Download - Oscilatii Si Unde 2012-2013 Corectat Final
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
1
II Oscilatii si unde
Obiectivul acestui capitol este acela de a prezenta fenomenul de transmitere la distanta a
interactiunilor si a informatiei.
Toate semnalele fizice se pot exprima ca superpozitia unor semnale oscilatorii. Tehnica
descopmunerii in serie de termeni oscilatorii este utilizata in toate tipurile de analiza, prelucrare
si sinteza a semnalelor.
II.1 Oscilatii
II.1.1 Definitie
O variatie periodica1 in timp a valorilor unei marimi fizice, de-o parte si de alta a unei valori fixe,
se cheama oscilatie.
Marimea fizica oscilanta poate fi o coordonata
spatiala (in acest caz este vorba de o miscare
oscilatorie in sens propriu, iar valoarea fixa se
mai numeste pozitie de echilibru), o tensiune
electrica, o temperatura sezoniera, un indicator
macroeconomic - curs de schimb valutar, produs
intern brut - iluminarea diurna, etc.
II.1.2 Caracterizarea miscarii oscilatorii armonice
Marimea fizica ce oscileaza isi repeta valorile dupa
intervalul temporal T, numita perioada oscilatiei:
)()( Ttxtx .
Variatia periodica a marimii poate fi de diverse tipuri.
Daca dependenta de timp este de forma sinusoidala,
atunci oscilatia este armonica.
Reprezentari grafice de marimi oscilatorii (marimea oscilatorie este notata x):
1 In aceasta prezentare ne limitam la oscilatiile periodice; pentru cele aperiodice, cvasi-periodice etc. se poate consulta
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Fig.1
Fig.2 Oscilatii periodice
Oscilatii armonice Oscilatii nearmonice
Fig.3
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
2
Ecuatia unei oscilatii armonice unidimensionale, notata x, este:
xtxtx 00 ωsin)( ,
unde valoarea pozitiva x0 este amplitudinea oscilatiei, xtt 0ω)( este faza oscilatiei,
x0)0( se numeste faza initiala, iar ω este pulsatia, sau viteza unghiulara. Expresiile
matematice ale oscilatiilor din fig.3 sunt:
0π2sin)( 0 ftxtx , respectiv )0π2sin(sgn)( 0 ftxtx .
Pulsatia este legata, pana la un factor multiplicativ 2 ,
de frecventa oscilatiei f, care reprezinta numarul de
oscilatii pe secunda:
f 2ω , []SI=rad/s
Tf
1 , [f]SI=s
1 sau Hertz (Hz).
Notiunea de viteza unghiulara pentru pulsatie isi are
originea in analogia cu miscarea circulara (v. figura
alaturata, unde o miscare circulara poate fi descompusa
in doua miscari oscilatorii unidimensionale).
Oscilatiile se pot caracteriza atat in timp, cat si in
frecventa.
II.1.2 Cauzele oscilatiilor
In general, oscilatiile iau nastere in campuri unde interactiunile sunt proportionale cu deplasarea
fata de un punct, numit punct (centru) de echilibru; marimea care oscileaza poate fi de orice tip,
depinzand de proprietatea campului pe care o reprezinta.
Se va exemplifica pe cazul miscarii oscilatorii
armonice, care ia nastere in medii elastice, in urma
deplasarii obiectului fata de pozitia de echilibru. In
cazul unui corp de masa m, atasat unui resort, care
se poate misca orizontal, fara frecare, forta
campului elastic este direct proportionala si
orientata in sens invers alungirii resortului:
)()( elelastic txktF ,
unde constanta de proportionalitate kel este constanta elastica a resortului. Pe de alta parte, conform
principiului fundamental al dinamicii newtoniene
2
2
elasticd
d
t
xmtF .
Fig.5
Fig.4
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
3
In consecinta, ecuatia diferentiala a oscilatorului este
0d
del2
2
xkt
xm .
Functia necunoscuta x(t) trebuie determinata. Fara a demonstra cum se rezolva ecuatia diferentiala
precedenta, se poate verifica faptul ca
xtxtx 00 sin)(
este solutie a ecuatiei diferentiale, daca se identifica m
kel . Amplitudinea 0x si faza initiala
x0 se determina din doua conditii suplimentare, denumite conditii initiale, anume
0)0( xx si 0
0d
dx
t
vt
x
.
II.1.3 Spectrul de frecvente
O oscilatie de forma
00,01π2sin1)( ttx (u.a.)
se numeste monocromatica, deoarece oscilatia armonica are in structura o singura frecventa,
anume f =0,01Hz; corespunzator, perioada oscilatiei este T=100s. Semnalul oscilatoriu x(t), pentru
domeniul temporal )4000,0(t s si spectrul sau Sx(ω) sunt ilustrate in figurile de mai jos. Desi,
deocamdata, nu este clar cum se obtine expresia Sx(ω) din x(t), se va admite ca cele doua
reprezentari caracterizeaza aceeasi oscilatie2:
Fig.6
Un semnal compus din superpozitia a doua semnale monocromatice, de frecvente f1=0,01Hz si
f2=0,02Hz are expresia
202,02sin1001,0π2sin1)( tttx .
Graficele x(t) si Sx(f) arata ca in fig.7:
2 Sx se obtine prin ceea ce se numeste transformarea Fourier a functiei x.
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
4
Fig.7
Spectrul audibil si spectrul vizibil
Spectrul audibil al oscilatiilor mecanice
Frecventele audibile ale oscilatiilor mecanice ale timpanului sunt in intervalul 16Hz–20kHz. Peste
20000Hz se numesc ultrasunete, iar sub 16Hz, infrasunete, si nu mai pot fi transformate in senzatii
auditive de receptorul uman. Anumite animale comunica prin infrasunete (casalotul, elefantul), in
timp ce senzorii acustici ai altor animale acopera domeniul ultasunetelor (liliacul, pisica, sarpele).
Ramura fizicii care se ocupa de producerea si receptia sunetelor in domeniul audio este acustica.
Spectrul vizibil al oscilatiilor electromagnetic
Oscilatiile electromagnetice ocupa un spectru extrem de larg, de la undele radio la radiatia gamma.
Spectrul oscilatiilor electromagnetice care sunt convertite in senzatii cromatice vizibile de
receptorul uman se afla insa intr-un interval extrem de ingust, intre 200-950THz. Ramura fizicii
care se ocupa de producerea si receptia sunetelor in domeniul vizibil este optica.
Sursa: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Denumirile si prefixele multiplilor si submultiplilor zecimali
Multipli 101
Deca, da
102
Hecto, h
103
Kilo, k
106
Mega, M
109
Giga, G
1012
Terra, T
1015
Peta, P
1018
Exa, E
1021
Zetta, Z
1024
Yotta, Y
Sub-
multipli
101
deci, d
102
centi, c
103
mili, m
106
micro,
109
nano, n
1012
pico, p
1015
femto, f
1018
atto, a
1021
zepto, z
1024
yocto, y
1000 2000 3000 4000
2
1
0
1
2
Oscilatia compusa x(t)
20 40 60 80 100 120 1400
5
10
15
20
25
30
Spectrul oscilatiei compuse Sx(ω)
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
5
II.1.4 Energia oscilatorului.
Energia oscilatorului este compusa din energie cinetica si energie potentiala PC EEE . Energia
potentiala este energia de interactie in campul elastic si indica posibilitatea, sau „potentialul”
ansamblului oscilator-mediu de a schimba lucru mecanic. Cand obiectul se deplaseaza, de la
pozitia de echilibru pana intr-o pozitie oarecare x, de exemplu, sub actiunea unei forte exterioare F,
lucrul mecanic efectuat impotriva fortei elastice pentru a intinde resortul se regaseste in energia
potentiala
x
xxFx0
elasticP d)()(E , sau x
xxkx0
elP d)(E ,
sau, punand in evidenta timpul,
2
elP )(2
1)( txkt E .
Daca forta exterioara dispare, obiectul incepe sa oscileze, energia cinetica fiind 2
C2
1)( mvv E , sau
2
Cd
d
2
1)(
t
xmtE .
Pentru oscilatorul armonic, fara forte exterioare, este usor de aratat ca, inlocuind in expresia
energiei potentiale solutia x(t)
)(sin2
1)( 22
0elP txkt E
si in cea a energiei cinetice viteza dx/dt,
)(cos2
1)( 22
0elC txkt E
energia totala nu mai depinde de timp, adica este constanta
2
0el2
1xkE .
Se spune ca energia se conserva, sistemul oscilant obiect-camp fiind intr-o stare energetica
stationara.
Observatie. Solutia armonica xtxtx 00 sin)( , univoc determinata prin pozitia si viteza
(echivalent, impulsul) la momentul initial t=0, reprezinta o stare energetica a sistemului obiect-
camp elastic, stare care se pastreaza indefinit, atata timp cat acesta este izolat de alte interactiuni,
din afara campului.
Observatie. In general, daca marimea care oscileaza este u, atunci energia este proportionala cu
valoarea patratica a acesteia
E ~ u2.
Fig.8
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
6
Aplicatie. Toti senzorii si toate aparatele de masura functioneaza pe baza preluarii unei
fractiuni de la energia oscilatorului. Timpanul urechii preia o parte din energia de oscilatie a
moleculele gazelor care compun aerul, o fotodioda preia o parte a energiei oscilatiei campului
electric incident pe jonctiune etc. Detectoarele sunt caracterizate de un timp caracteristic, in
care marimea detectata este mediata pe durata timpului caracteristic , astfel ca indicatia este
proportionala cu valoarea medie a patratului marimii oscilatorii:
indicatie detector ~
0
2 d)(1
ttu .
