-
3
CAPITOLUL I
SPAII VECTORIALE
I.1.1. Spaii vectoriale
Definiia 1. Mulimea V se numete spaiu vectorial (liniar) peste
cmpul (corpul comutativ) K fa de adunarea i nmulirea cu scalari
definite pe V dac sunt verificate proprietile:
a) fa de adunare V formeaz grup abelian :
a1) Vzy,x,zyxzyx ( ),)()( ,
a2) VxxxV ( 0 0 VV ),: ,
a3) VxxVxVx 0)(:)(,)( ,
a4) Vyx,xyyx ( ), ;
b) fa de nmulirea cu scalari sunt ndeplinite axiomele:
bb1) Vyxyxyx ,,)( )( K,)( ,
b2) Vxxxx )( K ( ,,),)( ,
b3) Vxxx )( K )( ,,,)()( ,
b4) K1 )( ,,1 Vxxx .
Denumiri. Elementele spaiului vectorial V se numesc vectori.
Elementul neutru n raport cu adunarea se numete vectorul nul,
VV0 . Un spaiu vectorial peste R (C) se numete spaiul vectorial
real (complex).
Notaie. K/V - spaiu vectorial peste cmpul K.
-
4
I.1.2. Subspaiu vectorial
Definiia 2. Fie K/V un spaiu vectorial i 11 ,VVV . 1V
se numete subspaiu vectorial al lui V dac 1V este spaiu vectorial
fa de adunarea i nmulirea cu scalari induse n 1V de operaiile
respective din V.
Teorema 1. O submulime nevid 1V a unui spaiu vectorial V
peste K este subspaiu vectorial al lui V dac i numai dac sunt
ndeplinite condiiile:
1) 11 , , VvuVvu ,
2) 11, VuVu K, .
Observaia 1. Condiiile 1) i 2) sunt echivalente cu condiia
3) 11,,, VvuVvu K, .
Definiia 3. Fie V un spaiu vectorial peste cmpul K i S o
submulime nevid a lui V. Se numete combinaie liniar finit de
elemente din S o expresie de forma:
nnvvv ....2211
unde ,Svi nii ,1, K .
Cum VS iar V este un spaiu vectorial
Vvvv nn ....2211 .
Definiia 4. Se numete subspaiu generat de S (acoperirea
liniar a lui S) mulimea tuturor combinaiilor liniare finite de elemente
din S, niSvvvvSL iinn ,1,,/....)( 2211 K .
-
5
I.1.3. Dependen i independen liniar
Definiia 5. Mulimea SVS , se numete liniar
dependent dac exist o mulime finit de elemente distincte din S,
Svvv n ,....,, 21 i scalarii Kn ,..,, 21 , nu toi nuli, astfel nct
0....2211 nnvvv .
Mulimea S se numete liniar independent dac nu este liniar
dependent, adic, pentru orice niSvi ,1 , ,
0....2211 nnvvv , Ki , nedeterminai, implic
0,..,0,0 21 n .
I.1.4. Baza i dimensiunea unui spaiu vectorial
Definiia 6. O mulime B de vectori din spaiul vectorial V se
numete baz a lui V dac B este liniar independent i genereaz
spaiul V, )(BLV .
Denumire. V este finit dimensional dac admite o baz finit sau
dac V={0} ; n caz contrar, se spune c V este infinit dimensional.
Definiia 7. Se numete dimensiune a unui spaiu vectorial finit
dimensional V i se noteaz cu dim V numrul
{0}. adac 0,
vectori,din aformat abaz o are adac ,dim
V
nVnV
Notaie. V de dimensiune finit n se noteaz cu nV .
Definiia 8. Subspaiul S este suma direct a subspaiilor U i V
ale spaiului V dac
VUVUS ,
i se noteaz VUS . U i V se numesc n acest caz spaii
complementare.
-
6
I.1.5. Schimbarea bazei. Schimbarea coordonatelor.
Fie o baz neeeB ,....,, 21 a spaiului n-dimensional nV .
nixexexexvVv innn ,1,,...., 2211 K . (1.1)
Denumire. Numerele nxxx ,....,, 21 se numesc coordonatele
vectorului v n baza B iar relaia (1.1) se numete relaia de
descompunere a vectorului v n baza B.
