Download - Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
1/32
Pertemuan ke-5
Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
2/32
Kalkulus
Turunan
Integral Tentu
limn
f x h f x f x
h
1
lim
b n
i i
P ia
f x dx f x x
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
3/32
Teorema A (Purcell, et all. page 249,2003):
Teorema Dasar Kalkulus Pertama
Anggaplah f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan anggaplah x sebagai sebuah titik peubah pada (a,b), maka :
x
a
d f t dt f x
dx
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
4/32
Proof :
lim
1lim
1lim
1lim
x
a
n
x h x
na a
x h
n
x
n
d f t dt G x
dx
G x h G x
h
f t dt f t dt h
f t dt
h
hf xh
f x
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
5/32
Teorema B (Purcell, et all. page 250,2003):
Sifat Perbandingan
Jika f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan jika f (x)≤ g(x) untuk semua x dalam [a,b], maka:
Dalam bahasa informal tetapi cukup deskriptif, kita mengatakan
bahwa integral tentu mempertahankan ketaksamaan.
b b
a a
f x dx g x dx
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
6/32
Proof :
Misalkan
Sebagai partisi sebarang dari [a,b] dan untuk tiap-tiap i anggaplah
sebagai titik sampel pada selang ke-i [xi-1 , xi], dapat disimpulkanbahwa :
1 1
1 1
lim lim
i i
i i i i
n n
i i i i
i i
n n
i i i i P P
i i
b b
a a
f x g x
f x x g x x
f x x g x x
f x x g x x
f x dx g x dx
0 1 2 3 4 1: n P a x x x x x x b
i x
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
7/32
Teorema C (Purcell, et all. page 250,2003):
Sifat Keterbatasan
Jika f terintegrasikan pada selang [a,b] dan jika m≤ f (x)≤ M untuksemua x dalam [a,b], maka:
b
a
m b a f x dx M b a
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
8/32
Proof :Perhatikan grafik berikut :
i x
b
a
m b a f x dx M b a
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
9/32
Teorema D (Purcell, et all. page 251,2003):Kelinearan Integral Tentu
Jika f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan k konstanta. Maka kf dam f + g terintegrasikan dan
b b
a a
b b b
a a a
b b b
a a a
i k f x dx k f x dx
ii f x g x dx f x dx g x dx
iii f x g x dx f x dx g x dx
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
10/32
Contoh :Anggaplah :
a. Jika y= A(x) , carilah dy/dx.
b. Carilah penyelesaian persamaan diferensial yang memenuhi y=0ketika x=1
c. Carilah
3
1
x
A x t dt
4
3
1
t dt
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
11/32
a. Berdasarkan teorema dasar kalkulus pertama
b. Persamaan diferensian dy/dx terpisah, sehingga
3dy
A x xdx
3
3
3
41
4
dy x
dx
dy x dx
y x dx
y x C
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
12/32
b. Ketika x=1, kita harus mempunyai :
sehingga :
dengan demikian, penyelesaian terhadap persamaan diferensial
menjadi :
1
3
1
1 0 y A t dt
4
4
1
4
10 1
4
1
4
y x C
C
C
41 1
4 4 y x
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
13/32
c. Berdasarkan jawaban (b) diperoleh bahwa :
maka :
41 1
4 4 y A x x
4
43
1
1 1 2554
4 4 4t dt A a
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
14/32
Teorema A (Purcell, et all. page 256,2003):Teorema Dasar Kalkulus Kedua
Anggaplah f kontinu (dan terintegrasikan) pada selang tertutup [a,b]dan anggaplah F sebarang antiturunan f pada [a,b], jadi
b
a
f x dx F b F a
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
15/32
Contoh 1:Perlihatkan bahwa
Penyelesaian :
Antiturunan F (x) adalah sebagai berikut :
Dengan demikian
b
a
k dx k b a
F x k dx kx
b
a
k dx F b F a kb ka k b a
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
16/32