Spre exemplu, timpii de raspuns ai senzorilor umani sunt de ordinul a 0,1-0,2s.
Aplicatie. Pentru a prelua o fractiune din energia oscilatorului si a efectua, astfel, masuratoarea,
aparatul de masura interactioneaza cu ansamblul oscilant, perturbandu-l si modificandu-i starea.
Aparatul trebuie sa fie astfel proiectat incat perturbatia sa fie minima. Acelasi lucru se intampla si
in fenomenele economice. Pentru a masura valoarea unui bun, produs de o intreprindere, singura
cale este aceea de a-l tranzactiona pe piata, adica sistemul economic „intreprindere” trebuie sa
interactioneze cu mediul economic inconjurator, prin intermediul pietei. Orice alta evaluare a
bunului, in afara valorii de piata, este arbitrara. Spre exemplu, exista posibilitatea ca un bun, al
carui pret de cost este de 10 lei, fie sa se vanda la pretul de 5 lei, fie sa nu se vanda, daca nu exista
deloc cerere pentru acesta. Valoarea reala a bunului este valoarea de piata. Informatia referitoare la
pretul vanzarii perturba compania producatoare, in sensul ca fie trebuie sa ia masuri de reducere a
pretului de cost, fie chiar sa scoata bunul respectiv din fabricatie.
Exista numeroase deosebiri intre modelul economic si cel fizic. Modelul fizic este un caz limita,
care tine cont numai de elementele cele mai relevante. In realitatea economica, exista numerosi alti
factori care influenteaza pietele (geografici, comportamentali, politici etc.). Cu cat piata este mai
apropiata de piata ideala, cu concurenta perfecta, absolut libera, cu atat modelul economic se
apropie de modelul fizic, iar valoarea la care se face tranzactia tinde sa exprime cel mai bine
utilitatea bunului.
Oscilatii amortizate
Comportarea in timp a oscilatiilor amortizate
Transferul de energie de la sistemul oscilant in exterior are drept consecinta reducerea aplitudinii
de oscilatie, oscilatia devenind amortizata. In procesul de modificare a starii energetice oscilatorul
cedeaza in exterior lucru mecanic (sau caldura) sub actiunea unei forte exterioare. De multe ori
acest lucru este util, lucrul mecanic colectat fiind folosit pentru scopuri economice. Forta exterioara
poate fi forta rezistenta pe care o opune un dispozitiv mecanic (piston, turbina), forta electrica care
pun in miscare electronii dintr-un metal al unui senzor electronic etc.
In cazul in care forta exterioara este proportionala cu viteza de oscilatie, si antiparalela cu aceasta
Fext=v, ecuatia diferentiala se scrie sub forma:
0
d
d
d
del
exterioara forta
2
2
xkt
x
t
xm ,
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
7
sau, punand m
kel0 si
2
m rezulta:
0d
d2
d
d 2
02
2
xt
x
t
x.
Ecuatia de miscare a oscilatorului3 amortizat (solutia ecuatiei
diferentiale de mai sus) este
x
t textx 0
in timp scade eaamplitudin
0 sin)(
,
unde 22
0 .
Marimea β este factorul de amortizare, si are dimensiune de frecventa. Amplitudinea nu mai este
constanta, ci scade exponential in timp (v. Fig.9).
Observatii.
i/ Dupa un timp egal cu β1
(u.a.) amplitudinea oscilatiei scade de e2,7 ori. Acesta poate fi
considerata durata in timp oscilatiei amortizate. Dupa acest interval, se presupune ca energia
sistemului este neglijabila.
ii/ Energia, proportionala cu valoarea patratica, scade e2,7 ori dupa un timp (2β)1
, adica de doua
ori mai repede.
Aplicatie. Oscilatorul primar al unui calculator actual are frecventa de ordinul a 3GHz. Din acesta
se alimenteaza toate circuitele de prelucrare a informatiei: unitatea aritmetica, adresele de acces,
memoria s.a.m.d. Atenuarea, pana la disparitie, a oscilatiior, din cauza cedarii continue a energiei,
este evitata prin aport continuu de energie electrica in oscilator. Acestea oscilatii se numesc
intretinute.
Comportarea in frecventa a oscilatiei amortizate
Spre deosebire de oscilatia armonica neamortizata, care
are o singura frecventa in spectru, cea amortizata are o
banda de frecvente. Largimea de banda este 2β, simetrica,
in jurul valorii centrale f =/(2).
A se remarca faptul ca aceasta frecventa centrala nu este
identica cu cea a aceluiasi oscilator, daca ar fi
neamortizat:
2
0
02
1
fff
3 Deoarece obiectul capitolului este studiul oscilatiilor, se va lua in consideratie doar aceasta solutie, care este
caracteristica oscilatiilor slab amortizate.
Fig.9 Oscilatie amortizata
Fig.10 Spectrul oscilatiei amortizate
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
8
Cu cat amortizarea este mai slaba (β mai mic), cu atat frecventa centrala f se apropie de f0.
Observatie. Exista o relatie simpla intre durata oscilatiei si banda de frecvente B=2β:
B=1 (constant).
Aceasta relatie va fi reluata si interpretata la Cap. privitor la esantionare.
Exemplu. Un soc poate genera oscilatii care se amortizeaza in timp. In figurile de mai jos este
ilustrat cursul de schimb al monedei sud coreene (WON) in raport cu dolarul american (USD), la
inceputul crizei financiare care a lovit Asia de sud-est in anul 1997. A doua figura este prelucrata,
componentelor cu variatie rapida (echivalent, cu frecventa ridicata) fiind inlaturate.
Abscisa timpului este in zile. Se observa ca, dupa soc (devalorizare brusca), oscilatiile au durat
aproximativ 700 de zile, adica circa doi ani.
II.1.5 Compunerea oscilatiilor.
Din punct de vedere fizic, problema compunerii se pune atunci
cand cele doua marimi au aceeasi dimensiune, adica sunt de
acelasi tip, avand aceeasi unitate de masura. In continuare sunt
prezentate cateva cazuri simple de compunere.
a/ Cazul cand oscilatiile au aceeasi pulsatie, iar directiile de
oscilatie sunt perpendiculare intre ele; fie acestea x si y.
Rezultatul compunerii este o traiectorie eliptica (fig.10).
Cazuri particulare:
Oscilatiile au aceeasi faza initiala (sunt in faza)
0sin)( 0 txtx , 0sin)( 0 tyty .
Elipsa este degenerata la un segment de dreapta, de panta
y0/x0.
Oscilatiile sunt in antifaza
0sin)( 0 txtx , tyty sin)( 0 .
Fig.12
Fig.11
Fig.10
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
9
Elipsa este degenerata la un segment de dreapta, de panta y0/x0.
Oscilatiile sunt in cuadratura
0sin)( 0 txtx ,
2sin)( 0 tyty .
Elipsa este orientata fie orizontal, fie vertical. Pentru y0=x0,
elipsa devine cerc.
De cele mai multe ori este mai usor de inteles reciproca, adica
o miscare in plan, dupa o traiectorie eliptica, se proiecteaza pe doua directii reciproc
perpendiculare sub forma de miscari oscilatorii rectilinii, dupa fiecare axa. Acest lucru este valabil
si pentru miscarea periodica in spatiul fizic.
Aplicatie: Miscarea de revolutie a Pamantului in jurul Soarelui se poate descompune in trei miscari
oscilatorii. Metoda este de interes in astrofizica, deoarece, daca se cunosc trei proiectii ale miscarii
unui corp ceresc, pe trei directii oarecare - nu neaparat perpendiculare -, atunci se poate recompune
miscarea in spatiu a acestuia.
b/ Cazul cand oscilatiile au aceeasi directie.
b1/ Oscilatiile care se compun au aceeasi pulsatie:
01011 sin)( txtx ; 02022 sin)( txtx .
Rezultatul compunerii )()()( 21 txtxtx este o oscilatie cu aceasi pulsatie (frecventa) cu a
componentelor, de forma:
00 sin)( txtx , unde
02020101
020201010
01020201
2
02
2
01
2
0
coscos
sinsintan :faza
)cos(2 :eaamplitudin
xx
xx
xxxxx
Amplitudinea oscilatiei rezultante depinde de
defazajul initial 0102 .
Cazuri particulare:
Oscilatii in faza: 00102 .
In acest caz, amplitudinea rezultanta este maxima:
02010 xxx .
Oscilatii in antifaza: 0102 .
Oscilatii in antifaza; cu rosu este rezultanta
Oscilatii in cuadratura; cu rosu este rezultanta
Fig.14
Fig.13
Oscilatii in faza; cu rosu este rezultanta
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
10
In acest caz, amplitudinea rezultanta este minima: 02010 xxx .
Oscilatii in cuadratura: 2
0102
.
Amplitudinea rezultanta este: 2
02
2
010 xxx , intre valoarea minima si cea maxima.
Aplicatie: masuratori interferometrice. Interferometria este metoda de a transforma diferenta de
faza, care, de obicei, nu este sesizata de aparatele de masura – inclusiv urechea si ochiul uman – in
diferenta de amplitudine, care poate fi masurata. Pe acest principiu functioneaza interferometrele,
precum si sistemele audio stereo si quadro, imagistica 3D, sau prelucrarea de imagini holografice.
