Download - OCW Tema 12 Diagrama Bode Asintotico 1
ANÁLISIS FRECUENCIAL
Diagrama de Bode asintótico.
1. Diagrama asintótico de Bode de términos constantes.2. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros en el
origen.3. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros reales
negativos.4. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros reales
positivos.5. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros complejos
negativos.6. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros
imaginarios.7. Diagrama asintótico de Bode de sistemas complejos.8. Interpretación de un Diagrama de Bode.
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Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs
Bibliografía
� Ogata, K., "Ingeniería de control moderna", Ed. Prentice-Hall.� Capítulo 8
� Dorf, R.C., "Sistemas modernos de control", Ed. Addison-Wesley.� Capítulo
� Kuo, B.C.,"Sistemas de control automático", Ed. Prentice Hall.� Capítulo 9
� F. Matía y A. Jiménez, “Teoría de Sistemas”, Sección de Publicaciones Universidad Politécnica de Madrid� Capítulo 9
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DIAGRAMA DE BODE
� El diagrama de Bode se puede obtener como suma de los diagramas de Bode de cada uno de los factores de la función de transferencia
( )
( )
G s ks z
s p
G j kj z
j p
G j kj z
j p
G j k j z j p
G j k j z j p
G j k j z
i
i
i
i
i
i
i i
i i
i
( )( )
( )
( )( )
( )
( ) | || |
| |
a rg ( ) a rg ( ) arg ( ) arg ( )
log ( ) log | | log | | log | |
a rg ( ) a rg ( ) arg ( )
=−−
=−−
⇒
⇒=
−−
= + − − −
⇒
⇒= + − − −= + −
∏∏
∏∏
∏∏
∑ ∑
∑ ∑
ωωω
ωωω
ω ω ω
ω ω ωω ω∑ ∑− −
arg ( )j p iω
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DIAGRAMA DE BODE
� Una vez factorizada la F.T., el diagrama de Bode total es la suma de losdiagramas de Bode sencillos.
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TÉRMINOS CONSTANTES
k
k
k k dB
k
k
== =
=><
| | | | log| |20
0 0
180 0
0
0ϕ
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TÉRMINOS CONSTANTES
� Ganancia
� Desfase
ω (log)
0 º ( k > 0 )
180 º ( k < 0 )
: ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) 1 0 1 0
2 0 lo g ( ) 2 0 lo g (1 0 ) 2 0
E j G s G j G j
G j d B
ω ωω
= → = ⇒ = =
= =
ω (log)
20log |k| dB
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POLOS/CEROS EN EL ORIGEN
1
s n
11
2 0
9 0 0( )
| | lo g ( )
j
n dB
nn
n
ω ωω
ϕ= = = −
= −
0
1 120 log 20 log 20 log 20 log( )1
( )( )
90
n
n n
n
n dBj
jn
ω ωω ω
ωϕ
−= = = −=
= −
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� Ganancia
� Desfase
POLOS/CEROS EN EL ORIGEN
ω (log)1
n = 1n = 2
0 dB -20 dB/dec
-40 dB/dec
ω (log)
-90 º
-180 ºn = 1
n = 2
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POLOS/CEROS REALES NEGATIVOS
1
1( )+ T s n
1
1
0 10
0
11
20
90
0
0
( )
| |
( )
| |( )
log ( )
+=
=
→ ===
→ ∞ == = −
= −
T j
dB
T jT
n T dB
n
n
n
n
ω
ωϕ
ωω
ωω
ϕ
0
0
(1 )
| | 00 1
0
| | ( ) 2 0 lo g ( )( )
9 0
n
n
n
T j
d B
T n T d BT j
n
ω
ωϕ
ω ωω ωϕ
+ =
=→ = ==
= = → ∞ = = +
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POLOS/CEROS REALES NEGATIVOS
� Frecuencia de corteCorte de las dos asíntotas
0 2 0 l o g ( )
l o g ( ) 0 1
1
c
c c
c
d b T
T T
T
ωω ω
ω
= −= ⇒ =
=
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POLOS/CEROS REALES NEGATIVOS
11 0
( ) 1, 0 . 1
1G s T
T s= =
+
-20 dB/dec
11 0 /
0 . 1
1c d
Tr a sω = = =
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POLOS/CEROS REALES NEGATIVOS
� Diagrama de Fase( )
1 11
1 11
0 1 ( )
1 1( ) (1) 4 5
1 0 1 01 0 ( ) (0 .1) 6 0
1 0 1 01 0 ( ) (1 0 ) 8 4 9 0
c
c
c
a r c tg j T a r c tg T
a r c tg T a r c tgT T
a r c tg T a r c tgT T
a r c tg T a r c tgT T
ϕ ω ω
ω ω ϕ
ω ω ϕ
ω ω ϕ
− −−
= − + = −
= = ⇒ = − ⋅ = − = −
= = ⇒ = − ⋅ = − = − ≈
= = ⇒ = − ⋅ = − = − ≈
�
� �
� �
0
-45
-90
0.1/T 1/T 10/T
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POLOS/CEROS REALES NEGATIVOS
ω (log)1/T
n = 1
n = 2
0 dB
-40 dB/dec
-20 dB/dec
ω (log)0,1/T 10/T
