PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN ADVEKSI-DIFUSI
MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Monica Paskalia
143114015
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN ADVEKSI-DIFUSI
MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Monica Paskalia
143114015
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
FINITE DIFFERENCE TECHNIQUE FOR THE ADVECTION-
DIFFUSION EQUATION
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by
Monica Paskalia
143114015
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tetaplah berdoa. Mengucap syukurlah dalam segala hal, sebab itulah yang
dikehendaki Allah di dalam Kristus Yesus bagi kamu.
1 Tesalonika 5:17-18 TB
Skripsi ini saya persembahkan untuk kedua orang tua tercinta,
Ir. Husindjaya Bunadi dan Jenawati
Serta kakak dan adik saya terkasih,
Maria Yasinta Adventiana dan Elisabeth Natalia Christie
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Persamaan adveksi-difusi satu dimensi merupakan model matematika
yang menggambarkan proses transportasi suatu zat yang dipengaruhi gaya
mekanik dan penyebaran sekaligus. Tujuan penyelesaian persamaan ini adalah
mencari tahu konsentrasi zat yang tersebar pada posisi dan waktu. Pada skripsi ini
akan dibahas bagaimana menyelesaikan persamaan adveksi-difusi menggunakan
metode beda hingga yang telah diberi faktor pembobot waktu dan faktor
pembobot ruang. Penyelesaian persamaan ini akan berbentuk skema eksplisit dan
skema implisit kemudian disimulasikan dalam MATLAB. Simulasi persamaan
adveksi-difusi satu dimensi ini akan dilakukan pada dua contoh yang sudah
diketahui memiliki penyelesaian analitis dan numeris.
Berdasarkan penelitian ini, model persamaan adveksi-difusi yang
memberikan hasil yang baik dan mudah adalah skema eksplisit. Skema implisit
yang diturunkan menjadi skema Crank-Nicolson juga memberikan hasil yang
baik. Namun demikian, skema Crank-Nicolson lebih rumit dalam perumusannya.
Kata kunci: Persamaan adveksi-difusi, skema eksplisit, skema implisit, pembobot
waktu, pembobot ruang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
The one dimensional advection-diffusion equation is a mathematical
model that describes the transport process of a substance that is influenced by
mechanical forces and dispersion at once. The purpose of solving this equation is
to find out the concentration of the dispersed substance in position and time. This
thesis discusses how to solve the advection-diffusion equation using finite
difference methods involving a time-weighting factor and space-weighting factor.
Solution of this equation will be in the forms of explicit scheme and implicit
scheme that are simulated in MATLAB. The simulation of this one-dimensional
advection-diffusion equation will be performed on two known instances of
analytic and numerical solutions.
Based on this research, the advection-diffusion equation model which
gives good and easily computed the result is an explicit scheme. The implicit
scheme that is derived into the Crank-Nicolson scheme also gives good results.
However, the Crank-Nicolson scheme is more complicated in its formulation.
Keywords: Advection-diffusion equation, explicit scheme, implicit scheme, time
weight, space weight
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena limpahan berkat kasih
dan karuniaNya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini
disusun sebagai salah satu syarat memperoleh gelar sarjana sains dari Program
Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
Penulis sadar bahwa dalam penyusunan skripsi ini, banyak pihak yang
telah terlibat dalam membantu penulis menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu,
penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi sekaligus dosen pembimbing skripsi.
2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., selaku Dosen Pembimbing Akademik.
4. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.,
Bapak Dr. rer. Nat. Herry P. Suryawan S.Si., M.Si., selaku dosen-dosen Prodi
Matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis
selama proses perkuliahan.
5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
berdinamika bersama selama penulis berkuliah.
6. Kedua orang tua, kakak dan adik yang telah mendukung saya selama proses
pengerjaan skripsi.
7. Kakak-kakak dan teman-teman: Mbak Ambar, Ce Inge, Kak Sorta, Kak
kristin, Mas Bowiel, Rico, Bowo, Ervan dan juga Keluarga Rumpita KKN
(Neira, Devina, Stevanus, Dhia, Ganang, Maya) yang telah membantu penulis
selama berkuliah, memberikan semangat, dukungan dan membuat hari-hari
penulis menjadi ceria.
8. Teman-teman Matematika 2014: Destika, Eka, Nando, Arista, Bella, Etri, Edo,
Dini, Efrem, Mega, Dewi, Wulan, Guruh, Inne dan teman-teman lainnya yang
telah berdinamika selama perkuliahan, selalu memberikan masukan dan juga
semangat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i
TITLE PAGE ..................................................................................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................ vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. vii
ABSTRAK ......................................................................................................... viii
ABSTRACT ....................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ....................................................................................... x
DAFTAR ISI ...................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................. 1
A. Latar Belakang Masalah .................................................................... 1
B. Rumusan Masalah .............................................................................. 3
C. Batasan Masalah ................................................................................ 3
D. Tujuan Penulisan ............................................................................... 3
E. Manfaat Penulisan ............................................................................. 3
F. Metode Penulisan .............................................................................. 3
G. Sistematika Penulisan ........................................................................ 4
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL
YANG TERKAIT............................................................................... 6
A. Turunan ............................................................................................... 6
B. Deret Taylor ........................................................................................ 7
C. Klasifikasi Persamaan Diferensial ..................................................... 9
D. Nilai eigen dan Vektor Eigen ............................................................ 12
E. Pendekatan Numeris Persmanaan Diferensial ................................... 15
F. Karakteristik Persamaan Diferensial Parsial ...................................... 22
G. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial .......................................... 24
H. Skema Eksplisit ................................................................................. 25
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
I. Skema Implisit ................................................................................... 27
J. Skema Crank-Nicolson ...................................................................... 28
BAB III METODE BEDA HINGGA .............................................................. 30
A. Solusi Eksak Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi .................... 30
B. Penurunan Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi ........................ 30
C. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Eksplisit ...................................... 34
D. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Implisit ....................................... 42
E. Penyelesaian Persamaan Adveksi-Difusi Menggunakan
Metode Beda Hingga .......................................................................... 51
BAB IV HASIL SIMULASI............................................................................. 54
A. Pembahasan Hasil ............................................................................... 54
B. Pengamatan Galat .............................................................................. 66
BAB V PENUTUP ......................................................................................... 70
A. Kesimpulan ........................................................................................ 70
B. Saran .................................................................................................. 70
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan dan
pembatasan masalah, tujuan dan manfaat penulisan, juga akan disertakan
sistematika penulisan.
A. Latar Belakang
Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan suatu
fungsi terhadap derivatif-derivatifnya. Persamaan diferensial dapat digunakan
untuk memodelkan berbagai permasalahan nyata. Dalam menyelesaikan per-
masalahan nyata yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas digunakanlah per-
samaan diferensial parsial. Salah satu bentuk persamaan diferensial parsial adalah
persamaan adveksi-difusi.
Persamaan adveksi-difusi merupakan suatu persamaan yang memuat sifat
persamaan adveksi dan persamaan difusi. Persamaan adveksi itu sendiri merupa-
kan suatu persamaan gelombang linear orde satu dan termasuk dalam persamaan
diferensial hiperbolik yang menggambarkan mekanisme transportasi suatu gas
atau zat cair dengan arah tertentu (LeVeque, 2004). Persamaan difusi adalah
persamaan diferensial parsial yang merupakan representasi perpindahan suatu zat
dalam pelarut dari bagian berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi
rendah tanpa dipengaruhi oleh kecepatan gerak fluida media (LeVeque, 2004).
Proses adveksi-difusi dapat dipahami secara terpisah ke dalam persamaan
adveksi dan persamaan difusi. Persamaan adveksi berbentuk (Duran, 2010):
0
x
uc
t
u, Lx 0 , Tt 0 . (1.1)
Persamaan difusi berbentuk (Duran, 2010):
2
2
x
uD
t
u
, Lx 0 , Tt 0 . (1.2)
Di sini t adalah variabel waktu, x adalah variabel ruang, c dan D adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
konstanta-konstanta positif, dimana c adalah kecepatan karakteristik dalam ruang
dan D adalah koefisien difusi. Lebih lanjut, L dan T adalah bilangan bulat
positif, dimana L adalah panjang domain ruang dan T adalah panjang domain
waktu, serta u adalah variabel terikat yang bergantung pada x dan t .
Persamaan adveksi-difusi digunakan untuk memodelkan proses trasportasi
dan sekaligus proses difusi. Persamaan ini digunakan untuk memprediksi perge-
rakan polutan di dalam air. Persamaan ini merupakan persamaan diferensial par-
sial yang bergantung pada variabel ruang dan variabel waktu. Persamaan ini juga
dipengaruhi oleh suatu kondisi batas yang tidak diketahui.
Persamaan adveksi-difusi yang akan dibahas dalam skripsi ini berbentuk
(Karahan, 2006 dan 2007):
2
2
x
uD
x
uc
t
u
, Lx 0 , Tt 0 , (1.3)
dengan kondisi awal
)()0,( xfxu , Lx 0 , (1.4)
dan kondisi batas
)(),0( tgtu , Tt 0 , (1.5.a)
)(),( thtLu , Tt 0 . (1.5.b)
Di sini f , g dan h adalah fungsi-fungsi yang diketahui.
Persamaan adveksi-difusi dapat diterapkan dalam berbagai masalah nyata
seperti memodelkan kualitas air, polusi udara, meteorologi, oseanografi dan ilmu
fisis lainnya. Dalam prakteknya, mencari solusi analitis permasalahan transportasi
dan proses difusi cukup sulit. Oleh karena itu, dilakukanlah pendekatan
menggunakan metode-metode numeris. Metode numeris merupakan salah satu
bagian dari ilmu matematika dimana masalah matematika diformulasikan
sedemikian sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika (Chapra dan
Chanale, 2010).
Metode numeris dalam skripsi ini digunakan untuk menyelesaikan per-
samaan diferensial. Untuk mencari penyelesaian numeris persamaan adveksi-
difusi akan digunakan metode beda hingga. Menurut para ahli, metode beda
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
hingga dianggap sebagai metode yang baik untuk menyelesaikan persamaan
adveksi-difusi karena memberikan hasil yang akurat dalam melakukan pendekatan
numeris (Karahan, 2006 dan 2007). Dalam mengaplikasikan metode beda hingga
akan digunakan perangkat lunak MATLAB.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana cara memodelkan transportasi dan proses difusi ke dalam per-
samaan adveksi-difusi?
2. Bagaimana menyelesaikan persamaan adveksi-difusi sesuai dengan syarat ba-
tas dan kondisi awal secara numeris dengan metode beda hingga?
C. Batasan Masalah
Masalah dalam skripsi ini akan dibatasi pada memodelkan persamaan ad-
veksi-difusi berdimensi satu. Selain itu akan dibahas penyelesaian numerisnya
sesuai dengan kondisi awal dan kondisi batasnya.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikan dan menganalisis
penyelesaian numeris persamaan adveksi-difusi berdimensi satu menggunakan
metode beda hingga.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah mengetahui cara
memodelkan persamaan adveksi-difusi dan penyelesaian numeris persamaan
adveksi-difusi untuk diterapkan dalam suatu permasalahan nyata.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi
pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal,
serta praktik komputer metode numeris.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
G. Sistematika Penulisan
Sistematika skripsi ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Metode Punulisan
E. Tujuan Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL YANG TERKAIT
A. Turunan
B. Deret Taylor
C. Klasifikasi Persamaan Diferensial
D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
E. Pendekatan Numeris Persamaan Diferensial
F. Karakteristik Persamaan Diferensial Parsial
G. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial
H. Skema Eksplisit
I. Skema Implisit
J. Skema Crank-Nicolson
BAB III METODE BEDA HINGGA
A. Solusi Eksak Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi
B. Penurunan Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi
C. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Eksplisit
D. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Implisit
E. Penyelesaian Persamaan Adveksi-Difusi Menggunakan Metode Beda
Hingga
BAB IV HASIL SIMULASI
A. Pembahasan Hasil
B. Pengamatan Galat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
PESAMAAN DIFERENSIAL DAN HAL-HAL YANG TERKAIT
Dalam bab ini akan dibahas mengenai turunan, klasifikasi persamaan
diferensial, pendekatan numeris persamaan diferensial dan karakteristik
persamaan adveksi-difusi.
A. Turunan
Dalam subbab ini akan dibahas mengenai definisi turunan dan contoh-contoh
penggunaan turunan.
Definisi 2.1.1 Turunan
Turunan fungsi f adalah fungsi lain 'f (dibaca “ f aksen”) yang nilainya
pada sebarang bilangan c adalah
h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
asalkan limit ini ada dan bukan atau .
Definisi 2.1.2 Definisi lain turunan
Jika diambil substitusi hcx sehingga cxh , saat 0h maka
cx . Turunan fungsi f di titik c
cx
cfxfcf
cx
)()(lim)('
Jika )(' cf ada, maka fungsi f dikatakan memiliki turunan di titik c .
Contoh :
Tentukan turunan di titik 2 dari fungsi 1)( 2 xxxf .
Penyelesaian:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
55lim
5lim
5144lim
)122()12)2((lim
)2()2(lim)2('
0
2
0
2
0
22
0
0
h
h
hh
h
hhh
h
hh
h
fhff
h
h
h
h
h
Teorema 2.1.3
Jika )(' cf ada, maka f kontinu di c .
Bukti dapat dilihat pada buku karangan Varberg dkk (2010) yang berjudul
Kalkulus (edisi kesembilan, jilid 1).
B. Deret Taylor
Kebanyakan dari metode-metode numeris yang diturunkan didasarkan
pada penghampiran fungsi ke dalam bentuk polinom. Fungsi yang berbentuk
kompleks akan menjadi lebih sederhana bila dihampiri dengan polinom, karena
polinom merupakan bentuk fungsi yang paling mudah untuk dipahami bentuknya.
Perhitungan dengan fungsi eksak akan menghasilkan solusi eksak sedangkan
perhitungan dengan menggunakan fungsi hampiran akan menghasilkan nilai
hampiran atau biasa disebut solusi numeris. Solusi numeris merupakan
pendekatan terhadap solusi eksak, sehingga terdapat galat sebesar selisih antara
solusi eksak dengan solusi hampiran. Galat pada solusi numeris harus
dihubungkan dengan seberapa teliti polinom menghampiri fungsi sebenarnya. Di
sini, untuk membuat polinom hampiran akan digunakan deret Taylor.
Definisi 2.2.1 Deret Taylor
Andaikan f dan semua turunannya, f , f , f , …, kontinu di dalam
selang ba, . Misalkan bax ,0 , maka untuk nilai-nilai x di sekitar 0x dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
bax , , )(xf dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor:
...)(!