Aplicatie: 3D. Imaginea stereoscopica este compusa din doua imagini separate, preluate de fiecare
ochi. Din cauza pozitiei spatiale a ochilor, imaginile provenite de la acelasi punct-obiect nu sunt
identice, ci defazate; acest mic defazaj este receptionat de fiecare ochi sub forma de imagini cu
intensitate diferita, intre maximul si minimul de interferenta. Pe baza experientei acumulate in
timp, cortexul cerebral prelucreaza informatia de intensitate si o transforma in senzatie de
spatialitate, reusind sa evalueze distanta pana la punctul-obiect. In general, aprecierea distantei este
cu atat mai buna cu cat distanta dintre receptori este mai mare. Evaluarea depinde foarte mult de
experienta anterioara; spre exemplu, un copil mic apreciaza prost distantele. Pe de alta parte, un
adult poate aprecia satisfacator distantele, chiar cu un ochi inchis. In cazul sunetelor, auditia cu o
singura ureche nu da rezultate satisfacatoare.
Observatie: coerenta. Pana acum s-a presupus ca defazajul nu depinde de timp. Se spune ca
oscilatiile sunt coerente. Daca, insa, defazajul variaza in timp, atunci amplitudinea oscilatiei
rezultante, ca si faza ei, vor varia, si ele, in timp:
)()( 0102 tt x0(t).
In sens larg, conditia de coerenta se refera nu atat la invarianta in timp a defazaului, lucru imposibil
de realizat practic, ci la lentoarea cu care variaza acesta, in comparatie cu timpul caracteristic al
aparatului cu care se masoara oscilanta rezultanta. Daca variatiile sunt prea rapide, atunci figura de
interferenta nu poate fi inregistrata.
b2/ Oscilatiile care se compun au pulsatii putin diferite:
011011 sin)( txtx ; 022022 sin)( txtx ,
unde diferenta 12 este mica in comparatie cu oricare dintre frecventele (pulsatiile)
celor doua oscilatii 21, .
Oscilatia rezultanta este de forma
)(sin)()( 010 tttxtx ,
unde
02020101
020201010
01020201
2
02
2
01
2
0
)(coscos
)(sinsin)(tan:Faza
)(cos2)(:eaAmplitudin
txx
txxt
txxxxtx
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
11
Spre deosebire de cazul b1/, cand diferenta de faza era fixa in timp, iar amplitudinea oscilatiei
rezultante era constanta, acum diferenta de faza depinde de timp, iar amplitudinea oscilatiei
rezultante trece prin maxime si minime, generate de diferenta de frecventa f. Rezultatul
compunerii este o oscilatie a carei amplitudine nu mai este constanta, ci lent variabila in timp:
spunem ca oscilatia este modulata in amplitudine, adica 0x este functie de timp )(0 tx !
Din moment ce, oricum, diferenta de faza ()t+0102 se modifica in timp, efectul diferentei
initiale de faza 0102 nu mai influenteaza decat felul in care incepe oscilatia compusa, fara a
influenta spectrul de frecvente.
Exemple. Pentru a ilustra compunerea oscilatiilor cu frecvente putin diferite, fie cazurile
particulare de mai jos, unde f1=0,41Hz, f2=0,45Hz, deci f=0,04Hz.
Oscilatii in faza, 041,02sin1)(1 ttx ; 045,02sin1)(2 ttx
1000 2000 3000 40001.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
20 40 60 80 100 120 1400
5
10
15
20
25
30
Oscilatia 041,02sin1)(1 ttx si spectrul acesteia
1000 2000 3000 40001.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
20 40 60 80 100 120 1400
5
10
15
20
25
30
Oscilatia 045,02sin1)(2 ttx si spectrul acesteia
1000 2000 3000 4000
2
1
0
1
2
20 40 60 80 100 120 1400
5
10
15
20
25
30
Oscilatia rezultanta x1+x2 si spectrul acesteia
Oscilatii in cuadratura 041,02sin1)(1 ttx ;
245,02sin1)(2 ttx
1000 2000 3000 4000
2
1
0
1
2
20 40 60 80 100 120 1400
5
10
15
20
25
30
Oscilatia rezultanta si spectrul acesteia
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
12
Se constata ca fazele initiale nu influenteaza decat felul in care incepe oscilatia compusa; nu exista
influenta asupra spectrului.
Exemplu. Prin inregistrarea in timp a oscilatiei compusa din oscilatia 041,02sin1)(1 ttx cu
oscilatia
245,02sin1)(2 ttx , se constata ca, intr-un interval de 1000s, amplitudinea
rezultanta trece printr-un un minim si un maxim.
Oscilatia rezultanta depinde, de fapt, de diferenta de faza totala dintre oscilatii, adica, notand:
)(sin)( 1011 txtx ; )(sin)( 2022 txtx ,
Rezultatul va fi )(sin)()( 0 ttxtx , unde
)(cos)(cos
)(sin)(sin)(tan
)()(cos2)(
202101
202101
120201
2
02
2
01
2
0
txtx
txtxt
ttxxxxtx
Explicitand expresiile particulare ale fazelor )(t , se regasesc cazurile b1/ si b2/ discutate
anterior.
Aplicatii. Interferometria cu efect Doppler, utilizata la cartografierea obiectelor si fluidelor in
miscare (ecografe, radare, telescoape etc.), este o compunere de oscilatii cu frecvente usor
diferite. Efectul Doppler consta in modificarea uneia dintre frecventele oscilatiilor, proportional
cu viteza de deplasare a obiectului investigat. Rezultatul compunerii este o oscilatie rezultanta,
a carei amplitudine trece, in timp, prin valori maxime si valori minime. Numarul de maxime
detectat intr-un anumit interval de timp este proportional cu viteza obiectului.
b3/ Cu pulsatii semnificativ diferite 010011 sin)( txtx ; 02022 sin)( txtx m , unde
m0 . Calitativ, acest rezultat este similar cu cel precedent, in sensul ca se obtine, de
asemenea, o oscilatie modulata. Oscilatiile modulate se folosesc in telecomunicatii. Oscilatia de
frecventa mare este putatoarea, iar cea de frecventa joasa contine mesajul.
Observatie. Oscilatiile modulate sunt cele care prin care se transmit informatiile. Oscilatiile
armonice simple nu pot realiza acest lucru. Oscilatiile modulate se numeste semnale.
Exemple. Mai jos este ilustrat cazul 002,02sin1)(1 ttx ; 088,02sin1)(2 ttx ,
f1=0,02Hz, f2=0,88Hz, f1<< f2.
1000 2000 3000 40001.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
20 40 60 80 100 120 1400
5
10
15
20
25
30
Oscilatia 002,02sin1)(1 ttx si spectrul acesteia.
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
13
1000 2000 3000 40001.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
20 40 60 80 100 120 1400
5
10
15
20
25
30
Oscilatia 088,02sin1)(2 ttx si spectrul acesteia.
1000 2000 3000 40001.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
20 40 60 80 100 120 1400
5
10
15
Oscilatia rezultanta si spectrul acesteia.
Aplicatii: multiplexarea in comunicatii si transmisia informatiei. Practic, acesta este procesul de
modulatie a semnalelor, utilizat in transmiterea la distanta a informatiei (unde radio, televiziune,
transmisii optice etc.). Semnalul modulator, de frecventa joasa, este cel care poarta informatia, iar
semnalul de frecventa inalta este purtatoarea. Dupa cum se observa, in ultima figura, purtatoarea
„trage” langa ea frecventa de valoare mica. Prin urmare, mai multe astfel de purtatoare,
functionand pe frecvente diferite, pot transmite, fiecare, informatii independente unele de celelalte,
pe acelasi cale fizica, cum ar fi o fibra optica. Acesta este principiul multiplexarii pe canale de
transmisie, fiecare canal avand propria banda, in jurul purtatoarei. Exista mai multe variante de
modulatie, nu doar cea indicata aici. In oricare dintre ele, atunci cand se precizeaza frecventa (ex.
Radio FM 101,5MHz), aceasta este frecventa purtatoarei. Separarea informatiei de pe fiecare canal,
la receptie, se face prin filtrare.
II.1.6 Esantionarea
Semnalele reale nu sunt periodice, prin urmare nu se pot scrie sub forma unei singure functii
armonice, si nici printr-o singura frecventa. Semnalele modulate, care sunt utilizate la transmisia
informatiei, sunt aperiodice, si au o banda de frecvente, intre o frecventa minima si una maxima.
Tema. Pentru a intelege acest lucru, in cazul semnalelor periodice, vizitati pagina
http://www.falstad.com/fourier/
Orice semnal continuu poate fi reconstituit daca se cunosc doar parti ale sale. Se pune problema ce
parti din semnal trebuie alese, pentru ca reconstituirea sa fie posibila. Raspunsul este oferit de
teorema esantionarii.
Prin esantionare se intelege procesul de selectare a acelor portiuni de semnal care sunt suficiente
pentru reconstituire. Prin urmare, este suficient ca, in loc sa se transmita tot semnalul, sa se
transmita doar esantioanele sale.
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
14
Teorema esantionarii (Shannon-Nyquist)
Teorema Shannon-Nyquist indica modul cum trebuie esantionat un semnal a carui energie este
cuprinsa (de ex. in proportie de 95%) in intervalul f( fmin, fmax), interval cunoscut si sub denumirea
de banda semnalului (spre exemplu, banda audio este (16, 20000Hz)).
