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PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO
Profa. Sachiko A. Lira
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Planejamento de Experimentos ou Delineamento de Experimentos Conjunto de ensaios estabelecido com critérios científicos e estatísticos.
Objetivo determinar a influência de diversas variáveis nos resultados de um dado sistema ou processo.
1 INTRODUÇÃO
Metodologia para elaboração de experimentos Proposta por Ronald A. Fisher (1935). Inicialmente aplicada a experimentos de agricultura.
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FASES DO PROJETO DE EXPERIMENTOS
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De acordo com o objetivo dos ensaios é possível:
determinar quais variáveis têm maior influência nos resultados;
atribuir valores às variáveis de maior influência de modo a otimizar os resultados;
atribuir valores às variáveis de maior influência de modo a minimizar a variabilidade dos resultados ;
atribuir valores às variáveis de maior influência de modo a minimizar a influência de variáveis não controláveis.
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Antes de começar a realizar os experimentos, os objetivos e os critérios devem estar bem claros, de modo a dar subsídios para a escolha:
das variáveis envolvidas nos experimentos;
da faixa de variação das variáveis selecionadas;dos níveis escolhidos para essas variáveis. No caso de muitos fatores,
é melhor escolher inicialmente dois níveis;
da variável de resposta;
do planejamento experimental. Nessa etapa, há que se considerar:
I) o tamanho da amostra (número de réplicas)
II) a seleção de uma ordem de realização dos experimentos
III) se há vantagem em fazer a blocagem dos experimentos
IV) dos métodos de análise dos resultados dos experimentos. Os méto-
dos estatísticos são usados para guiar uma tomada objetiva de
decisão.
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Variáveis de resposta (variáveis dependentes) São os parâmetros que serão medidos, avaliados pelo experimento.
Fatores controláveis (variáveis independentes) São aqueles parâmetros dos procedimentos metodológicos que serão estudados a vários níveis experimentais.
Fatores de ruído (variáveis intervenientes) São as variáveis que não podem ser controladas mas que afetam o experimento. São responsáveis pelo erro experimental (variabilidade).
• Vida útil da bateria função da marca• Tempo de execução de uma determinada atividade função do operador• Tempo para início de oxidação de certo metal função da umidade
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Fundamento da análise do planejamento de experimentos análise de variância (ANOVA)
conjunto de modelos em que a variação observada é dividida em componentes, devido a diversos fatores.
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2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Erro experimental ou erro estatístico variação de resultados de ensaio para ensaio. A existência deste erro caracteriza a variável de resposta como sendo uma variável aleatória.
Variável aleatória discreta se apresentar um número finito ou infinito enumerável de valores possíveis.
Variável aleatória contínua se apresentar-se dentro de um intervalo de valores.
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Definição 1: Seja E um experimento e S o espaço amostral associado ao experimento. Uma função X, que associa a cada elemento um número real , é denominada variável aleatória.
s
S
X )s(X
XR
Ss )s(X
Exemplo: Uma caixa contém 4 válvulas, sendo duas perfeitas e duas defeituosas.
Duas válvulas são retiradas aleatoriamente da caixa, com reposição, e testadas
(sendo representadas por D=defeituosa e P=perfeita). O espaço amostral associado
a este evento é:
S={PP,PD,DP,DD}
Seja a variável aleatória X=número de válvulas defeituosas. Os valores
possíveis valores da variável aleatória X serão:
}2,1,0{RX
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Definição 2: A variável aleatória X é chamada de discreta quando o seu
contradomínio é um conjunto finito ou infinito enumerável R...,x,x,x 321 tal que
Ss,,...x,x,x)s(X 321 .
Definição 3: A variável aleatória X é chamada de contínua quando o seu
contradomínio é um conjunto infinito.
Definição 4: Seja X uma variável aleatória discreta. A função p, denominada
de função de probabilidade da variável aleatória discreta X, associa um número
real )xX(P)x(p ii , chamado de probabilidade de ix , a cada possível resultado ix .
Sendo p uma função de probabilidade, tem-se que:
1)xX(P0 i
Sx
1)xX(P i
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Definição 5: Seja X uma variável aleatória continua. A função
densidade de probabilidade )x(f é uma função que satisfaz as seguintes
condições:
0)x(f para todo XRx
1)x(d)x(f
.
Definição 6: Seja X uma variável aleatória. A função de distribuição
acumulada ou de repartição de X é definida como
)xX(P)x(F
Se X for variável discreta, tem-se
)x(P)x(F ixxi
E, se X for variável aleatória continua, tem-se;
x
dx)x(f)xX(P)x(F
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2.2 ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
2.2.1 Esperança
A esperança matemática E(X), de uma variável aleatória continua X, com
função densidade de probabilidade )x(f , é definida por:
dx)x(fx)X(E
O valor esperado, expectância ou a esperança matemática E(X), de
uma variável aleatória discreta X, que é a média da distribuição, é definida por:
)xX(Px)X(E ii
1i
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Propriedades da Esperança Matemática
1. K)K(E , sendo k=constante
2. K)X(E)KX(E , sendo k=constante e X v.a.
3. )X(Ek)K.X(E
4. Sejam X e Y variáveis aleatórias. Então:
)Y(E)X(E)YX(E
5. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Então:
)Y(E.)X(E)Y.X(E
2.2.2 Variância
A variância da variável aleatória discreta X, representada por )X(V ou
2 , é definida por:
1iii
1iii
2 )xX(Px)x(P)X(Ex)X(EXE)X(V 222
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Se X é uma variável aleatória contínua, a variância, representada por
)X(V ou 2 , é definida por:
dx)x(f)x()X(V 22
Propriedades da Variância
1. 0)k(V , onde k=constante
2. )X(Vk)kX(V 2 onde k=constante e X variável aleatória
3. Sejam X e Y v.a. independentes. Então:
)Y(V)X(V)YX(V
4. Sejam X e Y v.a. não independentes (ou dependentes). Então:
)Y,X(COV2)Y(V)X(V)YX(V
)Y,X(COV2)Y(V)X(V)YX(V
onde )Y(E)X(E)XY(E)Y,X(COV (covariância)
Se as variáveis aleatórias não são independentes, tem-se que )Y(E)X(E)XY(E . Esta
diferença é chamada de covariância.
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Exemplos:
Seja X uma variável aleatória discreta que representa o número de peças defeituosas em cada 5 peças inspecionadas. Sabendo-se que a probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 20%, obtém-se a seguinte distribuição de probabilidade:
0 1 2 3 4 5
0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003ix)x(p i
Qual o valor esperado de X ( )X(E ) e a variância ( ))X(V ?
0003,050064,040512,032048,024096,013277,00)x(px)X(E ii
1i
1)X(E
n
1iii )x(P)X(Ex)X(EXE)X(V 22
0512,0)13(2048,0)12(4096,0)11(3277,0)10()X(V 2222
0003,0)15(0064,0)14( 22
0,7997)X(V
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Suponha que 25,0)x(f , para 4x0 . Determine a média e a variância.
dx)x(fx)X(E
2042
25,0
2
x25,0dxx25,0dx25,0x)X(E 22
24
0
4
0
4
0
dx)x(f)x()X(V 22
4
0
4
0
40
4
0
24
0
3222 x4
2
x4
3
x25,0dx)4x4x(25,0dx25,0)2x()X(V
33,1)X(V