Teorema 2. ntr-o baz dat, coordonatele unui vector sunt unic
determinate.
a) Schimbarea bazei. Fie K/V un spaiu vectorial. Considerm
neeeB ,....,, 21 i neeeB ,....,, 21 dou baze ale lui nV , unde
njeaeaeae nnjjjj ,1 ,....2211 . (1.2)
Matricea A format cu coordonatele vectorilor je (aezate pe
coloane) n baza B se numete matricea de trecere de la baza B la baza
B . n acest caz relaiile (1.2) se numesc formulele de trecere de la
baza ie la baza je a lui nV ( formulele schimbrii bazei).
b) Schimbarea coordonatelor.
Fie Vx . Cum n baza ie avem
n
j
jjexx1
, iar n baza
ie ,
n
i
iiexx1
, rezult n baza unicitii coordonatelor
njxaxn
i
ijij ,1,1
. (1.3)
-
7
Sub form matricial, relaiile (1.3) se scriu XAX , unde
nx
x
x
X
2
1
,
nx
x
x
X
2
1
, ijaA cu A matricea de trecere de la B
la B .
-
8
CAPITOLUL II
SPAII EUCLIDIENE
II.1.1. Produs scalar. Spaiu vectorial euclidian
Definiia 1. Fie V un spaiu vectorial complex. O aplicaie
, definit pe VV i cu valori n C care are proprietile:
1) Vyxxyyx ,,,, ,
2) Vzyxzxyxzyx ,,,,,, ,
3) Vyx yxyx ,,,,, C ,
4) ,00,;0, xxxxx
se numete produs scalar pe V.
Definiia 2. Fie V un spaiu vectorial real. O aplicaie
R VV:, care are proprietile:
1) Vyxxyyx ,,,, ,
2) Vzyxzxyxzyx ,,;,,,,, R ,
3) 00,;0, xxxxx ,
se numete produs scalar pe spaiul real V.
Definiia 3. Un spaiu vectorial (real sau complex) pe care s-a
definit un produs scalar se numete spaiu vectorial euclidian (real sau
complex).
Definiia 4. Se numete norm pe un spaiu vectorial real sau
complex V o funcie R V: care ndeplinete axiomele:
-
9
1) ;)(,0 Vxx 0x ,0 x
2) R , )(xx (sau C), Vx )( ,
3) yxyx , Vyx ,)( .
Norma definit de relaia xxx , se numete norm euclidian.
Definiia 5. Vectorul e cu proprietatea 1e se numete versor
sau vector unitate. Versorul asociat unui vector nenul x este xx
e 1
.
Definiia 6. Fie V un spaiu euclidian real i 0, Vyx . Numrul ,0 definete egalitatea:
yx
yx
,cos
se numete unghiul neorientat al vectorilor x i y.
II.1.2. Mulime ortogonal. Baz ortonormat
Definiia 7. Fie V un spaiu vectorial euclidian. Doi vectori din V
se numesc ortogonali dac produsul lor scalar este nul. O mulime
nevid VS se numete ortogonal dac oricare doi vectori din S
sunt ortogonali: .,,,0, vuSvuvu O mulime se numete ortonormat dac este ortogonal i
fiecare element al su are norma egal cu 1.
Definiia 8. Fie spaiu liniar euclidian V i vectorii
0,, vVvu . Vectorul vvv
vu
,
, se numete proiecia vectorului u pe
-
10
v iar numrul vv
vu
,
, se numete mrimea algebric a proieciei lui u pe
v.
II.1.3. Construirea unei baze ortonormate a spaiului nV pornind de
la o baz dat a acestuia
a) Construirea unei baze ortogonale (procedeul Gram-Schmidt)
Considerm o baz nvvvB ,....,, 211 a spaiului euclidian nV . Se determin o baz nwww ,....,, 21 ortogonal dup procedeul Gram-
Schmidt:
.,
,
,
,
,,
,
,
,
,,
,
,
1
11
1
1
11
1
2
22
23
1
11
13
33
1
11
12
22
11
n
nn
nnn
nn www
wvw
ww
wvvw
www
wvw
ww
wvvw
www
wvvw
vw
nwwwB ,....,, 212 este o baz ortogonal n nV .
b) Construirea unei baze ortonormate
Mulimea nuuuB ,....,, 213 , format din versorii
niw
wu
i
i
i ,1, este o baz ortonormat a lui nV .