Intervalul (pasul) de esantionare tesant trebuie sa fie mai mic, sau cel mult egal cu jumatate din
perioada componentei cu frecventa cea mai inalta din spectrul semnalului:
max
esant2
1
ft
Interpretare fizica: la limita impusa de conditia Shannon-
Nyquist, frecventa de esantionare este suficient de mare
incat sa prinda valorile relevante ale componentelor din
semnal cu variatia temporala cea mai rapida (cu frecventa
cea mai mare fmax), adica sa prinda atat valoarea maxima
cat si cea minima a semnalului.
Frecventele mai inalte dacat fmax din spectrul semnalului
(reprezentand, in exemplul nostru 5% din energia sa) nu
pot fi puse in evidenta. De aceea, semnalul reconstituie foarte bine, dar nu identic, pe cel original.
Aplicatie: prelucrarea semnalelor in calculatoare. In imensa majoritate a cazurilor, semnalele se
proceseaza digital, motivele principale fiind doua: i/ reducerea costurilor de transmisie, prin
utilizarea, simultan, a aceleiasi cai fizice, de catre mai multi operatori, si ii/ protectia la
perturabatii.
Exemplu. Fie cursul de schimb Euro-USD din fig.16a. Pasul de esantionare este tesant=1zi, prin
urmare componenta cu cea mai mare frecventa care poate fi pusa in evidenta este fmax=0,5zi1
, care
corespunde perioadei de 2 zile. Variatiile mai rapide de 2 zile nu pot fi puse in evidenta cu acest
pas de esantionare4. Spectrul de frecvente al acestui semnal (fig.16b) indica ciclicitatile cu cele mai
mari ponderi in evolutia temporala a cursului. Se observa ca ponderile cele mai mari sunt pe
frecventele cele mai joase – echivalent, ciclurile cu perioadele cele mai mari.
Fig.16 Cursul de schimb Euro-USD in perioada 1998-2008 si spectrul sau de frecvente.
4 Indicii bursieri sunt esantionati cu un pas mai des, de obicei de ordinul minutelor.
Fig.15 Interpretarea fizica a conditiei
Nyquist pentru componenta cu perioada
cea mai mica
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
15
Semnalul temporal are N=3300 esantioane luate la un interval tesant=1zi, asadar are durata
Ttot=3300zile. Similar cu relatia Shannon-Nyquist, care fixeaza relatia dintre pasul de esantionare
in timp si frecventa maxima, exista o relatie analoaga, care fixeaza reprezentarea esantioanelor pe
graficul din domeniul frecventa, in functie de durata totala a inregistrarii temporale (v. fig.16):
tot
1
Tfesant .
In consecinta, numarul de esantioane in domeniul frecventa este n=1650, jumatate din cel al
esantioanelor temporale. Aceaste relatii sunt utilizate in toate programele de calculator5.
Aplicatie. Indicatorii macroeconomici, precum produsul intern brut, sunt afectati de sezonalitati.
Pentru a fi comparabili, de la trimestru la trimestru, sezonalitatile trebuie detectate si eliminate prin
tehnici de filtrare.
Tema. Bursa de la Bucuresti afiseaza valorile preturilor tranzactiilor la fiecare jumatate de ora.
Care este perioada ciclicitatilor care se pot evidentia in seria de valori a acestora?
5 MatLab, Mathematica
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
16
II.2 Unde
Motorul unui avion poate fi sesizat de urechea umana sub forma unui zgomot caracteristic, desi
acesta a fost produs in alta parte, la distanta de kilometri. De asemenea, lumina diurna este sesizata
de ochiul uman pe Pământ, desi sursa acesteia este Soarele. În ambele situatii vorbim despre unde
sau fenomene ondulatorii. În primul caz, vorbim de unde elastice, iar în cel de-al doilea, de unde
electromagnetice.
În termeni de câmp, câmpul de forțe, produs de o sursă, se extinde spațial, cu o anumită viteză,
până la receptor. Din punctul de vedere al acestuia din urmă, câmpul variază de la zero la o valoare
oarecare, suficientă ca să poată produce interactiuni detectabile, care pot fi procesate și afișate. În
mod analog se poate vorbi de o modificare (perturbație) a mărimii care caracterizează câmpul, nu
neapărat de la zero, ci de la o valoare oarecare, la alta.
Exemplu. Mărimea care caracterizează câmpul (gravitațional) al Pământului este intensitatea
câmpului (gravitațional), definită ca forța care se exercită asupra unității de masă a corpului de
probă:
GFm
1 ,
sau
2
P
r
M .
Analog se definește intensitatea câmpului electromagnetic, anume forța care se exercită asupra
unității de sarcină pozitivă a corpului de probă.
II.2.1 Definitie
Unda este fenomenul prin care oscilatiile se transmit, sau se propaga prin spațiu. Oscilatiile sunt
generate de o sursa, de la care se raspandesc in spatiul din jur, din aproape in aproape, si pot fi puse
in evidenta prin interactii specifice, cum sunt cele cu un aparat de masura. Fenomenul permite
transmiterea la distanta a interactiunilor.
Observatii:
i/ Propagarea se face cu viteza finita, viteza propagare fiind notata cu c.
ii/ Unda se propaga, ocupand, in timp, volume spatiale. Acest volum
spatial, care contine sisteme oscilante aflate in stari energetice
stationare, constituie campul undei.
iii/ Orice unda presupune transport de energie. Energia se gaseste in
oscilatorii din campul undei, si provine din cea injectată in mediu, în
locul unde se află sursa de camp.
Interactiunile din camp se pot masura folosind instrumente adecvate,
sau se pot utiliza pentru aplicatii, de exemplu pentru a recupera
Campul unei unde plane
Campul unei unde sferice
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
17
informatii transmise de sursa, cu ajutorul unui receptor. In oricare dintre cazuri, sistemele
oscilante din camp trebuie cuplate la sisteme
externe, unde descarca energia, cu consecinta
amortizarii oscilatorilor campului. Intretinerea
oscilatiilor este posibila, daca, la randul lor,
acestia iau energie de la sisteme oscilante vecine,
alimentate, din aproape in aproape, de la sursa. In
aceasta situatie, energia de la sursa se transmite
preferential catre receptor, in detrimentul
celorlalti oscilatori din camp, unde nu exista
consum energetic.
Exprimari uzuale, desi nu riguroase, sunt „sursa genereaza variatii de camp”, sau „sursa genereaza
unde”.
Cele mai cunoscute unde sunt undele sonore si undele electromagnetice.
Exemplu. Cea mai mare viteza cunoscuta in Univers este viteza de propagare a undelor
electromagnetice in vid
8103 c m/s.
II.2.2 Expresia undei armonice
Ca si in cazul oscilatiilor armonice, in cele ce urmeaza ne limitam la unde descrise de functii
armonice. Cea mai simpla expresie a unei unde armonice este cea generata de o oscilatie armonica.
Fie oscilația armonică
00 ωsin),( txztx .
O unda ce provine de la oscilatia de mai sus, si se
propaga de-a lungul axei z, este de forma6
00 ωsin),( kztxztx ,
unde mărimea k va fi explicată ulterior. In punctul P,
aflat la distanta zP, unda ajunge dupa timpul tP=zP/c.
Oscilatia din punctul P este descrisa de expresia:
0ωsin1),( PP tkzztu , t>tP.
Pentru o marime oscilatorie oarecare u (elongatie, presiune, densitate masica, inductie magnetica,
potential electric etc.), expresia undei este
00 ωsin),( kztuztu .
Expresia undei descrie oscilațiile aflate la coordonata z față de sursă (luata ca origine a
referentialului).
6 In alte carti se foloseste expresia 00 ωsin),( tkzxztx
Fig.17
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
18
In fig.18 este ilustrata o coarda lunga, excitata la capatul z=0. In particular, oscilatia sursei S (z=0,
0x=0, u0=1cm), are expresia
ttu ωsin1)0,( cm,
echivalent cu
ttu ωsin1)0,( cm.
Oscilatia punctului P, aflat la distanta zP, este (Fig.18
c,d,e)
PP ωsin1),( kztztu cm,
sau
)(ωsin1),( PP kztztu cm.
In ultima expresie, marimea )( PP0 kz joaca
rolul fazei initiale pentru oscilatia in punctul P.
Daca oscilatia sursei inceteaza dupa un timp , atunci
graficele celor doua oscilatii u(t,0) si u(t,zP) arata ca in
fig.19.
Fig.19 Oscilatia la sursa si oscilatia in P
Oscilatia punctului P este intarziata fata de cea a sursei
cu un timp zP/c, cat i-a trebuit campului undei sa se
extinda – echivalent, cat i-a trebuit undei sa se propage
– pana in P. De exemplu, daca zP=34m, atunci, tinand
cont ca viteza undelor sonore, in aer, este de
aproximativ c=340m/s, distanta va fi parcursa in
timpul zP/c =0,1s. Asadar, punctul P incepe sa oscileze
dupa 0,1s.
Privind in spatiu, daca oscilatia sursei inceteaza dupa timpul , atunci prin coarda se propaga un
tren de unda de durata finita si de lungime L=c, de asemenea, finita (fig.20).
a.
b.
c.
d.
e.
Fig.18
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
19
Fig.20 Propagarea unui tren de unda prin spatiu.
Exemplu. Durata de viata a unei stele a fost de 4 miliarde de ani. Lungimea trenului de unda emis
in spatiu este
ora
s3600
zi
ore24
an
zile25,365ani104
s
m103 98 L , de unde L=3,7910
25m.
Deoarece acest numar este extrem de mare, pentru distantele astronomice se utilizeaza anul-lumina
ca unitate de masura. Deci, lungimea spatiala a trenului de unda este de 4 miliarde ani-lumina.
Tema. Dupa cat timp este detectabila pe Pamant o explozie solara?
