Mechanic
cs of Materials
s, 7th ed., Jame
es M. Gere &
Barry J. Goo
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-1
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-2
제 7 장 응력과 변형률의 해석
7.1 소개
- 미세요소의 방향 (각도)에 따른 응력 및 변형률의 변화
(1 축 응력 (2.6 절), 순수 전단 (3.5 절) : 경사면의 응력 산정법 참조)
- 경사면에서의 응력을 산정하는 일반적인 방법 : 모어의 원
- 응력은 텐서(tensor) 의 일종
- 텐서 2 개 이상의 방향이 필요함 (cf 벡터는 1 개의 방향)
- 응력, 변형률, 관성모멘트 : 텐서
Mechanic
7.2 평면
- 부호
- 수직
- 전단
- 평형
- 그림
- (a), (
cs of Materials
면응력
규약: 양의
응력 x : x
응력 xy : x
을 고려하면
(c)의 경사면
(b), (c)는 모두
s, 7th ed., Jame
의 면에 양의
x 방향의 면에
x 방향의 면에
: xy yx
면의 응력: 평
두 동일한 응
es M. Gere &
방향으로 작
에 + x 방향으
에 + y 방향으
평형을 고려하
응력상태: 표현
Barry J. Goo
작용하는 응력
으로 작용하는
으로 작용하는
하면: 1 1x y
현법만 다를
dno
력: 양의 응력
는 응력 ( y 도
는 응력
1 1y x
뿐임
제 7 장
력
도 동일)
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-3
Mechanic
경사
- 각각
- 좌측
- 1x 방
1
x
x
위 식을
1
1 1
x
x y
여기서,
cs of Materials
단면에서의
의 면의 면적
면적 0A , 밑
방향, 1y 방향
1 0
0
1 1 0
0
sec
tan si
sec
tan co
x
y
y
y
A
A
A
A
연립하여 풀
2cos
( )x
x y
0o 이면
90o 이면
; 부호에 유
s, 7th ed., Jame
응력
적응력
밑면적 0 tanA
향의 힘의 평형
0
0
0
0
cos
in t
sin
os
x
yx
x
yx
A
A
A
A
풀면
2sin 2
sin cosy
면 1x x ,
면 1x y ,
의 ( 1x 축이
es M. Gere &
힘의 총량
n , 경사면적
형식을 각각
0
sin
tan cos
cos
tan sin
xy
xy A
2
2 sin cos
(cosxy
xy
1 1x y xy
, 1 1x y x
수직축)
Barry J. Goo
적 0 secA
고려하면,
0
0
2
s
sin )
(
xy yx
dno
(7-3a,b)
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-4
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-5
평면응력에서의 변환공식
배각의 공식사용
2 21 1 1cos (1 cos 2 ) sin (1 cos 2 ) sin cos sin 22 2 2
1
1 1
cos 2 sin 22 2
sin 2 cos 22
x y x yx xy
x yx y xy
평면 응력의 변환공식
1y 면에 작용하는 수직 응력 1y 는 1x 의 식에 90o 을 대입하면,
1 cos 2 sin 22 2
x y x yy xy
Note: 1 1x y x y ( 에 무관하게 수직응력의 합은 일정하다)
Note : polar moment of inertia ;
Mechanic
cs of Materials
의 변화
s, 7th ed., Jame
화에 따른 x
es M. Gere &
1x , 1 1x y 의 변
Barry J. Goo
변화 그래프
dno
( 0.2y
제 7 장
x , 0.8xy
장 응력과 변형
Pa
x 인 경우)
형률의 해석
age 07-6
Mechanic
평면
단축 응력
y xy
1
1 1
x
x y
순수전단
x y
1
1 1
x
x y
cs of Materials
응력의 특별
력 (uniaxial s
0y 인 경우
(1 cos 22
(sin 22
x
x
단 (pure shea
0 인 경우
sin 2
cos 2xy
xy
s, 7th ed., Jame
한 경우
stress)
우
2 )
)
2.6
r)
우
3.5 절의
es M. Gere &
절의 식과 동
의 식과 동일
Barry J. Goo
동일
일
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-7
Mechanic
2 축 응력
0xy 인
1
1 1
x
x y
- 2 축
cs of Materials
력
인 경우
2
s2
x y
x y
응력의 예:
s, 7th ed., Jame
cos 22
in 2
x y
두께가 얇은
es M. Gere &
은 압력용기 등
Barry J. Goo
등등
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-8
Mechanic
예제
문제
16,x
45o
cs of Materials
7-1
,000 psi ,
만큼 경사진
