![Page 1: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/1.jpg)
ENumericka analyza transportnıch procesu - NTP2
Prednaska c. 8
Uvod do presnosti MKP, generace sıtıa metod resenı soustav linearnıch rovnic
![Page 2: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/2.jpg)
Uvod do presnosti metody konecnych prvku
![Page 3: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/3.jpg)
Uvod do presnosti metody konecnych prvku
Sıt’ konecnych prvku
• Metoda konecnych prvku je zalozena na diskretizaci puvodnı spojite kon-strukce soustavou prvku (nebo obecneji na diskretizaci slabe formulacerıdicıch rovnic) ⇒ vysledkem je priblizne resenı
• Presnost priblizneho resenı zavisı na- volbe typu konecnych prvku- velikosti jednotlivych prvku- na prubehu slabeho resenı- u casove zavislych problemu na typu casove diskretizace a algoritmuresenı
• MKP je silne ovlivnena konstrukcı sıte konecnych prvku (obecne bazovychfunkcı)
![Page 4: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/4.jpg)
Uvod do presnosti metody konecnych prvkuKovergence metody konecnych prvku
• Teorie je velmi propracovana pro ulohy mechaniky (linearnı statika) -poznatky jsou vyuzıvany pro resenı transportnıch procesu (stacionarnı→ nestacionarnı)
• Pojem kovergence (Cauchyho koncepce): Rekneme, ze posloupnost realnych
cısel an konverguje k limite a, pokud pro libovolne ε > 0 muzeme najıt
takove n0, ze pro kazde n ≥ n0 platı |a− an| ≤ ε. Pak pıseme:
limn→∞
an = a
• Predchozı definice jinymi slovy tvrdı, ze dokazeme posloupnostı an aprox-imovat limitu a s libovolnou presnostı ε > 0
• V MKP jde o to, zda lze slabe resenı dane ulohy uex aproximovat s
libovolnou presnostı konecneprvkovym resenım umkpn :
umkpn (x)→ uex
![Page 5: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/5.jpg)
Uvod do presnosti metody konecnych prvku
Kovergence metody konecnych prvku
• V MKP nas zajıma konvergence funkcı
• Prıklad: tazeny tlaceny prut
![Page 6: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/6.jpg)
Uvod do presnosti metody konecnych prvkuKovergence metody konecnych prvku
• Zavadıme tzv. energetickou normu funkce u
‖u(x)‖2 =
∫L
E(x)A(x)(du
dx
)2
dx,
ktera ma fyzikalnı vyznam energie konstrukce, udelıme-li ji dany posunu
• Zkoumame, zda platı:
‖umkpn (x)‖ → ‖uex(x)‖
• V MKP jednotliva resenı paramterizujeme rozmerem prvku h mısto poctemprvku n
• V idealnım prıpade by melo platit:
limh→0‖umkp
h (x)‖ → ‖uex(x)‖
![Page 7: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/7.jpg)
Uvod do presnosti metody konecnych prvkuKovergence metody konecnych prvku
• Tedy pro zvolenou presnost ε > 0 jsme schopni najıt takovou velikost
prvku h, ze platı:
‖umkph (x)− uex(x)‖ < ε
jsme tedy schopni aproximovat slabe resenı s libovolnou presnostı v en-ergeticke norme
![Page 8: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/8.jpg)
Uvod do presnosti metody konecnych prvku
Kovergence metody konecnych prvku
Bazove funkce musı splnovat podmınky:
• dostatecne hladkosti: funkce majı derivace radu o jeden vyssı nez seobjevuje ve slabem resenı
• spojitosti: funkce musı byt spojite jak uvnitr prvku, tak na hranici
• uplnosti: napr. pro teorii pruznosti:- musı popstat konstantnı stav deformace- a musı reprezentovat premıstenı prvku jako tuheho telesa bez vznikudeformacı
• Prvek jehoz bazove funkce splnujı jak podmınky spojitosti, tak uplnosti se nazyvakonformnı → monotonnı konvergence
• Pokud je splnena podmınka uplnosti, ale nenı podmınka spojitosti, prvek se nazyvanekonformnı
• U nekonformnıch prvku je analyza splnenı podmınky uplnosti velmi komplikovana,proto je pro kontrolu spravnosti resenı vyuzıvan tzv. PATCH TEST
![Page 9: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/9.jpg)
Uvod do presnosti metody konecnych prvku
Kovergence metody konecnych prvku
PATCH TEST
![Page 10: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/10.jpg)
Uvod do presnosti metody konecnych prvku
Adaptivnı techniky v MKP
• Adaptivnı techniky v MKP se zabyvajı zjemnovanım sıtı a zvysovanımstupne polynomu aproximacnıch funkcı, rychlostı konvergence
• Rychlost konvergence lze ovlivnit- zjemnovanım sıte h→ 0 - tzv. h konvergence- zvysovanım stupne polynomicke aproximace - tzv. p konvergence- kombinacı obou prıstupu - tzv. hp konvergence
• Z vypocetnıho hlediska je vyhodne provadet zjemnovanı sıte resp. zvysovanımstupne polynomu tam, kde priblizne resenı dobre nevystihuje presneresenı → adaptivnı varianta MKP.- napr. v mıstech koncentrace napetı, v mıstech extremnıch gradinetuteplot a vhlkostı, ...