II.2.3 Marimi ondulatorii caracteristice
Marimile caracteristice oscilatiei armonice, precum faza, pulsatia, frecventa si perioada temporala,
raman valabile si in cazul undelor. In plus, in cazul undelor apar si marimi periodice spatiale.
Faza undei
Spre deosebire de oscilatii, unde faza depindea exclusiv de timp, acum depinde si de pozitia in
spatiu:
0ω),( kztzt .
Spre exemplu, in cazul oscilatiilor sursei S si a punctului P, fazele sunt
tt ω)0,( ,
respectiv
PP ω),( kztzt .
Diferenta de faza a oscilatiilor din cele doua puncte este constanta in timp:
PP )0,(),(),( kztztzt .
In cazul undelor, diferenta de faza dintre doua oscilatii din campul undei, intre care exista distanta
z, in campul undei, depinde atat de diferenta de timp, cat si de diferenta de drum:
zktzt ω),( .
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
20
Suprafete echifazice
Suprafata echifazica este locul geometric al oscilatiilor ale caror faze sunt identice, la orice
moment t
constzyxt ),,,( .
In Fig.21 este ilustrata o unda care se propaga dupa directia z, a carei marime oscilanta este
elongatia pe directia x, adica
00 ωsin),( kztxztx .
In cazul unidimensional, suprafata echifazica este
reprezentat de un singur punct (Fig. 20a) deoarece
constkzt )(ω 0 z=const.
In spatiu, (Fig.20 b-d), suprafetele echifazice ale unei
astfel de unde sunt suprafete plane, deoarece conditia
z=const este ecuatia unei suprafete plane,
perpendiculare pe axa Oz in punctul z=const.
Undele ocupa intotdeauna volume spatiale (campul
undei). Prin urmare, expresia pe care am utilizat-o
pana acum, anume xkztuztu 00 ωsin),( ,
caracterizeaza o unda plana. Radiatia emisa de lasere
este bine aproximata de modelul undei plane.
Un alt tip de unda des intalnita este unda sferica, unde
suprafata echifazica este sferica - cazul undelor emise
de Soare, cu simetrie radiala.
Lungimea de unda si numarul de unda
Lungimea de unda este distanta dintre doua suprafete
echifazice consecutive, adica intre care diferenta de
faza, la orice moment, este 2:
2)(2),(),( 2121 zzkztzt .
Conform definitiei, distanta 21 zz este tocmai lungimea de unda, notata cu (fig.21d). Asadar
2k ,
de unde
2k .
Marimea k se mai numeste numar de unde (cate „unde” sunt cuprinse in intervalul de faza 2), sau
numar de unda.
a.
b.
c.
d.
Fig.21
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
21
Viteza de propagare a undei armonice
Viteza de propagare este spatiul parcurs in unitatea de timp t
zc
d
d (a nu se confunda cu viteza de
oscilatie t
xvx
d
d ). Un procedeu convenabil de a exprima viteza de propagare este constatand ca,
intre doua suprafete echifazice consecutive (intre care diferenta de faza este 2), unda a parcurs
distanta , cu viteza c:
2)(ω 0kzt 2ωω 011022 kztkzt de unde k
c
, sau T
c
.
Viteza de propagare este perpendiculara pe suprafata echifazica. In figura 22 este ilustrat cazul unei
unde sferice in apa, care, la interfata cu aerul (suprafata apei) se reveleaza sub forma de cercuri, u
putand fi oricare dintre marimile elongatie, presiune, sau densitate a apei.
Fig.22
Alte expresii ale undei armonice
00 ωsin),( kztuztu ;
00 sin),(
c
ztuztu ;
00 2sin),(
z
T
tuztu .
Exemplu. Sensibilitatea analizatorului acustic uman este maxima la aproximativ 3,5kHz, iar cea a
analizatorului vizual, la 540THz. Unda sonora se propaga in aer cu viteza csonor=340m/s, iar cea
optica cu viteza coptic=3108m/s. Lungimile de unda corespunzatoare sunt:
7,9s3500
s
m340
1sonorsonor
sonor f
ccm; analog 555
s104,5
s
m103
114
8
optic
nm.
Tema. Pentru alte exercitii de calcul, vezi adresa http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html.
Grupuri de unde. In situatiile reale, undele nu sunt monocromatice, ci sunt constituite din
grupuri (pachete) de unde de frecvente diferite (spre exemplu, datorata modulatiei). Viteza de
propagare a acestora prin mediu nu este aceeasi. Astfel de medii se numesc medii dispersive,
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
22
iar efectul este acela ca oscilatia de la emisie se distorsioneaza pana la receptor (un astfel de
efect este cunoscut sub denumirea de largire a pachetului – „broadening pulse”). Din acest
motiv, pe canalele de comunicatii se utilizeaza amplificatoare corectoare, care restabilesc
informatia pe care o poarta unda. Pentru grupurile de unde se defineste viteza de grup, care este
viteza cu care unda transmite energia, deci informatia.
Marimi energetice
Energia undei
Prin energia undei se intelege toata energia existenta in volumul ocupat de campul undei. De obicei
nu intereseaza energia din tot campul undei, ci energia transmisa de la sursa la receptor. De aceea,
marimile mai interesante sunt puterea si, in special intensitatea undei.
Puterea undei
Fie o unda sferica, emisa de o sursa
punctiforma (bec luminos, clopot,
telefon mobil etc.). Unda se numeste
sferica, deoarece suprafetele echifazice
sunt sferice; acestea se indeparteaza,
radial, cu viteza c, astfel ca energia
emisa in unitatea de timp, de catre
sursa, se va regasi pe suprafata sferica
la un moment intarziat in timp cu r/c,
unde r este raza suprafetei echifazice.
Prin urmare, puterea undei, calculata
pe oricare suprafata sferica, este
aceeasi cu puterea sursei
Psursa=Punda [W].
De obicei, receptorul, aflat la distanta, este atins doar de o mica parte a suprafetelor echifazice, iar
puterea transmisa acestuia este, de asemenea, mica. De aceea, o marime mai utila este intensitatea
undei.
Intensitatea undei
Intensitatea undei este puterea transmisa pe unitatea de suprafata, orientata normal pe directia de
propagare:
StI
E
sau S
PI , [I]SI=W/m
2.
Exemplu. Fie o sursa (ex. un bec economic) cu puterea de 20W, adica in fiecare secunda emite 20J
energie sub forma de unde electromagnetice. Unda este sferica, suprafetele de faza constanta
departandu-se radial, cu viteza c. Pe masura ce suprafetele se departeaza, campul ocupa volume
Dupa: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Fig.23
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
23
spatiale din ce in ce mai intinse, iar puterea se repartizeaza pe suprafete sferice, de asemenea, din
ce in ce mai mari.
S
PI
2
1
4 r
PI
21
1
4
20
I I =1,6W/m
2.
In cazul undei sferice, intensitatea undei scade cu patratul distantei.
La distante mari, unda sferica poate fi aproximata cu o unda plana.
Exemplu. Intensitatea (energetica) a luminii solare incidente la suprafata Pamantului, la latitudinea
tropicelor, este aproximativ I=1kW/m2=0,1W/cm
2. Daca in campul undei se pune o celula solara,
de arie SDET=1cm2, puterea incidenta pe acesta este PDET=0,1W. Daca, in plus, randamentul
conversiei in energie electrica este de 0,2, atunci se vor putea obtine de la celula cel mult 0,02W
putere electrica. Puteri electrice mai mari nu s-ar putea obtine decat prin marirea suprafetei celulei,
sau prin imbunatatirea randamentului, deoarece intensitatea undei provenite de la Soare nu poate fi
marita.
Tema. Ati putea, imagina, totusi, vreo metoda pentru a mari intensitatea radiatiei incidente pe
celula solara?
Aplicatii ale undelor: telecomunicatii.
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
24
Informatia. Informatia se masoara in biti. Alfabetul calculatoarelor este format din doua
simboluri: 0 si 1. Cu acestea se formeaza cuvinte, adica pachete ordonate de simboluri.
Totalitatea cuvintelor formeaza vocabularul. In vocabular, simbolurile au frecvente diferite de
aparitie. In plus, in cursul transmisiei, simbolurile sunt perturbate de zgomote, zerourile putand
fi transformate in unu, si reciproc, iar cuvintele se pot altera. In consecinta, la receptie,
probabilitatile de aparitie a simbolurilor sunt diferite, functie de vocabular si de caracteristicile
zgomotului. Simbolul receptionat este incert, trebuind luata decizia daca acesta este 0 sau 1. Se
defineste bitul de informatie b sub forma
P2logb ,
unde P este probabilitatea de aparitie a simbolului.
Bitul este masura incertitudinii. Daca simbolul considerat apare cu certitudine (probabilitate
unu P =1), atunci informatia obtinuta la receptionarea simbolului este nula b=0. Cu cat este mai
mica probabilitatea simbolului, cu atat mai mare este informatia transportata.
Codarea reduce posibilitatea de a lua decizii eronate.
Senzatii: nivel sonor, nivel de iluminare
Sezatiile auditive si vizuale produse de undele sonore, respectiv luminoase, sunt proportionale, dar
nu direct proportionale cu intensitatea (energetica) a undei. Mai exact, pentru o frecventa fixata,
acestea sunt proportionale cu logaritmul intensitatii.
