Download - Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
1/39
Kalkulus I
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
2/39
Pokok Bahasan
Sistem Bilangan Real
Pertaksamaan dan Nilai Mutlak
Fungsi Real Limit Fungsi
Kekontinuan Fungsi
Limit Tak Hingga
Bentuk tak tentu Limit FungsiAplikasi Turunan (Masalah maksimum,
minimum, laju, nilai ekstrim, kemonotonan,kecekungan, asimtotik, menggambar grafik)
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
3/39
Daftar Referensi
Martono, K.1999. Kalkulus.
Erlangga.Jakarta
Purcell, Edwin J. 2004. Kalkulus edisi 8.Erlangga. Jakarta
Leithod,L. 1996. The Calculus with
Analytic Geometry.Harper and RowPublisher. New York.
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
4/39
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
5/39
Sistem Bilangan Real
Sistem Bilangan : himpunan dari bilangan bilanganbeserta sifat2nya.
Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, }
Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, }
Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { ,-3,-2,-1,0,1,2,3, }
Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yangdinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q 0
Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidakdapat dinyatakan ke bentuk rasional
Himpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan
bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
6/39
Sistem Bilangan
Bil Real
Bil Rasional
Bil Bulat
Bil Asli
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
7/39
Bilangan Rasional dan Irrasional
Contoh bil rasional :
13 113, 25 ; 0, 044 desimal terputus
4 2502
0,6666....
3 desimal tak terputus, berulang28
2,54545....11
Contoh bil irrasional :
2 1, 4142135.....
3 1, 4422496.....desimal tak terputus tak berulang
3,1415926.....
e 2, 7182818.....
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
8/39
Sifat Bilangan Riil
1.Notasi dari himpunan bilangan riil adalah
dinyatakan sebagai garis lurus
x
dibacax(sembarang bilangan) anggota dari
Jika x dinyatakan sebagai suatu titik di garis
2.Urutan Pada Garis Bilangan Riil
Misalkan: x< y dibacaxberada di sebelah kiri y
atau x lebih kecil dari y x> y dibacaxberada di sebelah kanan y
atau y lebih kecil dari x
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
9/39
Sifat Urutan
Misalkan x, y, z
a. Trikhotomi : Jika x dan y suatu bilangan, maka
berlaku
x< y atau x = y ataux> y
1. b. Transitif: jikax< y dan y< z, makax< z
c. Penambahan: x< yx+z< y+z
d. Perkalian: untuk z bilangan positif , x< y xz< yz
untuk z bilangan negatif,x< y xz> yz
e. Relasi urutan dibaca kurang dari atau sama dengan
dibaca lebih dari atau sama dengan
x y y - x, positif atau nol
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
10/39
Sifat-sifat lain
Misalkan a,b,c , maka berlaku
a. Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc
b. Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc
c. Jika 0 < a < b, maka 1/a > 1/b
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
11/39
Selang Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.
Penulisan Himpunan Selang Grafik
{x| a < x < b} (a,b)
{x| a x < b } [a, b)
{x | a < x b } (a, b]
{x| a x b } [a, b]
{x | x b } (-, b]
{x | x < b } (-, b)
{x | a x } [a, +)
{x | a < x } (a, +)
a b
a b
a b
a b
b
b
a
a
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
12/39
Pertaksamaan
Bentuk Umum
Pertaksamaan :banyaksukuDCBA
xD
xC
xB
xA,,,;
)(
)(
)(
)(
Himpunan semua bilangan realxyang
memenuhi pertaksamaan (yaitu bila digantikan
ke pertaksamaan menghasilkan pernyataan
yang benar)
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
13/39
Prosedure Baku menyelesaikan
pertaksamaan adalah :
1. Ubahlah bentuk menjadi :
dengan P dan Q adalah suku banyak
2. Uraikan P dan Q atas faktor linear dan/ataukuadrat definit positif
3. Tentukkan tanda pertaksamaan pada garis
bilangan
4. Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan
dalam bentuk selang
0)(
)(
xQ
xP
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
14/39
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah
mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku.Himpunan bilangan real ini disebut juga
Himpunan Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan cara :0)(
)(
xQ
xP
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
15/39
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan
bentuk pembilangnya2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut padagaris bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang
muncul
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
16/39
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian53213 x
352313 x
8216 x48 x
84 x
8,4Hp =4 8
1
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
17/39
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian8462 x
248 x
248 x842 x
22
1
x
2,2
1
22
1
Hp
2
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
18/39
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian0352 2 xx
0312 xx
Titik Pemecah (TP) :21x dan 3x
3
++ ++--
21
3
Hp =
3,2
1
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
19/39
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian637642 xxx
xx 7642 6376 xxdan
4672 xx dan 6637 xx
4
109 x 010 xdan
9
10x 010 xdan
9
10x dan 0x
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
20/39
Hp =
,09
10,
09
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp =
9
10,0
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
21/39
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian13
2
1
1
xx
0
13
2
1
1
xx
0131
2213
xx
xx
5.