)(...)(
!2
)()(
!1
)()()( 0
)(0
0
2
0
0
0
0
xfm
xxxf
xxxf
xxxfxf m
m
Persamaan di atas merupakan penjumlahan sari suku-suku (term), yang disebut
deret. Jika dimisalkan xxx 0 , maka )(xf dapat juga ditulis sebagai
...)(!
...)(!2
)(!1
)()( 0
)(
0
2
00
xfm
xxf
xxf
xxfxf m
m
Contoh:
Hampiri fungsi )sin()( xxf ke dalam deret Taylor di sekitar 10 x .
Penyelesaian:
Akan ditentukan turunan )sin(x terlebih dahulu sebagai berikut
)cos()(
),sin()(
),cos()(
),sin()(
)4( xxf
xxf
xxf
xxf
dan seterusnya.
Maka, dengan menggunakan definisi (2.2.1), )sin(x , dihampiri dengan deret
Taylor sebagai berikut:
...))1cos((!3
)1())1sin((
!2
)1()1cos(
!1
)1()1sin()sin(
32
xxx
x
bila dimisalkan xx 1 , maka diperoleh
...))1cos((!3
))1sin((!2
)1cos(!1
)1sin()sin(32
xxx
x
...0351.00901.04208.05403.08415.0 432 xxxx
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar 00 x , maka deretnya
dinamakan deret Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku. Suku-suku deret
Taylor tidak berhingga banyaknya, sehingga untuk alasan praktis, deret Taylor
dipotong sampai suku orde ke- n dinamakan deret Taylor terpotong dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
dinyatakan oleh:
)()(!
)(...)(
!2
)()(
!1
)()()( 0
)(0
0
2
0
0
0
0 xRxfn
xxxf
xxxf
xxxfxf n
nn
yang dalam hal ini,
)()!1(
)()( )1(
)1(
0 cfn
xxxR n
n
n
, xcx 0
disebut galat atau sisa (residu).
C. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Dalam subbab ini akan dibahas mengenai persamaan diferensial dan
klasifikasinya (Ross, 2004).
Definisi 2.3.1 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang melibatkan turunan
fungsi satu atau lebih variabel bebas dengan satu atau lebih variabel terikat.
Contoh :
0
2
2
2
dx
dyxy
dx
yd (2.3.1)
xdt
dy
dt
ydsin3
3
3
(2.3.2)
us
u
t
u
(2.3.3)
42
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u (2.3.4)
Definisi 2.3.2 Persamaan Diferensial Biasa
Sebuah persamaan diferensial yang melibatkan satu atau lebih variabel tak
bebas dan melibatkan tepat satu variabel bebas disebut persamaan diferensial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
biasa
Contoh:
Persamaan diferensial biasa terdapat pada persamaan (2.3.1) dan (2.3.2).
Persmaan (2.3.1) merupakan persamaan diferensial biasa dengan x adalah
variabel bebas dan y adalah variabel terikat. Persamaan (2.3.2) merupakan
persamaan diferensial biasa dengan t adalah variabel bebas dan y adalah variabel
terikat.
Definisi 2.3.3 Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial yang mengandung turunan parsial dari satu atau
lebih variabel tak bebas dengan melibatkan lebih dari satu variabel bebas disebut
persamaan diferensial parsial.
Contoh:
Persamaan (2.3.3) dan (2.3.4) adalah contoh persamaan diferensial parsial. Dalam
persamaan (2.3.3) variabel s dan t adalah variabel bebas dan u adalah variabel
terikat. Persamaan (2.3.4) terdapat tiga variabel bebas yaitu variabel x , y dan z ,
dalam persamaan ini u adalah variabel terikat.
Definisi 2.3.4 Tingkat Persamaan Diferensial (Orde)
Orde dari turunan tertinggi yang terlibat di dalam persamaan diferensial
disebut orde dari persamaan diferensial.
Contoh:
Persamaan diferensial (2.3.1) merupakan persamaan diferensial biasa berorde dua.
Persamaan (2.3.2) adalah persamaan diferensial biasa berorde tiga. Persamaan
(2.3.3) adalah persamaan diferensial parsial berorde satu dan persamaan (2.3.4)
adalah persamaan diferensial parsial berorde dua.
Definisi 2.3.5 Persamaan Diferensial Biasa Linear
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Sebuah persamaan diferensial biasa berorde n dikatakan linear, dengan
variabel terikat y dan variabel bebas x , adalah persamaan yang dapat dituliskan,
dalam bentuk
)()()(....)()( 11
1
10 xbyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa nnn
n
n
n
,
dimana 0a tidak sama dengan nol.
Contoh:
Kedua persamaan diferensial berikut adalah linear. Kedua persamaan diferensial
berikut memiliki variabel terikat y . Di sini dapat diperhatikan bahwa y dan
turunan-turunannya terjadi dengan pangkat satu saja dan tidak ada perkalian dari
y dan/atau turunan dari y .
0652
2
ydx
dy
dx
yd (2.3.5)
xxeydx
ydx
dx
yd 6
3
32
4
4
(2.3.6)
Definisi 2.3.6 Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear
Sebuah persamaan diferensial biasa dikatakan nonlinear jika persamaan
diferensial tersebut tidak linear.
Contoh :
Persamaan diferensial biasa berikut semuanya nonlinear
065 2
2
2
ydx
dy
dx
yd (2.3.7)
065
3
2
2
y
dx
dy
dx
yd (2.3.8)
0652
2
ydx
dyy
dx
yd (2.3.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Persamaan (2.3.7) nonlinear karena variabel tak bebas y muncul pada pangkat
kedua dalam bentuk 26y . Persamaan (2.3.8) nonlinier karena terdapat suku
3
5
dx
dy, yang melibatkan pangkat tiga pada turunan pertamanya. Persamaan
(2.3.9) nonlinear karena terdapat suku dx
dyy5 , dimana suku tersebut mengandung
perkalian dengan variabel tak bebas pada turunan pertamanya.
D. Nilai Eigen Dan Vektor Eigen
Dalam subbab ini akan dibahas mngenai nilai eigen dan vektor-vektor
eigen yang bersesuaian
Definisi 2.4.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen (Marjono, 2012)
Misalkan A matriks nn dengan entri-entri bilangan real. Skalar (real
atau kompleks) disebut nilai eigen dari A jika terdapat vektor tak nol x dalam ℝ
sedemikian sehingga
xx A (2.4.1)
Vektor x (tidak nol) disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai
eigen .
Untuk menentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks A ,
persamaan (2.4.1) dapat ditulis ke dalam bentuk xx IA atau xx AI dan
menghasilkan sistem persamaan homogen
0x )( AI , (2.4.2)
dengan I adalah matriks identitas nn (Marjono, 2012).
Contoh:
Diketahui matriks
32
54A , tunjukkan bahwa )2,5(1 x dan )1,1(2 x
adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan 21 dan 12 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Penyelesaian:
Dengan mengalikan 1x dengan A menghasilkan
2
52
4
10
2
5
32
541xA .
Ini berarti, 21 nilai eigen dari A dan )2,5(1 x vektor eigen yang bersesuaian
dengan nilai eigen 21 .
Teorema 2.4.1 Persamaan Karakteristik (Budhi,1995)
Bilangan real λ merupakan nilai eigen dari matriks A jika dan hanya jika
λ memenuhi persamaan karakteristik
0)det( IAIA .
Contoh:
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
.42
75
Penyelesaian:
Dibentuk matriks
42
75IA .
Dengan menggunakan teorema 2.4.1 diperoleh:
.6
)2)(7()4)(5(
42
75det
)det(
2
IAIA
Sehingga diperoleh persamaan karakteristik
062 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Jadi, matriks A mempunyai dua nilai eigen yaitu 21 dan 32 .
Menggunakan definisi (2.4.1), vektor eigen matriks A dapat dicari dengan
mensubstitusikan masing-masing nilai eigen ke persamaan (2.4.1). Untuk 21
0
0
22
77
y
x
Sehingga diperoleh vektor eigen
1
1
1y
xx yang berkaitan dengan 1 yaitu
111
1kx
dengan 01 k merupakan sebarang bilangan real. Menggunakan cara yang sama,
untuk 32 diperoleh vektor eigen
2
2
2y
xx yang berkaitan dengan 2 yaitu
222
7kx
, dengan 02 k merupakan sebarang bilangan real.
Definisi 2.4.2 Matriks Similar
Matriks A dan B yang berukuran nn disebut matriks similar jika dan
hanya jika ada matriks P yang tak singular sehingga berlaku
1 PAPB , (2.4.3)
Jika A similar terhadap B , matriks B similar terhadap matriks A . Dengan kata
lain, persamaan (2.4.3) dapat dituliskan ke dalam bentuk
BPPA 1 , (2.4.4)
Matriks A berukuran nn dapat didiagonalkan jika matriks tersebut similar
dengan suatu matriks diagonal.
Teorema 2.4.2 ( Matriks nn mempunyai n buah nilai eigen)
Jika matriks A berukuran nn mempunyai n buah nilai eigen yang
berbeda, matriks A dapat didiagonalkan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Matriks A pada contoh 2.4.1 merupakan contoh matriks 22 yang dapat
didiagonalkan karena memiliki dua nilai eigen yang berbeda. Lebih lanjut,
pembuktian teorema (2.4.2) dapat dilihat pada Budhi (1995).
E. Pendekatan Numeris Persamaan Diferensial
Dalam subbab ini akan dibahas mengenai penurunan numeris beserta
contoh dan penjelasan tiga pendekatan numeris dalam menghitung turunan
numeris yaitu hampiran beda maju, hampiran beda mundur dan hampiran beda
pusat.
Definisi 2.5.1
Turunan fungsi didefinisikan dengan
x
xfxxfxf
x
)()(lim)(
0
' .
Fungsi )(xf seringkali tidak dapat diturunkan secara langsung karena fungsi
)(xf tidak diketahui secara eksplisit, tetapi hanya diketahui beberapa titik saja.
Pada saat fungsi tidak diketahui secara eksplisit, maka turunan fungsi )(xf tidak
dapat diturunkan secara analitik. Meskipun bentuk fungsi )(xf diketahui secara
eksplisit tetapi dalam kasus lain bentuk fungsi )(xf terlalu rumit, sehingga terlalu
sulit untuk mencari fungsi turunannya. Contoh-contoh di bawah ini adalah fungsi-
fungsi yang sulit untuk diturunkan secara langsung:
i.
)cos(
2)sin(
)3tan()2cos()(
2
x
xex
xxxxf
x
ii. .)cos()2tan(
)4ln()(
2)22(
xx
xxexf
x
Perhitungan nilai turunan pada (i) dan (ii) dapat dilakukan dengan menggunakan
metode numeris. Nilai turunan yang akan diperoleh merupakan nilai hampiran
dengan nilai eror yang diharapkan sekecil mungkin.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Tiga pendekatan dalam menghitung turunan numeris
Misal diberikan nilai-nilai x di xx 0 , 0x , dan xx 0 , serta nilai
fungsi untuk nilai-nilai x tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah ),( 11 fx ,
),( 00 fx , dan ),( 11 fx , yang dalam hal ini xxx 01 dan xxx 01 .
Terdapat tiga pendekatan dalam menghitung nilai )( 0
' xf :
1. Hampiran beda maju
Diketahui fungsi )( 0xff . Turunan fungsi f di titik 0x dengan hampiran
beda maju adalah
x
ff
x
xfxxf
x
xfxxfxf
x
01
00
00
00
'
)()(
)()(lim)(
2. Hampiran beda mundur
Diketahui fungsi )( 0xff . Turunan fungsi f di titik 0x
dengan
hampiran beda mundur adalah
x
ff
x
xxfxf
x
xxfxfxf
x
10
00
00
00
'
)()(
)()(lim)(
3. Hampiran beda-pusat
Diketahui fungsi )( 0xff . Turunan fungsi f di titik 0x
dengan
hampiran beda pusat adalah
x
xxfxxfxf
x
)()(lim)( 00
00
'
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
x
ff
x
xxfxxf
2
)()(
11
00
Tafsiran geometri dari ketiga pendekatan di atas diperlihatkan pada Gambar 2.5.1
(a) (b)
(c)
Gambar 2.5.1. Tiga pendekatan dalam perhitungan numeris; (a) Hampiran beda
maju, (b) Hampiran beda mundur, (c) Hampiran beda pusat.
Penurunan Rumus Turunan Dengan Deret Taylor
Misalkan diberikan titik-titik ),( ii fx , ni ,....,2,1,0 , yang dalam hal ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
xixxi 0
dan
)( ii xff
Selanjutnya, akan dihitung )(' xf , yang dalam hal ini xsxx 0 , dengan ketiga
pendekatan yang sudah disebutkan di atas (maju, mundur, pusat)
1. Hampiran beda maju
Uraikan )( 1ixf di sekitar ix :
...)("!2
)()('
!1
)()()(
2
11
1
'
i
ii
i
ii
ii xfxx
xfxx
xfxf
..."2
'2
1
iiii fx
xfff (2.5.1)
..."2
'2
1
iiii fx
ffxf
..."2
' 1
i
ii
i fx
x
fff
)(' 1 xOx
fff ii
i
yang dalam hal ini, ),("2
)( tfx
xO
1 ii xtx .
Untuk nilai-nilai f di 0x dan 1x persamaan rumusnya menjadi:
)(010 xO
x
fff
(2.5.2)
yang dalam hal ini, ),("2
)( tfx
xO
10 xtx .
2. Hampiran beda mundur
Uraikan )( 1ixf di sekitar ix :
...)("!2
)()('
!1
)()()(
2
111
'
i
iii
iiii xf
xxxf
xxxfxf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
..."2
'2
1
iiii fx
xfff (2.5.3)
...2
2
1
iii fx
fffx
..."2
''2
1
iiii
i fx
fx
fff
),(' 1 xOx
fff ii
i
yang dalam hal ini, ),("2
)( tfx
xO
ii xtx 1 .
Untuk nilai-nilai f di 1x dan 0x persamaan rumusnya menjadi:
)(' 100 xO
x
fff
(2.5.4)
yang dalam hal ini, ),("2
)( tfx
xO
01 xtx .
3. Hampiran beda-pusat
Kurangkan persamaan (2.5.1) dengan persamaan (2.5.3) sehingga
diperoleh
...3
23
11
iiii fx
fxff
Atau dapat ditulis menjadi
...3
23
11
iiii fx
fffx
Kedua ruas dibagi dengan x2 sehingga diperoleh
...62
211
i
ii
i fx
x
fff
)(2
211 xOx
fff ii
i
,
Yang dalam hal ini, )(6
)(2
2 tfx
xO
, 11 ii xtx .