Senzatiile depind si de frecventa. Spre exemplu, sensibilitatea analizatorului acustico-vestibular
uman este maxima la aproximativ 3,5kHz, iar cea a analizatorului vizual la 540THz
(corespunde lungimii de unda =555nm). O unda sonora cu intensitatea de 1µW/cm2 la 1kHz
„se aude mai tare” decat aceeasi intensitate la 15kHz; analog, o radiatie luminoasa cu
intensitatea de 1W/m2, cu lungimea de unda de 555nm (verde), este perceputa ca fiind mai
intensa decat o radiatie luminoasa cu aceeasi intensitate, dar la lungimea de unda de 405nm
(indigo).
Nivelul sonor
Intervalul de frecvente la care este sensibila urechea umana este situat intre aproximativ 16Hz si
20000Hz, iar undele din acest domeniu se numesc unde sonore. Undele acustice cu frecvente mai
mici de 16Hz se numesc infrasunete, iar cele cu frecvente mai mari de 20000Hz se numesc
ultrasunete.
Nivelul sonor se defineste la frecventa de 1kHz, fata de o intensitate de referinta Iref=10-2
W/m2,
care caracterizeaza vorbirea curenta, cu voce normala
ref
S log10I
IN (dB).
Pragul de audibilitate inferior este Imin=10-12
W/m2 sau NS min= 100dB, in timp ce senzatiile de
durere apar pentru Imax=1W/m2, sau NS max= 20dB.
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
25
Exemple.
i/ Nivelul sonor al unui avion la decolare este de 80dB. Nivelul sonor a doua astfel de avioane,
care decoleaza simultan, este 2log10log10log10ref
S
ref
S
I
IN
I
IIN , de unde NS=86dB.
Nivelul sonor al mai multor surse nu se aduna algebric.
ii/ Un ansamblu rama-geam termopan atenueaza intensitatea zgomotului de 40 de ori in banda 50-
5000Hz. Nivelul sonor scade cu 2
2S
ref
1
ref
2S
40log10loglog10
I
IN
I
I
I
IN
, de unde
NS=16dB.
Nivelul de iluminare
Tema. http://www.luminotehnica.ro/index.php?option=com_content&view=article&id=51:marimi-luminot
II.2.4 Proprietatile undelor
Monocromaticitatea
Expresia 000 ωsin),( kztuztu descrie o unda monocromatica, deoarece, teoretic, contine o
singura frecventa, anume 0ω . Astfel de radiatie nu exista in realitate, deoarece ar presupune ca
sursa sa emita un timp infinit lung. Daca timpul de emisie este finit, de durata tot, asa cum este
orice semnal real, atunci vorbim de un tren de unde de lungime ctot cu frecvente ocupand un
interval continuu in jurul valorii 00 2ω f , anume in intervalul )1
,1
(tot
0
tot
0
ff . Cu cat este mai
scurta durata in timp, cu atat este mai larg spectrul in frecventa.
Undele si oscilatiile reale sunt caracterizate de o banda de frecvente, data de durata finita, in
timp, a oscilatiei sursei.
Aproximarea undei reale cu una monocromatica este cu atat mai buna cu cat durata semnalului este
mai mare decat perioada oscilatiei (undei) 0tot T .
Exemple
1/
ztuztu
340
01,0201,02sin),( 0 , 500 t s. Desi frecventa centrala este, formal, de
0f =0,01Hz, se observa ca este extrem de prost precizata, deoarece in cele 50s nu a putut fi emisa
decat o jumatate din perioada de 100s; in consecinta, spectrul este larg (0, 0,002)Hz, consecinta a
faptului ca semnalul emis este scurt.
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
26
2/
ztuztu
340
01,0201,02sin),( 0 , 5000 t s. Frecventa centrala este suficient de bine
precizata 0f =0,01Hz, iar spectrul este cuprins in intervalul (0,018, 0,012)Hz.
3/
ztuztu
340
01,0201,02sin),( 0 , 40000 t s. In acest caz, frecventa centrala este bine
precizata 0f =0,01Hz, iar spectrul este ingust, cuprins in intervalul (0,00975, 0,01025)Hz.
4/ Unda monocromatica, caz ideal
ztuztu
340
01,0201,02sin),( 0 , ),0[ t
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
27
Polarizarea
Unde transversale si unde longitudinale
O unda este longitudinala daca directia de oscilatie a marimii oscilante este paralela cu directia de
propagare. Undele sonore din aer sunt unde longitudinale.Daca dispuneti de un resort elastic,
fixati-i un capat la marginea mesei, intindeti-l usor apoi efectuati câteva miscari de-a lungul axei
sale. Ceea observati este o unda longitudinala.
O unda este transversala daca directia de oscilatie a marimii
oscilante este normala la directia de propagare. Undele
electromagnetice sunt unde transversale.
In mediile elastice lichide si solide se pot forma, in general,
atat unde longitudinale, cat si transversale. Undele de tsunami
sau cele seismice pot fi de ambele tipuri.
Exista unde care nu pot fi caracterizate nici ca transversale,
nici ca longitudinale.
Polarizarea are sens pentru undele transversale. O unda este polarizata daca directia de oscilatie
respecta anumite reguli. Exista cateva cazuri remarcabile de stari de polarizare (se presupune
propagare in lungul axei z).
a/ Unda liniar polarizata. In acest caz directia marimii oscilante ramane paralela cu o directie fixa.
Deoarece unda oscileaza in permanenta in
planul determinat de directia fixa si directia de
propagare, unda se mai numeste plan polarizata.
b/ Unda circular polarizata. Varful vectorului
marimii oscilante descrie un cerc.
c/ Unda eliptc polarizata. Varful vectorului
marimii oscilante descrie o elipsa.
In toate cazurile anterioare este aplicabila teoria
de la compunerea oscilatiilor. In consecinta,
orice unda polarizata poate fi descompusa in
doua unde liniar polarizate dupa directiile x si y,
avand relatiile de faza cunoscute.
d/ Unda nepolarizata. Unda din figura alaturata
este nepolarizata, directia de oscilatie a
trenurilor componente variind aleatoriu. Este
cazul luminii emise de sursele clasice (becuri cu
incandescenta, tuburi fluorescente etc.) unde
Fig.25 Exemplu ce sugereaza o unda nepolarizata si
necoerenta
Fig.24 Tipuri de unde polarizate
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
28
fiecare tren este generat de dezexcitarea cate unui atom individual (de wolfram, respectiv de
mercur), a carui emisie nu este corelata cu a celorlalti.
Coerenta
Exemplul din figura anterioara, cu unda nepolarizata, este si un exemplu de unda necoerenta.
Notiunea de coerenta este legata de
continuitatea functiei de faza. Pentru un
fascicul total coerent, trenul de unda trebuie sa
fie, teoretic, neintrerupt si infinit lung (unda
monocromatica), ceea ce este imposibil.
Pentru un laser comercial, lungimea medie a
trenurilor – lungimea de coerenta lcoerenta –
poate ajunge la sute de metri, fiind legata de
timpul de coerenta tcoerenta, prin relatia
lcoerenta = ctcoerenta..
II.2.5 Fenomene ondulatorii
Reflexia si refractia
Undele incidente pe o suprafata de discontinuitate dintre doua
medii sufera, simultan, reflexie, adica intoarcere in mediul din
care a venit (mediul 1), si transmisie, prin patrunderea in
mediul al doilea. Modificarea vitezei de propagare conduce la
refractia undei in mediul 2, adica la modificarea directiei de
propagare fata de directia initiala.
Suprafata de discontinuitate este locul unde proprietatile
mediului se modifica brusc, discontinuu, cu influenta directa
asupra vitezei de propagare a undei.
Indici de refractie
In general, viteza de propagare a oricarei unde depinde de mediul prin care se propaga. In cazul
undei electromagnetice, viteza ei de propagare intr-un mediu oarecare scade fata de valoarea ei in
vid. Indicele de refractie optic este raportul dintre viteza undei electromagnetice in vid si viteza din
mediul respectiv:
mediu
vidref
c
cn .
Raportul vitezelor de propagare prin cele doua medii este indicele de refractie relativ:
2mediu
1mediu
1mediu ref
2mediu ref21
c
c
n
nn .
Fig.26 Exemplu ce sugereaza o unda polarizata,
partial coerenta
http://en.wikipedia.org/wiki/Coherence_(physics)
Fig.27
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
29
Observatie. Definitia indicelui de refractie relativ este valabila pentru orice tip de unda.
Aplicatii: viteze de propagare ale undelor elastice si electromagnetice.
Unde elastice Unde electromagnetice
Material Viteza undei*)
(m/s) Material Indice de refractie optic*)
Cauciuc 60 Vid 1 (conventie)
Aer, 40C 355 Aer, 40C 1,00029
Aer, 20C 343 Aer, 20C 1,00030
Plumb 1210 Apa distilata 1,33
Aur 3240 Alcool etilic 1,36
Sticla 4540 Sticla (siliciu amorf) 1,46
Cupru 4600 Gheata 1,309
Aluminiu 6320 Diamant 2,42 *)
Valori orientative, valorile mai pot varia in functie de impuritati, temperatura, frecventa.
Exemplu. Daca unda cu frecventa f=540THz trece din vid in sticla de siliciu, viteza de propagare
scade de la c=3108m/s la valoarea csticla=310
8/1,46=2,0510
8m/s; corespunzator, lungimea de unda
scade de la vid=555nm la valoarea sticla=380nm, dar frecventa nu se modifica!
Prin conventie, atunci cand se specifica valoarea unei lungimi de unda electromagnetica, se
subintelege ca este valoarea acesteia in vid! Din acest motiv, in cataloage, marimile de material se
exprima in functie de (in vid).