![Page 11: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/11.jpg)
Uvod do presnosti metody konecnych prvkuAdaptivnı techniky v MKP
• Pro libovolnou adaptivnı techniku je nutne znat chybu priblizneho resenı
e(x) = umkp(x)− uex(x) (1)
respektive‖e(x)‖ = ‖umkp(x)− uex(x)‖ (2)
• Nazornejsı velicinou je relativnı chyba resenı
η =‖e‖‖u‖
(3)
![Page 12: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/12.jpg)
Uvod do presnosti metody konecnych prvku
Adaptivnı techniky v MKP
• Presne resenı uex nenı obecne zname, je nutne se spokojit “pouze” sodhadem chyby 0‖e‖ nebo relativnı chyby 0η
• Metody odhadu chyby- metoda ZZ (navrzena Zienkiewiczem a Zhuem) - vhodna pro h adap-tivnı metodu
O. C. Zienkiewicz and J. Z. Zhu, A simple error estimator and adaptive procedurefor practical engeneering analysis, International Journal for Numerical Methods inEngineering 24 (1987), 337-357.
![Page 13: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/13.jpg)
Uvod do automatickeho generovanı sıtıviz stranky predmetu NTP2
nebo
http://ksm.fsv.cvut.cz/∼dr/t3d.html - internetove stranky T3D
![Page 14: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/14.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnic
![Page 15: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/15.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnic
• Hledame resenı
Ax = b (4)
kde pocet rovnic je velky (106) a matice A je rıdka
![Page 16: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/16.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnic
![Page 17: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/17.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnic
Metody ukladanı rıdkych matic
• Pasova matice
![Page 18: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/18.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnic
Metody ukladanı rıdkych matic
• Skyline
• Souradnicove ukladanı - vhodne pro iteracnı resice
![Page 19: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/19.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnic
Metody resenı
Prıme metody
• Idea: faktorizace (rozklad) matice na soucin matic, ktere jsou snadnejiinvertovatelne (trojuhelnıkove) s moznou permutacı pro dosazenı stabil-ity
• Prıklad: LU dekompozice A = LU , kde L a U jsou dolnı, resp. hornı
trojuhelnıkove matice. Pokud je rozklad k dispozici, resenı je pak:
Ax = (LU )x = L(Ux) = b,
Ly = b, Ux = y
• Vyhoda rozkladu spocıva ve snadnem resenı obou podproblemu (doprednaa zpetna substituce)
![Page 20: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/20.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnic
Metody resenı
Prıme metody
• Vyhody:- garantovany pocet operacı- schopnost resit velke 2D a 3D ulohy- rychlost robustnost
• Nevyhody:- nutnost sestavit matici soustavy - muze znamenat znacne komplikace
![Page 21: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/21.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnic
Metody resenı
Iteracnı metody• Dva hlavnı typy iteracnıch algoritmu: relaxacnı (Jacobi, Gauss-Seidel) a
projekcnı (Krylovovy metody: CG, GMRES)
• Idea: generovat posloupnost aproximacı resenı x0, x1, . . . xn tak, aby limxn → x∗, kde x∗ je presne resenı
• Narozdıl od prımych resicu muzeme resenı predcasne ukoncit pomocıvhodneho kriteria
• Vyhody:- nemusı vyzadovat explicitnı sestavenı matice soustavy- velmi nızke pamet’ove naroky- efektivnı pro velmi rıdke systemy, zejmena ve 3D
• Nevyhody:- casto vyzadujı velky pocet iteracı- casto nutne efektivnı predpodmınenı
![Page 22: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/22.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnic
Metody resenı
Hybrinı metody
• multigridnı metody
![Page 23: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/23.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnic
Paralelnı resenı soustav rovnic• Velikost reseneho problemu je na jednom pocıtaci vzdy omezena (rychlost
CPU, velikost pameti)→ paralelnı, distribuovane vypocty na modernıchparalelnıch pocıtacıch nebo pocıtacovych svazcıch (PC clusters)
• Architektury:- sdılena pamet’- distrubuovana pamet’- hybridnı systemy
• Programovacı modely:- vlakna (threads) - sdılena pamet’ (POSIX, OpenMP)- Message passing interface - distribuovane i sdılene systemy (MPI)- Paralelnı datovy model - sdılena pamet’ (F90, HPF)
![Page 24: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/24.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnic
Paralelnı resenı soustav rovnic
• Princip: rozdelenı problemu na podproblemy, ktere mohou byt resenyna individualnıch uzlech, vzajemna zavislost vynucuje vzajemnou komu-nikaci
• V MKP se pouzıva tzv. domenova dekompozice = rozdelenı oblastina podoblasti - pro efektivnı zpracovanı je nutny paralelnı distribuovanyresic
• Pozadavky na dekompozici: rovnomerna distribuce prace (pocet prvku),minimalnı rozhranı mezi subdomenami (komunikace)
• Metody resenı:1. primarnı domenova dekompozice - Metoda Schurovych doplnku2. dualnı domenova dekompozice - metodat FETI (Finite Element Tear-ing and Interconnecting method)
• Load Ballancing - distribuce prace mezi uzly (staticka, dynamicka) jedulezita pro efektivnı vypocet
![Page 25: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/25.jpg)
Uvod do metod resenı rıdkych soustavlinearnıch rovnicPrıklad dekompozice
![Page 26: P redn a ska c. 8 Uvod do p resnosti MKP, generace s t a ...mech.fsv.cvut.cz/~krejci/vyuka/NTP2/Prednasky/Prednaska_08.pdf · E Numerick a anal yza transportn ch proces u - NTP2 P](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022041122/5d1e575b88c99335368d23d1/html5/thumbnails/26.jpg)
Uvod do presnosti MKP, generace sıtıa metod resenı soustav linearnıch rovnic
Temata prednasky jsou prevztata z predmetu NAK1 Doc. Dr. Ing. Borka Patzakaa z prednasek Doc. Dr. Ing. Daniela Rypla.