Untuk nilai-nilai f di 1x dan 1x persamaan rumusnya menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
)(2
2110 xO
x
fff
(2.5.5)
Dalam hal ini, )(6
)(2
2 tfx
xO
, 11 xtx menyatakan penurunan
numeris secara beda pusat yang memiliki tingkat keakuratan tingkat dua atau
ditulis )( 2xO . Perhatikan bahwa hampiran beda pusat lebih baik daripada dua
hampiran sebelumnya, sebab orde galatnya yaitu )( 2xO .
Rumus untuk Turunan Kedua, )(xf , dengan Bantuan Deret Taylor
1. Hampiran beda-pusat
Tambahkan persamaan (2.5.1) dengan persamaan (2.5.3) di atas:
...12
2)4(
42
11
iiiii fx
fxfff
...12
2)4(
42
11
iiiii fx
fxfff
)4(2
2
11
12
2i
iii
i fx
x
ffff
Jadi ,
)(2 2
2
11 xOx
ffff iii
i
yang dalam hal ini ),(12
)()4(
22 tf
xxO i
11 ii xtx .
2. Hampiran beda-mundur
Dengan cara yang sama seperti turunan kedua hampiran beda pusat di atas,
diperoleh:
)(
22
12 xOx
ffff iii
i
yang dalam hal ini ),()( tfxxO ii xtx 2 .
3. Hampiran beda-maju
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Dengan cara yang sama seperti turunan kedua hampiran beda pusat di atas,
diperoleh:
)(2
2
12 xOx
ffff iii
i
yang dalam hal ini ),()( tfxxO 2 ii xtx .
Menentukan Orde Galat
Dalam penurunan rumus turunan numeris dengan deret Taylor, rumus
galat dalam penurunan rumus turunan numeris dapat langsung diperoleh. Akan
tetapi dengan polinom interpolasi harus dicari rumus galat tersebut dengan
bantuan deret Taylor.
Contoh:
Tentukan rumus galat dan orde dari rumus turunan numeris hampiran beda-pusat:
Ex
ffxf
2)( 11
0
Nyatakan E (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan dengan
deret Taylor di sekitar 0x :
)(
),(6
...6
...6
...3
22
1
...62
...62
2
1
2
)()(
2
11
2
0
2
0
2
00
0
3
00
0
3
0
2
00
0
3
0
2
00
0
110
xO
xtxtfx
fx
fx
ff
fx
fxx
f
fx
fx
fxf
fx
fx
fxf
xf
x
ffxfE
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Jadi, hampiran beda-pusat memilik ),(6
2
tfx
E
11 xtx , dengan orde
)( 2xO .
Untuk lebih lengkapnya, dapat dilihat pada buku Munir (2008) yang berjudul
Metode Numerik.
F. Karakteristik Persamaan Diferensial Parsial
Bentuk umum persamaan diferensial parsial tingkat satu dengan dua
variabel bebas adalah
0),,,,( yx uuuyxF (2.6.1)
dimana F merupakan fungsi argumennya, ),( yxuu fungsi yang tidak diketahui
dengan x dan y merupakan variabel bebas yang berada di dalam domain D di
2R , x
uux
dan
y
uu y
. Persamaan (2.6.1) dapat ditulis ke dalam bentuk
berikut
),,(),,(),,( uyxcuuyxbuuyxa yx (2.6.2)
atau dapat ditulis menjadi
0),,(),,(),,( uyxcuuyxbuuyxa yx (2.6.3)
dimana a , b , dan c merupakan koefisien fungsi dari x , y , dan u . Misalkan
persamaan (2.6.3) memiliki solusi berbentuk ),( yxuu atau secara implisit
berbentuk
0),(),,( uyxuuyxf (2.6.4)
Menggambarkan permukaan solusi (solution surface) di ruang ),,( uyx .
Persamaan (2.6.4) juga sering disebut permukaan integral (integral surface) dari
persamaan (2.6.3). Pada titik ),,( uyx pada solusi permukaan, vektor gradien
)1,,(),,( yxuyx uuffff merupakan vektor normal terhadap solusi
permukaan. Persamaan (2.6.3) dapat ditulis menjadi perkalian titik dari dua vektor
0)1,,(),,( yxyx uucbacbuau . (2.6.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Di sini, vektor ),,( cba menunjukkan vektor singgung dari permukaan integral
(2.6.4) pada titik ),,( uyx . Oleh karena itu ),,( cba merupakan arah bidang yang
disebut arah karakteristik (characteristic direction).
Gambar 2.6.1. Vektor singgung dan vektor normal dari solusi permukaan di titik
),,( uyx
Sebuah kurva di bidang ),,( uyx , dimana setiap garis singgungnya berhimpit
dengan setiap titik pada bidang arah karakteristik ),,( cba disebut kurva
karakteristik (characteristic curve). Jika parameter dari kurva karakteristik yaitu
)(txx , )(tyy , )(tuu ,
maka vektor garis singgung kurvanya adalah
dt
du
dt
dy
dt
dx,, yang harus sama
dengan ),,( cba . Sehingga diperoleh persamaan diferensial biasa dengan kurva
karakteristik berikut:
),,( uyxadt
dx , ),,( uyxb
dt
dy , ),,( uyxc
dt
du . (2.6.6)
Persamaan (2.6.6) disebut persamaan karakteristik dari persamaan (2.6.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Teorema 2.6.1
Solusi umum persamaan diferensial tingkat satu
),,(),,(),,( uyxcuuyxbuuyxa yx (2.6.7)
adalah
0),( f , (2.6.8)
dimana f merupakan sebarang fungsi dari ),,( uyx dan ),,( uyx , dan 1c
dan 2c merupakan kurva solusi dari persamaan karakteristik
c
dz
b
dy
a
dx . (2.6.9)
Kurva solusi didefinisikan dengan 1),,( cuyx dan 2),,( cuyx disebut
bagian dari kurva karakteristik persamaan (2.6.7). Bukti dapat dilihat pada
Debnath (2012).
G. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial linear orde dua dapat dituliskan ke dalam
bentuk umum yaitu
02
2
2
2
2
D
yx
uC
y
uB
x
uA (2.7.1)
Di sini A , B , dan C merupakan fungsi dari x dan y dan D merupakan fungsi
dari x , y , u , x
u
, dan
y
u
. Bergantung pada nilai koefisien turunan kedua suku
A , B , C , persamaan (2.6.1) dapat diklasifikasikan ke dalam tiga kategori yaitu
ACB 42 Kategori Contoh
0 Eliptik
Persamaan Laplace (dalam ruang dua dimensi)
02
2
2
2
y
T
x
T
0 Parabolik Persamaan konduksi panas (variabel waktu
dalam ruang satu dimensi)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
2
2
x
Tk
t
T
0 Hiperbolik
Persamaan gelombang (variabel waktu dalam
ruang satu dimensi)
2
2
22
2 1
t
y
cx
y
1. Persamaan Diferensial Parsial Eliptik
Persamaan diferensial eliptik secara khusus digunakan untuk
menggambarkan sistem yang steady. Seperti pada persamaan Laplace, yang
menunjukkan ketidakadaan turunan terhadap waktu. Persamaan ini digunakan
untuk menentukan distribusi yang steady dari sesuatu yang tidak diketahui pada
ruang dua dimensi.
2. Persamaan Diferensial Parsial Parabolik
Persamaan diferensial parsial parabolik menentukan bagaimana sesuatu
yang tidak diketahui berubah terhadap ruang dan waktu. Persamaan ini
menunjukkan adanya turunan spasial dan temporal dalam persamaan konduksi
panas. Kasus dalam persamaan diferensial parsial parabolik disebut sebagai
masalah propagasi karena solusi menyebar atau berubah pada waktunya.
3. Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik
Persamaan diferensial parsial hiperbolik juga berhubungan dengan
masalah propagasi. Perbedaan persamaan diferensial parsial hiperbolik dengan
parabolik yaitu bagian yang tidak diketahui dicirikan oleh turunan kedua terhadap
waktu. Sebagai akibatnya, solusi akan berosilasi.
H. Metode Beda Skema Eksplisit
Diketahui persamaan konduksi panas berbentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
t
T
x
Tk
2
2
(2.8.1)
Persamaan panas memerlukan turunan pertama untuk pendekatan terhadap waktu
t dan turunan kedua untuk pendekatan terhadap ruang x . Dengan menggunakan
hampiran beda maju untuk pendekatan waktu diperoleh
T
TT
t
Tn
i
n
i
1
(2.8.2)
dengan orde galat tingkat satu yaitu )( tO . Untuk pendekatan ruang, akan
digunakan turuan kedua beda pusat yaitu
2
11
2
2 2
x
TTT
x
Tn
i
n
i
n
i
(2.8.3)
dengan orde galat tingkat dua yaitu )( 2xO .
Dengan mensubstitusi persamaan (2.8.2) dan (2.8.3) ke persamaan (2.8.1)
diperoleh
t
TT
x
TTTk
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
1
2
11 2 (2.8.4)
atau dapat ditulis menjadi
)2( 11
1 n
i
n
i
n
i
n
i
n
i TTTTT
(2.8.5)
dimana 2x
tk
.
Persamaan (2.8.5) dapat merupakan skema eksplisit untuk menghitung
nilai pada setiap titik pada ruang untuk waktu mendatang berdasarkan waktu
sekarang dan sekitarnya. Pendekatan ini merupakan perwujudan metode Euler
untuk memecahkan sistem persamaan diferensial biasa. Dengan kata lain, jika kita
mengetahui distribusi suhu sebagai fungsi posisi pada waktu awal, kita dapat
menghitung distribusi suhu pada waktu mendatang berdasarkan persamaan
(2.8.5).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Gambar 2.8.1. Molekul komputasi skema eksplisit persamaan (2.8.5)
I. Metode Implisit
Perbedaan paling mendasar antara pendekatan eksplisit dan implisit dapat
dilihat pada Gambar 2.9.1.
a. Eksplisit b. Implisit
Gambar 2.9.1. Molekul komputasi perbedaan metode eksplisit dan impisit
Dalam persamaan eksplisit, pendekatan ruang dan waktu berada pada tingkat n
(Gambar 2.9.1a). Dalam metode implisit, pendekatan ruang aproksimasi
dilakukan pada tingkat waktu 1n . Sebagai contoh, turunan kedua akan didekati
oleh (Gambar 2.9.1.b)
2
1
1
11
1
2
2 2
x
TTT
x
Tn
i
n
i
n
i
(2.9.1)
yang merupakan pendekatan dengan keakuratan tingkat dua. Ketika persamaan
tersebut disubstitusi ke persamaan diferensial parsial asli, hasil turunan
persamaannya akan mengandung beberapa nilai yang tidak diketahui. Persamaan
tersebut tidak dapat diselesaikan secara eksplisit seperti sebelumya dan diperlukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
operasi aljabar sederhana. Untuk mengilustrasikannya, diberikan persamaan
berbentuk
t
TT
x
TTTk
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
1
2
1
1
11
1 2 (2.9.2)
atau dapat ditulis menjadi
n
i
n
i
n
i
n
i TTTT
1
1
11
1 )21( (2.9.3)
dimana 2x
tk
. Persamaan ini berlaku untuk semua kecuali node interior
pertama dan terakhir, yang harus dimodifikasi untuk menggambarkan kondisi
batas. Untuk kasus dimana tingkat suhu di akhir diberikan, kondisi batas ujung
kiri ruang 0i dapat dituliskan menjadi
)( 1
0
1
0
nn tfT (2.9.4)
dimana )( 1
0
ntf adalah fungsi untuk mendeskripsikan bagaimana batas suhu
berubah terhadap waktu.
Substitusi persamaan (2.9.4) ke persamaan (2.9.3) sehingga node interior pertama
)1( i berbentuk:
)()21( 1
01
1
2
1
1
nnnn tfTTT . (2.9.5)
Sehingga untuk titik interior terakhir )( mi diperoleh
)()21( 1
1
11
1
n
m
n
m
n
m
n
m tfTTT , (2.9.6)
dimana )( 1
1
n
m tf yang menggambarkan perubahan suhu yang ditentukan di
ujung kanan ruang.
J. Metode Crank-Nicolson
Metode Crank-Nicolson merupakan sebuah alternatif dari skema implisit
yang memiliki keakuratan tingkat dua pada ruang dan waktu. Untuk mendapatkan
akurasi tersebut, pendekatan perbedaan didapatkan pada titik tengah dari selisih
waktu. Ilustrasi metode Crank-Nicolson dapat dilihat pada Gambar 2.10.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Gambar 2.10.1. Molekul komputasi metode Crank-Nicolson
Untuk mendapatkan pendekatan tersebut, turunan pertama sementara dapat
diaproksimasi pada 2/1nt dengan
t
TT
t
Tn
i
n
i
1
. (2.10.1)
Turunan kedua pada ruang dapat didefinisikan pada titik tengah dengan
merata-rata pendekatan pada awal nt dan akhir
1nt dari kenaikan waktu
2
1
1
11
1
2
11
2
2
)(
2
)(
2
2
1
x
TTT
x
TTT
x
Tn
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i (2.10.2)
Substitusikan persamaan (2.10.1) dan (2.10.2) ke persamaan (2.8.1) sehingga
diperoleh
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i TTTTTT 11
1
1
11
1 )1(2)1(2
(2.10.3)
dimana 2x
tk
. Kondisi batas )( 1
0
1
0
nn tfT dan )( 1
1
1
1
n
m
n
m tfT dapat
digunakan untuk menurunkan persamaan (2.10.3) untuk node pertama dan node
terakhir. Untuk node pertama
)()1(2)()1(2 1
0210
1
2
1
1
nnnnnn tfTTtfTT (2.10.4)
dan untuk node terakhir
)()1(2)()1(2 1
111
11
1
n
m
n
i
n
i
n
m
n
m
n
m tfTTtfTT . (2.10.5)
Persamaan (2.10.3) sampai dengan persamaan (2.10.5) sedikit lebih rumit
daripada persamaan (2.9.3), (2.9.5) dan (2.9.6), persamaan ini juga tridiagonal dan
karenanya efisien untuk diselesaikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
BAB III
METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN ADVEKSI-
DIFUSI
Dalam bab ini akan dijelaskan metode beda hingga yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan adveksi-difusi dalam bentuk skema eksplisit dan skema
implisit.