Legile reflexiei
i/ Radiatia incidenta, cea reflectata si normala la suprafata de discontinuitate sunt coplanare.
ii/ Unghiul de reflexie este egal cu unghiul de incidenta ri .
Legile refractiei
i/ Radiatia incidenta, cea transmisa si normala la suprafata de discontinuitate sunt coplanare.
ii/ Unghiul de refractie si unghiul de incidenta indeplinesc relatia:
2
1
sin
sin
c
c
t
i
, echivalent cu 21
sin
sinn
t
i
.
Undele sonore sufera exact aceleasi fenomene, desi nu la fel de usor detectabile. In plus, refractia
in cazul sunetelor, se petrece, de cele mai multe ori, in lipsa suprafetelor de discontinuitate, cand
proprietatile mediului, si, in consecita, viteza undei, se modifica in mod continuu.
Exemplu. Spre exemplu, viteza sunetului in aer depinde de temperatura TK a acestuia, fiind
proportionala cu KΤ . Pe de alta parte, temperatura aerului atmosferic variaza cu inaltimea.
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
30
a. Temperatura scade cu inaltimea
b. Temperatura creste cu inaltimea
Fig.28 Refractia sunetului
In vecinatatea suprafetei terestre, aerul se incalzeste de jos in sus, astfel ca, in zilele senine,
temperatura scade cu inaltimea in timpul zilei, si creste cu inaltimea in timpul noptii. Din acest
motiv, pot aparea fenomene paradoxale.
Exemple.
i/ Ziua, in timpul averselor, exista posibilitatea
ca tunetul sa se auda foarte slab sau deloc, desi
fulgerul se produce relativ aproape (2-4km). In
acest caz, energia trece pe deasupra receptorului
- receptorul se afla in „umbra” sunetului -, si,
paradoxal, se poate auzi mult mai tare de cineva
situat mai departe de locul descarcarii.
ii/ Seara, pot fi auzite zgomote de la surse aflate
la cativa kilometri (tipice sunt cele de trenuri in
miscare, sau de la stadioane) care, in mod
normal, nu s-ar auzi.
iii/ Un alt exemplu, cunoscut, de refractie a
undelor luminoase in medii cu indice de
refractie continuu variabil, este mirajul optic.
Transmisia si absorbtia
Intensitatea incidenta I0 este patial reflectata, partial
absorbita de material
RIIr 0 , zeRII 10 ,
unde si R sunt, respectiv, coeficientul de atenuare si
reflectivitatea materialului. Atenuarea radiatiei transmise
se datoreaza absorbtiei, energia absorbita transformandu-
se, de regula, in caldura.
Adancimea de patrundere a undei in material se
defineste ca distanta la care intensitatea undei scade de
„e” ori, unde e2,718 este numarul lui Euler; in
consecinta, =1/.
Dispersia
Dispersia are loc la trecerea undelor prin anumite materiale, si consta in dependenta vitezei de
propagare de frecventa
c=c(f).
Fig.29 Reflexia, transmisia si atenuarea
datorata absorbtiei
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
31
Daca viteza c nu depinde de frecventa, atunci materialul este liniar, iar dispersia nu are loc.
Denumirea de material liniar este consecinta liniaritatii relatiei dintre pulsatie (frecventa) si
numarul de unda ck . Singurul mediu complet
nedispersiv este vidul, unde toate undele
electromagnetice au aceeasi viteza de propagare, anume
aproape 300 000km/s sau 3108m/s.
In cazul unui mediu dispersiv, relatia este neliniara
kc )( . Toate mediile reale sunt dispersive intr-o
masura mai mare sau mai mica; de cele mai multe ori
insa, efectul este prea mic pentru a fi observabil.
Exemplu: curcubeul. Cele mai cunoscute fenomene
dispersive sunt cele suferite de lumina alba care trece
printr-o prisma, sau atunci cand se propaga printr-o
atmosfera incarcata de vapori de apa (curcubeul). Vitezele de propagare, ca si indicii de refractie,
depind de lungimea de unda, existand relatia de ordine
(orientativ):
)()()(1 albastrurefgalbenrefrosuref nnn .
Consecinta este ca lumina alba se descompune in cateva
culori componente. Din acest motiv, albul nu este
considerat culoare.
Diamantul (carbon cu structura cristalina, tetraedrica)
are una dintre cele mai mari variatii a indicelui de
refractie, de la 2,4175 (rosu) la 2,4178 (violet).
Tema. Fotometria si televiziunea in culori.
Se bazeaza pe senzatia cromatica a receptorului vizual
uman (ochiul). Dependenta de frecventa a senzatiei cromatice este indicata in tabelul urmator.
400 450 500 550 600 650 700 (nm)
Culorile din spectrul vizibil
Culoare Intervalul de lungimi de unda Interval spectral
ROSU ~ 700–635 nm ~ 430–480 THz
ORANJ ~ 635–590 nm ~ 480–510 THz
GALBEN ~ 590–560 nm ~ 510–540 THz
VERDE ~ 560–490 nm ~ 540–610 THz
ALBASTRU ~ 490–450 nm ~ 610–670 THz
VIOLET ~ 450–400 nm ~ 670–750 THz
Fig.30 Dispersia luminii prntr-o prisma de
sticla
Fig.31 Dispersia in atmosfera: curcubeul
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
32
Fig.33
Imprastierea undelor
Imprastierea undelor este fenomenul prin care energia acestora este difuzata lateral fata de de
directia de propagare. Spre exemplu, in fig.29, radiatiile incidente, respectiv, emergente din prisma,
nu ar fi vizibile din lateral, daca nu ar exista procesul de imprastiere. Consecinta naturala a
pierderii de energie in directie laterala este atenuarea acesteia in lungul directiei de propagare.
Fenomenul are loc atat in cazul sunetului, care este imprastiat de obiectele pe care le intalneste, cat
si in cazul undelor electromagnetice.
Exemple.
i/ Efectul de „cer albastru”. Se explica prin aceea ca
aerul, compus, in principal, din molecule de azot si
oxigen, imprastie selectiv lumina, fiind preferate
frecventele mari (lungimile de unda mici). Cantitativ,
fenomenul se explica prin imprastierea Rayleigh.
ii/ Culoarea galbena a Soarelui in timpul zilei. Se
explica prin saracirea undei progresive in componenta
albastra, care este imprastiata preferential in atmosfera.
iii/ Efectul de „Soare rosu” la rasaritul, sau la apusul acestuia: motivul principal este imprastierea -
pana la disparitie - a componentei albastre din unda progresiva, si imprastierea semnificativa a
celorlalte componente, din cauza ca drumul parcurs in aer este mai lung in perioada rasaritului /
asfintitului decat in restul zilei.
iv/ Uneori, in cazul sistemelor acustice, in fata difuzorului de „inalte” se pune un gratar care
imprastie suplimentar frecventele inalte, pentru a uniformiza spatial sunetul si a avea o auditie
optima.
Interferenta
Interferenta este fenomenul de suprapunere a undelor cu
aceeasi pulsatie si cu aceeasi directie de oscilatie, intr-o
anumita zona din spatiu. Rezultatul interferentei este
obtinerea unor maxime si minime de interferenta.
Teoria interferentei revine la compunerea oscilatiilor, pe
directii paralele, cu aceeasi pulsatie, discutata deja la
capitolul „Oscilatii”.
Masuratori interferometrice. Fie doua unde ideale, cu diferenta de faza (t); in punctul de
interferenta, detectorul va masura valoarea m
DETDET
2
202101
2
21 )(sin)(sin,,~
ttuttutzutzum mm
Fig.32 Imprastierea luminii solare
(Adaptat dupa
http://www.scritube.com/stiinta/fizica/ )
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
33
DET
2
)()(cos)(cos2~ 21
0201
2
02
2
01
t
tttuuuum
zerottuuuumm
m
t
t
DET
d)(cos1
2~DET
0201
2
02
2
01
Daca diferenta de faza nu depinde de timp – adica undele sunt perfect coerente –, atunci
figura de interferenta este perfect stabila:
cos2~ 0201
2
02
2
01 uuuum ,
Sau, in functie de intensitati, tinand cont ca intensitatea, ca marime energetica, este
proportionala cu patratul amplitudinilor:
cos2~2121 IIIIm .
Daca, in plus, I1= I 2= I, atunci:
2cos4~ 2 Im .
In cazul particular (t)=0 se obtin maxime cu intensitatea 4I, iar daca (t)= se obtin minime,
de inensitate zero.
In practica, intotdeauna exista o dependenta de timp (t), mai lenta sau mai rapida, ceea ce
conduce la o variatie a semnalului m intre o valoare maxima mMAX si una minima mMIN; acestea
pot fi distinse de detector daca variatia intre cele doua extreme este lenta in comparatie cu
timpul sau caracteristic de raspuns.
Masuratorile interferometrice se pot face daca figura de interferenta este stabila un timp mai
lung decat timpul caracteristic de raspuns al detectorului.
Daca detectorul este ochiul uman, caracterizat de un timp de raspuns de circa o zecime de
secunda, atunci figura de interferenta trebuie sa fie stabila un timp semnificativ mai lung decat
0,1s, pentru a putea fi „perceputa” ca atare. In caz contrar, receptorul vizual nu poate „numara”
maximele si minimele, deoarece le
percepe ca o lumina de intensitate
constanta.
Aplicatii: masuratori si traductoare
interferometrice. Aceste masuratori sunt
tipice tehnologiilor actuale; precizia lor
este de /100, adica de circa 50nm. Spre
exemplu, inregistrarea si citirea informatiei
pe suport optic, pozitionarea si controlul in
prelucrarea robotizata au devenit
tehnologii comerciale, pe scara larga.