s, 7th ed., Jame
6,000 py
요소 위에
es M. Gere &
psi , xy y
작용하는 응
Barry J. Goo
4,000 pyx
응력을 구하기
dno
psi
기
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-9
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-10
풀이
11,000 psi2
x y , 5,000 psi
2x y
, 4,000 psixy
sin 2 sin 90 1o , cos 2 cos90 0o
이 값들을 공식에 대입하면,
1 cos 2 sin 2 15,000 psi2 2
x y x yx xy
1 1 sin 2 cos 2 5,000 psi2
x yx y xy
1 cos 2 sin 2 7,000 psi2 2
x y x yy xy
Mechanic
예제
문제
좌측에 도
cs of Materials
7-2
도시한 응력
s, 7th ed., Jame
요소를 15o
es M. Gere &
시계 방향으
Barry J. Goo
으로 회전한 응
dno
응력 요소의
제 7 장
응력 구하기
장 응력과 변형
Pa
기
형률의 해석
age 07-11
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-12
풀이
원래 요소의 그림에서 각각의 응력의 크기와 방향을 읽으면,
46 MPax , 12 MPay , 19 MPaxy yx
시계 방향으로 15o 회전 15o ( 15o 대신 75o 사용해도 무방 (수직 축이 1x )
17 MPa2
x y , 29 MPa
2x y
, 19 MPaxy
sin 2 sin( 30 ) 0.5o , cos 2 cos( 30 ) 0.8660o
이 값들을 공식에 대입하면,
1 cos 2 sin 2 32.6 MPa2 2
x y x yx xy
1 1 sin 2 cos 2 31.0 MPa2
x yx y xy
1 cos 2 sin 2 1.4 MPa2 2
x y x yy xy
Note
- 75o 을 사용하여도 동일한 결과, 단 이 경우 1x 축과 1y 축이 바뀜.
- Check: 1 1x y x y
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-13
7.3 주응력과 최대 전단응력
1
1 1
cos 2 sin 22 2
sin 2 cos 22
x y x yx xy
x yx y xy
평면 응력의 변환공식
- 1x , 1 1x y 는 의 변화에 따라 그 값이 변화 (앞의 그래프 참조)
- 1x 이 최대 혹은 최소값일 때 주응력 (principal stress)
1 ( )sin 2 2 cos 2 0xx y xy
dd
2tan 2 xy
px y
윗식을 만족하는 θ 는 0°~180° 사이에서 2 개이며 그 차이는 90°
θ : 주각 (Principal Angles), 주각 방향과 직교하는 방향 주축
이 때의 수직응력을 주응력 (Principal Stress)이라고 하며 σ , σ 로 표현함. (σ > σ )
Mechanic
tan 2 p
좌측의 그
c
sin 과 co
1
* 단면의
cs of Materials
2 xy
x y
그림에서 R
cos 2 xp
os 대신 이 값
2
2
2
x y
x y
x y
의 성질에서
s, 7th ed., Jame
이므로
2x
2x y
R
, sin
값들을 공식에
cos2
2
2
x y
x y
x y
사용한 원리
es M. Gere &
22yxy
2 xyp R
에 대입하여
22
2 sin
2
xy
x yxy
xy
R
리와 동일 Barry J. Goo
주응력 1 을
2
xyxy R
dno
을 구하면,
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-14
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-15
- 또 다른 주응력 2 는 90p p 에 해당하는 값을 구하여도 되며,
또 다른 방법으로 1 2 x y 을 사용하는 것이 더욱 편리함.
2 1
22
2 2
x y
x y x yxy
주응력 구하는 일반식
22
1,2 2 2x y x y
xy
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-16
주각
cos 22
x yp R
, sin 2 xy
p R
주평면에서의 전단응력
- 주평면에서의 전단응력은 1 1x y 의 계산식에 2 p 에서의 삼각함수 값을 대입하여 구함.
1 1 0x y 이 식은
1
1 1
2 sin 2 cos 2 02
x yxxy
x y
dd
과 동일함
- 주평면에서 전단응력 = 0
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-17
최대전단응력
- 최대 전단응력을 구하기 위하여 1 1x y 의 식을 에 대하여 미분한다.
1 1 ( )cos 2 2 sin 2 0x y
x y xy
dd
따라서 tan 22x y
sxy
윗식을 만족하는 θ 는 0°~180° 사이에서 2 개이며 그 차이는 90°
- 따라서 최대 전단은 서로 직교하는 두 평면에서 발생.