0
1313
xx
x
TP : -1,3
1, 3
3
++ ++--
-1
--
3
1
Hp =
3,
3
11,
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
22/39
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaianx
x
x
x
32
1
032
1
x
x
x
x
032
231
xx
xxxx
0
32
322 2
xx
xx
6.
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
23/39
Untuk pembilang 322 2 xx mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
-3 2
-- ++ --
,23,Hp =
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
24/39
Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari bilangan realx, ditulis |x|,
didefinisikan sebagai berikut :
;||
0,
0,
xbilax
xbilaxx
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
25/39
Sifat-sifat Nilai Mutlak
1. Untuk setiap bilangan realxberlaku
a) |x| 0
b) |x| = |- x|
c) - |x| x |x|
d) |x|2 = |x2| = x2
2. Untuk setiap bilangan realxdan y
berlaku :a) |x| = |y| x = y x2 = y2
b) |x y | = |y x |
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
26/39
Sifat-sifat Nilai Mutlak
3. Jika a 0, makaa) |x| a -a x a x2 a
b) |x| a x a atau x - a x2 a2
4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiapbilangan real x dan y berlaku :
a) |x + y| |x| + |y|
b) |xy| |x| + |y|
c) |x| - |y| |x y |
d) | |x| - |y| | |x y |
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
27/39
Sifat sifat nilai mutlak
5. Untuk setiap bilangan real x dan y
berlaku:
a) |xy| = |x| |y|
b) |x/y| = |x| / |y|; y 0
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
28/39
Pertidaksamaan nilai mutlak
Nilai mutlakx (|x|) didefinisikan sebagai
jarakx dari titik pusat pada garis bilangan,
sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
0,
0,
xx
xxx
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
29/39
Pertidaksamaan nilai mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
y
x
y
x
2xx
axaaax 0,
axaax 0, atau ax yx 22 yx
6. Ketaksamaan segitiga
yxyx
1
2
3
4
5
yxyx
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
30/39
Soal Latihan
5432 xx
22212
xx
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3232 xx
1
2
3
xx
x
1
24
2
4
3
122
x
x
x
x
5
23 xx6
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
31/39
FUNGSI
Definisi
Fungsi fadalah suatu aturan
korespodensi yang menghubungkan tiapobyekxdalam suatu himpunan (daerahasal) dengan sebuah nilai unik (tunggal)f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan
nilai yang disebut daerah hasil fungsitersebut.
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
32/39
Jenis jenis Fungsi
Fungsi linier
Fungsi kuadrat
Fungsi trigonometri
Fungsi eksponential
Fungsi logaritma
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
33/39
Fungsi linier
Fungsi linear memiliki gambar grafik
sebagai garis lurus. Notasinya adalah sbb:
y = f(x) = a1x + a0; a1 0
contoh : y = 4x + 3
a1 disebut gradien atau koefisien
kemiringan
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
34/39
Fungsi kuadrat
Grafik bentuk kuadrat berupa parabola,
dimana bentuk rumusnya adalh:
y = f(x) = a2x2 + a1x +a0; a2 0
Contoh : y = x2 4x + 3
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
35/39
Fungsi Eksponential
Persamaan umum fungsi eksponen :
y = f(x) = ax; a > 0, a 1
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
36/39
Fungsi Logaritma
Fungsi ligaritma didefinisikan dengan
persamaan :
y = f(x) = logax , a > 0 , a 1
Fungsi ini terdefiniskan untuk x > 0, dan
merupakan invers dari fungsi eksponen.
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
37/39
Operasi Fungsi
1. Jumlah dan Selisih
Misalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka :
(f + g) (x) = f(x) + g(x)(f g) (x) = f(x) g(x)
catatan :
Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan daridaerah asal f dan g
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
38/39
-
7/28/2019 Pertaksamaan..... Matimatika Dasar
39/39
Komposisi Fungsi
3. Komposisi fungsi bisa diibaratkan sebagai dua
fungsi yang berurutan artinya fungsi yang
kedua dioperasikan setelah setelah fungsiyang pertama bekerja.
Komposit g dengan f, dinyatakan oleh (gf)
Jadi (gf) (x) = g (f(x)) dan
(f g) (x) = f(g(x))