-
11
CAPITOLUL III
TRANSFORMRI LINIARE. VALORI I VECTORI PROPRII
III.1.1. Transformri liniare. Definiie. Proprieti
Fie V i W spaii vectoriale pesnte cmpul K.
Definiia 1. Se numete transformare liniar de spaii vectoriale o
funcie WVf : cu proprietile:
Vyxyfxfyxf ,)(,)()()( , (3.1)
Vxxfxf K )(,)(,)()( , (3.2)
Teorema 1. O aplicaie WVf : este o transformare liniar
dac i numai dac
Vyxyfxfyxf ,)(,,)(,)()()( K (3.3)
Definiia 2. Se numete nucleu al transformrii liniare
WVf : mulimea
WufVuf 0)()0(1 / (3.4) Notaie: Kerf .
Definiia 3. Se numete imagine a transformrii liniare
WVf : mulimea valorilor lui f,
vufVuWvfVf )(:)(Im)( / (3.5)
Teorema 2. Dac neee ,...,, 21 este o baz n nV i
nwww ,...,, 21 este o baz a lui mW atunci exist o matrice i numai
-
12
una ][ ijaA de tipul nm astfel nct
m
i
iijj waef1
)( . Mai mult,
dac
n
j
jjexx1
are imaginea
m
i
ii wyxf1
)( atunci
nixayn
j
jiji ,1,1
(3.6)
Notnd
nx
x
X 1
,
ny
y
Y 1
se obine scrierea matriceal
XAY . (3.7)
A se numete matricea transformrii liniare.
III.1.2. Valori i vectori proprii
Definiia 4. Un scalar K se numete valoare proprie a
endomorfismului f dac exist un vector nenul Vx astfel nct
xxf )( (3.8)
Orice vector nenul x care verific aceast relaie se numete vector
propriu al transformrii f , corespunztor valorii proprii .
Mulimea valorilor proprii ale endomorfismului f se numete spectrul lui f.
Teorema 3. Valorile proprii ale endomorfismului f sunt soluiile
ecuaiei caracteristice 0)det( IA iar vectorii proprii sunt soluiile
nenule ale sistemului XAX , unde A este matricea transformrii
liniare f ntr-o baz din nV .
III.1.3. Forma diagonal
Definiia 5. Un endomorfism nn VVf : se numete
diagonalizabil dac exist o baz nvvv ,...,, 21 astfel nct matricea lui f
n aceast baz s fie diagonal.
-
13
Pentru diagonalizarea unui endomorfism se procedeaz astfel:
1) se fixeaz o baz n nV i se determin matricea ][ ijaA a lui f n
aceast baz;
2) se rezolv ecuaia caracteristic a lui f, 0)det( IA : dac toate
soluiile ei sunt din K, atunci toate sunt valori proprii ale lui f;
3) dac exist p valori proprii distincte i de ordine de multiplicitate
pimi ,1, , unde
p
i
i nm1
, se determin subspaiul propriu i
S
corespunztor fiecrei valori proprii i , rezolvnd ecuaia
piXAX i ,1, . Se pune n eviden cte o baz n fiecare
subspaiu propriu i
S . Dac pimS ii ,1,dim , atunci f este
diagonalizabil.
4) Formm o baz a lui nV ,
p
i
ipmmmmmm nmeeeeeeeB p1
1...21 ,,...,;....;,..,;,...;, 1121111 ,
astfel c primii 1m vectori sunt baz n 1S , urmtorii 2m sunt baz n
2S .a.m.d. Matricea format cu coordonatele vectorilor proprii din
baza B (aezate pe coloan) o notm cu C; ea este matricea schimbrii
de baz (baza iniial trece n B).
5) Matricea lui f relativ la baza B (format din vectorii proprii) este o
matrice diagonal D de forma
-
14
p
p
p
D
...00...0...000...00
.......................................
0...0...0...000...00
0...0...0...000...00
0...00......000...00
.......................................
0...00...0...00...00
0...00...0...00...00
0...00...0...00...00
.......................................
0...00...0...000...0
0...00...0...000...0
2
2
2
1
1
1
(3.10)
6) Se verific corectitudinea calculului, folosind relaia:
CACD 1 (3.11)
III.1.4. Foma Jordan
Definiia 6. Fie K . Matricele ptratice de tipul
000
100
010
001
;
00
10
01
; etc. (3.12)
se numesc celule Jordan de ordinul respectiv 1,2,3,4 etc, ataate
scalarului .