Fig.34 Principiul interferometriei
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
34
Interferenta in medii marginite: unde stationare in cavitati rezonante
Este cazul tuturor instrumentelor muzicale si a incintelor pentru sonorizari acustice, al
oscilatoarelor de microunde si radiofrecventa, sau al laserelor. Zgomotul produs intr-un anumit loc
(de regula, dar nu exclusiv, la unul din capete) se propaga in tub, coarda etc., se reflecta la capat, si
interfera cu unda initiala, formand ceea ce se numesc undele stationare, la care partea spatiala si
cea temporala a undei se decupleaza7, conform expresiei
)ωsin()cos(2),( 0 tz tkzuztu ,
rezultand maxime si minime de-a lungul cavitatii, in pozitiile
1)cos( zkz maxime; 0)cos( zkz minime.
Pozitiile fiind fixe in spatiu, undele se numesc stationare.
Din spectrul de frecvente extrem de bogat al zgomotului, cavitatea are proprietatea ca pastreaza
doar anumite frecvente, in functie de dimensiunile sale geometrice. Spectrul continuu al
zgomotului se reduce la o multime discreta, numerabila, de frecvente, care sunt compatibile cu
dimensiunile cavitatii: acestea sunt modurile proprii ale cavitatii, iar cavitatea este o cavitate
rezonanta.
Pentru a fixa ideile, prezentam doua situatii remarcabile, intr-o cavitate unidimensionala de
lungime l (ex. o coarda vibranta, sau un tub sonor), dar acestea nu sunt singurele posibilitati.
i/ Conditia de cavitate inchisa la ambele capete (echivalent, coarda fixata la ambele capete):
frecventele proprii sunt date de conditiile
0)0cos( zk ; 0)cos( zlk ,
de unde
l
cqf q
2 , q=1, 2,....
Corespunzător, lungimile de undă sunt
date de expresia (vezi figura alaturata)
q
lq
2 , q=1, 2,....
Modul fundamental are frecventa cea
mai mica (pozitiva), și lungimea de
undă cea mai mare, adica pentru q=1.
Celelate moduri sunt armonicele
superioare.
ii/ Conditia de cavitate deschisa la un
7 Demonstratia a fost facuta in liceu.
Fig.35
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
35
capat si inchisa la celalalt (echivalent, coarda fixata la unul din capete – fie acesta la z=0 –, si
excitata la celelalt z=l):
0)0cos( zk ; 1)cos( zlk ,
de unde
l
cqf q
22
1
, q=0, 1, 2,....
Analog, modul fundamental are frecventa pozitiva cea mai mica, aici q=0. Armonicele se obtin
pentru q=1, 2, .....
Temă: Desenați configurația modurilor proprii pentru cazul ii/.
Exemplu: unde sonore in creta. Modelul este cel al tubului deschis la ambele capete, unul dintre ele
fiind excitat prin frecarea cretei de tabla. Lungimea cretei este l=10cm, iar viteza undei elastice în
cretă este de 1800m/s. Fundamentala, cu energia cea mai mare, are frecvența f1=9000Hz, în
domeniul audio. Armonica întâia este la 18,0kHz; din cauză că este la limita domeniului audibil,
iar energia repartizată este de aproximativ o zecime din energia fundamentalei, sunetul scos este un
scârțâit strident, supărător, datorat, practic, în întregime, fundamentalei. Dacă rupem creta de la
mijloc, fundamentala își dubleaza frecvența, la 18kHz, și nu se mai aude.
Tema. Pentru alte exercitii de calcul cu tuburi sonore vezi adresa http://hyperphysics.phy-
astr.gsu.edu/hbase/hframe.html.
Difractia
Difractia este un fenomen complex, de
suprapunere a mai multor unde. In mod
simplificat, prin difractie intelegem fenomenul
prin care un orice fascicul, la interceptarea unui
obiect cu dimensiunea liniara D, capata o
divergenta dif data de:
D
difsin .
In figura alaturata este aratata o unda plana, care,
initial, are divergenta zero, iar dupa trecerea prin
fanta, are divergenta nenula.
O consecinta nedorita a difractiei este efectul „de
manjire” a contururilor obiectelor interceptate de
fascicul, prin introducerea unei incertitudini in
directia de propagare a oricărui fascicul.
Toate fasciculele sunt afectate de difractie
Conturul orificiului devine neclar
Fig.36
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
36
Cantitativ, incertitudinea se exprima prin unghiul de divergenta datorat difractiei, care limiteaza
claritatea obiectelor.
Limita de difractie
Orice fascicul sufera difractie, care fixeaza limita inferioara pentru mărimea detaliilor care pot fi
puse in evidenta la o valoare de ordinul de marime al lungimii de unda utilizate.
Pata de difractie, data de un obiect cu dimensiunea D, are
marimea M:
diftan LDM ,
sau, pentru unghiuri mici,
DLDM
.
i/ Daca obiectul este mare in raport cu lungimea de unda
D>>, atunci difractia este neglijabila, si urma reproduce
obiectul cu fidelitate suficientă
DM .
ii/ Daca, dimpotriva, obiectul este comparabil cu lungimea de unda, atunci dif /2 si devine
semnificativ al doilea termen
DLM .
In acest caz, pata de difractie este mai mare si „ascunde” obiectul, facand imposibila punerea sa in
evidenta.
Aplicatii: rezolutia spatiala a aparatelor. Multe dispozitive (radare, lidare, telescoape, sonare)
utilizate la cartografiere si masuratori au rezolutia limitata de lungimea de unda a radiatiei utilizate.
Rezolutia microscoapelor optice este limitata de lungimea de unda a radiatiei folosite la dimensiuni
micrometrice, deoarece lungimea de unda maxima in spectrul vizibil este ~0,7m.
Analog, precizia de localizare a sonarelor este limitata de lungimea de unda a undei acustice.
In figura 36 este ilustrat efectul difractiei (cu culoare rosie) in cazul unui fascicul laser (unda
plana) care trece printr-o fereastră de ieșire de diametru D, apoi printr-o lentila convergenta, cu
distanta focala flentila; dupa planul focal al
lentilei, peste divergenta datorata lentilei
(cu efect de marire a diametrului
fascicului), se suprapune efectul difractiei,
de manjire si estompare a contururilor
acestuia:
D
dif .
Focalizarea este limitata de difractie pana la o valoare d, care se poate calcula din geometria
sistemului optic. Astfel de lasere sunt folosite la inscrierea/citirea informatiei pe suport optic,
Fig.37
Fig.38
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
37
ghidarea capetelor discurilor optice, trasarea mastilor in fotorezist etc. Pentru a cobori limita de
difractie, lungimea de unda de lucru a trecut de la infrarosu spre ultraviolet, pe masura ce
tehnologia diodelor laser a avansat.
II.2.6 Efectul Doppler
Pentru o sursa in repaus, care emite unde cu pulsatia , frecventa receptionata de un detector, aflat
in miscare cu viteza v fata de sursa, va fi diferita, variatia relativa a pulsatiei (frecventei) fiind
proportionala cu viteza:
c
v
ω
Δω;
c
v
f
f
Δ.
Efectul Doppler constă în fenomenul de deplasare a frecvenței undei recepționate față de frecvența
undei emise cu o valoare f care depinde de viteza relativă8 a receptorului față de sursă.
Frecventa receptionata este mai mare daca receptorul se apropie de sursa, respectiv mai mică, daca
receptorul se departeaza de sursa. Daca detectorul este fixat in acelasi loc cu sursa, atunci acesta va
primi doua unde: una provenind direct de la sursa, cu frecventa nemodificata, si una reflectata de la
obiectul in miscare, cu frecventa deplasata. Suprapunerea celor doua unde se reduce la
compunerea, la detector, a doua oscilatii cu frecvente putin diferite (v. Cap. „Compunerea
oscilatiilor”).
Aplicatie: Interferometrie cu efect Doppler:
radare, ecografie, cartografiere acustica sau
optica.
Interferometria optica este o tehnica prin care
se pot detecta diferente de faza de ordinul
miliradianilor9, cauzate de modificari ale
drumului optic si/sau de deplasari Doppler ale
frecventei.
Intr-un interferometru ca cel din figura,
deplasarea probei este masurata cu ajutorul
numarului de franje (posibil fractionar)
deplasate la detector:
Nx2
1.
8 Pentru scopurile acestui curs s-a adoptat această definiție.
9 http://en.wikipedia.org/wiki/Mach%E2%80%93Zehnder_interferometer
Fig.39 Interferometru cu efect Doppler
Eugen Scarlat, Fizica – Oscilatii si unde Note de curs pentru Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria sI Managementul Afacerilor
38
Viteza de deplasare a probei se determina in mod analog, tinand cont ca t
xvx
. Rezulta ca, intr-
un timp fixat, daca numarul de franje deplasate la detector este N, atunci aceasta este proportional
cu viteza de deplasare longitudinala a probei:
tvN x2
.
Domeniul de viteze masurabil cu un radar care functioneaza la frecventa f=1GHz este limitat de
stabilitatea in frecventa a oscilatorului sursa: pentru o stabilitate de Δf=100Hz, vitezele vor fi
determinate cu eroare relativa de 10-7
, adica 30m/s. Daca se foloseste o dioda laser in infrarosu
=1µm (f=300THz), stabilizata Δf=1MHz, atunci eroarea asupra vitezei devine 1m/s.