Download - Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULAT
Sifat konselasi dari penjumlahan
a+c = b+c
Bukti
(a+c)+(-c) = (b+c)+(-c)sifat penjumlahan pada kesamaan
a+(c+(-c)) = b+(c+(-c))sifat asosiatif penjumlahan
a+0 = b+0 invers penjumlahana = b
Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a+c=b+c maka a=b
Bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat yang satu positif dan lain negatif ?
Langkah 1.a x (b+(-b)) = a x 0 = 0
Invers penjumlahan dan perkalian bilangan cacah dengan nol
Langkah 2.a x (b+(-b)) = (a x b)+(a x (-b))
Sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan
Langkah 3.(a x b)+(a x (-b)) = 0 Sifat transitif dari kesamaan-
kesamaan pada langkah 1 dan 2Langkah 4.
(a x b)+(-(a x b))= 0Sifat invers penjumlahan
Langkah 5.(a x b)+(a x (-b))=(a x b)+(-(a x b))
Sifat transitif dari kesamaan-kesamaan pada langkah 3 dan 4
Langkah 6. a x (-b)= -(a x b)Sifat konselasi(penghapusan) dari penjumlahan
Karena perkalian bilangan-bilangan bulat bersifat komutatif ,
a x (-b)=(-b) x a dan a x (-b)= -(a x b)
maka
(-b) x a = -(a x b) = -(b x a)
jikaa = 0
maka0 X (-B)= -0 = 0
DAN(-B) X 0 = -(B X 0) = -0 = 0
Bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat negative ?
Langkah 1.
Langkah 2.
Langkah 3.
Langkah 4.
Langkah 5.
Langkah 6.
(-a) x (b+(-b)) = (-a) x 0 Sifat invers penjumlahan dan sifat perkalian bilangan bulat dengan nol
(-a) x (b+(-b)) = ((-a) x b) + ((-a) x (-b))Sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan
((-a) x b) + ((-a) x (-b)) = 0Sifat transitif dari kesamaan-kesamaan pada langkah 1 dan 2
-(a x b) + ((-a) x (-b)) = 0Perkalian bilangan bulat negative dan bilangan bulat positif pada langkah 3
(-(a x b) + (a x b) = 0Sifat invers penjumlahan
(-(a x b) + ((-a) x (-b)) = (-(a x b) + (a x b)Sifat transitif dari kesamaan-kesamaan pada langkah 4 dan 5Langkah 7.
(-a) x (-b) = a x bSifat kanselasi dari penjumlahan
Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dengan b ? 0, maka a:b = c bila dan hanya bila a = bc.
Mengingat bahwa (-a)(b) = (-ab) dan definisi di atas. maka
•-(ab) : a = (-b) dan•-(ab) : b = (-a) dan•-(ab) : (-a) = b dan•-(ab) : (-b) = a
Demikian pula karena (-a)(-b) = ab maka
ab : (-a) = (-b) danab : (-b) = (-a)
rumus-rumus definisi pembagian bilangan-bilangan bulat
((-a):b) x (b) = (-a)(a:(-b) x b = (-a)((-a):b) x (-b) = a(a:(-b)) x (-b) = a((-a) : (-b)) x b = a((-a) : (-b)) x (-b) = (-a)
Contoh soal.
Jika a,b,c,k,l, dan m adalah bilangan-bilangan bulat, maka buktikan
1. ((-a):b):(-c) = (a:c):b2. (-(abc):(-klm) = (a:k)(b:l)(c:m)
Jawaban:
1. ((-a):b):(-c) = (a:c):b kalimat pembagian
(a:c) terbagi
b pembagi
{((-a):b): (-c)} hasil pembagian
{((-a):b):(-c)}x (b x c) = a
Ki = {((-a):b) : (-c)} x b) x c
= {((-a):b) : (-c)} x (b x c) sifat asosiatif pembagian
= {((-a):b) : (-c)} x (c x b) sifat komutatif perkalian
= [{((-a):b) : (-c)} x c] x b sifat asosiatif perkalian
= (-((a):b)) x b definisi pembagian
= -((-a) : b) x b perkalian bilangan bulat
= -(-a)
= a
= Ka
URUTAN BILANGAN-BILANGAN BULAT
Definisi 1.2Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b ( a < b ) biila dan hanya bila ada bilangan positif c sedemikian hingga a+c=b
Definisi 1.3Jika a dan bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b ( a > b) bila dan hanya bila b < a.
Apabila a, b, c dan d bilangan bulat
a = b maka a + c = b + c a = b maka a x c = b x c a = b dan c = d maka a + c = b + d
a + c = b + c maka a = b a x c = b x c dengan c ? 0 maka a = b
Sifat 1.2
Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a<b bila dan hanya bila a+c < b+c. Bukti :
A. Dibuktikan jika a< b maka a+c = b+ca< b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hinggaa+k = b definisi “lebih kecil dari”(a+k) + c = b+c sifat penjumlahan dalam kesamaana + (k+c) = b+c sifat asosiatif penjumlahana + (c+k) = b+c sifat komutatif penjumlahan
(a + c) + k = b+c sifat asosiatif penjumlahana + c < b + c definisi “lebih kecil dari”
Dibuktikan jika a+c< b+c maka a< b.a+c< b+c berarti ada bilangan bulat positif p
sedemikian sehingga(a+c) + p = b+c definisi “lebih kecil
dari”a+ (c+p) = b+c sifat asosiatif
penjumlahana+ (p+c) = b+c sifat komutatif
penjumlahan(a+p) +c = b+c sifat asosiatif
penjumlahan{(a+p)+c}+(-c) = (b+c) + (-c)sifat
penjumlahan pada kesamaan(a+p)+(c+(-c)) = b+(c+(-c)) sifat asosiatif
penjumlahan(a+p) + U = b + U invers penjumlahana + p = ba < b definisi “lebih kecil dari”
Sifat 1.2dari pembuktian-pembuktian diatas terbukti
bahwa
a < b bila dan hanya bila a + c < b + c
Sifat 1.4Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan
bulat positif serta a x c < b x c maka a < b ,bukti :a x c < b x c(a x c) + (-(b x c))< (b x c) + (-(b x c)) sifat
kejumlahan pada ketidaksamaan(a x c) + (-(b x c))< 0 invers penjumlahan(a +(-b)) x c < 0 sifat distributive perkalian
terhadap penjumlahana +(-b)b < 0 c bilangan bulat positif(a +(-b)) + b < 0 + b sifat penjumlahan pada
ketidaksamaana + ((-b) + b) < b sifat asosiatif penjumlahana < b invers penjumlahan
Sifat 1.3 dan 1.4 dapat diringkas menjadi:
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif maka a< b bila dan hanya bila a x c < b x c.
Sifat 1.5
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negative serta a < b maka a x c = b x c
SIFAT 1.6
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negative serta a x c < b x c maka a < b
Sifat-sifat konselasi (penghapusan) pada ketidaksamaan:
Jika a+c < b+c maka a< cJika dan b bilangan-bilangan bulatdan c
bilangan bulat positif serta a x c < b x c maka a < c
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negative serta a x c < b x c maka a > b