-
15
Definiia 7. Spunem c endomorfismul nn VVf : este adus la
forma Jordan dac exist o baz n nV fa de care matricea
sJ
J
J
J
....00
.............
0....0
0....0
2
1
(3.13)
s reprezinte endomorfismul f, unde ),1( siJ i sunt celule Jordan
ataate valorilor proprii ),1( sii , ale endomorfismului f.
Teorema 4. (Teorema lui Jordan). Fie nV un spaiu vectorial
peste cmpul K de dimensiune finit i nn VVf : un endomorfism
pe nV . Proprietile urmtoare sunt echivalente:
1) Toate rdcinile polinomului caracteristic al lui f sunt n K;
2) Exist o baz a lui nV n care matricea transformrii f are forma
Jordan (3.13), n care fiecare celul iJ are elemente din K. Aceasta
este numit baza Jordan.
Etapele determinrii matricii Jordan a unui endomorfism f al
spaiului nV i a bazei Jordan a lui nV sunt:
1) Scrierea matricei endomorfismului ntr-o baz fixat (de preferin
baza canonic) a lui nV . Fie A aceast matrice.
2) Rezolvarea ecuaiei caracteristice a lui f ( a matricei A) i
determinarea valorilor proprii j cu multiplicitile lor jm ( pj ,1 );
dac
p
j
j nm1
(adic toate rdcinile ecuaiei caracteristice sunt
numere din K), atunci endomorfismul admite form Jordan i se
continu cu etapele urmtoare.
-
16
3) Determinarea subspaiilor proprii i
S asociate fiecrei valori
proprii i determinarea unei baze n i
S , ( pj ,1 ).
4) Precizarea numrului de celule Jordan ce corespund valorilor
proprii j ,
jjn rnIArangVS i )(dimdim (3.14)
5) Determinarea vectorilor din baz corespunztori celulei de ordin
p, ataat valorii proprii j : se determin soluia general pentru
jjj eef )( , apoi se impun condiii de compatibilitate i de
determin soluii pentru
.)(,.....)(,)( 1233122 ppjpjj eeefeeefeeef
6) Matricea Jordan este CACJ 1 , unde C este matricea care
are pe coloane coordonatele vectorilor din baza Jordan.
-
17
CAPITOLUL IV
FORME BILINIARE. FORME PTRATICE.
ADUCEREA LA FORMA CANONIC A FORMEI PTRATICE
IV.1.1. Forme biliniare
Definiia 1. Se numete form biliniar aplicaia VVF : R
ce verific axiomele:
a) yxFyxFyxxF ,,, b) ,,,, yxFyxFyyxF . K ,;,,,,, Vyyyxxx
Expresia analitic a formei biliniare este:
....
......
...,
22
112222221221
1121121111
1,
nnnnnn
nnnn
nn
n
ji
jiij
yxayxa
yxayxayxayxa
yxayxayxayxayxF
unde jiij eeFa , iar ,...2211 nnexexexx nneyeyeyy ...2211 .
Forma matriceal a expresiei analitice este :
YAXyxF t , unde ,.
...
......
...
...
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
,...., 21t
nxxxX ....., 21t
nyyyY
Observaie. La o schimbare de baz, matricea A se schimb
astfel:
CACA t
-
18
unde C este matricea schimbrii de baz.
Definiia 2. Forma biliniar ),( yxF este simetric dac
VyxxyFyxF ,)(),,(),( .
Dac VyxyxFyxF ,)(),,(),( atunci F este o form
biliniar antisimetric.
Definiia 3. Fie RVVF : o form biliniar.
- F este pozitiv definit dac 0,)(,0),( xVxxxF ;
- F este pozitiv semidefinit dac VxxxF )(,0),( ;
- F este negativ definit dac 0,)(,0),( xVxxxF ;
- F este negativ semidefinit dac VxxxF )(,0),( ;
- F este nedefinit dac Vx i Vy cu 0),( xxF i
0),( yyF .
Rangul formei biliniare F este dat de rangul matricei sale A i se
spune c F este form biliniar degenerat dac
VnnrangArangF dim, i F este form biliniar nedegenerat
dac nrangArangF .
IV.1.2. Forme ptratice
Fie RVVF : o form biliniar simetric,
),(),( xyFyxF .