주각의 공식은
2
tan 2 xyp
x y
이므로 2 s 와 2 p 는 서로 수직 s 와 p 는 서로 45o
확인: cos 2sin 2 0
cos 2 sin 2ps
s p
sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 0s p s p cos(2 2 ) 0s p
2 2 90os p 45o
s p
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-18
최대 전단응력이 발생하는 평면은 주평면과 45o 의 각도를 가진다.
최대전단응력 max 이 크기는
22
max 2x y
xy
, 그리고 min max
- 이 값은 주응력을 이용하여 구할 수도 있다. 1 2
max 2
최대전단응력이 발생하는 평면에서의 수직 응력은 1 1 2x y
x y aver
(0 이 아님!!)
- 단축 응력, 2 축 응력 최대 전단응력평면은 x y 평면과 45o위치에서 발생
- 순수전단의 경우 최대 전단응력은 x y 평면에서 발생
Mechanic
특별
단축
tan 2
x y
(전단응력
주응력 상
순수
이 경우
tan 2
p
주응력의
1,2
cs of Materials
한 경우
응력과 2 축
2 0p
y 평면이 주평
력이 0 이므로
상태)
전단
주평면은
2 p
45 , 135o o
의 값은
xy
s, 7th ed., Jame
축 응력의 경우
평면.
로 현재상태가
es M. Gere &
우
가
Barry J. Goo
dno
제 7 장
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-19
Mechanic
세번째 주
- 지금
- 실제
- 3 차원
- 3 의
cs of Materials
주응력
까지는 z 축
구조물은 3
원 해석 필요
의 크기에 따
s, 7th ed., Jame
축 회전만 고려
3 차원이므로
요
따라 3 차원 주
es M. Gere &
려
σ 가 존재
주응력의 해석
Barry J. Goo
함 (평면응력
석이 달라짐.
dno
력일 경우 σ
제 7 장
0)
장 응력과 변형
Pa
형률의 해석
age 07-20
Mechanic
평면
- 최대
max(
(평면응력
1, x y
- 1 ,
cs of Materials
내와 평면
전단응력은
2x 1)
2x
력일 경우 σ
1y 축에 대해
2 의 크기와
s, 7th ed., Jame
외의 전단응
은 x y z 축
max 1 ( ) y
0)
회전하여 구
와 부호에 따
es M. Gere &
응력
축 각각을 회
1 (2
구한 전단응력
따라 실제 최대
Barry J. Goo
전시켜서 구
max 1)z
력 평면 외
대 전단응력이
dno
구할 수 있다.
1 2
2
외 전단응력
이 결정됨.
제 7 장
즉 3 가지 경
장 응력과 변형
Pa
경우가 존재함
형률의 해석
age 07-21
함.
Mechanic
예제
문제
12,x
(a) 주응
(b) 최대
cs of Materials
7-3
,300 psi ,
력을 구하고
전단응력을
s, 7th ed., Jame
4,200y
회전된 (회전
구하고 회전
es M. Gere &
0 psi , xy
전각을 정확히
전된 (회전각
Barry J. Goo
4,70yx
히 표시) 응력
을 정확히 표
dno
0 psi
력요소에 표시
표시) 응력요소
제 7 장
시하기
소에 표시하
장 응력과 변형
Pa
기
형률의 해석
age 07-22
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-23
풀이
(a) 먼저 주각 p 를 구하면, 2 2( 4,700)tan 2 0.5679
12,300 ( 4,200)xy
px y
2 150.3 , 330.3o op 75.2 , 165.2o o
p
12,300 4,200 4,050 psi
2 2x y
, 12,300 4,200 8,250 psi
2 2x y
(해 1) 평면응력 변환공식 에 대입하여 구함.
1 2 cos 2 sin 2 5,440 psi2 2
x y x yx xy
75.2o
p 일 경우
1 1 cos 2 sin 2 13,540 psi2 2
x y x yx xy
165.2o
p 일 경우
(해 2) 주응력 구하는 일반식에 대입하여 구함
22
1,2 4,050 9,490 13,540 and 5,4402 2
x y x yxy
제 7 장 응력과 변형률의 해석
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-24
- 1 의 방향을 결정하기 위하여,
22
2x y
xyR
8,250cos 2 0.869
2 9,490x y
p R
, 4,700sin 2 0.495
9,490xy
p R
2 330.3op 165.2o
p
(b) 최대전단응력은 유도된 공식을 이용함
22 2 2
max (8,250) ( 4,700) 9,490 psi2
x yxy
1 1 45 165.2 45 120.2o o o os p
2 1 90 120.2 90 30.2o o o os s
이때 축응력의 값은 1 2 4,050 psi2
x yx x aver