A. Solusi Eksak Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi
Solusi eksak yang akan digunakan dalam perhitungan simulasi numeris
pada MATLAB berbentuk (Karahan, 2006 dan 2007):
t
tx
ttxu
04.000125.0
)5.0(exp
02.0000625.0
025.0),(
2
dengan domain 10 x dan 10 t . Nilai-nilai parameter yang digunakan
adalah 01.0D m2/s, 1c m/s.
Bentuk kedua solusi eksak yang akan digunakan dalam perhitungan numeris
adalah:
)14(
)(exp
14
1),(
2
0
tD
ctxx
ttxu
dengan domain 90 x dan 50 t . Nilai-nilai parameter yang akan
digunakan adalah 005.0D m2/s, 8.0c m/s. Di sini 0x merupakan titik tengah
pulsa Gaussian.
B. Penurunan Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi
Dalam bab ini akan dibahas mengenai penurunan persamaan adveksi,
persamaan difusi dan persamaan adveksi-difusi satu dimensi berdasarkan hukum
kekekalan massa.
a. Hukum Kekekalan Massa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Dalam menurunkan persamaan hukum kekekalan massa, notasi yang akan
digunakan yaitu x menyatakan variabel jarak, t menyatakan variabel waktu.
Sedangkan untuk menyatakan konsentrasi polutan dan kecepatan pada posisi x
dan waktu t adalah ),( txu dan ),( txc . Terdapat beberapa asumsi yang digunakan
untuk menurunkan persamaan hukum kekekalan massa. Pertama, diasumsikan
aliran berada dalam dimensi satu dan hanya melibatkan variabel ruang x saja
pada waktu t . Kedua, diasumsikan aliran tenang tanpa gangguan dari luar dan
kecepatan diabaikan. Ketiga, diasumsikan tempat air kedap atau tertutup rapat.
Oleh karena itu, karena massa adalah kekal, maka massa hanya akan berubah
karena aliran bergerak melewati titik 1x dan 2x . Massa total pelacak kimia pada
selang 21, xx pada waktu t dapat dinyatakan dengan
dxtxuMx
x2
1
),( . (3.2.1)
Perubahan massa pada 21, xx diberikan dengan perbedaan flux pada 21, xx .
Misal )(tFi adalah posisi pelacak melewati titik ix untuk 2,1i . Saat 0)( tFi
berarti pelacak mengalir ke kanan. Saat 0)( tFi berarti pelacak mengalir ke kiri,
untuk setiap )(tFi dalam satuan gram per detik. Perubahan massa pada 21, xx
berubah hanya saat flux melewati 1x dan 2x , diberikan oleh
2
1
)()(),( 21
x
xtFtFdxtxu
dt
d. (3.2.2)
Laju aliran yang melalui setiap titik ),( tx yang merupakan hasil kali massa jenis
),( txu dan kecepatan ),( txc disebut fluks massa, yaitu:
Flux massa ),(),( txutxc . (3.2.3)
Di sini, kecepatan menggambarkan seberapa cepat partikel yang bergerak
melewati titik x , dan massa jenis u menggambarkan berapa banyak partikel
kimia yang terkandung dalam aliran di setiap x . Berarti ),( txc adalah fungsi
yang diketahui, sehingga persamaan (3.2.3) dapat dinyatakan menjadi
Flux massa .),(),,( utxctxuf (3.2.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Karena nilai flux )(uf bergantung pada nilai u , maka persamaan (3.2.2) dapat di
tulis menjadi
2
1
)),(()),((),( 21
x
xtxuftxufdxtxq
dt
d (3.2.5)
2
1
)),((x
xtxuf
Jika u dan f adalah fungsi yang terdiferensial maka persamaan (3.2.5) dapat
ditulis menjadi
2
1
2
1
)),((),(x
x
x
xdxtxuf
xdxtxu
dt
d, (3.2.6)
atau
2
1
2
1
0)),((),(x
x
x
xdxtxuf
xdxtxu
dt
d, (3.2.7)
dengan menggunakan sifat integral tentu, persamaan (3.2.7) dapat ditulis menjadi
2
1
0)),((),(x
xdxtxuf
xdxtxu
t. (3.2.8)
Persamaan (3.2.8) mengakibatkan integran 21, xx harus sama dengan nol,
sehingga persamaan (3.2.8) menjadi
0)),((),(
txuf
xdxtxu
t. (3.2.9)
atau dapat dituliskan menjadi
0)( xt ufu (3.2.10)
Persamaan (3.2.10) disebut persamaan hukum kekekalan massa.
b. Persamaan Adveksi
Dalam proses adveksi, diandaikan sebuah aliran yang terbatas mengalir
dengan kecepatan aliran konstan, seperti diilustrasikan pada Gambar 3.2.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Gambar 3.2.1. Aliran sempit mengalir dengan kecepatan konstan
Andaikan terdapat sebuah polutan dalam aliran dan polutan tersebut terbawa ke
hilir tanpa adanya proses difusi sedikitpun. Berarti, kecepatan ),( txc adalah
konstan. Flux massa pada persamaan (3.2.4) dapat ditulis menjadi
Flux massa cuuf )( (3.2.11)
dari persamaan (3.2.10) diperoleh
.0)( xt cuu (3.2.12)
Persamaan (3.2.12) disebut persamaan adveksi atau persamaan gelombang satu
arah.
c. Persamaan Difusi dan Persamaan Adveksi-Difusi
Gambar 3.2.2. Ilustrasi kepekatan polutan
Dalam proses difusi, diandaikan fluida dalam pipa tidak mengalir dan
mempunyai kecepatan nol. Jika kecepatan sama dengan nol mengakibatkan
0tu dan konsentrasi polutan tidak berubah terhadap waktu. Namun, jika
konsentrasi polutan tidak konstan pada dimensi ruang, maka pada kenyataannya
konsentrasi polutan harus cenderung berubah yang disebabkan oleh dinamika
molekul difusi. Molekul individu bergerak menyebar ke arah yang berbeda, dan
juga molekul zat yang dilacak akan cenderung menyebar di air seperti
Pembatas aliran
Sumbu-
Pembatas aliran
Kecepatan Aliran
Arah aliran
polutan
Pompa Air
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
menyebarnya tinta dalam air. Hukum Fick tentang difusi menyatakan bahwa fluks
bersih sebanding dengan gradien dari u , di dalam ruang satu dimensi merupakan
turunannya xu . Pada titik ini, flux pada posisi x bergantung pada nilai xu jika
dibandingkan dengan nilai u , sehingga dapat dinyatakan dengan
Flux dari xx Duufu )( . (3.2.13)
Persamaan (3.2.13) diketahui sebagai Hukum Fick (Hukum Pertama Fick tentang
Difusi) dimana D merupakan koefisien difusi. Menggunakan flux (3.2.13)
persamaan (3.2.11) menjadi
xxt Duu , (3.2.14)
persamaan (3.2.14) merupakan persamaan difusi.
Secara umum, contoh fluida yang mengalir akan dipengaruhi proses
adveksi dan difusi secara bersamaan seperti dilustrasikan pada Gambar 3.2.2,
sehingga nilai fluksnya menjadi xx Ducuuf ),( dan menghasilkan persamaan
adveksi-difusi
xxxt Ducuu . (3.2.15)
C. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Eksplisit
Pada bagian ini akan dibahas mengenai persamaan adveksi-difusi dengan
metode beda hingga dalam skema eksplisit.
Persamaan adveksi-difusi satu dimensi yang bersifat parabolik adalah
2
2
x
uD
x
uc
t
u
, Lx 0 , Tt 0 ,
dengan kondisi awal
)()0,( xfxu , Lx 0 ,
dan kondisi batas
)(),0( tgtu , Tt 0 ,
)(),( thtLu , Tt 0 .
Solusi dari persamaan adveksi-difusi dapat digambarkan ke dalam bentuk suatu
jarak yang saling menghubungkan dari sebuah grid. Misalkan langkah ruang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
didiskritisasi dengan membuat grid pada domain sepeti tampak pada Gambar
3.3.1.
Gambar 3.3.1. Ilustrasi diskritisasi langkah ruang
Banyaknya langkah untuk ruang dinotasikan dengan M dengan M
dan indeks i digunakan untuk menunjukkan langkah ruang dengan
Mi ,,2,1,0 . Langkah ukuran ruang dinotasikan dengan M
Lx . Jadi, untuk
setiap koordinat ruang xixi , Mi ,,2,1,0 .
Gambar 3.3.2. Ilustrasi diskritisasi langkah ruang dan langkah waktu
Begitu juga untuk waktu, jumlah langkah untuk waktu adalah N dengan
N . Langkah ukuran ruang dinotasikan N
Tt , sehingga untuk nt waktu,
tntn Ntn ,,2,1,0 . Langkah waktu dan langkah ruang diilustrasikan dalam
sebuah grid yang ditunjukkan pada Gambar 3.3.2 dan dapat ditulis menjadi
nini utxu ,),( . Selengkapnya, diskritisasi langkah ruang dan langkah waktu dapat
.... LxM 1x00 x1Mx
x
tt 1
00 t
tt 22
tt 33
tt 44
LxM 1x00 x1Mx
x
....
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
dilihat pada buku Thomas (1998) yang berjudul Numerical Partial Differential
Equations: Finite Difference Methods.
Dalam menyelesaikan persamaan adveksi-difusi skema eksplisit akan
dipertimbangkan pendekatan dari turunan persamaan adveksi-difusi yang
menggabungkan bobot waktu . Konsentrasi dan kecepatan dinotasikan dengan
),( niu dan ),( nic . Dipilih beda-maju untuk mendiskritisasi langkah waktu t
u
sehingga diperoleh:
t
niuniu
t
u
),()1,(. (3.3.1)
Pendekatan terhadap langkah ruang x
u
dan
2
2
x
u
akan didiskritisasi dengan
turunan pertama dan turunan kedua beda pusat. Turunan pertama beda pusat x
u
dapat diaproksimasi dengan mengambil setengah beda mundur pada waktu 1nt
x
niuniu
x
u
)1,1()1,(
dan mengambil setengah beda maju pada waktu nt
x
niuniu
x
u
),(),1(.
Sehingga diperoleh pendekatan untuk x
u
yaitu
x
niuniu
x
niuniu
x
u
2
),(),1(
2
)1,1()1,(
atau dapat ditulis menjadi
),(),1()1,1()1,(2
1niuniuniuniu
xx
u
.
Jika kedua ruas dikali dengan ),( nic diperoleh
),(),1()1,1()1,(2
1niuniuniuniu
xc
x
uc
.
(3.3.2)
Turunan kedua beda pusat. 2
2
x
u
dapat diaproksimasi dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
22
2
)(
),1(),(2),1(
x
niuniuniu
x
u
atau secara lebih akurat
22
2
)(
),(),1()1,()1,1(
x
niuniuniuniu
x
u
.
Sehingga pendekatan 2
2
x
u
dapat ditulis menjadi
),1(),(2),1()(
)1(
),(),1()1,()1,1()(
2
22
2
niuniuniux
D
niuniuniuniux
Dx
uD
(3.3.3)
dimana merupakan faktor bobot. Substitusikan (3.3.1), (3.3.2) dan (3.3.3) ke
persamaan adveksi-difusi satu dimensi sehingga diperoleh:
.),1(),(2),1()(
)1(
),(),1()1,()1,1()(
),(),1()1,1()1,(2
1)1,(
),()1,(
2
2
niuniuniux
D
niuniuniuniux
D
niuniuniuniux
nic
t
niuniu
(3.3.4)
kedua ruas pada persamaan (3.3.4) dikali dengan t maka diperoleh:
),1(),(2),1()(
)1(
),(),1()1,()1,1()(
),(),1()1,1()1,(2
),()1,(
2
2
niuniuniux
tD
niuniuniuniux
tD
niuniuniuniux
tcniuniu
(3.3.5)
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
),()(
),1()(
),1()(
),()(
2
),1()(
)1,()(
)1,1()(
),(2
),1(2
)1,1(2
)1,(2
),()1,(
2222
222
niux
tDniu
x
tDniu
x
tDniu
x
tD
niux
tDniu
x
tDniu
x
tDniu
x
tc
niux
tcniu
x
tcniu
x
tcniuniu
(3.3.6)
dengan mengelompokkan setiap fungsi diperoleh
),1()(
),1()(
),1()(
),1(2
)1,1()(
)1,1(2
),()(
),()(
2
),(2
),()1,()(
)1,(2
)1,(
222
222
2
niux
tDniu
x
tDniu
x
tDniu
x
tc
niux
tDniu
x
tcniu
x
tDniu
x
tD
niux
tcniuniu
x
tDniu
x
tcniu
(3.3.7)
Untuk 11 Mi dan 11 Nn , dimana x
tcCr
, merupakan bilangan
Courant dan D
xcPe
merupakan bilangan Peclet, persamaan (3.3.7) dapat ditulis
menjadi
),1(
),1(2
1)1,1(
2
1
),(22
11)1,(
2
11
niuPe
Cr
Pe
Cr
niuPe
CrCrniu
Pe
CrCr
niuPe
Cr
Pe
CrCrniu
Pe
CrCr
(3.3.8)
atau persamaan (3.3.8) dapat dituliskan menjadi
Pe
CrCr
niuPe
Cr
Pe
Crniu
Pe
CrCr
niuPe
CrCr
niuPe
Cr
Pe
CrCr
niu
2
11
),1(),1(2
1
)1,1(2
1
),(22
11
)1,(
(3.3.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Persamaan (3.3.9) adalah skema eksplisit dari kiri ke kanan dan dari waktu kecil
ke waktu besar. Dalam kasus ini, hanya nilai )1,( niu yang tidak diketahui.
Skema (3.3.9) juga dikenal sebagai rumus Saulyev dan keuntungan dari skema ini
adalah stabil tidak bersyarat dan eksplisit (Karahan, 2006).
Skema beda hingga (3.3.9) eksplisit secara umum dapat digambarkan ke
dalam bentuk grid seperti tampak pada Gambar 3.3.3.
Gambar 3.3.3. Beda hingga eksplisit
Dari persamaan (3.3.9) persamaan adveksi-difusi satu dimensi skema
ekplisit akan dipelajari ke dalam tiga kasus yaitu untuk 0 , 5.0 , dan 1 .