Definiia 4. Se numete form ptratic generat de F aplicaia
RVP : definit prin ),()( xxFxP .
Observaii.
1) ),( yxF se numete forma biliniar generatoare (polar) .
2) Expresia analitic a formei ptratice este:
-
19
.......2...2
2...22)(
2
223223
2
222
1131132112
2
111
nnnnn
nn
xaxxaxxaxa
xxaxxaxxaxaxP
Forma matriceal va fi XAXxP t )( unde A este matricea ataat
formei P n baza B.
3) Matricea formei ptratice este o matrice simetric i real avnd
valori proprii reale, iar vectorii proprii corespunztori la valori proprii
distincte sunt ortogonali.
4) Forma biliniar polar se obine unic din P astfel:
VyxyPxPyxPyxF ,.,)()()(2
1),( ,
5) Modificarea matricii unei forme ptratice la schimbarea bazei se face
analog cu cea a unei forme biliniare: CACA t unde C este
matricea schimbrii de baz.
IV.1.3. Forma canonic a unei forme ptratice
Definiia 5. O form ptratic este n form canonic dac 22
22
2
11 .....)( nn XXXxP sau matricea ataat ei are forma
diagonal
n
A
...00
......
0...0
0...0
2
1
.
Baza n care are loc aceast scriere se numete baz canonic pentru
forma P.
Propoziia 1. Pentru orice form ptratic exist o baz canonic
B n care forma ei este
22222
11 ... nnxP cu t
nBX ,...,, 21
-
20
Demonstraie. Fie RVP : , de forma jin
i
n
j
ij xxaxP
1 1
n baza neeeB ,...,, 210 a lui V. Presupunem c exist nii 1 cu .0iia Presupunem 011 a . Dac lum separat
termenii n care apare componenta 1x :
.......
...22...2
2
11
1
2
11
12
2
11
1
2
11
12111
11
1
2
11
121
2
111112112
2
111
n
n
n
n
n
n
nn
xa
ax
a
ax
a
ax
a
axa
xa
ax
a
axxaxxaxxaxa
De aici ,... 1
2
11
12
11
121 xPx
a
ax
a
axaxP n
nn
unde xP1 nu
conine componenta .1x
Fcnd transformarea ,...11
1
2
11
1211 n
n xa
ax
a
axy
nn xyxy ,...,22 , obinem 32232
222
2
111 2 yybybybxV
+ .... 2nnn yb
Vom nota cu B1 baza n care coordonatele lui x devin
tnB yyyx ,...,, 211 i transformarea fcut se scrie matriceal :
01
1
2
111
1
11
13
11
12
2
1
;
1........000
0........100
0.........010
......1
BB
n
n
n
XCX
x
x
xa
a
a
a
a
a
y
y
y
i .01det1 C
Aplicm acelai procedeu lui 1P i dup n astfel de pai se obine forma
canonic a formei. Dac suntem n situaia n care na iii ,1,0
transformarea ,211 yyx nn yxyxyyx ,...,, 33212 care are
-
21
ataat matricea nesingular 2det;
1.............000
0..............100
0..............011
0..............011
DD
rezolv acest impediment. Se obine forma
2
212
2
112
3,
212112 yayayyayyyyaxP ji
jiji
ij
+ji
jiji
ij yya
3,
i se continu ca mai sus.
Aceast demonstraie constituie i un procedeu de determinare a formei
canonice pentru o form ptratic, denumit metoda lui Gauss.
Metoda lui Jacobi
Teorema 1. Dac n baza B, forma ptratic P are matricea:
,.......................
.............
.. . . . .. .. .. . ... . . . ... . . .. .. .. .1
111
nnn
n
aa
aa
A cu ,0,1 1110 a ....
02221
1211
2 aa
aa, nA
aa
aa
n
kkk
k
k det,....,0
........
................
..........
1
111
,
atunci exist o baz n care forma are expresia
..... 21222
12
1
1
0
n
n
n XXXxP
Metoda valorilor proprii (tranformrilor ortogonale)
Fie forma ptratic )(xP avnd matricea simetric A. Atunci
exist n ,...,, 21 valori proprii reale ale matricei A, iar
22222
11 .... nn xxxxP este forma canonic n baza format
de vectorii proprii corespunztori valorilor proprii.