n = 1
n = 2-180 º
-90 º
0 º
-90 º/dec
-45 º/dec
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Diagrama de Bode de polos reales negativos
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Diagrama de Bode de ceros reales negativos
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POLOS/CEROS REALES
0
1
11 / 10 /
1
c
c
T
rad s rad s
ω
ω
=
= = =
110c radω ω −⇒ =
Para la fase:
- Empieza en 0
- Comienza a caer una década antes de
- En ω=ωc , ha caído -45º
- Termina la caída ( en -90º ) una década después de 110c radω ω⇒ =
1
1
+S
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Diagrama de BodePolos/ceros reales
( )( )
2 2
2 2
2 2
1 120 log 20log 20log 1
1 1
1, 20log 1 20log 2 ( ) 3c c
TT T
T dB dBT
ωω ω
ω ω
⋅ = = − + + +
= − + = − ≈ −
1
1
+S
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POLOS/CEROS COMPLEJOS CON PARTE REAL NEGATIVA
1
12
0 10
0
4 0
2 9 0 1 8 0
2
0
22
0 0
+ +
=
=
→ ===
→ ∞
= =
= −
= − = −
−−
ζω
ω ωω
ωϕ
ω ωω
ωω
ωω
ϕ
n n
n
n
n
n
n
n
jj
d B
j n d B
n n
| |
| | lo g ( )
2
22 2
1
22
1
n
n n
n
n ns ss
sζω ω
ω
ωζ
ω
+ +
=
+
+
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POLOS/CEROS COMPLEJOS CON PARTE REAL NEGATIVA
� Frecuencia de corteCorte de las dos asíntotas
0 40 log( )
log( ) 0 1
n
n n
c n
db n dBωω
ω ωω ω
ω ω
= −
= ⇒ =
=
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POLOS/CEROS COMPLEJOS CON PARTE REAL NEGATIVA
( )2 0.707nω ζ= =
22
22 ++ SS
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POLOS COMPLEJOS CON PARTE REAL NEGATIVA
ω (log)ωn
n = 1
n = 2
0 dB
-80 dB/dec
-40 dB/dec
ω (log)
n = 1
n = 2-360 º
-180 º
0 º
-180 º/dec
-90 º/dec
0.1ωn 10ωn
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CEROS COMPLEJOS CON PARTE REAL NEGATIVA
Ganancia Desfase
ωn ω (log)
n = 2
n = 1
0 dB
40 dB/dec
80 dB/dec
n = 2
n = 1180 º
360 º
0 º
180 º/dec
90 º/dec
0.1ωn 10ωnω (log)
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POLOS/CEROS COMPLEJOS CON PARTE REAL NEGATIVA
� Frecuencia de resonancia wr
� Wr existe cuando:
� Pico de resonancia en función de ξ
( )21 2 0 0 . 7 0 7r nω ω ξ ξ= − < <
2 11 2 0 0 . 7 0 7
2ξ ξ− > ⇒ < =
( )max 2
1( ) ( ) 0 0, 707
2 1r rG j G j Mω ω ξ
ξ ξ= = = < <
−
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POLOS/CEROS COMPLEJOS CON PARTE REAL NEGATIVA
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Diagrama de Bode de polos/ceros positivos
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• En general el diagrama en amplitudes es el mismo que con signo negativo y la pendiente en fase es la misa pero de signo contrario.
Diagrama de Bode de polos/ceros positivos
nTs)1(
1
−
=
−===
−∞→
==
=→
=−
0
0
90
)log(20)(
1||
)(
1
0
0||10
)1(
1
n
dBTnT
Tj
dB
Tjn
n
n
ϕ
ωω
ωω
ϕω
ω
ω (log)1/T
n = 1
n = 2
0 dB
-40 dB/dec
-20 dB/dec
Ganancia Desfase
ω (log)0,1/T 10/T
n = 2
n = 190 º
180 º
0 º
90 º/dec
45 º/dec
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POLOS/CEROS REALES POSITIVOS
1( )
1G s
s=
−
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POLOS/CEROS COMPLEJOS CON PARTE REAL POSITIVA
2
1
2 2S S+ +
2
1
2 2S S− +2
1
2 2S S+ +
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Diagrama de Bode de polos imaginarios
n
n
s
+
2
1
1
ω
Ganancia Desfase
−=−=→
=→→
−=−=
−=
==
∞→
==
=→
=
+
+
−
−−
00
0
00
22
0
2
180902
0
180902
)log(40||
0
0||10
1
1
nn
nn
dBnj
dB
j
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
ϕωωϕωω
ωω
ϕωω
ωω
ωωω
ϕω
ωω
ω (log)ωn
n = 1
0 dB
-40 dB/dec
ω (log)
n = 1-180 º
0 º
-90 º/dec
0.1ωn 10ωnωn
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DIAGRAMA DE BODE DE UN SISTEMA COMPLEJO
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DIAGRAMA DE BODE DE UN SISTEMA COMPLEJO
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Diagrama de Bode de un sistema: conjunto de polos y ceros
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Diagrama de Bode de un sistema: conjunto de polos y ceros
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