dvM) : 向き付けられた多様体と体積要素• M(X,P(M)) := φ : X → P(M) | φ∗G < +∞• E :M(X,P(M))→ R;

E(φ) =12

∫X

traceg (φ∗G) dvg.

• φ ∈ M(X,P(M))が調和写像とはコンパクト台を持つ任意の変形 φs−ε<s<ε (φ0 = φ, φs|X\D = φ)に対し

ddsE(φs)

∣∣∣∣∣s=0= 0.

(18)

3.1 φ : (X, g)→ (P(M),G)の調和性定理 2¶ ³写像 φ : (X, g) → (P(M),G); x 7−→ Φ(x, ξ) dvM(ξ) が調和写像であるための必要十分条件は

traceg φ∗G(x) = 2∆X logΦ(x, ξ) − | gradX logΦ(x, ξ)|2. (∗)µ ´• 上の条件は (∗)の右辺が ξ ∈ M に依らない関数になることと同値．• Poisson核写像 ϕに対して，

((∗)の右辺) = | gradX log P(x, θ)|2.

• さらに P(x, θ) = exp (−cB(x, θ)) と書けるとき，ϕ : X → P(∂X) は調和写像．

(19)

3.3 Poisson核写像が相似的かつ調和のとき“ φが調和⇐⇒ traceg φ∗G(x) = 2∆X logΦ(x, ξ) − | gradX logΦ(x, ξ)|2 ”

Poisson核写像 ϕが相似的 (ϕ∗G = c2/n g)かつ調和=⇒ | gradX log P(x, θ)| = c

=⇒ u(x, θ) = 1c log p(x, θ)とおくと | gradX u( · , θ)| = 1

=⇒ u( · , θ)の勾配流 σθ(t)は測地線．(T. Sakai, Kodai Math. J. 19, 1996)

=⇒ limt→∞

σθ(t) = θとなり，d (u( · , θ) − B( · , θ)) = 0．=⇒ u(x, θ) = B(x, θ)．

定理 3¶ ³X 上の Poisson核写像 ϕが相似的埋め込みで調和ならば，X の Poisson核は Busemann関数を用いて指数関数表示できる．さらに X は漸近的調和かつ可視公理を満たす．µ ´

(20)

3.3 関連する結果定理 (酒井, Riemann幾何学, 1992)¶ ³

12∆|∇u|2 = 〈∇u,∇∆u〉 − Ric(∇u,∇u) − |Hess(u)|2µ ´

u(x, θ) = 1c log P(x, θ)にたいして，Ric(∇u,∇u) = −|Hess(u)|2

定理 (J. Heber, Geom. Funct. Anal. 16, 2006)¶ ³X を非コンパクト，単連結，等質空間とする．このとき，以下は同値;

• X は漸近的調和，Einstein多様体．• X は平坦空間，階数 1非コンパクト型対称空間，（対称空間でない）

Damek-Ricci空間のいずれか．µ ´(21)

• §1) イントロダクション• §2) Poisson核と Busemann関数• §3) φ : (X, g)→ (P(M),G)の調和性• §4) Damek-Ricci空間• §5) 熱核の場合

(22)

4.1 一般 Heisenberg群一般 Heisenberg代数

• (n, [·, ·]n, 〈·, ·〉n) : 2-step冪零 Lie環とその内積．• n = v ⊕ z（zは nの中心，vは zの直交補空間）．• Z ∈ zにたいし，JZ : v→ v; 〈JZV,V ′〉n = 〈Z, [V,V ′]n〉n.• (JZ)2 = −|Z|2 idv (∀Z ∈ z)のとき，nを一般 Heisenberg代数とよぶ．

一般 Heisenberg群

• 一般 Heisenberg代数 nを Lie環とし，〈·, ·〉n から定まる左不変計量を備えた単連結冪零 Lie群 N．• N ' v × zと同一視したときの群構造 ;

(V,Z) · (V ′,Z′) =(V + V ′, Z + Z′ +

12

[V,V ′]n

).

(23)

4.2 Damek-Ricci空間• s = n ⊕ R (n : 一般 Heisenberg代数).

• ブラケット積 [·, ·]s ;

[(V,Z, l), (V ′,Z′, l′)]s =(

l2

V ′ − l′

2V, lZ′ − l′Z + [V,V ′]n, 0

).

• 内積 〈·, ·〉s ; 〈(V, Z, l), (V ′,Z′, l′)〉s = 〈V,V ′〉n + 〈Z,Z′〉n + ll′.

Damek-Ricci空間

• sを Lie環とし，〈·, ·〉s から定まる左不変計量を備えた単連結 Lie群 S．• S ' v × z × R+ と同一視したときの群構造;

(V,Z, a) · (V ′,Z′, a′) =(V +

√aV ′, Z + aZ′ +

√a

2[V,V ′]n, aa′

).

(24)

4.2 Damek-Ricci空間 S の性質• Hadamard 多様体．KS < 0 ならば，S は階数 1 非コンパクト型対称空間のいずれか（I. Dotti, Proc. Amer. Math. Soc. 125, 1997）．• CHN ,HHN ,OH2（dim z = 1）．特別な場合として，RHN（dim z = 0）．• γ(0) = (0v,0z, 1)，γ′(0) = (U,W, l) ∈ s（|U |2 + |W |2 + l2 = 1）の測地線は

γ(t) = 1χ

(2r(1 − lr)U + 2r2JWU, 2rW, 1 − r2

).