Untuk 0 persamaan (3.3.9) menjadi
Cr
niuPe
Crniu
Pe
CrCr
niuCrniuPe
CrCr
niu
2
11
),1(),1(2
1
)1,1(2
1),(2
2
11
)1,(
(3.3.10)
atau persamaan (3.3.10) dapat disederhanakan menjadi
),1(),1()1,1(),(1
)1,( niEuniCuniBuniAuF
niu (3.3.11)
dengan
Pe
CrCrA 2
2
11 , CrB
2
1 ,
Pe
CrCrC
2
1,
Pe
CrE , CrF
2
11
Diambil 4 NM , kemudian dicari solusi awal untuk persamaan linear
diskritisasi sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Untuk 1n
)1,0()1,2()2,0()1,1(1
)2,1( EuCuBuAuF
u
)1,1()1,3()2,1()1,2(1
)2,2( EuCuBuAuF
u
)1,2()1,4()2,2()1,3(1
)2,3( EuCuBuAuF
u
)1,3()1,5()2,3()1,4(1
)2,4( EuCuBuAuF
u
(3.3.12)
Untuk 2n
)2,0()2,2()3,0()2,1(1
)3,1( EuCuBuAuF
u
)2,1()2,3()3,1()2,2(1
)3,2( EuCuBuAuF
u
)2,2()2,4()3,2()2,3(1
)3,3( EuCuBuAuF
u
)2,3()2,2()3,3()2,4(1
)3,4( EuCuBuAuF
u
(3.3.13)
Untuk 3n
)3,0()3,2()4,0()3,1(1
)4,1( EuCuBuAuF
u
)3,1()3,3()4,1()3,2(1
)4,2( EuCuBuAuF
u
)3,2()3,4()4,2()3,3(1
)4,3( EuCuBuAuF
u
)3,5()3,5()4,3()3,4(1
)4,4( EuCuBuAuF
u
(3.3.14)
Dari persamaan (3.3.12), (3.3.13) dan (3.3.14), secara umum persamaan
(3.3.11) akan diselesaikan dengan algoritma yang diilustrasikan dalam diagram
alur pada Gambar 3.3.4.
Untuk 5.0 persamaan (3.3.9) menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Pe
CrCr
niuPe
Crniu
Pe
CrCr
niuPe
CrCr
niuPe
CrCr
niu
2
1
2
11
),1(2
1),1(
2
1
)1,1(2
1
2
1
),(2
3
2
11
)1,(
. (3.3.15)
Untuk 1 persamaan (3.3.9) menjadi
Pe
CrCr
niuPe
Cr
Pe
Crniu
Pe
CrCr
niuPe
CrCr
niuPe
CrCr
niu
2
11
),1(),1(2
1
)1,1(2
1
),(2
11
)1,(
. (3.3.16)
Persamaan (3.3.15) dan (3.3.16) dapat diselesaikan menggunakan algoritma yang
sama yang digunakan pada persamaan (3.3.11). Pada Gambar 3.3.4 dapat dilihat
terdapat tiga loop. Loop pertama merupakan loop untuk menghitung kondisi awal.
Pada loop selanjutnya, loop bagian dalam menghitung nilai konsentrasi pada
waktu yang diberikan dan loop bagian luar berguna untuk mengontrol langkah
waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Gambar 3.3.4. Diagram alur penyelesaian persamaan adveksi-difusi satu dimensi
skema eksplisit
D. Persamaan Adveksi-Difusi Skema Implisit
Pada bagian ini akan dibahas mengenai perhitungan numeris persamaan
adveksi-difusi dalam metode beda hingga dalam skema implisit. Dalam skema
END
Hasil
Definisikan Parameter
-Hitung kondisi awal
Hitung kondisi batas dan
STAR
No
No
No
Hitung
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
implisit akan dipertimbangkan pendekatan dari turunan persamaan adveksi-difusi
yang menggabungkan bobot waktu dan ruang dan . Menggunakan cara yang
sama seperti pada skema eksplisit, beda maju digunakan untuk pendekatan
langkah waktu, dan beda pusat untuk langkah ruang, sehingga diperoleh:
t
niuniu
t
u
),()1,( (3.4.1)
)1,()1,1()1()1,1()1,()1(
),(),1()1(),1(),()1()1(
niuniuniuniux
c
niuniuniuniux
c
x
uu
(3.4.2)
)1,1()1,(2)1,1()(
),1(),(2),1()(
)1(
2
22
2
niuniuniux
D
niuniuniux
D
x
uD
(3.4.3)
Substitusikan (3.4.1), (3.4.2) dan (3.4.3) ke persamaan adveksi-difusi sehingga
diperoleh:
)1,1()1,(2)1,1()(
),1(),(2),1()(
)1(
)1,()1,1()1()1,1()1,()1(
),(),1()1(),1(),()1()1(
),()1,(
2
2
niuniuniux
D
niuniuniux
D
niuniuniuniux
c
niuniuniuniux
c
t
niuniu
Operasikan kedua ruas dengan mengalikan t maka diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
)1,1()1,(2)1,1()(
),1(),(2),1()(
)1(
)1,()1,1()1()1,1()1,()1(
),(),1()1(),1(),()1()1(),()1,(
2
2
niuniuniux
tD
niuniuniux
tD
niuniuniuniux
tc
niuniuniuniux
tcniuniu
atau
.)1,1()1,(2)1,1()(
),1(),(2),1()(
),1(),(2),1()(
)1,1()1,1()1,1()1,(2)1,(
),1(),1(),1(),(2),(
),1()1(),1(),(2),(),()1,(
2
22
niuniuniux
tD
niuniuniux
tDniuniuniu
x
tD
niuniuniuniuniux
tc
niuniuniuniuniux
tc
niuniuniuniux
tcniuniu
atau
),1(),(2),1()(
),1(),(2),1()(
),1(),1(),1(),(2),(
),1()1(),1(),(2),(),(
)1,()1,1()1,(2)1,1()(
)1,1()1,1()1,1()1,(2)1,(
22
2
niuniuniux
tDniuniuniu
x
tD
niuniuniuniuniux
tc
niuniuniuniux
tcniu
niuniuniuniux
tD
niuniuniuniuniux
tc
Dengan mengelompokkan setiap fungsi diperoleh
)1,1()( 2
niu
x
tD
x
tc
x
tc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
),1(),(2),1()(
)1(
),1()1(),1(),(2),()1(),(
)1,1(
)1,(12)(
2
2
2
niuniuniux
tD
niuniuniuniux
tcniu
niux
tc
x
tD
niux
tc
x
tc
x
tD
Jika dimisalkan
CrPe
CrA )1(
122 CrCrPe
CrB
CrPe
CrC
),1(),(2),1()1(
),1()1(),1(),(2),()1(),(),(
niuniuniuPe
Cr
niuniuniuniuCrniunif
dimana x
xcCr
dan
D
xcPe
maka diperoleh solusi berbentuk
),()1,1()1,()1,1( nifniCuniBuniAu . (3.4.4)
atau
B
niCuniAunifniu
)1,1()1,1(),()1,(
. (3.4.5)
untuk 11 Mi dan 11 Nn .
Skema beda hingga implisit secara umum dapat digambarkan ke dalam bentuk
grid sebagai tampak pada Gambar 3.4.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Gambar 3.4.1. Beda hingga implisit
Solusi dari persamaan (3.3.4) lebih lanjut akan dianalisis ke dalam tiga
kasus yaitu untuk 0 dan 0 , 5.0 dan 5.0 , dan 1 dan 1 .
Untuk 0 dan 0 diperoleh
0A , 1B , 0C ,
),1(),(2),1(),1(),(),(),( niuniuniuPe
CrniuniuCrniunif ,
sehingga persamaan (3.4.5) menjadi
),1(),(2),1(
),1(),(),(1
)1,(niuniuniu
Pe
Cr
niuniuCrniu
Bniu (3.4.6)
atau
),1(
),1(),(211
)1,(
niuPe
Cr
niuPe
CrCrniu
Pe
CrCr
Bniu . (3.4.7)
Persamaan (3.4.6) dapat ilustrasikan ke dalam grid yang dapat dilihat pada
Gambar 3.4.2. Dari Gambar 3.4.2 dapat dilihat bahwa jika 0 dan 0 maka
persamaan (3.4.5) membentuk skema eksplisit dimana hanya nilai )1,( niu yang
tidak diketahui. Persamaan ini juga disebut sebagai skema eksplisit upwind atau
FTBSCS Technique (forward time, backward steps, centered steps). Skema ini
menggunakan beda maju untuk turunan terhadap waktu, beda mundur untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
turunan terhadap ruang pada persamaan adveksi dan beda pusat untuk turunan
difusi.
Gambar 3.4.2. Beda hingga implisit dengan 0 dan 0
Untuk 5.0 dan 5.0 maka diperoleh
CrPe
CrA
2
1
2
1 , 1
Pe
CrB , Cr
Pe
CrC
4
1
2
1
),1(),(2),1(2
1
),1(2
1),1(
2
1),(),(
2
1),(),(
niuniuniuPe
Cr
niuniuniuniuCrniunif
Sehingga persamaan (3.4.4) menjadi
),1(),(2),1(2
1
),1(2
1),1(
2
1),(),(
2
1
),()1,1()1,()1,1(
niuniuniuPe
Cr
niuniuniuniuCr
niuniCuniBuniAu
(3.4.8)
atau persamaan (3.4.8) dapat dituliskan menjadi
),1(4
1
2
1),(1
),1(4
1
2
1)1,1()1,()1,1(
niuCrPe
Crniu
Pe
Cr
niuCrPe
CrniCuniBuniAu
.
(3.4.9)
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
),1(),(
),1()1,1()1,()1,1(
niCuniuB
niAuniCuniBuniAu
(3.4.10)
dengan 1Pe
CrB , untuk 1,,2,1,0 Mi dan 1,,2,1,0 Nn .
Persamaan (3.4.10) merupakan persamaan adveksi-difusi skema implisit
5.0 dan 5.0 yang juga disebut sebagai persamaan skema Crank-Nicolson.
Persamaan (3.4.10) diilustrasikan seperti pada Gambar 3.1.3.
Gambar 3.4.3. Beda hingga implisit Crank-Nicolson dengan 5.0 dan 5.0
Diambil 4M , sehingga dari persamaan (3.4.10) diperoleh sistem persamaan
linear sebagai berikut
Untuk 1i
),2(),1(),0()1,2()1,1()1,0( nCunuBnAunCunBunAu (3.4.11)
Untuk 2i
),3(),2(),1()1,3()1,2()1,1( nCunuBnAunCunBunAu (3.4.12)
Untuk 3i
),4(),3(),2()1,4()1,3()1,2( nCunuBnAunCunBunAu (3.4.13)
Dari persamaan(3.4.11), (3.4.12) dan (3.4.13) diperoleh matriks
),4(
),3(
),2(
),1(
).0(
00
00
00
)1,4(
)1,3(
)1,2(
)1,1(
)1.0(
00
00
00
nu
nu
nu
nu
nu
CBA
CBA
CBA
nu
nu
nu
nu
nu
CBA
CBA
CBA
(3.4.14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Misalkan
CBA
CBA
CBAkiri
00
00
00
M ,
)1,4(
)1,3(
)1,2(
)1,1(
)1.0(
1
nu
nu
nu
nu
nu
nu ,
CBA
CBA
CBAkanan
00
00
00
M ,
),4(
),3(
),2(
),1(
).0(
nu
nu
nu
nu
nu
nu
Kedua matriks M di kiri dan kanan memiliki ukuran matriks 1M baris dan
1M kolom yang berarti terdapat 1M persamaan dan 1M nilai yang tidak
diketahui. Menggunakan kondisi tersebut, matriks M pada persamaan (3.4.14)
akan dibentuk menjadi matriks persegi sebagai berikut
),3(
),2(
),1(
0
0
)1,4(
0
)1,0(
)1,3(
)1,2(
)1,1(
0
0
nu
nu
nu
BA
CBA
CB
nCu
nAu
nu
nu
nu
BA
CBA
CB
),4(
0
),0(
nCu
nAu
(3.4.15)
Lebih umum, untuk 1,,2,1,0 Mi persamaan (3.4.15) dapat ditulis menjadi
)1,(
)1,1(
)1,(
)1,1(
000
0000
0000
000
nMu
nMu
niu
niu
CBA
CB
BA
CBA
(3.4.16)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
),(
),1(
),(
),1(
000
0000
0000
000
nMu
nMu
niu
niu
CBA
CB
BA
CBA
atau
)1,(
0
0
)1,0(
)1,1(
)1,2(
)1,1(
)1,(
0000
000
000
0000
nMCu
nAu
nMu
nMu
niu
niu
BA
CBA
CBA
CB
),(
0
0
),0(
),1(
),2(
),1(
),(
0000
000
000
0000
nMCu
nAu
nMu
nMu
niu
niu
BA
CBA
CBA
CB
.
(3.4.17)
Secara lebih sederhana persamaan (3.4.17) dapat ditulis menjadi
nnnnnn ruMruM 111 (3.4.18)
dengan
BA
CBA
CBA
CB
n
0000
000
000
0000
1
M ,
)1,1(
)1,2(
)1,1(
)1,(
1
nMu
nMu
niu
niu
n u ,
)1,(
0
0
)1,0(
1
nMCu
nAu
n r ,
BA
CBA
CBA
CB
n
0000
000
000
0000
M ,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
),1(
),2(
),1(
),(
nMu
nMu
niu
niu
n u ,
),(
0
0
),0(
nMCu
nAu
n r .
Di sini, 1nM dan nM merupakan matriks persegi berukuran 11 MM .
Matriks 1nr dan nr adalah matriks yang nilainya diketahui dengan entri pertama
dan terakhirnya merupakan kondisi batas awal dan kondisi batas akhir persamaan
adveksi-difusi.
Untuk mencari )1,( niu dapat dilakukan operasi matriks sehingga dari
persamaan (3.4.18) diperoleh
nnnnnn uMrruM )( 111 . (3.4.19)
Berarti diperoleh penyelesaian berbentuk
nnnnnn uMrrMu
)( 1
1
11 . (3.4.20)
E. Penyelesaian Persamaan Adveksi-Difusi Menggunakan Metode Beda
Hingga
Dalam subbab ini akan dibahas mengenai penyelesaian persamaan ad-
veksi-difusi menggunakan metode beda hingga yang disimulasikan menggunakan
MATLAB.
Diketahui so lusi eksak persamaan adveksi-difusi bentuk pertama yaitu
t
tx
ttxu
04.000125.0
)5.0(exp
02.0000625.0
025.0),(
2
(3.5.1)
Sehingga diperoleh fungsi kodisi awal pada 10 Lx dan 10 Tt
00125.0
)5.0(exp)0,(
2xxu (3.5.2)
dan kondisi batas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
t
t
ttu
04.000125.0
)5.0(exp
02.0000625.0
025.0),0(
2
(3.5.3)
t
t
ttu
04.000125.0
)5.1(exp
02.0000625.0
025.0),1(
2
. (3.5.4)
Dalam program MATLAB, solusi awal persamaan adveksi-difusi pada persamaan
(3.5.1) ditunjukkan pada Gambar 3.5.1.