Contoh 2:Perlihatkan bahwa
Penyelesaian :
Antiturunan F (x) adalah sebagai berikut :
Dengan demikian
2 2
2 2
b
a
b a x dx
21
2 F x x dx x
2 21 12 2
b
a
x dx F b F a b a
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
17/32
Purcell, et all. (page 259,2003):
Teorema Dasar Kalkulus Kedua dapat dituliskan dengan lambangsebagai berikut :
b
b
aa
f x dx f x dx
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
18/32
Contoh 3:Hitunglah
Penyelesaian :
Anggaplah u=x2
+x maka du=(2x+1) dx, jadi :
Dengan demikian
4
2
0
2 1 x x x dx
331
2 2 22 22 2
2 13 3
x x x dx u du u C x x C
443
2 2 2
00
3 32 22 2
2
2 1 3
2 24 4 0 0
3 3
59, 63
x x x dx x x C
C C
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
19/32
Contoh 4:Hitunglah
Penyelesaian :
Anggaplah u=sin 2x maka du=2 cos 2x dx, jadi :
Dengan demikian
43
0
sin 2 cos 2 x x dx
3 3 3
4 4
1 1sin 2 cos 2 sin 2 2 cos 2
2 2
1 1 1sin 2
2 4 8
x x dx x x dx u du
u C x C
4 43 4
00
4 4
1sin 2 cos 2 sin 2
8
1 1sin 2 sin 2 0
8 4 8
1
8
x x dx x C
C C
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
20/32
Teorema B (Purcell, et all. page 261,2003):Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral
Anggaplah f kontinu pada [a,b] maka terdapat suatu bilangan c antaraa dan b sedemikian rupa sehingga :
b
a
f t dt f c b a
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
21/32
Purcell, et all. (page 266,2003):Aturan substitusi untuk Integral Tentu
Andaikan g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan andaikan f kontinu pada daerah hasil dari g. Maka:
g bb
a g a
f g x g x dx f u du
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
22/32
Contoh 1Hitunglah
Penyelesaian :
Misalkan
Dengan demikian jika x=0, maka u=6 dan jika x=1 maka u=9, jadi
1
22
0
1
2 6
xdx
x x
2
2 6
2 2
2 1
11
2
u x xdu x dx
du x dx
du x dx
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
23/32
1 9
2 22
0 6
9
2
6
9
6
1 1 1
22 6
1 1
2
1 1
2
1 1 1
2 9 6
1 2 3
2 18
1
36
xdx du
u x x
duu
u
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
24/32
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
25/32
2
2
4 2
39
2
3
2
3
coscos 2
2 cos
2 sin
2 sin sin2 3
32 1
2
2 3
xdx u du
x
u du
u
sin cos
0 0 1
1 3
6 2 2
2 2
4 2 2
3 1
3 2 2
1 02
2 3 1
3 2 2
3 2 2
4 2 2
5 1 3
6 2 2
0 1
x x x
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
26/32
Purcell, et all. (page 267,2003):Teori Simetri
Jika f fungsi genap, maka :
Jika f fungsi ganjil, maka :
0
2
a a
a
f x dx f x dx
0
a
a
f x dx
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
27/32
Contoh 1Hitunglah
Penyelesaian :
Karena
Maka
MisalkanDengan demikian jika x=0, maka u= 0 dan jika x= π maka u= π /4, jadi
cos4
xdx
cos cos
4 4
x x
cos4
x f x fungsi genap
14
4 4
xu du dx du dx
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
28/32
0
4
0
4
0
4
0
cos 2 cos4 4
2 cos 4
8 cos
8 sin
8 sin sin 04
4 2
x xdx dx
u du
u du
u
sin cos
0 0 1
1 3
6 2 2
2 2
4 2 2
3 1
3 2 2
1 02
2 3 1
3 2 2
3 2 2
4 2 2
5 1 3
6 2 2
0 1
x x x
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
29/32
Contoh 2Hitunglah
Penyelesaian :
Karena
Maka
5 5
2
5 4
xdx
x
5
24
x f x fungsi ganjil
x
5 5
2
5
04
x dx x
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
30/32
Purcell, et all. (page 268,2003):Teori D
Jika f periodeik dengan periode p, maka :
b p b
a p a
f x dx f x dx
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
31/32
ContohHitunglah
Penyelesaian :
Karena
Maka
2
0
sin x dx
sin f x x periodik
2 2
0 0 0
0
0
sin sin sin sin sin
2 sin 2 cos
2 cos cos 0 4
x dx x dx x dx x dx x dx
x dx x
-
8/17/2019 Pertemuan Ke-5 ( Integral Tentu)
32/32