-
22
Teorema 2 (Sylvester) Numrul coeficienilor strict pozitivi (p),
strict negativi (q) i nuli (r) este invariant la schimbarea bazei canonice.
Se numete signatura formei ptratice tripletul (p,q,r).
-
23
CAPITOLUL V
ALGEBR VECTORIAL
Fie spaiul euclidian 3
R .
Definiia 1. Mulimea segmentelor orientate din spaiu care au
aceeai direcie, acelai sens i aceeai lungime se numete vector
liber.
Vectorul liber se reprezint prin oricare din segmentele orientate care
aparin mulimii.
Notaie. a , b , etc. sau MNAB, , etc.
Lungimea unui vector a sau AB se noteaz cu a sau AB .
Vectorul de lungime unu se numete vector unitate sau versor.
Vectorii care au aceeai direcie se numesc coliniari.
Doi vectori sunt egali dac au aceeai direcie, acelai sens i aceeai
lungime.
Mulimea vectorilor liberi din 3
R formeaz mpreun cu adunarea
vectorilor (regula paralelogramului) i cu nmulirea unui vector cu un
numr real, un spaiu vectorial tridimensional.
Fie },,{ kji o baz ortonormat din 3
R . Un vector 3
Ra se
exprim unic sub forma kajaiaa zyx , iar numerele
),,( zyx aaa se numesc coordonatele euclidiene ale lui a .
Lungimea lui a este 222
zyx aaaa . (5.1)
Dac ),,( zyx aaaa i ),,( zyx bbbb atunci
-
24
),,( zzyyxx babababa , ),,( zyx aaaa , R .
Dac ),,( 111 zyxA i ),,( 222 zyxB sunt dou puncte date, atunci
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxxABAB (5.2)
Definiia 2. Se numete produsul scalar a doi vectori a i b ,
numrul
),(,cos bababa .
Proprieti. a) 0,02
aaaa i 0aa 0a ; b)
cabacba )( ; c) )()( baba ; d) abba ; e)
baba 0 ; f) 0,
bb
baapr
b, RR ,,,)( 3cba .
Observaia 1. In raport cu o baz ortonormat, produsul scalar
are expresia
zzyyxx babababa (5.3)
iar unghiul dintre cei doi vectori poate fi determinat prin
],0[,cos222222
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa. (5.4)
Fie e un versor. Numrul ea este mrimea algebric a proieciei lui
a pe direcia e .
Definiia 3. Se numete produsul vectorial al vectorilor a i b ,
vectorul
),(,sin baebaba ,
-
25
unde e este un versor perpendicular pe planul format de a i b i cu
sensul astfel nct triedrul baba ,, s fie orientat drept (rotirea lui a spre b n sens trigonometric s nu depeasc un unghi de
180 ).
Proprieti. a) 0aa , b) baba 0 , c)
abba , d) )()( baba , e) cabacba )( ,
RR ,,,)( 3cba .
Mrimea produsului vectorial reprezint aria paralelogramului ce
se poate construi pe cei doi vectori ca laturi.
Observaia 2. In raport cu o baz ortonormat, produsul vectorial
are forma
kabbajbaabiabba
bbb
aaa
kji
ba
yxyxzxzxzyzy
zyx
zyx
)()()(
(5.5)
Definiia 4. Se numete produsul mixt a trei vectori a , b i c ,
scalarul cbacba )(),,( .
Proprieti. a) ),,(),,(),,( bacacbcba , b)
),,(),,( cabcba , ),,(),,( cbacba , RR ,,,)( 3cba .
Observaia 3. Modulul produsului mixt a trei vectori reprezint
volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori ca laturi.
Observaia 4. In raport cu o baz ortonormat, expresia
produsului mixt este:
-
26
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba ),,( . (5.6)
Observaia 5. Trei vectori sunt coplanari dac produsul lor mixt
este zero.
Definiia 5. Se numete dublu produs vectorial al vectorilor a ,
b i c , vectorul
cbabcacba )()()( .
Aplicaii. 1) Aria triunghiului de vrfuri A, B, C este
ACABA 2
1. (5.7)
2) Volumul tetraedrului de vrfuri A, B, C, D este ADACABV ,,6
1 .
(5.8) ; 3) O condiie necesar i suficient ca patru puncte A, B, C, D
s fie coplanare este ca 0
1
1
1
1
444
333
222
111
zyx
zyx
zyx
zyx
. (5.9)