Selanjutnya, diketahui solusi eksak persamaan adveksi-difusi bentuk
kedua yaitu
)14(
)(exp
14
1),(
2
0
tD
ctxx
ttxu
(3.5.5)
Dengan diketahui titik tengah gausian pulse 10 x , kondisi batas 90 x dan
50 t diperoleh kondisi awal
D
xxu
2)1(exp)0,(
(3.5.6)
dan diperoleh kondisi batas
)14(
)1(exp
14
1),0(
2
tD
ct
ttu (3.5.7)
)14(
)8(exp
14
1),9(
2
tD
ct
ttu . (3.5.8)
Solusi awal persamaan adveksi-difusi pada persamaan (3.5.6) ditunjukkan pada
Gambar 3.5.2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Gambar 3.5.1. Kondisi awal ( 0t ) solusi eksak persamaan adveksi-difusi
persamaan (3.5.1)
Gambar 3.5.2. Kondisi awal ( 0t ) solusi eksak persamaan adveksi-difusi
persamaan (3.5.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
BAB IV
HASIL SIMULASI
Dalam Bab III telah dibahas mengenai solusi numeris persamaan adveksi
difusi mengunakan metode beda hingga skema eksplisit dan skema implisit. Pada
bab ini akan dibahas hasil-hasil simulasi numeris dan analisis galat persamaan
adveksi-difusi beda hingga skema eksplisit dan persamaan adveksi-difusi beda
hingga skema implisit untuk kedua solusi eksak. Simulasi numeris untuk setiap
skema akan dilakukan menggunakan progran MATLAB. Dalam menghitung
penyelesaian numeris persamaan adveksi-difusi, galat solusi u dihitung dengan
menggunakan rumus
M
i
iuiM 1
)()(ex1
Galat
dimana u adalah nilai numeris di titik ix dan ex adalah nilai eksak di titik )(ix ,
dan M adalah banyaknya langkah ruang untuk mendiskretkan domain ruang.
A. Pembahasan Hasil
Subbab ini akan membahas mengenai hasil simulasi solusi numeris
persamaan adveksi-difusi menggunakan MATLAB. Simulasi numeris dilakukan
dengan beberapa nilai N , dengan N menyatakan banyaknya titik diskret waktu.
Berikut ini merupakan grafik hasil simulasi numeris persamaan adveksi-
difusi beda hingga eksplisit untuk solusi eksak pertama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Gambar 4.1.1. Grafik simulasi numeris skema eksplisit dengan 0 untuk
250N , 02.0x , 004.0t pada waktu 1t .
Gambar 4.1.2. Grafik simulasi numeris skema eksplisit dengan 5.0 untuk
250N , 02.0x , 004.0t pada waktu 1t .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Gambar 4.1.3. Grafik simulasi numeris skema eksplisit dengan 1 untuk
250N , 02.0x , 004.0t pada waktu 1t .
Tabel 4.1.1. Hasil simulasi persamaan adveksi-difusi menggunakan metode beda
hingga skema eksplisit untuk 02.0x pada posisi 1x dan waktu 1t
N t Solusi
Eksak
Solusi Numeris
0 5.0 1
2000 0.0005 0.1741 0.1733 0.1728 0.1723
1000 0.001 0.1733 0.1723 0.1713
500 0.002 0.1733 0.1713 0.1693
250 0.004 0.1733 0.1693 0.1656
100 0.01 0.1733 0.1638 0.1557
50 0.02 0.1733 0.1556 0.1426
Gambar 4.1.1 sampai dengan Gambar 4.1.3 memperlihatkan secara
geometris simulasi numeris persamaan adveksi-difusi dengan 0 , 5.0 ,
1 . Simulasi ini menggunakan 250N , 02.0x , dan 004.0t pada
waktu 1t . Jika grafik ketiga solusi numeris dibandingkan, dari Gambar 4.1.1
dapat dilihat bahwa hasil simulasi numeris dengan 0 merupakan grafik yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
paling medekati dan hampir berhimpit dengan grafik solusi eksaknya. Dengan
kata lain, solusi numeris dengan 0 memberikan selisih solusi numeris dan
eksak yang kecil.
Dari Tabel 4.1.1 penyelesaian numeris persamaan adveksi-difusi skema
ekplisit dengan 0 menghasilkan nilai yang paling dekat dengan solusi eksak.
Di sini, dilakukan pembulatan empat angka di belakang koma terhadap hasil
simulasi numeris. Dapat dilihat bahwa besar kecilnya pengambilan nilai N juga
mempengaruhi hasil penyelesaian numeris. Semakin besar N yang diambil, maka
semakin kecil selisih antara penyelesaian numeris dan eksaknya.
Selanjutnya akan dibahas mengenai hasil simulasi persamaan adveksi-
difusi beda hingga implisit untuk pendekatan numeris yang pertama yang
disimulasikan dalam program MATLAB. Berikut merupakan hasil simulasi
persamaan adveksi-difusi beda hingga implisit untuk solusi pertama dengan
250N , 02.0x , dan 004.0t pada waktu 1t .
Gambar 4.1.4. Grafik simulasi numeris skema implisit dengan 0 dan 0
untuk 250N , 02.0x , 004.0t pada waktu 1t .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Gambar 4.1.5. Grafik simulasi numeris skema implisit dengan 5.0 dan
5.0 untuk 250N , 02.0x , 004.0t pada waktu 1t .
Tabel 4.1.2. Hasil simulasi persamaan adveksi-difusi menggunakan metode beda
hingga skema implisit untuk 02.0x pada posisi 1x dan waktu 1t
N t Solusi
Eksak
Solusi Numeris
0
0
5.05.0
2000 0.0005 0.1741 0.1454 0.1734
1000 0.001 0.1460 0.1734
500 0.002 0.1472 0.1734
250 0.004 0.1497 0.1734
100 0.01 0.1581 0.1742
50 0.02 4.0350 0.1750
Dari Gambar 4.1.4 dapat dilihat bahwa secara geometris hasil simulasi
numeris persamaan adveksi-difusi skema implisit dengan 0 dan 0
memberikan selisih solusi numeris dan solusi eksak yang cukup besar. Untuk
5.0 dan 5.0 terlihat pada Gambar 4.1.5 grafik simulasi numeris dan grafik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
solusi eksaknya hampir berhimpit. Artinya skema implisit ini memberikan selisih
antara solusi numeris dan solusi eksak yang kecil.
Pada Tabel 4.1.2 terlihat bahwa hasil simulasi numeris skema implisit
dengan 5.0 dan 5.0 memberikan solusi numeris yang paling dekat dengan
solusi eksak. Di sini, nilai N juga mempengaruhi hasil solusi numerisnya.
Berbeda dengan pengaruh nilai N pada skema eksplisit. Pada skema implisit,
semakin besar nilai N yang diambil, maka semakin besar juga selisih antara
solusi numeris dan solusi eksaknya. Pada hasil simulasi numeris skema implisit
dengan 0 dan 0 jika t diambil terlalu kecil maka model solusi akan
rusak dan membuat solusi numeris tidak akurat, seperti ditunjukkan pada Gambar
4.1.6.
Gambar 4.1.6. Grafik simulasi numeris skema implisit dengan 0 dan 0
untuk 50N , 02.0x , 02.0t pada waktu 1t .
Grafik hasil simulasi numeris persamaan adveksi-difusi beda hingga
skema eksplisit untuk solusi eksak bentuk kedua dengan 400N , 025.0x ,
0125.0t pada waktu 9t berturut-turut ditunjukkan pada Gambar 4.1.7
sampai dengan 4.1.9.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Gambar 4.1.7. Grafik simulasi numeris skema eksplisit dengan 0 untuk
400N , 025.0x , 0125.0t pada waktu 5t .
Gambar 4.1.8. Grafik simulasi numeris skema eksplisit dengan 5.0 untuk
400N , 025.0x , 0125.0t pada waktu 5t .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Gambar 4.1.9. Grafik simulasi numeris skema eksplisit dengan 1 untuk
400N , 025.0x , 0125.0t pada waktu 5t .
Sama seperti grafik hasil simulasi numeris persamaan adveksi-difusi beda
hingga eksplisit pada bentuk pertama. Secara geometris, hasil simulasi numeris
bentuk kedua pada Gambar 4.1.7 memperlihatkan bahwa simulasi numeris
persamaan adveksi-difusi dengan 0 merupakan solusi numeris yang paling
mendekati solusi eksaknya. Pengaruh pengambilan nilai N terhadap hasil
simulasi numeris skema eksplisit bentuk kedua ini ditunjukkan pada Tabel 4.1.3.
Tabel 4.1.3. Hasil simulasi persamaan adveksi-difusi menggunakan metode beda
hingga skema eksplisit untuk 025.0x pada posisi 9x dan waktu 5t
N t Solusi
Eksak
Solusi Numeris
0 5.0 1
2000 0.0025 0.2182 0.2177 0.2137 0.2100
1000 0.005 0.2177 0.2100 0.2030
500 0.01 0.2175 0.2028 0.1908
250 0.02 0.2169 0.1906 0.1719
100 0.05 0.2143 0.1642 0.1378
50 0.1 0.2033 0.1375 0.1093
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Hasil simulasi numeris pada Tabel 4.1.3. menunjukkan bahwa model
persamaan adveksi-difusi bentuk kedua dengan 0 juga memberikan hasil
terdekat dengan solusi numerisnya. Sama seperti hasil simulasi skema eksplisit
yang pertama, semakin besar nilai N yang diambil juga akan menghasilkan solusi
numeris yang semakin dekat dengan solusi eksaknya. Pada kasus ini jika langkah
waktu t diambil terlalu besar maka grafik simulasi numeris akan berosilasi.
Misal diambil 1.0t maka diperoleh grafik hasil simulasi pada Gambar 4.1.10.
Gambar 4.1.10. Grafik simulasi numeris skema eksplisit dengan 0 untuk
400N , 025.0x , 1.0t pada waktu 5t .
Pengambilan langkah waktu t yang terlalu besar akan mempengaruhi
keakuratan solusi numeris skema eksplisit ini dan menyebabkan selisih antara
solusi numeris dan solusi eksaknya membesar.
Berikutnya, hasil grafik simulasi skema implisit untuk solusi eksak bentuk
kedua ditunjukkan pada Gambar 4.1.11.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Gambar 4.1.11. Grafik simulasi numeris skema implisit dengan 0 dan 0
untuk 400N , 025.0x , 1.0t pada waktu 5t .
Gambar 4.1.12. Grafik simulasi numeris skema implisit dengan 5.0 dan
5.0 untuk 400N , 025.0x , 1.0t pada waktu 5t .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Dari Gambar 4.1.11 secara geometris terlihat bahwa skema implisit
dengan 0 dan 0 menghasilkan selisih solusi numeris yang cukup besar
dengan solusi eksaknya. Sedangkan dari Gambar 4.1.12 dapat dilihat bahwa
grafik hasil simulasi numeris dengan solusi eksaknya hampir berhimpit.
Tabel 4.1.4. Hasil simulasi persamaan adveksi-difusi menggunakan metode beda
hingga skema implisit untuk 025.0x pada posisi 9x dan waktu 5t
N t Solusi
Eksak
Solusi Numeris
0
0
5.05.0
2000 0.0025 0.2182 0.1315 0.2178
1000 0.005 0.1353 0.2178
500 0.01 0.1440 0.2178
250 0.02 0.1679 0.2178
100 0.05 6.9263 0.2172
50 0.1 2.3047 0.2098
Tabel 4.1.4 menunjukkan bahwa perubahan nilai N tidak banyak
mempengaruhi hasil solusi numeris yang dihasilkan pada skema implisit saat
5.0 dan 5.0 . Akan tetapi pengambilan langkah waktu t yang terlalu
besar akan mengakibatkan grafik hasil simulasi numeris ini berosilasi. Berbeda
dengan solusi numeris skema implisit saat 0 dan 0 . Semakin besar nilai
N yang diambil, maka semakin besar solusi numeris yang dihasilkan. Sama
seperti pada hasil simulasi pertama, pada kasus ini jika langkah waktu t diambil
terlalu besar maka model solusi akan rusak, seperti tampak pada Gambar 4.1.14.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Gambar 4.1.13. Grafik simulasi numeris skema implisit dengan 5.0 dan
5.0 untuk 400N , 025.0x , 1.0t pada waktu 5t .
Gambar 4.1.14. Grafik simulasi numeris skema implisit dengan 0 dan 0
untuk 400N , 025.0x , 05.0t pada waktu 5t .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Dari Tabel 4.1.1 dan Tabel 4.1.2 dapat dilihat bahwa untuk penyelesaian
numeris persamaan adveksi-difusi bentuk pertama jika dibandingkan dari kedua
tabel maka penyelesaian numeris yang paling medekati solusi eksaknya adalah
skema implisit dengan 5.0 dan 5.0 . Begitu juga dengan penyelesaian
persamaan adveksi-difusi bentuk kedua yang dapat dibandingkan dari Tabel 4.1.3
dan 4.1.4. Lebih lanjut, solusi numeris akan dianalisis berdasarkan besar kecilnya
galat untuk melihat keakuratannya pada bagian B.
B. Pengamatan Galat
Pada subbab ini akan dibahas mengenai galat hasil simulasi numeris
persamaan adveksi-difusi skema eksplisit dan skema implisit. Berikut ini
merupakan galat hasil simulasi numeris persamaan adveksi-difusi skema ekplisit
dan skema implisit untuk solusi pertama.
