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Numerische Simulation von Mantelkonvektion:3D, Kugelschale, temperatur- und druckabhängige Viskosität
Geodynamik Workshop Hamburg, 2004
Geodynamik Arbeitsgruppe Prof. Dr. U. Hansen
Kai Stemmer, [email protected]
Universität MünsterInstitut für Geophysik
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Aufbau des Vortrages
• Motivation
• Grundlagen thermischer Konvektion mit variabler Viskosität– Mathematisches Modell
– Numerisches Modell
• Strömung in einer Kugelschale:– Stationäre Strömung:
Einfluss der temperaturabhängigen Viskosität
– Zeitabhängige Strömung:
Einfluss von temperatur- und druckabhängiger Viskosität / internen Wärmequellen
• Zusammenfassung
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Motivation
• Thermische Konvektion beeinflusst das Erscheinungsbild der Planeten• Erde: Mantelkonvektion ist dominantes dynamisches System• Wahre Konvektionsstruktur ist unbekannt
Notwendigkeit numerischer Modelle
Mantelkonvektion der Erde
Laborexperimente / analytische Lösungen / Evolutionsmodelle ?
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Motivation
Numerisches Modell der Mantelkonvektion
• Physikalische Abschätzungen: Viskosität tiefenabhängig • Laborexperimente: Rheologie druck-, spannungs- und temperaturabhängig • Die meisten Modelle haben Beschränkungen: kartesisch und/oder isoviskos• Lateral variable Viskosität bedeutet extrem hohen numerischen Aufwand
Strömungsstruktur in einer Kugelschale? (vgl. 3D Box)Einfluss stark temperatur- und tiefenabhänger Viskosität?Einfluss interner Wärmequellen?
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Grundlagen thermischer Konvektionmathematisches Modell
3 partielle DGL + Zustandsgleichung für die Dichte:
• Massenerhaltung: Kontinuitätsgleichung• Impulserhaltung: Bewegungsgleichung• Energieerhaltung: Wärmetransportgleichung
Boussinesq Approximation:
• Dichteänderungen resultieren nur durch Temperaturänderungen• Nur die mit Auftriebskräften gekoppelten Dichteänderungen berücksichtigen
Skalierung der Gleichungen mit intrinsischen Variablen:
• charakteristische Länge und Zeit: Schalendicke, thermische Diffusionszeit• Ähnlichkeitsparameter: Rayleigh-Zahl
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Grundlagen thermischer Konvektionmathematisches Modell
Modellgleichungen der Rayleigh-Bénard-Konvektion
0 v
Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung)
Bewegungsgleichung (Impulserhaltung)
02
Ra
RaTTv
t
T QWärmetransportgleichung (Energieerhaltung)
0)( r
T eRaTpvv
Rayleigh-Zahl0
3
Tdg
Ra
0
3
k
gQdRa
Q
linearisierte Arrhenius-Gleichung
.
))(ln())(ln(exp 0 refprefT TrRTTT
skontrastViskosität pT ,
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Thermische Konvektion mit lateral variabler Viskositätnumerisches Modell
Implementierte Methoden:
• Diskretisierung mittels Finiter Volumen• Collocated grid• Gleichungen in kartesischer Formulierung• Primitive Variablen• Kugelschale topologisch in 6 Würfelflächen unterteilt• Massiv Parallel, Gebietszerlegung (MPI)
• Zeitschrittverfahren: implizites unterrelaxiertes Crank-Nicolson Verfahren• Lösung des LGS: Gauß-Seidel / konjugierte Gradienten• Druckkorrektur: SIMPLER und PWI
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Vorteile dieser räumlichen Diskretisierung:
• Effiziente Parallelisierung• Keine Singularitäten an den Polen• Rechtwinklige Gitterlinien• Implizite Lösungsmethode (finite Volumen)
Control Volume laterales Gitter
Thermische Konvektion mit lateral variabler Viskositätnumerisches Modell
Erzeugung des Gitters
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Ra=7000, kubisches Muster (l,m)=(4,0)+(4,4)
• Plume-Kanäle werden breiter• Plume-Köpfe werden größer
Mit steigendem Viskositätskontrast:
Wärmetransport zur Oberfläche weniger effektiv
Stationäre Strömungen in der KugelschaleEinfluss der temperaturabhängigen Viskosität
1T 100T
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Strömungen in der Kugelschaletemperaturabhängige Viskosität
010T 310T
510T 610T
512 10Ra
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Strömungen in der KugelschaleTiefenprofile: temperaturabhängige Viskosität
Mobile Lid: R < 102
Sluggish Lid : R = 103-104
Stagnant Lid: R > 104
Beweglichkeit der oberen Schichtabhängig vom Viskositätskontrast!
512 10Ra
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Strömungen in der Kugelschaletemperaturabhängige Viskosität
1,0,10512 PRaqRa
310 T 510 T
• Plumeförmige Aufströme • Plumeförmige/flächenhafte Abströme• Quasistationäre Strömung
sluggish lid stagnant lid
Aufströme beeinflussen sich nicht (hohe Symmetrie der Kugelschale)
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Strömungen in der Kugelschaletemperaturabhängige Viskosität, interne Wärmequellen
310T 610T010T
512 10Ra
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Strömungen in der KugelschaleTiefenprofile: temperaturabhängige Viskosität, interne Wärmequellen
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Strömungen in der Kugelschaletemperaturabhängige Viskosität, interne Wärmequellen
1,10,105,10 35512 PTRaqRa
Hochviskoses Material taucht spontan ab.
interne Wärmequellen 57%
Laterale Bewegung der Aufströme (Plumes)
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Strömungen in der Kugelschaletemperatur- und tiefenabhängige Viskosität
Temperaturabhängigkeit und Tiefenabhängigkeit der Viskosität konkurrieren!
100,10,0,10 450 PTRaqRa
Existenz einer „high viscosity zone“im unteren Mantel!
512 10Ra
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Tiefenprofile (lateral gemittelt)
high viscosity zone
100,10,0,10 450 PTRaqRa
Strömungen in der Kugelschaletemperatur- und tiefenabhängige Viskosität
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Zusammenfassung
• Entwicklung eines sphärischen Mantelkonvektionsmodells:• 3D, Kugelschale, lateral variable Viskosität, zeitabhängig
• Hohe Symmetrie der Kugelschale: Kaum Interaktion zwischen Plumes• i.a. plumeförmige Aufströme und flächenhafte Abströme
• Interne Heizung: • Strömung stark zeitabhängig • spontane Abstromereignisse beinflussen Ort der Aufströme
• Temperaturabhängige Viskosität:• Starke Zunahme der mittleren Temperatur• Mobile, sluggish und stagnant lid• Sehr schmale Plumes mit sehr hohen Geschwindigkeiten• Hochviskoses Material an der Oberfläche hemmt Wärmetransport