ただし，r = tanh(

t2

), χ = (1 − lr)2 + |W |2r2．

(Berndt-Tricerri-Vanhecke, Lecture Notes in Math. 1598, 1995)

• 理想境界は ∂S ' N ∪ ∞• 漸近的調和．また可視公理を満たす．• 体積エントロピー ρ = 1

2 dim v + dim z（homogeneous dimension）．

(25)

4.3 Damek-Ricci空間 S の Busemann関数定理 4¶ ³Damek-Ricci 空間 S の Busemann 関数および，∂S ' N 上の標準体積要素は以下で与えられる（x = (V,Z, a) ∈ S）．

B(x, θ) =

− log

a((1+ 1

4 |v|2)2+|z|2

)(a+ 1

4 |v−V |2)2+|z−Z− 1

2 [V,v]n|2 if θ = (v, z) ∈ N

− log a if θ = ∞

dθ = c(

1 + 14 |v|2

)2+ |z|2

−ρdvdz ((v, z) ∈ N)

さらに，∫

N exp −ρ B(x, θ) dθ = 1が成り立つ．µ ´=⇒ Damek-Ricci空間 S 上の Poisson核写像は相似的かつ調和．

(26)

4.4 注意：Damek-Ricci空間 S の Poisson核E. Damek (Colloq. Math. 53, 1987)

• Pa(n) =caρ(

a + 14 |V |2

)2+ |Z|2

ρ (n = (V,Z), a > 0)

ただし，cは∫

n∈N Pa(n) dn = 1となる定数．• ∆P = 0.

• lima→0 f ∗ Pa(n) = f (n) ( f ∈ Lp(N))．ただし

f ∗ Pa(n) =∫

m∈NPa(nm−1) f (m) dm.

これは Pa(n)が S 上の無限遠 Dirichlet問題の基本解を与えることを意味する（∂S ' N）．実際に

Pa(nm−1) dm = exp (−ρB((n, a),m)) dθ(m).

(27)

• §1) イントロダクション• §2) Poisson核と Busemann関数• §3) φ : (X, g)→ (P(M),G)の調和性• §4) Damek-Ricci空間• §5) 熱核の場合

(28)

5.1 熱核(X, g)：完備 Riemann多様体

熱方程式 ;与えられた f ∈ C∞(X)（初期条件）にたいして(∂

∂t+ ∆

)u(t, x) = 0, u(0, x) = f (x).

熱核 H(t, x, y) =熱方程式の基本解 ;

熱方程式（初期条件 f ∈ C∞(X)）の解は

u(t, x) =∫y∈X

H(t, x, y) f (y) dv(y)

で与えられる．

(29)

5.1 熱核写像熱核写像 ϕt : X 3 x 7−→ H(t, x, y) dv(y) ∈ P(X)

定理 5¶ ³(X, g)：調和的 Hadamard多様体

=⇒熱核写像は相似的埋め込み：ϕ∗t G = C(t)g．µ ´調和的 ：各点 p ∈ X にたいし，p中心とする正規座標系に関する体積密度

関数 ωp =√

det(gi j)が動径関数 ωp(x) = ω(d(p, x))となる．

強調和的 : 熱核が動径的関数; H(t, x, y) = H(t, d(x, y)).

• 強調和的 =⇒調和的．多様体が単連結ならば，強調和的⇐⇒調和的．• 調和 =⇒漸近的調和（共役点をもたない空間において）

(30)

5.3 定理 5の証明• ϕ∗t G(v, v) =

∫y∈X

(v log H(t, x, y)

)2 H(t, x, y) dv(y) (v ∈ TxX).

• (X, g)は単連結，調和的．よって強調和的．

v log H(t, x, y) = 1H(t,r)

∂H∂r (t, r) · (−〈v, u〉).

dv = Ω(r)dr dµS n−1(1).（Ωは x ∈ X の選び方によらない）

以上のことから

ϕ∗t G(v, v) =∫ ∞

0

1H(t, r)

(∂H∂r

(t, r))2

Ω(r) dr∫

u∈S n−1(1)〈v, u〉2dµS n−1(1)

=

∫ ∞

0

1H(t, r)

(∂H∂r

(t, r))2

Ω(r) dr · Vol(S n−1(1))n

.

右辺は v ∈ TxX に依らないことから，ϕ∗t G = C(t) gと書ける．（証明おわり）

(31)

5.3 相似定数 C(t)

• n C(t) = traceg(ϕ∗t G

)=

∫y∈X| gradx log H(t, x, y)|2H(t, x, y) dv(y)．

• 熱方程式より，| gradx log H(t, x, y)|2 =(∆x +

∂∂t

)log H(t, x, y)．

• 強調和性より，| gradx log H(t, x, y)| = | grady log H(t, x, y)|．

traceg(ϕ∗t G

)=

∫y∈X

(∆y +

∂

∂t

)log H(t, x, y) · H(t, x, y) dv(y)

=

∫y∈X∆y log H(t, x, y) · H(t, x, y) dv(y) +

∫y∈X

∂

∂tH(t, x, y) dv(y)

=

∫y∈X

log H(t, x, y) · ∆yH(t, x, y) dv(y) ←Damek-Ricci空間のとき成立

=∂

∂t

(−

∫y∈X

log H(x, t, y) · H(t, x, y) dv(y))

エントロピー(32)

5.4 例）n次元 Euclid空間の場合

• 熱核 : H(t, x, y) = (4πt)−n/2 exp(−|x − y|

2

4t

)• 相似定数 C(t) =

12t，エントロピーは n

2(log(4πt) + 1

)．• ϕt : (Rn, g0)→ (P(Rn),G)は調和写像ではない．

Li-Yau’s gradient estimate

(X, g)を Ricci曲率が非負の完備 Riemann多様体とする．このとき，熱方程式の解 u(t, x)は以下の不等式を満たす;

|∇u|2u2 +

1u∂u∂t≤ n

2t.(

=⇒ 1n

traceg(ϕ∗t G) ≤ 12t

)(33)