Tabel 4.2.1. Galat hasil simulasi persamaan adveksi-difusi skema eksplisit untuk
02.0x pada posisi 1x dan waktu 1t
N t Galat
0 5.0 1
2000 0.0005 0.9684 10-3
1.0352 10-3
1.1213 10-3
1000 0.001 0.9693 10-3
1.1221 10-3
1.3347 10-3
500 0.002 0.9730 10-3
1.3372 10-3
1.8730 10-3
250 0.004 0.9876 10-3
1.8807 10-3
3.0656 10-3
100 0.01 1.0901 10-3
3.6811 10-3
6.4703 10-3
50 0.02 1.4577 10-3
6.5378 10-3
1.1292 10-2
Dari Tabel 4.2.1 dapat dilihat bahwa untuk 0 tidak ada perbedaan
galat yang signifikan. Misalnya pada saat 2000N dengan 250N dimana
galat yang dihasilkan hampir sama. Berbeda dengan galat hasil simulasi
persamaan adveksi-difusi untuk 5.0 dan 1 . Galat pada saat 5.0 dan
1 memiliki perbedaan yang cukup signifikan seperti pada saat 250N dan
100N . Semakin besar nilai N maka semakin kecil galat yang dihasilkan. Dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Tabel 4.2.1 juga dapat dilihat bahwa skema eksplisit saat 0 menghasilkan
galat yang paling kecil jika dibandingkan dengan skema eksplist saat 5.0 dan
1 . Dengan kata lain, solusi numeris dengan 0 memberikan hasil yang
lebih akurat.
Tabel 4.2.2. Galat hasil simulasi persamaan adveksi-difusi skema implisit untuk
02.0x pada posisi 1x dan waktu 1t
N t
Galat
0
0
5.05.0
2000 0.0005 10.480 10-3
1.0663 10-3
1000 0.001 10.262 10-3
1.1784 10-3
500 0.002 9.8182 10-3
1.4337 10-3
250 0.004 8.8977 10-3
2.0279 10-3
100 0.01 5.8939 10-3
4.0288 10-3
50 0.02 7.7497 10-1
7.6334 10-3
Tabel 4.2.2. menunjukkan bahwa galat hasil simulasi numeris skema
implisit saat 5.0 dan 5.0 memberikan nilai galat yang lebih kecil jika
dibandingkan dengan skema implisit saat 0 dan 0 . Untuk skema implisit
saat 0 dan 0 terlihat bahwa semakin kecil nilai N yang diambil maka
semakin kecil galat yang dihasilkan, tetapi saat langkah waktu t telalu kecil
maka galat akan membesar. Ketika galat membesar, maka saat itulah solusi rusak.
Jika hasil simulasi numeris skema eksplisit dan skema implisit
dibandingkan, maka hasil simulasi numeris skema eksplist saat 0 lebih baik
daripada skema implisit saat 5.0 dan 5.0 . Dengan kata lain, galat yang
dihasilkan dari skema eksplisit saat 0 lebih kecil dan berarti solusi
numerisnya lebih akurat.
Selanjutnya akan dilihat galat hasil simulasi numeris persamaan adveksi-
difusi skema eksplisit dan skema implisit untuk solusi kedua.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Tabel 4.2.3. Galat hasil simulasi persamaan adveksi-difusi skema eksplisit untuk
025.0x pada posisi 9x dan waktu 5t
N t Galat
0 5.0 1
2000 0.0025 0.7719 10-3
0.8127 10-3
0.9087 10-3
1000 0.005 0.8221 10-3
0.9498 10-3
1.2299 10-3
500 0.01 0.9360 10-3
1.2951 10-3
1.9639 10-3
250 0.02 1.2175 10-3
2.0669 10-3
3.3214 10-3
100 0.05 2.5147 10-3
4.1069 10-3
6.2330 10-3
50 0.1 6.2591 10-3
6.6752 10-3
9.1698 10-3
Tabel 4.2.4. Galat hasil simulasi persamaan adveksi-difusi skema eksplisit untuk
025.0x pada posisi 9x dan waktu 5t
N t
Galat
0
0
5.05.0
2000 0.0025 6.6665 10-3
7.2862 10-4
1000 0.005 6.3054 10-3
7.3552 10-4
500 0.01 5.5504 10-3
7.6316 10-4
250 0.02 3.5121 10-3
8.7376 10-4
100 0.05 2.2310 10-1
1.6481 10-3
50 0.1 5.8417 10-2
4.5554 10-3
Sama seperti pada hasil simulasi solusi numeris persamaan adveksi-difusi
skema eksplisit bentuk pertama. Galat skema eksplisit pada saat 0
menghasilkan galat yang paling kecil jika dibandingkan dengan skema eksplisit
saat 5.0 dan 1 . Berarti pada simulasi numeris skema eksplisit bentuk
kedua yang memberikan solusi numeris paling akurat adalah saat 0 .
Dari Tabel 4.2.4 dapat dilihat bahwa nilai N juga mempengaruhi galat
hasil simulasi numeris skema implisit. Sama seperti pada hasil simulasi skema
implisit saat 0 dan 0 pertama, semakin kecil nilai N maka semakin kecil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
galat yang dihasilkan. Tetapi jika langkah waktu t terlalu kecil maka galat akan
membesar dan saat itu terjadi, solusi rusak. Hasil simulasi numeris skema implisit
saat 5.0 dan 5.0 menghasilkan galat yang cukup kecil. Di sini, semakin
besar nilai N yang diambil maka semakin kecil galat yang dihasilkan. Jika
dibandingkan, hasil simulasi numeris skema implisit saat 5.0 dan 5.0
lebih baik jika dibandingkan dengan skema implisit saat 0 dan 0 . Lebih
baik di sini berarti solusi numeris lebih akurat karena galat yang dihasilkan lebih
kecil.
Dengan membandingkan hasil simulasi numeris skema eksplisit dan
skema implisit, dapat dilihat bahwa solusi numeris skema implisit saat 5.0
dan 5.0 menghasilkan galat yang lebih kecil jika dibandingkan dengan skema
eksplisit saat 0 . Berarti untuk kasus ini, solusi numeris akan lebih akurat jika
menggunakan skema implisit dengan 5.0 dan 5.0 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
B AB V
PENUTUP
Pada bab ini akan diberikan kesimpulan dari pembahasan pada bab-bab
sebelumnya serta saran untuk penelitian berikutnya.
A. Kesimpulan
Dalam skripsi ini, penulis telah berhasil memodelkan transportasi dan
proses difusi ke dalam persamaan adveksi-difusi menggunakan hukum kekekalan
massa sehingga persamaan adveksi-difusi dapat diselesaikan sesuai dengan syarat
batas dan kondisi awal. Telah dilihat bahwa penulis dapat menyelesaikan
persamaan adveksi-difusi skema eksplisit dan skema implisit. Dari setiap skema,
pengambilan nilai bobot ruang dan waktu dalam turunan numeris akan
mempengaruhi model solusi numeris yang berkaitan dengan keakuratan hasil
simulasi numeris. Selain itu, pemilihan langkah waktu t juga mempengaruhi
hasil solusi numeris dan galatnya. Semakin besar pengambilan nilai N maka
semakin akurat solusi numeris yang dihasilkan. Lebih lanjut, setelah diamati
skema eksplisit saat 0 dan skema implisit saat 5.0 dan 5.0
memberikan hasil simulasi dengan galat yang kecil dan dekat dengan solusi
eksaknya. Di sini, N menyatakan jumlah langkah waktu dalam suatu domain
tetap tertentu, menyatakan faktor pembobot ruang dan menyatakan faktor
pembobot waktu. Terkait dengan pemilihan skema persamaan adveksi-difusi satu
dimensi terbaik, terdapat dua skema yang menghasilkan solusi yang cukup baik
yaitu skema eksplisit dan skema Crank-Nicolson. Akan tetapi, penulis
menyarankan untuk menggunakan skema eksplisit, karena perhitungannya mudah
dan sama-sama menghasilkan galat yang cukup kecil.
B. Saran
Penulis sadar bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi
ini. Oleh karena itu, penulis berharap kelak ada yang melanjutkan penelitian ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Dalam skripsi ini skema penyelesaian persamaan adveksi-difusi satu dimensi ini
terbatas pada variasi nilai dan . Penulis berharap, jika ada pembaca yang
mampu melanjutkan penelitian ini dengan dan yang lebih beragam dengan
dimensi yang lebih tinggi. Dan jika dimungkinkan menggunakan skema lain yang
memberikan hasil yang lebih akurat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Appadu, A. R. (2013). Numerical Solution of the 1D Advection-Diffusion Equa-
tion Using Standard and Nonstandard Finite Difference Schemes. Journal of
Applied Mathematics, 2013.
Budhi, W.S. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
Chapra, S. C. dan Chanale, R. P. (2010). Numerical Methods for Engineers. Sixth
Edition. New York: McGraw-Hill.
Coleman, M.P. (2005). An Introduction to Partial Differential Equations with
MATLAB. Boca Raton: CRC Press.
Durran, D. R. (2010). Numerical Methods for Fluid Dynamics with Applications
to Geophysics. Second Edition. New York: Springer.
Karahan, H. (2006). Implicit Finite Difference Techniques for the Advection-
Diffusion Using Spreadsheets. Advances in Engineering Software, 37: 601-
608.
Karahan, H. (2007). Unconditional Stable Explicit Finite Difference Technique
for the Advection-Diffusion Using Spreadsheets. Advances in Engineering
Software, 38: 80-86
LeVeque, R. J. (2004). Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cam-
bridge: Cambridge University Press.
Marjono, M. (2012). Aljabar Linear. Malang: Universitas Brawijaya Press.
Mohammadi, A., Manteghian, M. dan Mohammadi, A. (2011). Numerical Solu-
tion of One-dimensional Advection-diffusion Equation Using Simultaneously
Temporal and Spatial Weight Parameters. Australian Journal of Basic and
Applied Science, 5(6): 1546-1543.
Munir, R. (2008). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.
Ross, S. L. (2004). Diferential Equations. Delhi: Wiley.
Thomas, J. W. (1998). Numerical Partial Differential Equations: Finite Dif-
ference Methods. New York: Springer.
Varberg, D., Purcell, E. P., Ringdon, S. E. (2010). Kalkulus. Edisi Sembilan. Ja-
karta: Erlangga.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN
1. Kondisi Awal Solusi Persamaan Adveksi-Difusi Pertama
close all
clear all
format long
%% Data
L=1; %batas nilai x akhir
dx=0.02; %langkah ruang
x=-L:dx:L; %diskritisasi ruang
M=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit
%% kondisi awal
for i=1:M
f(i)=exp(-1*(x(i)+0.5)^2/0.00125); %formula kondisi awal f(x)=u( x,0)
end
figure(1)
plot(x,f)
xlim([-1 1])
ylim([0 1])
2. Kondisi Awal Solusi Persamaan Adveksi-Difusi Kedua
close all
clear all
format long
%% Data
L=9; %batas nilai x akhir
dx=0.025; %langkah ruang
x=0:dx:L; %diskritisasi ruang
M=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit
%% parameter
D=0.005; %koefisien difusi dipilih yg sangat kecil
x0=1; %titik tengah gausian pulse
%% kondisi awal
for i=1:M
f(i)=exp(-1*(x(i)-x0)^2/D); %formula kondisi awal f(x)=u( x,0)
end
figure(1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
plot(x,f)
3. Metode Beda Hingga Skema Eksplisit 0 dengan Solusi Eksak dan
Erronya (Solusi Pertama)
close all
clear all
format long
%% Data
L=1; %batas nilai x akhir
T=1;%batas nilai t akhir
dx=0.02; %langkah ruang
dt=0.004;%langkah waktu
x=0:dx:L; %diskritisasi ruang
t=0:dt:T; %diskritisasi waktu
M=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit
N=length(t); %banyaknya elemen dalam waktu diskrit
f=zeros(1,M);%penyimpanan hasil kondisi awal (menggambarkan fungsi
f(i,n+1))
f_old=zeros(1,M);%penyimpanan hasil langkah waktu sebe-
lumnya(menggambarkan fungsi f(i,n))
ex=zeros(1,M);%menyimpan hasil solusi exact
%% parameter
D=0.01; %koefisien difusi dipilih yg sangat kecil
c=1; %kecepatan
Cr=c*dt/dx; %bilangan courant
Pe=c*dx/D; %bilangan peclet
CP=Cr/Pe;
x0=0.5; %titik tengah gausian pulse
teta=0; % faktor pembobot waktu
t=0; %time
%% kondisi awal
for i=1:M
f(i)=exp(-1*(x(i)+0.5)^2/0.00125); %formula kondisi awal f(x)=u( x,0)
end
%% perhitungan
for n=1:N-1;
f_old = f; %menyimpan kondisi awal untuk langkah ke n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
t=t+dt;
%menghitung solusi pada titik ujung(kondisi batas akhir)
f(1)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(0.5-t)^2/(0.00125+0.04*t));
%u(0,t)=g(t)
f(M)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(1.5-
t)^2/(0.00125+0.04*t));%u(L,t)=h(t)
for i=2:M-1 %menghitung solusi numerik waktu n+1
f(i)=((1+0.5*Cr-2*CP+teta*CP)*f_old(i)+...
(0.5*Cr+teta*CP)*f(i-1)+(CP-0.5*Cr)*f_old(i+1)+...
(CP-teta*CP)*f_old(i-1))/(1+Cr/2+teta*CP);
end
for i=1:M %solusi eksak
%rumus solusi eksak dari jurnal karahan (a)
ex(i)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(x(i)+0.5-
t)^2/(0.00125+0.04*t));
end
error= sum(abs(ex-f))/M; %menghitung error
%% Plot Solusi
figure(1)
plot(x,f,'b.-', x,ex,'r--'); % Plot solusi
pause(0.00001)
end
xlabel('posisi x')
ylabel('fungsi u(x,t)')
title('Persamaan Adveksi-Difusi Skema Eksplisit tetha=0')
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
sa=max(ex); %solusi eksak
sn=max(f); %solusi numerik
disp(' solusi eksak solusi numerik error');
disp([sa sn error]);
4. Metode Beda Hingga Skema Eksplisit 0 Dengan Solusi Eksak Dan
Erronya ( Solusi Kedua)
close all
clear all
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
format long
%% Data
L=9; %batas nilai x akhir
T=5; %batas nilai t akhir
dx=0.025; %langkah ruang
dt=0.0125;%langkah waktu
x=0:dx:L; %diskritisasi ruang
t=0:dt:T; %diskritisasi waktu
M=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit
N=length(t); %banyaknya elemen dalam waktu diskrit
f=zeros(1,M);%penyimpanan hasil kondisi awal (menggambarkan fungsi
f(i,n+1))
f_old=zeros(1,M);%penyimpanan hasil langkah waktu sebe-
lumnya(menggambarkan fungsi f(i,n))
ex=zeros(1,M);%menyimpan hasil solusi exact
%% parameter
D=0.005; %koefisien difusi dipilih yg sangat kecil
c=0.8; %kecepatan aliran
Cr=c*dt/dx; %bilangan courant
Pe=c*dx/D; %bilangan peclet
CP=Cr/Pe;
x0=1; %titik tengah gausian pulse
teta=0; % faktor pembobot waktu
t=0; %time
%% kondisi awal
for i=1:M
f(i)=exp(-1*(x(i)-x0)^2/D); %formula kondisi awal f(x)=u( x,0)
end
%% perhitungan
for n=1:N-1;
f_old = f; %menyimpan kondisi awal untuk langkah ke n
t=t+dt; %update t
%menghitung solusi pada titik ujung(kondisi batas akhir)
f(1)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));
f(M)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(9-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));
for i=2:M-1 %menghitung solusi numerik waktu n+1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
f(i)=((1+0.5*Cr-2*CP+teta*CP)*f_old(i)+...
(0.5*Cr+teta*CP)*f(i-1)+(CP-0.5*Cr)*f_old(i+1)+...
(CP-teta*CP)*f_old(i-1))/(1+Cr/2+teta*CP);
end
for i=1:M %solusi eksak
%rumus solusi eksak dari jurnal karahan (a)
ex(i)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(x(i)-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));
end
figure(2)
plot(x,f,'b.-', x,ex,'r--'); % Plot solusi
grid on;
pause(dt)
error= sum(abs(ex-f))/M;
end
%% plot solusi
xlabel('posisi x')
ylabel('fungsi u(x,t)')
title('Persamaan Adveksi-Difusi Skema Eksplisit tetha=0')
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
sa=max(ex); %solusi eksak
sn=max(f); %solusi numerik
disp(' solusi eksak solusi numerik error');
disp([sa sn error]);
5. Metode Beda Hingga Skema Implisit 0 dan 0 dengan Solusi
Eksak dan Erronya ( Solusi Pertama)
close all
clear all
format long
%% Data
L=1; %batas nilai x akhir
T=1;%batas nilai t akhir
c=1; %kecepatan
dx=0.02; %langkah ruang
dt=0.004;%langkah waktu
x=0:dx:L; %diskritisasi ruang(untuk menghitung jumlah i yang akan dihi-
tung)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
t=0:dt:T; %diskritisasi waktu(untuk menghitung jumlah n yang akan dihi-
tung)
M=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit
N=length(t); %banyaknya elemen dalam waktu diskrit
f=zeros(M,1);%penyimpanan hasil kondisi awal (menggambarkan fungsi
f(i,n+1))
f_old=zeros(M,1);%penyimpanan hasil langkah waktu sebe-
lumnya(menggambarkan fungsi f(i,n))
ex=zeros(M,1);%menyimpan hasil solusi exact
%% nilai koefisien
D=0.01; %koefisien difusi dipilih yg sangat kecil
Cr=c*dt/dx; %bilangan courant
Pe=c*dx/D; %bilangan peclet
CP=Cr/Pe;
x0=0.5; %titik tengah gausian pulse
t=0; %time( waktu awal)
teta=0; % faktor pembobot ruang
phi= 0; %faktor pembobot waktu
d=1-phi;
e=1-teta;
A=phi*CP+phi*e*Cr;
B=-2*phi*CP-phi*(1-2*teta)*Cr-1;
C=phi*CP-phi*teta*Cr;
%% kondisi awal
for i=1:M
f(i)=exp(-1.*(x(i)+0.5)^2/0.00125); %formula kondisi awal f(x)
end
%% perhitungan
for n=1:N-1;
%menghitung solusi pada titik terakhir(kondisi batas akhir)
f(M)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(1.5-t)^2/(0.00125+0.04*t));
f(1)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(0.5-t)^2/(0.00125+0.04*t));
f_old = f;
t=t+dt;
for i=2:M-1 %menghitung solusi numerik waktu n+1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
f(i)=(-f_old(i)-d*CP*(f_old(i-1)-2*f_old(i)+f_old(i+1))...
+d*Cr*(e*f_old(i)+teta*f(i+1)-e*f_old(i-1)-teta*f_old(i))...
-A*f(i-1)-C*f(i+1))/B;
end
for i=1:M %solusi eksak
ex(i)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(x(i)+0.5-
t)^2/(0.00125+0.04*t));
end
error = sum(abs(ex-f))/M;
%% Plot Solusi
figure(1)
plot(x,f,'b.-', x,ex,'r'); % Plot solusi
pause(dt)
end
xlabel('posisi x')
ylabel('fungsi u(x,t)')
title('Skema implisit(1) tetha=0 dan phi=0')
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
sa=max(ex); %solusi eksak
sn=max(f); %solusi numerik
disp(' solusi eksak solusi numerik error');
disp([sa sn error]);
6. Metode Beda Hingga Skema Implisit 0 dan 0 dengan Solusi
Eksak dan Erronya ( Solusi Kedua)
close all
clear all
format long
%% Data
L=9; %batas nilai x akhir
T=5; %batas nilai t akhir
dx=0.025; %langkah ruang
dt=0.02;%langkah waktu
x=0:dx:L; %diskritisasi ruang
t=0:dt:T; %diskritisasi waktu
M=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
N=length(t); %banyaknya elemen dalam waktu diskrit
f=zeros(1,M);%penyimpanan hasil kondisi awal (menggambarkan fungsi
f(i,n+1))
f_old=zeros(1,M);%penyimpanan hasil langkah waktu sebe-
lumnya(menggambarkan fungsi f(i,n))
ex=zeros(1,M);%menyimpan hasil solusi exact
%% Parameter
D=0.005; %koefisien difusi dipilih yg sangat kecil
c=0.8; %kecepatan aliran
Cr=c*dt/dx; %bilangan courant
Pe=c*dx/D; %bilangan peclet
CP=Cr/Pe;
x0=1; %titik tengah gausian pulse
teta=0; % faktor pembobot ruang
phi=0; %faktor pembobot waktu
d=1-phi;
e=1-teta;
A=phi*CP+phi*e*Cr;
B=-2*phi*CP-phi*(1-2*teta)*Cr-1;
C=phi*CP-phi*teta*Cr;
t=0; %time
%% kondisi awal
for i=1:M
f(i)=exp(-1*(x(i)-x0)^2/D); %formula kondisi awal f(x)
end
%% perhitungan
for n=1:N-1;
%menghitung solusi pada titik terakhir(kondisi batas akhir)
f(M)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(9-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));
f(1)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));
f_old = f;
t=t+dt;
for i=2:M-1 %menghitung solusi numerik waktu n+1
g(i)=-f_old(i)-d*CP*(f_old(i-1)-2*f_old(i)+f_old(i+1))...
+d*Cr*(e*f_old(i)+teta*f(i+1)-e*f_old(i-1)-teta*f_old(i));
f(i)=(g(i)-A*f(i-1)-C*f(i+1))/B;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
end
for i=1:M %solusi eksak
ex(i)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(x(i)-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));
end
error = sum(abs(ex-f))/M;
%% plot solusi
figure(1)
plot(x,f,'b.-', x,ex,'r'); % Plot solusi
pause(dt)
end
xlabel('posisi x')
ylabel('fungsi u(x,t)')
title('Skema implisit(2) tetha=0 dan phi=0')
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
sa=max(ex); %solusi eksak
sn=max(f); %solusi numerik
disp(' solusi eksak solusi numerik error');
disp([sa sn error]);
7. Metode Beda Hingga Skema Implisit 5.0 dan 5.0 dengan Solusi
Eksak dan Erronya ( Solusi Pertama)
close all
clear all
format long
%% Data
L=1; %batas nilai x akhir
T=1;%batas nilai t akhir
dx=0.02; %langkah ruang
dt=0.01;%langkah waktu
x=0:dx:L; %diskritisasi ruang(untuk menghitung jumlah i yang akan dihi-
tung)
t=0:dt:T; %diskritisasi waktu(untuk menghitung jumlah n yang akan dihi-
tung)
M=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit
N=length(t); %banyaknya elemen dalam waktu diskrit
f=zeros(M,1);%penyimpanan hasil kondisi awal (menggambarkan fungsi
f(i,n+1))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
f_old=zeros(M,1);%penyimpanan hasil langkah waktu sebe-
lumnya(menggambarkan fungsi f(i,n))
ex=zeros(M,1);%menyimpan hasil solusi exact
rr=zeros(M-2,1);%menyimpan martriks r kanan
rl=zeros(M-2,1); %menyimpan matriks r kiri
%% Parameter
D=0.01; %koefisien difusi dipilih yg sangat kecil
c=1; %kecepatan
Cr=c*dt/dx; %bilangan courant
Pe=c*dx/D; %bilangan peclet
CP=Cr/Pe;
x0=0.5; %titik tengah gausian pulse
t=0; %time( waktu awal)
teta=0.5; % faktor pembobot ruang
phi= 0.5; %faktor pembobot waktu
d=1-phi;
e=1-teta;
A=phi*CP+phi*e*Cr;
B=-2*phi*CP-phi*(1-2*teta)*Cr;
C=phi*CP-phi*teta*Cr;
%% kondisi awal
for i=1:M
f(i)=exp(-1*(x(i)+0.5)^2/0.00125); %formula kondisi awal f(x)
end
%% batas kiri (lihat buku coleman p.555 atau J.W.Tomas p.85)
al(1:M-3)=A; %(i-1,n+1)
bl(1:M-2)=B-1; %(i,n+1)
cl(1:M-3) =C; %(i+1,n+1)
MMl=diag(al,-1)+diag(bl,0)+diag(cl,1);%matriks kiri dengan menggunakan
pendiagonalan
%% batas kanan
ar(1:M-3)=-A; %(i-1,n)
br(1:M-2)=-B-1; %(i,n)
cr(1:M-3)=-C; %(i+1,n)
MMr=diag(ar,-1)+diag(br,0)+diag(cr,1); %matriks kanan dengan
menggunakan pendiagonalan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
%% perhitungan
for n=2:N; %looping waktu
%% KONDISI BATAS menghitung solusi pada titik awal dan terakhir
%menghitung solusi pada titik terakhir(kondisi batas akhir)
f(M,n)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(1.5-t)^2/(0.00125+0.04*t));
f(1,n)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(0.5-t)^2/(0.00125+0.04*t));
rl(1,1)=A*f(1,n);
rl(M-2,1)=C*f(M,n);
rr(1,1)=-A*f(1,n-1);
rr(M-2,1)=-C*f(M,n-1);
f_old=f(2:M-1,n-1);
t=t+dt;
%implementasi metode crank nicolson
f(2:M-1,n)=MMl\(rr-rl+MMr*f_old); %inv(MMl)*(rr-rl+MMr*f_old) lebih
akurat jk ditulis spt ini
for i=1:M %solusi eksak
ex(i)=0.025/sqrt(0.000625+0.02*t)*exp(-1*(x(i)+0.5-
t)^2/(0.00125+0.04*t));
end
error = sum(abs(ex-f(:,n)))/M;
%% Plot Solusi
figure(1)
plot(x,f(:,n),'b.-', x,ex,'r'); % Plot solusi
pause(dt)
end
title('Skema Implisit theta=0.5 dan phi=0.5')
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
xlabel('posisi x')
ylabel('fungsi u(x,t)')
sa=max(ex); %solusi eksak
sn=max(f(:,n)); %solusi numerik
disp(' solusi eksak solusi numerik error');
disp([sa sn error]);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8. Metode Beda Hingga Skema Implisit 5.0 Dan 5.0 Dengan Solusi
Eksak Dan Erronya ( Solusi Kedua)
close all
clear all
format long
%% Data
L=9; %batas nilai x akhir
T=5; %batas nilai t akhir
dx=0.025; %langkah ruang
dt=0.0125;%langkah waktu
x=0:dx:L; %diskritisasi ruang
t=0:dt:T; %diskritisasi waktu
M=length(x); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit
N=length(t); %banyaknya elemen dalam waktu diskrit
f=zeros(1,M);%penyimpanan hasil kondisi awal (menggambarkan fungsi
f(i,n+1))
f_old=zeros(1,M);%penyimpanan hasil langkah waktu sebe-
lumnya(menggambarkan fungsi f(i,n))
ex=zeros(1,M);%menyimpan hasil solusi exact
%% nilai koefisien
D=0.005; %koefisien difusi dipilih yg sangat kecil
c=0.8; %kecepatan aliran
Cr=c*dt/dx; %bilangan courant
Pe=c*dx/D; %bilangan peclet
CP=Cr/Pe;
x0=1; %titik tengah gausian pulse
teta=0.5; % faktor pembobot ruang
phi=0.5; %faktor pembobot waktu
d=1-phi;
e=1-teta;
A=phi*CP+phi*e*Cr;
B=-2*phi*CP-phi*(1-2*teta)*Cr;
C=phi*CP-phi*teta*Cr;
t=0; %time
%% kondisi awal
for i=1:M
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
f(i,1)=exp(-1*(x(i)-x0)^2/D); %formula kondisi awal f(x)
end
%% batas kiri (lihat buku coleman p.555 atau J.W.Tomas p.85)
al(1:M-3)=A; %(i-1,n+1)
bl(1:M-2)=B-1; %(i,n+1)
cl(1:M-3) =C; %(i+1,n+1)
MMl=diag(al,-1)+diag(bl,0)+diag(cl,1);%matriks kiri dengan menggunakan
pendiagonalan
%% batas kanan
ar(1:M-3)=-A; %(i-1,n)
br(1:M-2)=-B-1; %(i,n)
cr(1:M-3)=-C; %(i+1,n)
MMr=diag(ar,-1)+diag(br,0)+diag(cr,1); %matriks kanan dengan
menggunakan pendiagonalan
%% perhitungan
for n=2:N; %looping waktu
%% KONDISI BATAS menghitung solusi pada titik awal dan terakhir
f(M,n)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(9-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));
f(1,n)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));
rl(1,1)=A*f(1,n);
rl(M-2,1)=C*f(M,n);
rr(1,1)=-A*f(1,n-1);
rr(M-2,1)=-C*f(M,n-1);
f_old=f(2:M-1,n-1);
t=t+dt;
f(2:M-1,n)=inv(MMl)*(rr-rl+MMr*f_old);
for i=1:M %solusi eksak
ex(i)=1/sqrt(4*t+1)*exp(-1*(x(i)-x0-c*t)^2/(D*(4*t+1)));
end
error = sum(abs(ex-f(:,n)'))/M;
%% Plot Solusi
figure(1)
plot(x,f(:,n),'b.-', x,ex,'r');
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
pause(dt)
end
title('Skema Implisit theta=0.5 dan phi=0.5')
legend('Solusi numeris', 'Solusi eksak')
xlabel('posisi x')
ylabel('fungsi u(x,t)')
sa=max(ex); %solusi eksak
sn=max(f(:,n)); %solusi numerik
disp(' solusi eksak solusi numerik error');
disp([sa sn error]);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI