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7/28/2019 Note de Curs-FSI
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N u m e r i c a l a n a l y s i s i n u i d - s t r u c t u r e
i n t e r a c t i o n
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7/28/2019 Note de Curs-FSI
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7/28/2019 Note de Curs-FSI
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C H A P T E R 1
I n t r o d u c t i o n
L e t RN(N 3) b e a d o m a i n r e p r e s e n t i n g a r e g i o n o f t h e s p a c e . T h e d o m a i n w i l l b e a s s u m e d b o u n d e d a n d s u c i e n t l y s m o o t h ( r e g u l a r ) . T h e m o t i o n o f a n i n c o m p r e s s i b l e v i s c o u s h o m o g e n e o u s u i d i s d e s c r i b e d b y t h e N a v i e r - S t o k e s
e q u a t i o n s , w h e r e t h e u n k n o w n s a r e :
u = u(x, t)t h e E u l e r i a n v e l o c i t y o f t h e u i d
,
p = p(x, t) t h e p r e s s u r e o f t h e u i d ,
w i t h
x = (x1, , xN) a n d t R+ t h e i n s t a n t ( t i m e ) . T h e v e l o c i t y e l d i s a v e c t o r i a l f u n c t i o n
u = (u1, , uN) RN,w i t h
ui = ui(x1, , xN, t) a n d t h e p r e s s u r e p = p(x1, , xN, t) i s a s c a l a r f u n c - t i o n .
T h e c l a s s i c a l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e :
(ut + (u )u) u + p = f i n R+,( 1 . 0 . 1 ) d i v
u = 0 i n R+,( 1 . 0 . 2 ) w h e r e
> 0 i s t h e d e n s i t y o f t h e u i d a n d i s c o n s i d e r e d t o b e a c o n s t a n t ( > 0) ; > 0 d e n o t e s t h e d y n a m i c v i s c o s i t y o f t h e u i d ( > 0). L e t u s r e m a r k t h a t , i n t h e l i t e r a t u r e , i n s t e a d o f t h e n o t a t i o n
c o u l d b e n d t h e n o t a t i o n
.
f = (f1, , fN) i s a d e n s i t y o f b o d y f o r c e s p e r u n i t m a s s ( f o r e x a m p l e ,t h e g r a v i t y ) .
T h e d i e r e n t o p e r a t o r s a p p e a r i n g i n t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e d e n e d
a s f o l l o w s :
=
x1, ,
xN
, (u )u =
Ni=1
uiu
xi RN,
u =N
i=1
2u
x2
i R
N,d i v u =
N
i=1
ui
xi R.
T h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ( 3 . 0 . 1 ) , ( 3 . 0 . 2 ) a r e c o m p l e t e d w i t h a D i r i c h l e t t y p e
b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t h e b o u n d a r y o f t h e d o m a i n d e n o t e d b y , t h a t i s ,
( 1 . 0 . 3 ) u(x, t) = g(x, t) f o r x , t > 0.I n t h e m o s t c a s e s , w e c h o o s e t h e n o - s l i p b o u n d a r y c o n d i t i o n
u = 0 o n .
3
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7/28/2019 Note de Curs-FSI
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4 1 . I N T R O D U C T I O N
M o r e o v e r , w e c o n s i d e r a n i n i t i a l c o n d i t i o n f o r t h e v e l o c i t y l e d :
( 1 . 0 . 4 )
u(x, 0) = u0(x) f o r x ,w h e r e u0 i s a g i v e n f u n c t i o n .
N o n - d i m e n s i o n a l i s a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i s t h e c o n v e r -
s i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s t o a f o r m w h i c h i s e a s i e r t o u s e b y r e d u c i n g t h e
n u m b e r o f p a r a m e t e r s i n t h e p r o b l e m t o b e s t u d i e d .
L e t u s c o n s i d e r
Lt h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h ( f o r e x a m p l e , t h e d i a m e t e r o f ) ,
U Rt h e c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y o f t h e s t u d i e d e l d ( f o r e x a m p l e , a
v e l o c i t y a s s o c i a t e d t o t h e n o n - h o m o g e n e o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n ) ,
= LU
t h e c h a r a c t e r i s t i c t i m e
a n d w e d e n o t e
( 1 . 0 . 5 )
x = xL
, t = t
= tL/U
, u(x, t) = u(x, t)U
, p(x, t) = p(x, t)U2
.
W i t h t h e s e n o t a t i o n s , w e h a v e t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s :
ut =u
t=
t
L/U
u(x, t)U
=
L
U2u
t(x, t) =
L
U2ut;
(u )u =N
i=1
uiu
xi=
Ni=1
ui(x, t)
U
xi
L
u(x, t)U
=
L
U2
Ni=1
uiu
xi
=L
U2(u )u;
u =
Ni=1
2
uix2i=
Ni=1
2
xi
L
2ui(x, t)U = L2
U
Ni=1
2
uix2i= L
2
U u;
p = p
x1,
p
x2, . . . ,
p
xN
=
x1
L
p(x, t)U2
,
x2
L
p(x, t)U2
, . . . ,
xN
L
p(x, t)U2
=L
U2
p
x1,
p
x2, . . . ,
p
xN
=
L
U2p;
d i v u =N
i=1
ui
xi=
N
i=1
xi
Lui(x, t)
U = L
U
N
i=1
ui
xi=
L
U
d i v u.
T h u s , w e g e t t h a t t h e n e w v e l o c i t y a n d p r e s s u r e e l d s u a n d p v e r i f y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s :
U2
Lut +
U2
L(u )u
U
L2u +
U2
Lp = f
i n
R+,U
Ld i v u = 0 i n R+.
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1 . I N T R O D U C T I O N 5
L e t u s n o t e t h a t t h e n e w d i e r e n t i a l o p e r a t o r s f r o m a b o v e
, a n d d i v a r e r e l a t e d
t o t h e n e w v a r i a b l e x.
D i v i d i n g b y
U2
Lt h e r s t e q u a t i o n f r o m a b o v e a n d b y
U
Lt h e s e c o n d o n e , w e
c a n w r i t e
ut + (u )u1
Reu + p = f
i n
R+,( 1 . 0 . 6 )
d i v
u = 0 i n R+,( 1 . 0 . 7 ) w h e r e
f = LU2
f,
Re = LU
i s t h e R e y n o l d s n u m b e r .
M o r e o v e r , w e d e n o t e
=
t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y .
F o r e x a m p l e , w e h a v e
= 0, 15 104 m 2 / s f o r t h e a i r , = 106
m
2/ s f o r t h e w a t e r ( b o t h a t
200C ) .
T h e f o l l o w i n g t a b l e s h o w s s o m e v a l u e s o f t h e R e y n o l d s n u m b e r :
U L Re = LU/c a r 1 0 0 k m / h 3 m 5 106a i r c r a f t ( a i r b u s A 3 3 0 ) 8 6 0 k m / h 6 0 m
109 s h ( s a l m o n ) 1 2 , 5 m / s 1 m 1, 25 107 s h ( h e r r i n g ) 1 , 6 7 m / s 3 0 c m 5 105p i g e o n 5 m / s 3 0 c m 105
b u t t e r y 1 m / s 5 c m 3 3 3 3
w a s p 2 c m / s 2 c m 2 6
p r o t o z o a n
101c m / s
102c m
101
b a c t e r i a ( i n w a t e r ) 1 0 0
m / s 0 , 1
m
105
T h e R e y n o l d s n u m b e r c h a r a c t e r i z e s t h e u i d o w t y p e . F r o m m a t h e m a t i c a l
p o i n t o f v i e w , i t t a k e s i n t o a c c o u n t t h e v i s c o s i t y t e r m o f t h e L a p l a c i a n o f t h e
v e l o c i t y e l d .
T h e m a i n d i c u l t i e s t o s t u d y a n d s o l v e t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e , o n
o n e h a n d , t h e c o u p l i n g v e l o c i t y / p r e s s u r e a n d , o n t h e o t h e r h a n d , t h e p r e s e n c e o f
t h e n o n l i n e a r c o n v e c t i o n t e r m (u )u.
D e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e R e y n o l d s n u m b e r
Rei s l a r g e o r s m a l l , t h e N a v i e r -
S t o k e s e q u a t i o n s r e d u c e t o S t o k e s o r E u l e r e q u a t i o n s .
F o r
Re 1, t h e e e c t s d u e t o v i s c o s i t y a r e d o m i n a n t . I f w e c o n s i d e r
p = LU p = Re p,
f = Re f,
t h e e q u a t i o n ( 1 . 0 . 6 ) b e c o m e s
ut + (u )u1
Reu +
1
Rep = 1
Ref,
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7/28/2019 Note de Curs-FSI
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6 1 . I N T R O D U C T I O N
t h a t i s ,
Re ut + Re (u )u u + p = f.T a k i n g
Re 0 , w e g e t t h e s t a t i o n a r y S t o k e s e q u a t i o n s ( w e o m i t
a n d
s y m b o l s ) :
u + p = f i n ,( 1 . 0 . 8 ) d i v u = 0 i n .( 1 . 0 . 9 )
F o r
Re 1 , t h e n o n l i n e a r c o n v e c t i o n t e r m (u )u i s d o m i n a n t . I n t h i s c a s e , w e t a k e
Re + i n e q u a t i o n s ( 1 . 0 . 6 ) ( 1 . 0 . 7 ) ( o r t a k e d i r e c t l y = 0 i n ( 3 . 0 . 1 ) ( 3 . 0 . 2 ) ) a n d w e g e t t h e E u l e r e q u a t i o n s ( w e o m i t
a n d
s y m b o l s ) :
ut + (u )u + p = f i n R+,( 1 . 0 . 1 0 ) d i v
u = 0i n
R+.( 1 . 0 . 1 1 )
O u r a i m i n t h i s c o u r s e i s t o s t u d y t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e i n c o m p r e s s -
i b l e v i s c o u s h o m o g e n e o u s u i d a n d a s t r u c t u r e . F o r s i m p l i c i t y o f a n a l y s i s ,
w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e e q u a t i o n s m o d e l i n g t h e m o t i o n o f a r i g i d b o d y i m m e r s e d
i n a u i d ( m a y b e w e h a v e e n o u g h t i m e t o s t u d y a d e f o r m a b l e b o d y w i t h a k n o w n
d e f o r m a t i o n a n d s o o n ) .
A s w e h a v e a l r e a d y s a i d , t h e m o t i o n o f t h e u i d i s d e s c r i b e d b y t h e c l a s s i c a l
N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , w h e r e a s t h e m o t i o n o f t h e r i g i d b o d y i s g o v e r n e d b y t h e
b a l a n c e e q u a t i o n s f o r l i n e a r a n d a n g u l a r m o m e n t u m ( i . e . N e w t o n ' s l a w ) . I n o t h e r
w o r d s , w e w i l l s t u d y a s y s t e m c o u p l i n g p a r t i a l d i e r e n t i a l a n d o r d i n a r y d i e r e n t i a l
e q u a t i o n s .
L e t u s c o n s i d e r
N = 2 a n d w e s u p p o s e t h a t t h e r i g i d s o l i d o c c u p i e s a t e a c h i n s t a n t
ta c l o s e c o n n e c t e d s u b s e t
B(t) . T h i s b o d y i s s u r r o u n d e d b y t h e u i d l l i n g t h e d o m a i n
(t) = \ B(t).T h e s y s t e m f o r m e d b y t h e c l a s s i c a l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a n d t h e N e w t o n ' s
l a w i s t h e f o l l o w i n g :
f
ut + (u )u
u + p = ff i n (t) [0, T],( 1 . 0 . 1 2 )
d i v u = 0 i n (t) [0, T],( 1 . 0 . 1 3 ) u = 0 o n [0, T],( 1 . 0 . 1 4 )
u = (t) + (t)(x (t)), x B(t), t [0, T],( 1 . 0 . 1 5 )
( 1 . 0 . 1 6 )
m(t) =
B(t)
n d + s
B(t)
f(x, t)dx, t [0, T],
( 1 . 0 . 1 7 )
J(t) = B(t)
(x (t)) n d + s B(t)
(x (t)) f(x, t)dx, t [0, T].
T h e s y s t e m ( 1 . 0 . 1 2 ) ( 1 . 0 . 1 7 ) i s c o m p l e t e d t h e w i t h i n i t i a l c o n d i t i o n s :
( 1 . 0 . 1 8 )
u(x, 0) = u0(x), x (0),
( 1 . 0 . 1 9 )
(0) = 0 R2, (0) = 1 R2, (0) = 0 R.I n t h e a b o v e s y s t e m , w e u s e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n s :
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7/28/2019 Note de Curs-FSI
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1 . I N T R O D U C T I O N 7
u = u(x, t) i s t h e v e l o c i t y e l d o f t h e u i d , p = p(x, t) r e p r e s e n t s t h e p r e s s u r e o f t h e u i d , (t) d e n o t e s t h e p o s i t i o n o f m a s s c e n t e r o f t h e r i g i d b o d y , (t) d e n o t e s t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f t h e r i g i d b o d y , f > 0 i s t h e d e n s i t y o f t h e u i d , s > 0 i s t h e d e n s i t y o f t h e s o l i d , m, J
d e n o t e s t h e m a s s a n d t h e m o m e n t u m o f i n e r t i a o f t h e s o l i d ,
> 0 d e n o t e s t h e d y n a m i c v i s c o s i t y o f t h e u i d , f = f(x, t) i s t h e a p p l i e d f o r c e p e r u n i t m a s s , = pId + 2D(u) d e n o t e s t h e C a u c h y s t r e s s t e n s o r , w i t h
Id t h e i d e n t i t y m a t r i x , D(u) g i v e n b y t h e f o r m u l a
D(u) = u +
uT
2 ,
w h e r e
uT m e a n s t h e t r a n s p o s e o f u, t h a t i s ,
(D(u))kl =1
2
ukxl
+ulxk
.
B(t) d e n o t e s t h e s o l i d a n d i s g i v e n b y B(t) =
(t) + R(t)y | y B(0)
,
w h e r e
(t) =t0
(s)ds,
R(t) i s t h e r o t a t i o n m a t r i x o f a n g l e (t).
B (t) d e n o t e s t h e b o u n d a r y o f t h e r i g i d b o d y a t i n s t a n t t , n = n(x, t) i s t h e u n i t n o r m a l t o B (t) a t t h e p o i n t x d i r e c t e d t o t h e
i n t e r i o r o f t h e r i g i d b o d y ,
x i s g i v e n b y t h e f o r m u l a x =
x2x1
f o r a l l
x =
x1x2
R2,
x y s t a n d s f o r t h e i n n e r p r o d u c t b e t w e e n x a n d y .
T h e m a i n d i c u l t i e s o f t h i s p r o b l e m a r e t h e f o l l o w i n g : t h e e q u a t i o n s o f t h e
u i d a r e c o u p l e d w i t h t h o s e o f t h e s o l i d a n d o n t h e o t h e r h a n d , t h e d o m a i n o f t h e
u i d i s v a r i a b l e (
(t)) a n d i s o n e o f t h e u n k n o w n s o f t h e p r o b l e m ( w e t h u s h a v e a
f r e e b o u n d a r y p r o b l e m ) .
F r o m a n u m e r i c a l p o i n t o f v i e w , t h e r e s o l u t i o n o f a u i d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n
p r o b l e m r e q u i r e s r s t s o l v i n g t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . I n a d d i t i o n , t h e N a v i e r -
S t o k e s e q u a t i o n s u s e m a n y m e t h o d s w h i c h s o l v e t h e i n t e r m e d i a t e S t o k e s p r o b l e m .
T h e S t o k e s p r o b l e m i s a c o u p l e d v e l o c i t y / p r e s s u r e p r o b l e m , b u t l i n e a r . F o r t h i s
r e a s o n , w e w i l l r s t s t u d y t h e S t o k e s p r o b l e m , t h e n w e d e v e l o p a n d a n a l y z e n u -
m e r i c a l s c h e m e s f o r t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , w h i c h w i l l b e a s i g n i c a n t s t e p t o
p a s s a t s t u d y i n g n u m e r i c a l s c h e m e s f o r u i d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n p r o b l e m s .
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7/28/2019 Note de Curs-FSI
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7/28/2019 Note de Curs-FSI
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C H A P T E R 2
S t o k e s e q u a t i o n s
L e t RN(N = 2 o r 3) b e a b o u n d e d a n d s u c i e n t l y s m o o t h ( r e g u l a r ) d o m a i n . W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g S t o k e s p r o b l e m :
u + p = f i n ,( 2 . 0 . 1 ) d i v
u = 0i n
,( 2 . 0 . 2 )
u = 0o n
,( 2 . 0 . 3 )
w i t h
> 0 t h e d y n a m i c v i s c o s i t y .
1 . S o m e u s e f u l p r o p e r t i e s
L e t u s r s t r e c a l l s o m e u s e f u l p r o p e r t i e s .
G r e e n f o r m u l a : a ) F o r a l l s c a l a r s m o o t h e l d s
v,
w, w e h a v e
( 2 . 1 . 4 )
w v dx =
w v dx
w
nv d,
w h e r e n i s t h e u n i t a r y e x t e r i o r n o r m a l v e c t o r a t a n d
wn
=N
i=1
wxi
ni.
b ) F o r a l l v e c t o r i a l s m o o t h e l d s ( f u n c t i o n s )
v,
w, w e h a v e
( 2 . 1 . 5 )
w v dx =
w : v dx
w
n v d,
w i t h
w : v =N
i=1
wi vi =N
i=1
Nj=1
wixj
vixj
,
w
n v =N
i=1
Nj=1
wixj nj vi.
T h e d i v e r g e n c e f o r m u l a : F o r a n y v e c t o r i a l s m o o t h e l d
v, w e h a v e
( 2 . 1 . 6 )
d i v v dx =
v n d.
9
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1 0 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S
2 . T h e m i x e d v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f t h e S t o k e s p r o b l e m
W e w i l l n d a m i x e d v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f t h e S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 0 . 1 )
( 2 . 0 . 3 ) . T o t h i s e n d , w e m u l t i p l y t h e e q u a t i o n ( 2 . 0 . 1 ) b y a t e s t f u n c t i o n v w h i c h
v a n i s h e s o n t h e b o u n d a r y
a n d w e i n t e g r a t e i n
:
u v dx +
p v dx =
f v dx.
U s i n g t h e G r e e n f o r m u l a ( 2 . 1 . 5 ) , i n t e g r a t i n g b y p a r t s t h e p r e s s u r e t e r m a n d t a k i n g
i n t o a c c o u n t t h a t t h e t e s t f u n c t i o n v v a n i s h e s o n t h e b o u n d a r y o f t h e d o m a i n , w e
g e t
u : v dx
pd i v
v dx =
f v dx.O n t h e o t h e r h a n d , w e m u l t i p l y t h e e q u a t i o n ( 2 . 0 . 2 ) b y a t e s t f u n c t i o n
qw h i c h
h a s a z e r o m e a n v a l u e o n
a n d w e i n t e g r a t e o n
, t h e n
(d i v u)q dx = 0.
I n o r d e r t o i n t r o d u c e t h e f u n c t i o n a l f r a m e w o r k o f o u r p r o b l e m , w e d e n e t h e
f o l l o w i n g s p a c e s :
L2() =
v : R | v m e a s u r a b l e a n d
|v(x)|2dx < +
,
H1() =
v L2() | v L2()N
,
H10 () =
v H1() | v = 0 o n
.
L e t u s a l s o t o i n t r o d u c e t h e s p a c e
( 2 . 2 . 7 )
L20() = q L2() |
q dx = 0
,
o f f u n c t i o n s i n L2() w h i c h h a v e z e r o m e a n v a l u e o v e r .T h u s , t h e m i x e d v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f S t o k e s p r o b l e m c a n b e w r i t t e n a s
f o l l o w s :
F i n d (u, p) H10 ()N L20() s u c h t h a t
u : v dx
pd i v
v dx =
f v dx v H10 ()N( 2 . 2 . 8 )
(d i v
u)q dx = 0 q L20().( 2 . 2 . 9 )
R e m a r k 2 . 1 . I n t h e i d e n t i t y ( 2 . 2 . 9 ) , i t i s e q u i v a l e n t t o t a k e t e s t f u n c t i o n i n
L2()( t h a t i s , n o t n e c e s s a r y o f z e r o m e a n v a l u e ) .
P r o o f .
I n f a c t , w e s u p p o s e t h a t ( 2 . 2 . 9 ) i s s a t i s e d . F o r
r L2(), w e d e n o t e r
i t s m e a n v a l u e , i . e . ,
r =1
||
r dxa n d w e h a v e
(d i v
u)r dx =
(d i v
u)(r r) dx + r
(d i v
u) dx
=
( d i v u)(r r) dx + r
u n dx.
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
11/86
2 . T H E M I X E D V A R I A T I O N A L F O R M U L A T I O N O F T H E S T O K E S P R O B L E M 1 1
W e h a v e
rr L20(), t h e n f o r u H10 ()N s a t i s f y i n g ( 2 . 2 . 9 ) , i n t h e a b o v e r e l a t i o n w e o b t a i n
( d i v u)r dx = 0.
L e t u s n o w i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g b i l i n e a r f o r m s :
( 2 . 2 . 1 0 )
a : H10 ()N H10 ()N R
a(u,v) =
u : v dx,
( 2 . 2 . 1 1 )
b : H10 ()N
L2()
R
b(u, q) =
(d i v u)q dx,
W i t h t h e a b o v e n o t a t i o n , t h e m i x e d v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n o f S t o k e s e q u a t i o n
i s w r i t t e n a s f o l l o w s :
F i n d (u, p) H10 ()N L20() s u c h t h a t
a(u,v) + b(v, p) = (f,v) v H10 ()N( 2 . 2 . 1 2 ) b(u, q) = 0 q L20(),( 2 . 2 . 1 3 )
w h e r e (, ) d e n o t e s t h e L2 - i n n e r p r o d u c t , t h a t i s ,
(f,v) =
f
vdx.
R e m a r k 2 . 2 . 1 ) I t i s i m p o r t a n t t o l o o k f o r t h e p r e s s u r e
pw i t h z e r o m e a n v a l u e . I n
f a c t , i f
pv e r i e s t h e S t o k e s e q u a t i o n ( 2 . 0 . 1 ) , t h e n
p + C s a t i s e s t h e s a m e e q u a t i o n , w h e r e
Ci s a n a r b i t r a r y c o n s t a n t . A s w i l l b e s e e n , t h e s p a c e
L20() o f f u n c t i o n s w i t h z e r o m e a n v a l u e a s s u r e s t h e u n i q u e n e s s o f t h e p r e s s u r e .
2 ) T h e t e r m " m i x e d " r e f e r s t o t h e v e l o c i t y / p r e s s u r e f o r m u l a t i o n .
3 ) T h e r e i s a l s o p o s s i b l e a n o t h e r f u n c t i o n a l f r a m e w o r k f o r t h e S t o k e s p r o b l e m .
T o t h i s e n d , w e d e n o t e
V =u H10 ()N | d i v u = 0 i n
.
T h u s , t h e p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) w h i c h g i v e s u s t h e v e l o c i t y
ui s e q u i v a l e n t w i t h
t h e f o l l o w i n g p r o b l e m :
( 2 . 2 . 1 4 ) F i n d
u Vs u c h t h a t
a(u,v) = (f,v) v V.U s i n g L a x - M i l g r a m L e m m a , t h e p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 4 ) a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n
u V( t h e b i l i n e a r f o r m
ai s c o n t i n u o u s a n d c o e r c i v e o n
V) . T h i s i s t h e m a n n e r t o p r o v e
t h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f a s o l u t i o n o f t h e m i x e d p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) .
-
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1 2 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S
3 . T h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n
3 . 1 . A n a b s t r a c t r e s u l t f o r t h e m i x e d p r o b l e m . L e t
Xa n d
Yb e t w o
H i l b e r t s p a c e s a n d l e t c o n s i d e r t w o b i l i n e a r f o r m s
a : X X Rb : X Y R.
W e d e n o t e
X ( r e s p e c t i v e l y , Y ) t h e n o r m o n X ( r e s p e c t i v e l y o n Y ) . T h e b i l i n e a r f o r m s
aa n d
ba r e s u p p o s e d t o b e c o n t i n u o u s . F o r a g i v e n
f X(
X
r e p r e s e n t s t h e d u a l s p a c e o f
X) , w e l o o k f o r (u, p) X Y s u c h t h a t
a(u, v) + b(v, p) = < f, v >X,X v X( 2 . 3 . 1 5 ) b(u, q) = 0 q Y,( 2 . 3 . 1 6 )
w h e r e
< , >X,X r e p r e s e n t s t h e d u a l i t y p r o d u c t .
T h e o r e m 2 . 1 . L e t c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g h y p o t h e s i s :
( 1 ) T h e b i l i n e a r f o r m a i s c o e r c i v e o n X:
T h e r e e x i s t s
> 0 s u c h t h a t a(v, v) v2X v X.( 2 ) T h e b i l i n e a r f o r m
bs a t i s e s t h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n :
T h e r e e x i s t s
> 0 s u c h t h a t supvX
v=0
b(v, q)
vX qY q Y.
T h e n t h e p r o b l e m ( 2 . 3 . 1 5 ) , ( 2 . 3 . 1 6 ) a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n (u, p) X Y .R e m a r k 2 . 3 . T h e c o n d i t i o n ( 2 ) f r o m t h e a b o v e t h e o r e m i m p l i e s t h a t
infqY
q=0
sup
vXv=0
b(v, q)
v
X
q
Y
.
3 . 2 . T h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r t h e S t o k e s p r o b l e m . L e t u s n o w v e r i f y
t h e h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 2 . 1 i n t h e c a s e o f S t o k e s p r o b l e m w i t h
X = [H10 ()]N
,
Y = L20() a n d t h e f o r m s a a n d b d e n e d b y ( 2 . 2 . 1 0 ) a n d ( 2 . 2 . 1 1 ) .
T h e f o r m
ai s c o n t i n u o u s a n d c o e r c i v e o n [H10 ()]
N [H10 ()]N. I n f a c t , f o r a l l u a n d v i n [H10 ()]
N, w e h a v e
a(u,v) =
u : v dx = N
i=1
ui vi dx.
B y u s i n g t h e H o l d e r i n e q u a l i t y , w e g e t
a(u,v) N
i=1
uiL2()NviL2()N
uL2()N2vL2()N2 uH1()NvH1()N u,v [H10 ()]N,
w h i c h g i v e s u s t h e c o n t i n u i t y o f
a. M o r e o v e r , t h e P o i n c a r i n e q u a l i t y
uH1()N CuL2()N2 u H10 ()N,
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
13/86
3 . T H E " I N F - S U P " C O N D I T I O N 1 3
i m p l i e s t h e c o e r c i v i t y o f
ab e c a u s e
a(u,u) =
u
2L2()N2
C2
u
2H1()N
u
H10 ()
N.
T h e f o r m
bi s c o n t i n u o u s o n
[H10 ()]N L2()
:
b(v, q) =
(d i v
v)q dx vH1()NqL2() v H1()N, q L2().
T h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r
b. I n o r d e r t o p r o v e t h a t t h e b i l i n e a r f o r m
ba s s o c i a t e d
w i t h t h e S t o k e s p r o b l e m v e r i e s t h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n , w e n e e d t h e f o l l o w i n g
r e s u l t :
L e m m a 2 . 1 . T h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0 s u c h t h a t f o r a l l p L2() , t h e r e e x i s t s v [H1()]N s u c h t h a t
d i v
v = pa n d
v
H1()N
C
p
L2().
M o r e o v e r , i f
pv e r i e s
p dx = 0 , t h e n c a n t a k e v [H10 ()]N.
T o p r o v e t h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r t h e S t o k e s p r o b l e m , l e t c o n s i d e r
q L20().U s i n g L e m m a 2 . 1 , t h e r e e x i s t s w [H10 ()]N s u c h t h a t q = d i v w a n d
wH1()N CqL2().T h e n , w e h a v e
b(w, q) =
(d i v
w)q dx =
|q|2 dx = q2L2()a n d , b y c o n s e q u e n c e ,
b(w, q)wH1()N
1C
b(w, q)qL2() =
1C
qL2().
T h e r e f o r e ,
bs a t i s e s t h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n w i t h
= 1/C > 0, w h e r e
Ci s t h e
c o n s t a n t f r o m L e m m a 2 . 1 .
C o n c l u s i o n . T h e S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n (u, p) H10 ()
N L20().
R e m a r k 2 . 4 . I f u i s t h e s o l u t i o n o f S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) , t h e n i t
s a t i s e s
a(u,v) = (f,v) f o r a l l v V , w h i c h i s e q u i v a l e n t w i t h t h e p r o b l e m minvV
1
2a(v,v) (f,v).
T h e m i x e d f o r m u l a t i o n o f t h e S t o k e s p r o b l e m c o r r e s p o n d s t o t h e f o l l o w i n g s a d d l e
p o i n t p r o b l e m :
minvX
maxqY
1
2a(v,v) + b(v, q) (f,v).
T h u s , t h e p r e s s u r e c a n b e s e e n a s a L a g r a n g e m u l t i p l i e r o f t h e f r e e d i v e r g e n c e c o n -
s t r a i n t .
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
14/86
1 4 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S
4 . A p p r o x i m a t i o n b y n i t e e l e m e n t s a n d d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n
F r o m n o w o n , w e c o n s i d e r
N = 2( u n l e s s w e e x p l i c i t l y c o n s i d e r o t h e r c a s e ) a n d
w e u s e t r i a n g u l a r L a g r a n g e n i t e e l e m e n t .
W e s u p p o s e t h a t i s a p o l y g o n a l d o m a i n , t h e r e f o r e c a n b e a c c u r a t e l y t r i a n - g u l a t e d b y :
=
i
Ki,
w h e r e
Ki i s a t r i a n g l e 1
( c l o s e d ) s u c h t h a t
Ki Kj = o r 1 v e r t e x o r 1 e d g e 2 , f o r i = j
.
W e d e n o t e b y
{ai} t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e s . T h e m e s h s i z e i s c h a r a c t e r i z e d b y
h = maxK
hK,
w h e r e
hK i s t h e s i z e o f t r i a n g l e K d e n e d b y
hK = maxai,ajK
|ai aj |.
E q u i v a l e n t l y ,
hK c a n b e d e n e d a s t h e d i a m e t e r o f t r i a n g l e K, i . e . t h e d i a m e t e r o f t h e c i r c u m c i r c l e o f t h e t r i a n g l e
K.
T h e n , w e d e n o t e Th t h e t r i a n g u l a t i o n m a d e b y t h e t r i a n g l e s {Ki}i .A s s u m e a l s o t h a t t h e d o m a i n
i s c o n v e x , a n d t h i s h y p o t h e s i s i s m a i n l y i m p o s e d
t o o b t a i n r e g u l a r i t y f o r t h e s o l u t i o n o f t h e e l l i p t i c p r o b l e m i n
.
M o r e o v e r ,
Pk, k 0, d e n o t e s s p a c e o f p o l y n o m i a l s w i t h N v a r i a b l e s a n d o f d e g r e e l e s s o r e q u a l t h a n
k.
4 . 1 . S o m e u s e f u l l p r o p e r t i e s o n n i t e e l e m e n t s . L e t u s r e c a l l s o m e i m -
p o r t a n t p r o p e r t i e s o n n i t e e l e m e n t s .
R e g u l a r t r i a n g u l a t i o n s . T h e t r i a n g u l a t i o n
Th o f i s c a l l e d r e g u l a r i f t h e r e e x i s t s
> 0 i n d e p e n d e n t o f h a n d K s u c h t h a t
K :=hKK
K Th,
w h e r e
K i s t h e r o u n d n e s s o f t h e t r i a n g l e K d e n e d b y
K = sup{ d i a m e t e r o f B | B b a l l c o n t a i n e d i n K}.T h e r a t i o
K m e a s u r e s t h e a t t e n i n g o f t h e t r i a n g l e K ( K =
3 f o r K a e q u i l a t e r a l t r i a n g l e ) . M o r e p r e c i s e l y , i f
hK d e n o t e s t h e l e n g t h o f t h e l o n g e s t s i d e o f t h e t r i a n g l e K
a n d i f
K i s t h e s m a l l e s t a n g l e o f K, t h e w e c a n s h o w t h a t
1 + sin K2
sin K hK
K 1
tan K2 .
T h e t r i a n g u l a t i o n
Th i s c a l l e d u n i f o r m l y r e g u l a r ( o r q u a s i - u n i f o r m ) i f t h e r e e x i s t > 0 a n d > 0 i n d e p e n d e n t o f h a n d K s u c h t h a t
h hK K K Th.1
a t e t r a h e d r o n i n t h e c a s e N = 32
f a c e o r e d g e i n d i m e n s i o n N = 3
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
15/86
4 . A P P R O X I M A T I O N B Y F I N I T E E L E M E N T S A N D D I S C R E T E " I N F - S U P " C O N D I T I O N 1 5
K
(0,0) (1,0)
(0,1)
KF
a1
2
3
K
a
a
F i g u r e 1 .
R e f e r e n c e t r i a n g l e - A n e m a p .
B a r y c e n t r i c c o o r d i n a t e s . T h e b a r y c e n t r i c c o o r d i n a t e s o f a p o i n t
x R2w i t h
r e s p e c t t o t h e 3 v e r t i c e s a1, a2,a3 o f a t r i a n g l e K a r e t h e f u n c t i o n s i = i(x) s u c h t h a t
i P1, i(aj ) = ij f o r 1 i, j 3,w h e r e
ij d e n o t e s t h e K r o n e c k e r d e l t a , i . e .
ij =
0
i f
i = j,1 i f i = j.
T h e b a r y c e n t r i c c o o r d i n a t e s h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :
3i=1
i = 1,
p =
3i=1
p(ai)i p P1.
I n t e g r a t i o n f o r m u l a . F o r a l l k1, k2, k3 0 ,
( 2 . 4 . 1 7 )
K
k11 k22
k33 dx = 2|K|
k1!k2!k3!
(2 + k1 + k2 + k3)!.
T h e r e f e r e n c e e l e m e n t . L e t
FK b e a n a n e m a p w h i c h t r a n s f o r m t h e r e f e r e n c e t r i a n g l e
Ki n t o a t r i a n g l e
K, i . e .
FK(K) = K ( s e e F i g u r e 1 ) .T h e m a p
FK i s d e n e d a s f o l l o w s :
FK(x) = BKx + bK
w i t h
BK = x2 x1 x3 x1y2
y1 y3
y1 , bK =
x1y1 ,
w h e r e (xi, yi) a r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e v e r t i c e s ai . W e r e c a l l t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y :
2|K| = | d e t BK|,BK2 hK
K, B1K 2
hKK
.
D u e t o t h e c h a n g e o f v a r i a b l e s i n t h e i n t e g r a l s a n d u s i n g t h e a b o v e p r o p e r t i e s , w e
c a n p r o v e t h e f o l l o w i n g r e s u l t .
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
16/86
1 6 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S
k=3k=2
F i g u r e 2 .
E x a m p l e s o f l a t t i c e s o f o r d e r 2 a n d 3 .
P r o p o s i t i o n 2 . 1 . F o r
m 0 e n t i r e , t h e m a p v v = v FK i s a n i s o m o r p h i s m f r o m
Hm(K) t o Hm(K) a n d t h e r e e x i s t t h e c o n s t a n t s C1, C2 > 0 i n d e p e n d e n t o f m
, s u c h t h a t
|v|m,K C1hKmK |v|m,K v H
m
(K),
|v|m,K C2hmKK
|v|m,K v Hm(K),
w h e r e
Hm(K) =
v L2(K) | Dv L2(K) s u c h t h a t || m
a n d
| |m,K d e n o t e s t h e s e m i n o r m i n Hm(K) , i . e .
|v|m,K =
||=m
Dv2L2(K)
1/2
.
I n v e r s e i n e q u a l i t i e s .
P r o p o s i t i o n 2 . 2 . W e s u p p o s e t h a t
Th i s a u n i f o r m l y r e g u l a r t r i a n g u l a t i o n . L e t K Th a n d P a n i t e d i m e n s i o n a l s u b s p a c e o f Hl(K) Hm(K) w i t h 0 m l .T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0 i n d e p e n d e n t o f h a n d K s u c h t h a t
vHl(K) ChmlvHm(K) v P.
I n t e r p o l a t i o n . W e c a l l l a t t i c e o f o r d e r
ko f t h e t r i a n g l e
Ko f v e r t i c e s a1, a2, a3 ,
t h e s e t ( s e e F i g u r e 2 )
K = x =3
i=1
iai |3
i=1
i = 1; i 0,1
k,
2
k, , k 1
k, 1 .
L e t u s d e n o t e
Wh =
v C0() | v|K Pk, K Th
( 2 . 4 . 1 8 )
Xh = Wh H10 ()( 2 . 4 . 1 9 )
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
17/86
4 . A P P R O X I M A T I O N B Y F I N I T E E L E M E N T S A N D D I S C R E T E " I N F - S U P " C O N D I T I O N 1 7
P r o p o s i t i o n 2 . 3 . W e a s s u m e t h a t
Th i s r e g u l a r a n d k 1 . T h e n , t h e r e e x i s t s a n o p e r a t o r
Ih L(
H
2
(); Wh) L(H2() H10 (); Xh)
d e n e d o n e a c h e l e m e n t
Ka s f o l l o w s :
( 2 . 4 . 2 0 )
Ihv|K Pk, Ihv(x) = v(x) x K,s u c h t h a t f o r
2 s k + 1:
v IhvL2() + h(v Ihv)L2() Chs|v|Hs() v Hs(),w h e r e
C > 0 i s a c o n s t a n t i n d e p e n d e n t o f h a n d v .
T h e a b o v e r e s u l t i s a n i n t e r p o l a t i o n r e s u l t f o r r e g u l a r f u n c t i o n s ( p r e c i s e l y , f o r
c o n t i n u o u s f u n c t i o n s ) i n o r d e r t o g i v e a m e a n i n g t o ( 2 . 4 . 2 0 ) . T h e f u n c t i o n s
vf r o m
P r o p o s i t i o n 2 . 3 a r e c o n t i n u o u s b e c a u s e
H2() C0() f o r N 3 ( i . e . H2() i sc o m p a c t l y i n j e c t e d i n
C0() f o r N 3) . F o r n o n - r e g u l a r f u n c t i o n s , w e h a v e t h e f o l l o w i n g r e s u l t :
P r o p o s i t i o n 2 . 4 . W e a s s u m e t h a t
Th i s r e g u l a r a n d k 1 . T h e n , t h e r e e x i s t s a n o p e r a t o r
Rh L(
H10 (); Xh)
a n d a c o n s t a n t
C > 0i n d e p e n d e n t o f
hs u c h t h a t
v RhvL2() + h(v Rhv)L2() Ch|v|H1() v H10 ().4 . 2 . T h e a p p r o x i m a t e d m i x e d f o r m u l a t i o n . I n o r d e r t o d i s c r e t i z e t h e
S t o k e s p r o b l e m b y u s i n g n i t e e l e m e n t s , w e w i l l u s e t h e m i x e d f o r m u l a t i o n b e c a u s e
i t i s g e n e r a l l y d i c u l t t o d i s c r e t i z e t h e s p a c e
V, i . e . , t o b u i l d a f r e e d i v e r g e n c e b a s e .
W e r e c a l l t h a t w e c h o o s e t h e d i m e n s i o n
N = 2. L e t
Xh
X = [H10 ()]
2
a n d
Yh Y = L20()t w o n i t e d i m e n s i o n a l s u b s p a c e s . T h e a p p r o x i m a t e d m i x e d f o r m u l a t i o n c a n b e
w r i t t e n a s f o l l o w s :
F i n d
uh Xh, ph Yh s u c h t h a t a(uh,vh) + b(vh, ph) = (fh,vh) vh Xh( 2 . 4 . 2 1 )
b(uh, qh) = 0 qh Yh.( 2 . 4 . 2 2 )
W e a s s u m e t h a t t h e s p a c e s
Xh a n d Yh a r e s u c h t h a t t h e b i l i n e a r f o r m b v e r i e s t h e f o l l o w i n g d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n o n
Xh Yh :
T h e r e e x i s t s > 0 i n d e p e n d e n t o f h s u c h t h a t qh Yh , vh Xh , vh = 0 s u c h t h a t
( 2 . 4 . 2 3 )
b(vh, qh) vhXqhY.
U n d e r t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) , t h e a p p r o x i m a t e d m i x e d f o r m u -
l a t i o n ( 2 . 4 . 2 1 ) , ( 2 . 4 . 2 2 ) a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n (uh, ph) Xh Yh ( s e e T h e o r e m 2 . 1 ) .
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
18/86
1 8 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S
0
0
0
0
0
0P
F i g u r e 3 .
E x a m p l e
P1/P1 : v e r r o u i l l a g e n u m r i q u e o f t h e v e l o c i t y .
W e n e e d t o c a r e f u l l y c h o o s e t h e a p p r o x i m a t e d s p a c e s
Xh a n d Yh f o r t h e v e - l o c i t y a n d p r e s s u r e e l d s . T h e y m u s t b e c h o s e n s u c h t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p "
c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s s a t i s e d . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e , w e c o n s i d e r t h e a p p r o x i -
m a t i o n
P1/P1
a n d w e s h o w t h a t t h e a s s o c i a t e d p r o b l e m i s i l l - p o s e d b e c a u s e o f t h e
l o c k i n g p h e n o m e n o n o n t h e v e l o c i t y e l d . W e a l s o s h o w t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p "
c o n d i t i o n i s n o t s a t i s e d f o r t h i s e x a m p l e .
E x a m p l e
P1/P1 ( c o u n t e r e x a m p l e ) .
W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g a p p r o x i m a t e d s p a c e s .
Wh = {vh C0() | vh|K P1, K Th},Xh = Wh Wh H10 ()2,Yh = Wh L20().
i ) N u m e r i c a l l o c k i n g . W e c a n s h o w i n t h i s e x a m p l e t h a t t h e p r o b l e m ( 2 . 4 . 2 1 ) ,
( 2 . 4 . 2 2 ) i s i l l - p o s e d . I n f a c t , w e c o n s i d e r
Vh = {vh Xh | ( d i v vh, qh) = 0, qh Yh}.T h e n , i n g e n e r a l , w e h a v e
Vh = {0} . F o r e x a m p l e , c h o o s e t h e d o m a i n a s i n t h e F i g u r e 3 w i t h t h e i n d i c a t e d t r i a n g u l a t i o n . L e t
h Wh s u c h t h a t
h(Q) =
1 i f Q = P,0 e l s e w h e r e .
E a c h vh Xh i s w r i t t e n a s vh(x) = vh(P)h(x) a n d w e h a v e d i v vh = vh(P)h .L e t n o w c o n s i d e r vh Vh . W e h a v e ( 2 . 4 . 2 4 ) 0 = (d i v vh, qh) = vh(P)
(h)qh dx.
W e c h o o s e
qh = x1 + x2 Wh . I n t e g r a t i n g b y p a r t s a n d u s i n g t h e f a c t t h a t h = 0o n
, w e g e t
( 2 . 4 . 2 5 )
(h)qh dx =
hqh dx =
11
dx = 0.
B y c o n s e q u e n c e , w i t h ( 2 . 4 . 2 4 ) a n d ( 2 . 4 . 2 5 ) , w e o b t a i n
vh(P) = 0 a n d t h e n vh 0 .T h i s i s t h e n u m e r i c a l l o c k i n g p h e n o m e n o n o f t h e v e l o c i t y e l d .
i i ) " I n f - s u p " c o n d i t i o n i s n o t s a t i s e d . I n t h i s e x a m p l e , w e c a n a l s o s h o w t h a t t h e r e
i s n o u n i q u e n e s s f o r t h e p r e s s u r e
ph . I n d e e d , a s s u m e f o r t h e m o m e n t t h e e x i s t e n c e
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
19/86
4 . A P P R O X I M A T I O N B Y F I N I T E E L E M E N T S A N D D I S C R E T E " I N F - S U P " C O N D I T I O N 1 9
0
1
101 1
0
1
01
1
1
F i g u r e 4 .
E x a m p l e
P1/P1 : n o n u n i q u e n e s s o f t h e p r e s s u r e .
o f a f u n c t i o n
ph Yh s u c h t h a t ( 2 . 4 . 2 6 )
(d i v
vh, ph) = 0 vh Xh.
I n t h i s c a s e , w e h a v e
( d i v vh, qh + c ph) = ( d i v vh, qh) vh Xh, qh Yh, c R.
B y c o n s e q u e n c e , i f
ph i s s o l u t i o n , t h e n ph + c ph i s a l s o a s o l u t i o n . T h e n , w e d o n o t
h a v e u n i q u e n e s s o f t h e p r e s s u r e .
T o p r o v e t h a t t h e r e e x i s t s
ph Yh v e r i f y i n g ( 2 . 4 . 2 6 ) , w e t a k e t h e e x a m p l e w h e r e t h e d o m a i n
i s a s q u a r e w i t h a u n i f o r m t r i a n g u l a t i o n a s s h o w n i n t h e F i g u r e 4 . L e t
ph Wh b e t h e f u n c t i o n w h i c h i s a l t e r n a t i v e l y e q u a l t o 0, 1 a n d 1 o n t h e v e r t i c e s ;e a c h t r i a n g l e m u s t h a v e e x a c t l y t h e s e t h r e e v a l u e s t o t h e v e r t i c e s ( s e e F i g u r e 4 ) .
W e h a v e
ph Yh b e c a u s e
ph dx = 0. I n f a c t , w e h a v e
p
h dx
=
K
Kp
h dx
=
K |K
|3
3
i=1p
h(aK
i ),
w h e r e aKi d e n o t e s t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e K. H o w e v e r , b y c o n s t r u c t i o n o f ph ,
w e h a v e
3i=1
ph(aKi ) = 0,
t h e n w e g e t
ph dx = 0. I n a d d i t i o n ,
(d i v
vh, ph) =
K
K
(d i v
vh)ph dx =
K
(d i v
vh)|K
K
ph dx.
B y c o n s t r u c t i o n o f
ph
, i t f o l l o w s t h a t K
ph
dx = 0, t h e n ( d i v vh
, ph
) = 0. T h u s ,
t h e r e l a t i o n ( 2 . 4 . 2 6 ) i s s a t i s e d .
H e n c e , t h e e x i s t e n c e o f
ph v e r i f y i n g ( 2 . 4 . 2 6 ) s h o w s t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s n o t v e r i e d b y t h e e l e m e n t s
P1/P1 .
E x a m p l e
P1/P0 ( c o u n t e r e x a m p l e ) . I n a s i m i l a r w a y w e c a n s h o w t h a t t h e d i s -
c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n i s n o t s a t i s e d b y t h e e l e m e n t s
P1/P0 , w h e r e t h e a p p r o x - i m a t e d s p a c e
Xh o f t h e v e l o c i t y e l d i s t h e s a m e a s a b o v e a n d t h e a p p r o x i m a t e d
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
20/86
2 0 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S
s p a c e f o r t h e p r e s s u r e i s g i v e n b y
Yh = {qh L20() | qh|K P0, K Th}.4 . 3 . F i n i t e e l e m e n t f o r t h e S t o k e s p r o b l e m .
i ) F i n i t e e l e m e n t
P1 - b u b b l e / P1 .
L e t
K1 , K2 ,
K3 b e t h e b a r y c e n t r i c c o o r d i n a t e s w i t h r e s p e c t t o t h e t r i a n g l e K. W e
d e n o t e
Kt h e " b u b b l e " f u n c t i o n a s s o c i a t e d w i t h t h e t r i a n g l e
Ka n d d e n e d b y
( 2 . 4 . 2 7 )
K =
K1
K2
K3 o n K,
0 e l s e w h e r e .
W e h a v e
K|K P3 ( h e n c e t h e t e r m " b u b b l e " ) a n d K 0 o n t h e b o u n d a r y K.T h e " b u b b l e " f u n c t i o n
Ki s c o n t i n u o u s o n . L e t u s c o n s i d e r t h e s u b s p a c e Xh o f
[H10 ()]2
d e n e d b y
Xh =vh C0()2 | vh(x) =
3i=1
Ki Ki (x) + KK(x)
w i t h
Ki , Ki R2, x K, K Th a n d vh = 0 o n
.
T h e s p a c e
Xh c o n t a i n s c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n w h i c h a r e e q u a l t o z e r o o n t h e b o u n d a r y o f a n d w h i c h a r e t h e s u m a p i e c e w i s e a n e f u n c t i o n a n d a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f " b u b b l e s " f u n c t i o n s ( t h e f u n c t i o n
Ki s z e r o o u t s i d e o f
K) . W e
h a v e d i m
Xh = 2(Nv + Nt) , w h e r e Nv i s t h e n u m b e r o f v e r t i c e s o f t h e t r i a n g u l a t i o n a n d
Nt t h e n u m b e r o f t r i a n g l e s . F o r t h e p r e s s u r e , w e c h o o s e t h e f o l l o w i n g s p a c e :
Yh =
qh C0() | qh|K P1, K Th
L20().( 2 . 4 . 2 8 ) W e g e t t h a t d i m
Yh = Nv 1 .V e r i c a t i o n o f t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r
P1 - b u b b l e / P1 .
W e n e e d t o p r o v e t h a t t h e r e e x i s t s
> 0s u c h t h a t
qh Yh , uh Xh , uh = 0s u c h t h a t
( 2 . 4 . 2 9 )
b(uh, qh) uhH1()2qhL2().W e s u p p o s e t h a t t h e t r i a n g u l a t i o n
Th i s u n i f o r m l y r e g u l a r . L e t qh Yh b e x e d . S i n c e
Yh Y a n d b v e r i e s t h e c o n t i n u e " i n f - s u p " c o n d i t i o n o n X Y , t h e n t h e r e e x i s t s
u Y = [H10 ()]2 s u c h t h a t ( 2 . 4 . 3 0 )
b(u, qh) uH1()2qhL2(),w i t h
> 0 i n d e p e n d e n t o f qh ( o n t h e o t h e r h a n d u d e p e n d o n qh ) . T o e s t a b l i s h ( 2 . 4 . 2 9 ) , i t i s s u c i e n t t o p r o v e t h e e x i s t e n c e o f
uh Xh s u c h t h a t b(uh, qh) = b(u, qh),( 2 . 4 . 3 1 )
uhH1()2 CuH1()2 ,( 2 . 4 . 3 2 ) w h e r e
C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f qh a n d h. I n f a c t , i f ( 2 . 4 . 3 1 ) a n d ( 2 . 4 . 3 2 ) a r e s a t i s e d , t h e n w e o b t a i n ( 2 . 4 . 2 9 ) w i t h
= /C > 0 . M o r e o v e r , s i n c e Yh H1(),t h e r e l a t i o n ( 2 . 4 . 3 1 ) i s e q u i v a l e n t
uh qh dx =
u qh dx.
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
21/86
4 . A P P R O X I M A T I O N B Y F I N I T E E L E M E N T S A N D D I S C R E T E " I N F - S U P " C O N D I T I O N 2 1
S i n c e
qh i s c o n s t a n t o n e a c h t r i a n g l e , t h e n i t i s e n o u g h t o n d uh Xh s u c h t h a t
K
uh dx = K
u dx
K
Th,( 2 . 4 . 3 3 )
uhH1()2 CuH1()2 ,( 2 . 4 . 3 4 ) w h e r e
C > 0i s i n d e p e n d e n t o f
h.
T h e r e f o r e , w e l o o k f o r
uh Xh v e r i f y i n g ( 2 . 4 . 3 3 ) , ( 2 . 4 . 3 4 ) . A l l f u n c t i o n vh Xh a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y :
i t s v a l u e s a t t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e s w h i c h d o n o t b e l o n g t o t h e b o u n d -
a r y
( i . e . t h e v a l u e s vh(ai) , ai v e r t e x / ) a n d i t s m e a n v a l u e s Kvh dx o n t h e t r i a n g l e s K.
I n f a c t , f o r
vh Xh , f o r a l l K Th w e g e t :
vh(x) =3
i=1vh(a
Ki )i(x) +
KK(x) x K
a n d
Ki s g i v e n b y t h e r e l a t i o n
K
vh dx =3
i=1
vh(aKi )
K
Ki dx + K
K
K dx.
W e t h e n c h o o s e uh Xh s u c h t h a t uh(ai) = Rhu(ai) ai v e r t e x o f Th,( 2 . 4 . 3 5 )
K
uh dx =
K
u dx K Th,( 2 . 4 . 3 6 )
w h e r e
Rhu Xh a n d t h e o p e r a t o r Rh i s d e n e d i n P r o p o s i t i o n 2 . 4 . W e n e e d t h e p r o j e c t o r
Rh b e c a u s e u [H10 ()]2 i s n o t n e c e s s a r i l y c o n t i n u o u s a n d i t w o u l d n o t m a k e s e n s e t o t a l k a b o u t u(ai).
I t r e m a i n s t o p r o v e t h e e s t i m a t e ( 2 . 4 . 3 4 ) . W e h a v e
uh|K =3
i=1
Rhu(aKi )
Ki +
KK,
o r
( 2 . 4 . 3 7 )
uh|K = Rhu|K + KK.
T h e r e f o r e , w e h a v e
uh2H1()2 =
KTh
uh2H1(K)2
KTh (Rhu
H1(K)2 +
|K
|K
H1(K))
2
2
KTh
Rhu2H1(K)2 + |K|2K2H1(K)
= 2Rhu2H1()2 + 2
KTh
|K|2K2H1(K)
Cu2H1()2 + 2
KTh
|K|2K2H1(K) f r o m P r o p o s i t i o n ( 2 . 4 ) ,
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
22/86
2 2 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S
w h e r e
C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f u a n d o f h . I n a d d i t i o n , f r o m ( 2 . 4 . 3 7 ) a n d ( 2 . 4 . 3 3 ) w e h a v e
Ku dx =
Kuh dx =
K Rhu dx +
KK
K
dx,w h e r e
( 2 . 4 . 3 8 )
K =
K
(u Rhu) dxK
K dx
.
U s i n g t h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a ( 2 . 4 . 1 7 ) , w e o b t a i n
( 2 . 4 . 3 9 )
K
K dx =
K
K1 K2
K3 dx =
|K|60
.
D u e t o C a u c h y - S c h w a r z i n e q u a l i t y , t h e e x p r e s s i o n ( 2 . 4 . 3 8 ) o f
Ky i e l d s t o
|K
| 60u
Rhu
L2(K)2
|K|1/2 .W e h a v e
|K| 4
2K ( t h e a r e a o f a t r i a n g l e i s g r e a t e r t h a n t h e a r e a o f t h e i n s c r i b e d
c i r c l e ) a n d , b y c o n s e q u e n c e , w e h a v e
1
|K|1/2 C 1
K C 1
h
b e c a u s e t h e t r i a n g u l a t i o n i s a s s u m e d t o b e u n i f o r m l y r e g u l a r . H e n c e , w e o b t a i n
|K| Ch
u RhuL2(K)2 ,w h e r e
C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f h a n d K. M o r e o v e r , w e h a v e
K
H1(K)2
ChK +
hK
K
Ci n d e p e n d e n t o f
Ka n d
h.
T h u s , w e g e t
uh2H1()2 Cu2H1()2 +C
h2u Rhu2L2()2 .
U s i n g P r o p o s i t i o n 2 . 4 , w e c o n c l u d e t h a t
uh2H1()2 Cu2H1()2 .W e t h u s h a v e p r o v e d t h a t t h e e l e m e n t
P1 - b u b b l e / P1 v e r i e s t h e d i s c r e t e " i n f - s u p "
c o n d i t i o n .
R e m a r k 2 . 5 . W e c a n r e p l a c e " b u b b l e " b y a n u l l f u n c t i o n o n t h e b o u n d a r y
K,
w h i c h i s p i e c e w i s e a n e o n t h e 3 t r i a n g l e s o b t a i n e d b y c u t t i n g
Kb y i t s c e n t e r .
T h i s e l e m e n t a l s o v e r i e s t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n .
i i ) F i n i t e e l e m e n t
P2 / P1 .
W e c h o o s e
Xh =v C0()2 | v|K P22, K Th, v = 0 s u r
,
( 2 . 4 . 4 0 )
Yh =
q C0() | q|K P1, K Th
L20().( 2 . 4 . 4 1 )
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
23/86
4 . A P P R O X I M A T I O N B Y F I N I T E E L E M E N T S A N D D I S C R E T E " I N F - S U P " C O N D I T I O N 2 3
T h e d e g r e e s o f f r e e d o m f o r t h e v e l o c i t y e l d a r e t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g u l a t i o n
a n d t h e m i d p o i n t s o f t h e e d g e s o f t h e t r i a n g l e s o f Th ( w h i c h a r e n o t o n t h e b o u n d a r y ) . T h e d e g r e e s o f f r e e d o m o f t h e p r e s s u r e a r e t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g u l a t i o n Th .
V e r i c a t i o n o f t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r
P2 / P1 .
W e s u p p o s e t h a t t h e t r i a n g u l a t i o n
Th i s u n i f o r m l y r e g u l a r . M o r e o v e r , l e t a s s u m e t h a t n o n e o f t h e t r i a n g l e s o f
Th h a s t w o s i d e s o n t h e b o u n d a r y , t h a t i s , e a c h t r i a n g l e h a s a t l e a s t o n e v e r t e x a t t h e i n t e r i o r o f .
W e w a n t t o p r o v e t h a t t h e r e e x i s t s
> 0 s u c h t h a t qh Yh , uh Xh ,uh = 0 s u c h t h a t
( 2 . 4 . 4 2 )
b(uh, qh) uhH1()2qhL2().T o t h i s e n d , l e t
qh Yh b e x e d . W e c h o o s e uh Xh s u c h t h a t uh = 0 a ta l l v e r t i c e s o f t h e t r i a n g u l a t i o n Th a n d a t a l l m i d p o i n t s o f t h e b o u n d a r y . I na d d i t i o n , f o r a l l m i d p o i n t s
mes i t u a t e d a t t h e i n t e r i o r o f
, w e c h o o s e :
uh te(me) = qh te(me),( 2 . 4 . 4 3 ) uh e(me) = 0,( 2 . 4 . 4 4 )
w h e r e ( s e e F i g u r e 5 )
e d e n o t e s t h e u n i t a r y n o r m a l v e c t o r a t t r i a n g l e K w i t h me a m i d p o i n t o f o n e o f i t s e d g e s
te i s t h e c o r r e s p o n d i n g u n i t a r y t a n g e n t v e c t o r I t i s i m p o r t a n t t o o b s e r v e t h a t
qh te(me) h a s a m e a n i n g w h e n qh te i sc o n t i n u o u s t h r o u g h t h e e d g e
e. S i n c e
qh Yh H1(), w e h a v e
b(uh, qh) =
uh qh dx =K
K
uh qh dx.
S i n c e
qh i s c o n s t a n t o n K, t h e n b y t h e m i d p o i n t s i n t e g r a t i o n f o r m u l a ( e x a c t f o r t h e p o l y n o m i a l s
P2 ) , w e h a v e K
uh qh dx =
K
uh dx qh|K =|K|
3
meK
me /
uh(me) qh|K
=|K|
3
meK
me /
(uh te(me)) te(me) qh|K
=|K|
3 meK
me /
(qh te(me)) te(me) qh|K
a c c o r d i n g t o t h e e l e c t i o n ( 2 . 4 . 4 3 ) o f uh . W e t h u s g e t K
uh qh dx = |K|3
meK
me /
qh|K te(me)2 .
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
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2 4 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S
a
a
t
t
m
e1
j l
k
e2
e2
m
K
H
a
e2
e1
e1
K
F i g u r e 5 .
V e r i c a t i o n o f t h e " i n f - s u p " c o n d i t i o n f o r t h e e l e m e n t
P2/P1
T h e p r e v i o u s s u m c o v e r s a t l e a s t t w o i n t e r n a l m i d p o i n t s u n d e r t h e a s s u m p t i o n
t h a t w a s m a d e o n t h e t r i a n g u l a t i o n , t h a t i s , e a c h t r i a n g l e h a s a t l e a s t o n e v e r t e x
i n s i d e o f . W e a s s u m e t h a t t h e s u m c o v e r s a t l e a s t t h e m i d p o i n t s me1 a n d me2a s s h o w n i n t h e F i g u r e 5 . T h e n , w e p r o v e t h a t t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0i n d e p e n d e n t o f
Ka n d
hs u c h t h a t
( 2 . 4 . 4 5 )
meK
me /
qh|K te(me)2 C|qh|K|2.
W i t h t h e n o t a t i o n f r o m F i g u r e 5 , w e h a v e qh|K = 1e1+2e2. B y c o n s e q u e n c e ,w e o b t a i n
qh|K te1 = 2 e2 te1,
q
h|K t
e2=
1
e1 t
e2.
G i v e n t h e a s s u m p t i o n o n t h e t r i a n g u l a t i o n , i t f o l l o w s meK
me /
qh|K te(me)2 qh|K te1(me1)2 + qh|K te2(me2)2
= |2 cos(/2 + K)|2 + |1 cos(/2 + K)|2
=(|2|2 + |1|2) sin2(K),
w h e r e
K i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e e d g e s e1 a n d e2 ( s e e F i g u r e 5 ) . S i n c e
|qh|K|2 2(|1|2 + |2|2),w e d e d u c e t h a t
meK
me /
qh|K te(me)2 12 |qh|K|2 sin2(K).
I n a d d i t i o n , w e h a v e ( s e e F i g u r e 5 )
sin K =H
|ak al| ,
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
25/86
4 . A P P R O X I M A T I O N B Y F I N I T E E L E M E N T S A N D D I S C R E T E " I N F - S U P " C O N D I T I O N 2 5
w h e r e
Hi s t h e h e i g h t o f t h e t r i a n g l e
Ka n d ak , al a r e t h e t w o v e r t i c e s , t h e e n d
p o i n t s o f t h e e d g e
e1 . W e c l e a r l y h a v e H > K a n d |ak al| hK. T h e n , w e d e d u c e t h a t
sin K KhK
1
,
b e c a u s e t h e t r i a n g u l a t i o n
Th i s s u p p o s e d t o b e r e g u l a r . T h u s , w e h a v e K
uh qh dx |K|62
|qh|K|2 =1
62
K
|qh|K|2 dx.
S u m m i n g o v e r t h e t r i a n g l e s
K, w e o b t a i n
( 2 . 4 . 4 6 )
b(uh, qh) Cqh2L2()2 ,w i t h
C = 1/(62) > 0 i n d e p e n d e n t o f h . W e d e n o t e Ki , f o r i = 1, 2, 3, t h r e e P2 - b a s i c f u n c t i o n s a s s o c i a t e d w i t h m i d p o i n t s mi . S i n c e uh i s z e r o o n t h e v e r t i c e s
o f t h e t r i a n g l e s , t h e n o n e a c h t r i a n g l e
Kw e h a v e :
uh|K =
3i=1
uh(mi)Ki .
W e d e d u c e t h a t
uh2L2()2 =
K
K
|uh|2 dx C
K
3i=1
|uh(mi)|2
K
|Ki |2 dx.
H o w e v e r , w e h a v e
K
|Ki |2 dx C|K| w h e r e C > 0 i s a c o n s t a n t i n d e p e n d e n t o f K
a n d
h. W e t h u s o b t a i n t h a t
uh2L2()2 C
K
|K|3
i=1
|uh(mi)|2.
A c c o r d i n g t o t h e c o n s t r u c t i o n o f uh , w e h a v e
|uh(mi)| = | (uh tei(mi)) tei | = |uh tei(mi)|= |qh tei(mi)| |qh|K|
a n d t h e n
uh2L2()2 C
K
|K||qh|K|2 = Cqh2L2()2 .
T h e r e f o r e ,
( 2 . 4 . 4 7 )
uhL2()2 CqhL2()2 ,w h e r e
C > 0i s i n d e p e n d e n t o f
h. T h e i n e q u a l i t i e s ( 2 . 4 . 4 6 ) a n d ( 2 . 4 . 4 7 ) s h o w t h a t
( 2 . 4 . 4 8 )
b(uh, qh)
C
uh
L2()2
qh
L2()2 ,
w h e r e
C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f h. I t i s n o t e x a c t l y t h e c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 4 2 ) t h a t w e a r e l o o k i n g f o r . N e v e r t h e l e s s , s i n c e t h e t r i a n g u l a t i o n
Th i s a s s u m e d t o b e u n i f o r m l y r e g u l a r , w e h a v e t h e f o l l o w i n g i n v e r s e i n e q u a l i t y
uhH1()2 Ch1uhL2()2 .T h e n , t h e e s t i m a t e ( 2 . 4 . 4 8 ) b e c o m e s
( 2 . 4 . 4 9 )
b(uh, qh) ChuhH1()2qhL2()2 .
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
26/86
2 6 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S
L e t
> 0 b e a c o n s t a n t i n d e p e n d e n t o f K a n d h ( t o b e x e d l a t e r o n ) .
1 s t c a s e : I f
qh v e r i e s
( 2 . 4 . 5 0 )
qhL2() hqhL2()2 ,t h e n , u s i n g ( 2 . 4 . 4 9 ) , w e h a v e
b(uh, qh) C
huhH1()2qhL2(),
w h i c h p r o v e t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 4 2 ) f o r
qh v e r i f y i n g ( 2 . 4 . 5 0 ) w i t h > 0
g i v e n .
2 n d c a s e : I f
qh i s s u c h t h a t
( 2 . 4 . 5 1 )
qhL2() > hqhL2()2 ,t h e n , i n t h i s c a s e , w e u s e L e m m a 2 . 1 t o g e t t h e e x i s t e n c e o f w [H10 ()]2 s u c h t h a t d i v
w = qh a n d
( 2 . 4 . 5 2 )
wH1()2 CqhL2().M o r e o v e r , d u e t o P r o p o s i t i o n 2 . 4 , t h e r e e x i s t s
Rhw Xh s u c h t h a t w RhwL2()2 + h(w Rhw)L2()4 Ch|w|H1()2 .
W e h a v e
b(Rhw, qh) = (d i v Rhw, qh)
= (d i v w, qh) + ( d i v (Rhw w), qh)
= qh2
L2() (Rhww) qh dx qh2L2() RhwwL2()2qhL2()2 .
H o w e v e r , a c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 2 . 4 a n d t h e e s t i m a t e ( 2 . 4 . 5 2 ) , w e g e t
Rhw wL2()2 Ch|w|H1()2 ChqhL2().W e t h u s o b t a i n
b(Rhw, qh) qh2L2() ChqhL2()qhL2()2 (1 C/) qh2L2() d u e t o ( 2 . 4 . 5 1 ) .
F o r
s u c i e n t l y l a r g e , w e h a v e 1 C/ > 0 . I n a d d i t i o n ,
RhwH1()2 CwH1()2 CqhL2().T h e r e f o r e ,
b(Rhw, qh) 1C
(1 C/) RhwH1()2qhL2().I n c o n c l u s i o n , i f w e c h o o s e
> 0 s u c h t h a t 1 C/ > 0 , t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s s a t i s e d w i t h
= min
C
,
1
C(1 C/)
.
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
27/86
4 . A P P R O X I M A T I O N B Y F I N I T E E L E M E N T S A N D D I S C R E T E " I N F - S U P " C O N D I T I O N 2 7
F i g u r e 6 .
D e g r e e s o f f r e e d o m f o r t h e v e l o c i t y a t t h e e l e m e n t
P1 -
I S O -
P2/P1 .
R e m a r k 2 . 6 . W e c a n r e p l a c e t h e e l e m e n t
P2/P1 w i t h t h e e l e m e n t P1 - I S O - P2/P1o b t a i n e d c o n s i d e r i n g
Xh =v C0()2| v|K P21 o n e a c h s u b - t r i a n g l e K o f K, K Th,v| = 0
.
E a c h t r i a n g l e
Ki s d i v i d e d i n t o 4 s u b - t r i a n g l e s
Kb y t h e m i d p o i n t s o f t h e e d g e s ( s e e
F i g u r e 6 ) .
4 . 4 . A l g e b r a i c f o r m . T h e a l g e b r a i c f o r m o f t h e a p p r o x i m a t e d p r o b l e m ( 2 . 4 . 2 1 ) ,
( 2 . 4 . 2 2 ) i s o b t a i n e d a s f o l l o w s . W e d e n o t e i | i = 1, . . . , N Xh
,
i | i = 1, . . . , N Yh
,
t h e b a s e s o f
Xh , r e s p e c t i v e l y o f Yh . W e s u b s t i t u t e i n t h e a p p r o x i m a t e d m i x e d f o r m u l a t i o n ( 2 . 4 . 2 1 ) , ( 2 . 4 . 2 2 ) t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s :
( 2 . 4 . 5 3 ) uh(x) =
NXh
i=1uii(x), ph(x) =
NYh
i=1pii(x)
a n d w e o b t a i n t h e l i n e a r s y s t e m
( 2 . 4 . 5 4 )
A BT
B 0
UP
=
F0
,
w h e r e t h e u n k n o w n s a r e
U = (u1, , uNXh )T RNXh ,P = (p1, , pNYh )T RNYh .
I n t h e l i n e a r s y s t e m ( 2 . 4 . 5 4 ) , w e c o n s i d e r
F RNXh , Fj = (f, j )A MNXhNXh , Aij = a(i, j )B
MNYhNXh
, Bij = b(i, j )
P r o p o s i t i o n 2 . 5 . T h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s s a t i s e d i f a n d o n l y
i f
ker BT = {0}. I n t h i s c a s e , t h e m a t r i x
A BT
B 0
i s i n v e r t i b l e .
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
28/86
2 8 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S
5 . T h e c o n v e r g e n c e o f t h e a p p r o x i m a t i o n
5 . 1 . G e n e r a l r e s u l t s . W e d e n o t e
Xh
X
a n d
Yh
Y
t w o n i t e d i m e n s i o n a l
v e c t o r i a l s u b s p a c e s . W e s u p p o s e t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s
s a t i s e d b y t h e b i l i n e a r f o r m
bo n
Xh Yh . L e t
( 2 . 5 . 5 5 )
Vh =vh Xh | b(vh, qh) = 0, qh Yh
.
W e s t a t e a r s t r e s u l t o n t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e v e l o c i t y e l d i n
Vh . T h i s r e s u l t i s s i m i l a r t o C a L e m m a f o r e l l i p t i c p r o b l e m s .
P r o p o s i t i o n 2 . 6 . L e t (u, p) t h e s o l u t i o n o f t h e S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) a n d uh t h e a p p r o x i m a t i o n g i v e n b y ( 2 . 4 . 2 1 ) , ( 2 . 4 . 2 2 ) . T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0 i n d e p e n d e n t o f h s u c h t h a t
( 2 . 5 . 5 6 )
u
u
hX C inf
vhVh u
v
hX+ inf
qhYh p
q
hY .
R e m a r k 2 . 7 . T h e P r o p o s i t i o n 2 . 6 i s t r u e w i t h o u t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n
a n d u s e s o n l y t h e c o n t i n u i t y o f t h e b i l i n e a r f o r m s
aa n d
ba n d t h e c o e r c i v i t y o f
a( w h i c h i s e n o u g h t o a s s u r e t h e e x i s t e n c e a n d t h e u n i q u e n e s s o f t h e a p p r o x i m a t i o n
uh Vh ) .
P r o p o s i t i o n 2 . 7 . W e s u p p o s e t h a t
Xh X a n d Yh Y a r e s u c h t h a t t h e d i s - c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) i s s a t i s e d . T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0i n d e p e n d e n t o f
hs u c h t h a t
( 2 . 5 . 5 7 ) infvhVh
u vhX C infwhXh
uwhX .
T h e f o l l o w i n g r e s u l t c o n c e r n s w i t h t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e p r e s s u r e .
P r o p o s i t i o n 2 . 8 . W e s u p p o s e t h a t
Xh X a n d Yh Y a r e s u c h t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) h o l d s . T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0 i n d e p e n d e n t o f
hs u c h t h a t
( 2 . 5 . 5 8 ) p phY C
u uhX + inf qhYh
p qhY
.
C o m b i n i n g P r o p o s i t i o n s 2 . 6 a n d 2 . 8 , w e g e t t h e f o l l o w i n g r e s u l t :
C o r o l l a r y 2 . 1 . W e a s s u m e t h a t
Xh X a n d Yh Y a r e s u c h t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) h o l d s . T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0i n d e p e n d e n t
o f
hs u c h t h a t
( 2 . 5 . 5 9 )
u uhX + p phY C
infvhXh
u vhX + inf qhYh
p qhY
.
-
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29/86
5 . T H E C O N V E R G E N C E O F T H E A P P R O X I M A T I O N 2 9
5 . 2 . E r r o r e s t i m a t e . W e d e n o t e
Wh [H1()]2 a n i t e d i m e n s i o n a l s u b - s p a c e . W e a s s u m e t h e f o l l o w i n g h y p o t h e s i s o n t h e a p p r o x i m a t i o n s p a c e s
Xh a n dY
h.
H y p o t h e s i s H 1 ( a p p r o x i m a t i o n p r o p e r t y o f
Xh )
T h e r e e x i s t s h L(
[H2()]2; Wh) L ([H2()]2 [H10 ()]2; Xh) s u c h t h a t
v hv[H1()]2 C1hv[H2()]2 v [H2()]2,w h e r e
C1 > 0 i s a c o n s t a n t i n d e p e n d e n t o f h .
H y p o t h e s i s H 2 ( a p p r o x i m a t i o n p r o p e r t y o f
Yh )
T h e r e e x i s t s
Sh L(
H1() L20(); Yh)
s u c h t h a t
q ShqL2() C2hqH1() q H1(),w h e r e C2 > 0 i s a c o n s t a n t i n d e p e n d e n t o f h .
U n d e r t h e p r e v i o u s a s s u m p t i o n s , w e h a v e t h e f o l l o w i n g e r r o r e s t i m a t e :
T h e o r e m 2 . 2 . W e a s s u m e t h a t R2 i s a p o l y g o n a l b o u n d e d c o n v e x d o m a i n .W e a l s o s u p p o s e t h a t t h e h y p o t h e s e s
H 1
H 2
a n d t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n
( 2 . 4 . 2 3 ) h o l d . I f t h e s o l u t i o n (u, p) o f t h e S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) b e l o n g s t o [H2()]2 [H10 ()]2
(H1() L20()
), t h e n w e h a v e t h e f o l l o w i n g e r r o r e s t i m a t e :
( 2 . 5 . 6 0 )
u uh[H1()]2 + p phL2() Ch(u[H2()]2 + pH1()) ,
( 2 . 5 . 6 1 )
u uh[L2()]2 Ch2(u[H2()]2 + pH1()) ,
w h e r e
C, Ca r e p o s i t i v e c o n s t a n t s i n d e p e n d e n t o f
h.
P r o o f .
E s t i m a t e
H1. T h e e s t i m a t e ( 2 . 5 . 6 0 ) i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f C o r o l l a r y
( 2 . 1 ) .
E s t i m a t e
L2f o r t h e v e l o c i t y . W e u s e t h e A u b i n - N i t s c h e d u a l i t y a r g u m e n t . F o r e a c h
g [L2()]2, w e i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g d u a l p r o b l e m :
F i n d (g, g) X Y s u c h t h a t a(v, g) + b(v, g) = (g,v) v X,( 2 . 5 . 6 2 )
b(g, q) = 0 q Y.( 2 . 5 . 6 3 )
T h e n , w e h a v e t h e f o l l o w i n g i n t e r m e d i a t e r e s u l t :
L e m m a 2 . 2 . T h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0 ( o n l y d e p e n d e n t o f t h e c o n t i n u i t y c o n s t a n t s o f
aa n d
b) s u c h t h a t
u uh[L2()]2 Cu uhX + p phY
supg[L2()]2
1
g[L2()]2
infvhXh
g vhX + inf qhYh
g qhY
.
-
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3 0 2 . S T O K E S E Q U A T I O N S
L e t u s u s e t h i s r e s u l t t o c o n c l u d e t h e e s t i m a t e ( 2 . 5 . 6 1 ) . T h e p r o b l e m ( 2 . 5 . 6 2 ) ,
( 2 . 5 . 6 3 ) c o r r e s p o n d s t o t h e w e a k f o r m u l a t i o n o f t h e f o l l o w i n g S t o k e s p r o b l e m :
g + g = g i n ,d i v
g = 0 i n ,
g = 0 o n .
I f
R2i s a p o l y g o n a l b o u n d e d c o n v e x d o m a i n , t h e n w e p r o v e t h a t t h e s o l u t i o n
(g, g) o f ( 2 . 5 . 6 2 ) , ( 2 . 5 . 6 3 ) b e l o n g s t o [H2()]2 [H10 ()]2
(H1() L20()
)a n d
( 2 . 5 . 6 4 )
g[H2()]2 + gH1() Cg[L2()]2 ,w h e r e
C > 0i n i n d e p e n d e n t o f
ga n d
h.
T h e h y p o t h e s i s
H 1
a n d
H 2
i m p l y
infvhXh
g vhX + inf qhYh
g qhY max(C, C)hg[H2()]2 + gH1()
Ch
g
[L2()]2 d u e t o ( 2 . 5 . 6 4 ) .
P l u g g i n g t h i s e s t i m a t e i n t h e e s t i m a t e o f L e m m a 2 . 2 , w e g e t
u uh[L2()]2 Ch(u uh[H1()]2 + p phL2())
a n d w e t h u s c o n c l u d e t h e e s t i m a t e ( 2 . 5 . 6 1 ) o f T h e o r e m 2 . 2 .
E r r o r e s t i m a t e f o r t h e e l e m e n t s
P1 - b u b b l e / P1 a n d P2 / P1 .
F o r n i t e e l e m e n t s o f t y p e
P1 - b u b b l e / P1 a n d P2 / P1 t h e a b o v e r e s u l t b e c o m e s :
P r o p o s i t i o n 2 . 9 . L e t
R2a p o l y g o n a l b o u n d e d c o n v e x d o m a i n . W e a s s u m e
t h a t t h e t r i a n g u l a t i o n
Th i s u n i f o r m l y r e g u l a r . I f t h e s o l u t i o n (u, p) o f t h e S t o k e s p r o b l e m ( 2 . 2 . 1 2 ) , ( 2 . 2 . 1 3 ) b e l o n g s t o
[H2()]2 [H10 ()]2 (H1() L20()), t h e n t h e a p p r o x i m a t i o n
(uh, ph)o f e l e m e n t
P1
- b u b b l e /
P1
s a t i s e s
( 2 . 5 . 6 5 )
u uh[L2()]2 + h(u uh)[L2()]2 + p phL2()
Ch2
u[H2()]2 + pH1()
,
w h e r e
C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f h.
M o r e o v e r , i f t h e t r i a n g u l a t i o n
Th i s s u c h t h a t n o t r i a n g l e h a s t w o s i d e s o n t h e b o u n d a r y
, t h e n t h e a p p r o x i m a t i o n (uh, ph) o f e l e m e n t P2 / P1 s a t i s f y t h e s a m e e s t i m a t e ( 2 . 5 . 6 5 ) .
P r o o f .
W e w a n t t o a p p l y T h e o r e m 2 . 2 . T o t h i s e n d , i t i s e n o u g h t o v e r i f y
t h e h y p o t h e s e s
H 1
a n d
H 2
b e c a u s e u n d e r t h e h y p o t h e s i s o n t h e t r i a n g u l a t i o n , t h e
d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n i s s a t i s e d b y t h e e l e m e n t s
P1 - b u b b l e / P1 a n d P2 / P1 .
T h e h y p o t h e s i s
H 1
i s s a t i s e d w i t h h = Ih = t h e L a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n o p e r a t o r f r o m P r o p o s i t i o n 2 . 3 . T h e h y p o t h e s i s
H 2
i s s a t i s e d w i t h
Sh = Rh = t h ep r o j e c t i o n o p e r a t o r ,
Rh : H1() L20() Yh d e n e d f o r v H1() L20() b y
( s e e P r o p o s i t i o n 2 . 4 )
(Rhv v) v dx = 0 v Yh.
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
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C H A P T E R 3
N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s
I n t h i s c h a p t e r , w e o n l y c o n s i d e r
N = 2 . L e t R2 b e a b o u n d e d a n d s u - c i e n t l y s m o o t h ( r e g u l a r ) d o m a i n . W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g N a v i e r - S t o k e s p r o b l e m :
ut + (u )u u + p = f i n R+,( 3 . 0 . 1 ) d i v u = 0 i n R+,( 3 . 0 . 2 )
u = 0o n
R+,
( 3 . 0 . 3 )
w i t h
> 0 t h e d y n a m i c v i s c o s i t y o f t h e u i d .
1 . I n t r o d u c t i o n
L e t
T > 0 b e x e d ( t h e n a l i n s t a n t ) . W e r e c a l l t h e d e n i t i o n o f f u n c t i o n s p a c e s w i t h v a l u e s i n a B a n a c h s p a c e
X. F o r
p 1 , w e d e n e
Lp(0, T; X) =
v : [0, T] X | v i s m e a s u r a b l e 1 a n d
T0
v(t)pX dt < +
.
T h i s s p a c e i s e n d o w e d w i t h t h e f o l l o w i n g n o r m
uLp(0,T;X) =
u(t)pX dt1/p
.
W e c o n s i d e r
X = [H10 ()]2,
Y = L20().
L e t
f L2(0, T; [L2()]2)a n d
u0 [L2()]2 . W e n o w i n t r o d u c e t h e m i x e d v a r i a - t i o n a l f o r m u l a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s :
F i n d u W(0, T) =v L2(0, T; X) | dv
dt L2(0, T; X)
,
p L2(0, T; Y)s u c h t h a t a . e .
t (0, T), w e h a v e :
( 3 . 1 . 4 ) du
dt(t),vX,X + a(u(t),v) + c(u(t),u(t),v)
+ b(v, p(t)) = (f(t),v) v X,b(u(t), q) = 0 q Y,( 3 . 1 . 5 )
u(0) = u0.( 3 . 1 . 6 )
1
T h e f u n c t i o n v i s m e a s u r a b l e i n t h e B o c h n e r s e n s e ( s t r o n g l y m e a s u r a b l e ) , t h a t i s , i t i s a l m o s t
e v e r y w h e r e t h e l i m i t o f a s e q u e n c e o f s i m p l e f u n c t i o n s i n
X: t h e r e e x i s t s
vk : [0, T] X, s i m p l e s u c h t h a t vk(t) v(t) i n X, a . e . t [0, T].
3 1
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
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3 2 3 . N A V I E R - S T O K E S E Q U A T I O N S
I n t h e a b o v e f o r m u l a t i o n , w e h a v e d e n o t e d
c : X X X R t h e t r i l i n e a r f o r m d e n e d b y
( 3 . 1 . 7 )
c(w, z,v) =
[(w )z] v dx = N
i,j=1
wjzixj
vi dx.
L e t u s o b s e r v e t h a t t h e f o r m u l a t i o n ( 3 . 1 . 4 ) ( 3 . 1 . 6 ) i s w e l l - p o s e d . I n p a r t i c u l a r ,
i f
Hi s a H i l b e r t s p a c e s u c h t h a t
X H H X,w h e r e t h e i n j e c t i o n s a r e c o n t i n u o u s a n d c o m p a c t , t h e n w e h a v e
W(0, T) C0([0, T]; H)w i t h t h e i n j e c t i o n a c o n t i n u o u s f u n c t i o n a n d , b y c o n s e q u e n c e , t h e i n i t i a l c o n d i t i o n
( 3 . 1 . 6 ) , i . e .
u(0) = u0 , i s w e l l c h o s e n i n t h e s p a c e H = [L2()]2
.
1 . 1 . S o m e p r o p e r t i e s o f t h e t r i l i n e a r f o r m
c.
U s i n g t h e H l d e r i n e q u a l i t y , w e h a v e
( 3 . 1 . 8 )
c(w, z,v) wL4()2zL2()4vL4()2 w, z,v [H1()]2,b e c a u s e
H1() L4()( t h i s i n j e c t i o n i s t r u e f o r
N 3) .
T h e n
( 3 . 1 . 9 )
c(w, z,v) CwH1()2 |z|H1()2vH1()2 w, z,v [H1()]2,w h e r e
| |H1 d e n o t e s t h e s e m i n o r m i n H1 .
W e r e c a l l t h e f o l l o w i n g i n t e r p o l a t i o n i n e q u a l i t y , v a l i d o n l y f o r
N = 2 ( f o r d e t a i l s , s e e [ 2 ] ) :
( 3 . 1 . 1 0 )
vL4() Cv1/2L2()v1/2L2()2 v H1().T h e e s t i m a t e ( 3 . 1 . 8 ) g i v e s u s :
w, z,v [H1()]2,
( 3 . 1 . 1 1 )
c(w, z,v) Cw1/2[L2()]2 |w|1/2[H1()]2 |z|[H1()]2v
1/2[L2()]2 |v|
1/2[H1()]2 .
F o r a l l
w, z,v [H10 ()]2 , w e h a v e
c(w, z,v) =i,j
wjzixj
vi dx
= i,j
xj(wj vi)zi dx b y i n t e g r a t i o n b y p a r t s
=
i,j
wjvixj
zi dxi,j
wjxj
vizi dx.
W e t h e n g e t
( 3 . 1 . 1 2 )
c(w, z,v) = c(w,v, z)
(v z)d i v
w dx w, z,v [H10 ()]2.
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
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1 . I N T R O D U C T I O N 3 3
L e t
X = [H10 ()]2,
V = {v X | d i v v = 0 a . e . i n }.F r o m ( 3 . 1 . 1 2 ) w e d e d u c e t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s :
( 3 . 1 . 1 3 )
c(w, z, z) = 0 w V, z X,
( 3 . 1 . 1 4 )
c(w, z,v) = c(w,v, z) w V, v, z X.
1 . 2 . S o m e u s e f u l p r o p e r t i e s .
Y o u n g i n e q u a l i t y . F o r a l l
a, b R, w e h a v e
( 3 . 1 . 1 5 )
ab a2 + 14
b2, > 0.
G r o n w a l l L e m m a . L e t
Ib e a n i n t e r v a l f r o m
Ra n d
t0 I. W e c o n s i d e r t h e f u n c t i o n
f : I R p o s i t i v e a n d i n t e g r a b l e o n I. L e t a n d g b e t w o p o s i t i v e a n d c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n
I. I f
gi s i n c r e a s i n g a n d i f
(t) g(t) +t
t0
f(s)(s) ds t I,
t h e n
( 3 . 1 . 1 6 )
(t) g(t)expt
t0
f(s) ds
t I.
D i s c r e t e G r o n w a l l L e m m a . L e t
> 0a n d
{an}n0 , {bn}n0 b e t w o p o s i t i v e s e q u e n c e s s u c h t h a t
a0 a n d an +n1j=0
aj bj , n 1.
T h e n ,
( 3 . 1 . 1 7 )
an expn1
j=0
bj
, n 1.
1 . 3 . E n e r g y e s t i m a t e . W e t a k e
v = u(t)
X
a s t e s t f u n c t i o n i n t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ( 3 . 1 . 4 ) . W e c a n p r o v e t h a t ( s e e [ 2 2 ] )du
dt,u
X,X
=1
2
d
dt(u,u) .
U s i n g r e l a t i o n ( 3 . 1 . 5 ) , w e o b t a i n
1
2
d
dtu(t)2[L2()]2 + u(t)2[L2()]4 + c(u,u,u) = (f(t),u(t)).
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
34/86
3 4 3 . N A V I E R - S T O K E S E Q U A T I O N S
D u e t o r e l a t i o n ( 3 . 1 . 1 3 ) a n d t h e f a c t t h a t u(t) V , w e h a v e c(u,u,u) = 0 . T h u s ,t h e f o l l o w i n g e s t i m a t e h o l d s :
12
ddt
u(t)2[L2()]2 + u(t)2[L2()]4 f(t)[L2()]2u(t)[L2()]2
12f(t)2[L2()]2 +
1
2u(t)2[L2()]2 .
B y i n t e g r a t i n g f r o m 0 t o t, w e g e t
u(t)2[L2()]2 + 2t0
u(s)2[L2()]4 ds u(0)2[L2()]2 +t0
f(s)2[L2()]2 ds
+
t0
u(s)2[L2()]2 ds.
A p p l y i n g G r o n w a l l L e m m a ( s e e ( 3 . 1 . 1 6 ) ) , w e c o n c l u d e t h a t : f o r a n y
t [0, T] ,
( 3 . 1 . 1 8 )
u(t)
2
[L2
()]2 + 2t
0 u(s)
2
[L2
()]4 ds
u(0)2[L2()]2 +t0
f(s)2[L2()]2 ds
exp(t).
2 . C o m p l e t e d i s c r e t i s a t i o n i n t i m e a n d s p a c e v a r i a b l e s f o r t h e m i x e d
f o r m u l a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n
W e a s s u m e t h a t t h e d o m a i n R2 i s p o l y g o n a l a n d c o n v e x . W e c o n s i d e r Xh X a n d Yh Y t w o s u b s p a c e s o f n i t e d i m e n s i o n . I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t t w o n u m e r i c a l s c h e m e s ( w h i c h a r e s e m i - i m p l i c i t i n t i m e ) a n d w e w i l l s t u d y t h e i r
s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e .
D u e t o s t a b i l i t y r e a s o n s w h i c h w i l l a p p e a r l a t e r i n t h e a n a l y s i s , w e i n t r o d u c e a
n e w n o n l i n e a r t e r m c d e n e d b y :
( 3 . 2 . 1 9 )
c(w, z,v) =1
2[c(w, z,v) c(w,v, z)] .
T h i s n e w t e r m i s a n t i s y m m e t r i c , t h a t i s :
( 3 . 2 . 2 0 )
c(w, z,v) = c(w,v, z) w, z,v Xa n d , b y c o n s e q u e n c e , w e h a v e t h e f o l l o w i n g i m p o r t a n t p r o p e r t y :
( 3 . 2 . 2 1 )
c(w, z, z) = 0 w, z X.U s i n g r e l a t i o n ( 3 . 1 . 1 2 ) , w e h a v e
( 3 . 2 . 2 2 )
c(w, z,v) = c(w, z,v) +1
2
(v z) d i v w dx w, z,v X.
I n p a r t i c u l a r ,
( 3 . 2 . 2 3 )
c(w, z,v) = c(w, z,v) w V z,v X.
W e d e n o t e t > 0 t h e t i m e d i s c r e t i s a t i o n s t e p , d e n e d b y t = T /n, n Na n d w e c o n s i d e r t h e a p p r o x i m a t i o n
ukh(x) Xh o f u(x, tk), w i t h tk = kt , k 0a n d
pkh(x) Yh t h e a p p r o x i m a t i o n o f p(x, tk) . M o r e o v e r , i n o r d e r t o s i m p l i f y t h e c o m p u t a t i o n , w e a s s u m e t h a t
fi s i n d e p e n d e n t o f t i m e .
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
35/86
2 . C O M P L E T E D I S C R E T I S A T I O N O F T H E N A V I E R - S T O K E S E Q U A T I O N S 3 5
2 . 1 . ( I ) . F i r s t s e m i - i m p l i c i t s c h e m e .
L e t
u0h
Xh b e g i v e n . F i n d (u
kh, p
kh) , k = 1, . . . , n s u c h t h a t
( 3 . 2 . 2 4 )
1
t(ukh uk1h ,vh) + a(ukh,vh) + c(uk1h ,uk1h ,vh)
+ b(vh, pkh) = (f,vh) vh Xh,
b(ukh, qh) = 0 qh Yh.( 3 . 2 . 2 5 )
W e s u p p o s e t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) f r o m C h a p t e r 2 h o l d s
f o r t h e s p a c e s
Xh a n d Yh . T h e n , f o r uk1h Xh g i v e n , t h e p r o b l e m ( 3 . 2 . 2 4 ) , ( 3 . 2 . 2 5 )
a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n (ukh, pkh) Xh Yh .
S T A B I L I T Y . T h e i n t r o d u c t i o n o f t h e m o d i e d n o n l i n e a r f o r m
ca l l o w s u s t o g e t
a s t a b l e s c h e m e . T h i s i m p o r t a n t r e s u l t i s s t a t e d i n t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n .
P r o p o s i t i o n 3 . 1 ( S t a b i l i t y r e s u l t ) . W e s u p p o s e t h a t t h e t r i a n g u l a t i o n Th i su n i f o r m l y r e g u l a r a n d t h a t t h e i n i t i a l d a t a
u0h i s s u c h t h a t u0h[H1()]2 i s b o u n d e d i n d e p e n d e n t l y o f
ha n d
t.
T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0i n d e p e n d e n t o f
ha n d
ts u c h t h a t f o r
t Ch2,t h e r s t s e m i - i m p l i c i t s c h e m e ( 3 . 2 . 2 4 ) , ( 3 . 2 . 2 5 ) i s s t a b l e , i . e . t h e r e e x i s t s
C > 0i n d e p e n d e n t o f
ha n d t s u c h t h a t
( 3 . 2 . 2 6 )
umh 2[L2()]2 + tm
k=1
ukh2
[L2()]4 C f o r m = 1, . . . , n .
T h e c o n s t a n t s
Ca n d
Ca r e d e p e n d e n t o f
u0h[H1()]2 , f[L2()]2 a n d .
R e m a r k 3 . 1 . L e t u s o b s e r v e t h a t :
T h e i n t r o d u c t i o n o f
ci n s t e a d o f
ca m o u n t s t o c o n s i d e r i n g t h e a d d i t i o n a l
t e r m
1
2u
d i v
ui n t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . I n f a c t , t h e s c h e m e ( I ) i s
t h e f o l l o w i n g s e m i - d i s c r e t i s e d i n t i m e v a r i a b l e s c h e m e : f o r u0 g i v e n a n d
f o r
k 1 , w e c o m p u t e uk a n d pk a s f o l l o w s : uk uk1
t uk + (uk1 )uk1 + 1
2uk1
d i v
uk1 + pk = f i n ,d i v
uk = 0i n
,
uk = 0 o n .
T h e s c h e m e ( I ) i s s t a b l e u n d e r t h e c o n d i t i o n t h a t t h e f r a c t i o n
th2
i s s m a l l
e n o u g h . T h i s i s b e c a u s e t h e n o n l i n e a r t e r m o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ,
i . e . t h e t e r m (u )u, i s e x p l i c i t l y t i m e d i s c r e t i s e d .
W e c a n s h o w t h a t , u n d e r t h e h y p o t h e s i s o f P r o p o s i t i o n 3 . 1 , t h e s c h e m e ( I )
i s c o n v e r g e n t . W e a r e g o i n g t o s h o w t h i s f o r t h e s e c o n d s c h e m e ( I I ) b e l o w ,
w h i c h i s a l i t t l e b i t m o r e i m p l i c i t t h a t t h e p r e v i o u s o n e .
-
7/28/2019 Note de Curs-FSI
36/86
3 6 3 . N A V I E R - S T O K E S E Q U A T I O N S
2 . 2 . ( I I ) . T h e s e c o n d s e m i - i m p l i c i t s c h e m e .
L e t u0h
Xh b e g i v e n . F i n d (u
kh, p
kh) , k = 1, . . . , n s u c h t h a t
( 3 . 2 . 2 7 )
1
t(ukh uk1h ,vh) + a(ukh,vh) + c(uk1h ,ukh,vh)
+ b(vh, pkh) = (f,vh) vh Xh,
b(ukh, qh) = 0 qh Yh.( 3 . 2 . 2 8 )
W e s u p p o s e t h a t t h e d i s c r e t e " i n f - s u p " c o n d i t i o n ( 2 . 4 . 2 3 ) f r o m C h a p t e r 2 i s
v e r i e d b y t h e s p a c e s
Xh a n d Yh . T h e n , f o r a g i v e n uk1h Xh , t h e p r o b l e m
( 3 . 2 . 2 7 ) , ( 3 . 2 . 2 8 ) a d m i t s a u n i q u e s o l u t i o n
(ukh, pkh) Xh Yh . I n f a c t , t h e b i l i n e a r
f o r m
a : (u,v) 1t
(u,v) + a(u,v) + c(uk1h ,u,v) i s c o n t i n u o u s a n d c o e r c i v e o n
X X b e c a u s e a(u,u) =1
tu2
L2()2 + a(u,u).
S T A B I L I T Y . W e h a v e t h e f o l l o w i n g r e s u l t :
P r o p o s i t i o n 3 . 2 ( S t a b i l i t y r e s u l t ) . T h e s e m i - i m p l i c i t s c h e m e ( 3 . 2 . 2 7 ) , ( 3 . 2 . 2 8 )
i s u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e , t h a t i s , f o r t h e i n i t i a l d a t a
u0h s u c h t h a t u0h[H1()]2 i sb o u n d e d i n d e p e n d e n t l y o f
ha n d
t, t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0i n d e p e n d e n t o f
ha n d
ts u c h t h a t
( 3 . 2 . 2 9 )
umh 2[L2()]2 + tm
k=1
ukh2
[L2()]4 C f o r m = 1, . . . , n .
C O N V E R G E N C E . L e t u s s t a t e t h e c o n v e r g e n c e r e s u l t f o r t h e s e c o n d s e m i -
i m p l i c i t s c h e m e ( I I ) .
P r o p o s i t i o n 3 . 3 ( C o n v e r g e n c e r e s u l t ) . W e s u p p o s e t h a t t h e e x a c t s o l u t i o n
(u, p) o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ( 3 . 1 . 4 ) ( 3 . 1 . 6 ) i s r e g u l a r , i . e .
u C0([0, T]; [W1,()]2 X) C1([0, T]; [H2()]2) H2(0, T; [L2()]2),
p H1(0, T; H1() Y).T h e n , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t
C > 0 i n d e p e n d e n t o f h, t a n d s u c h t h a t f o r t C a n d h C, w e h a v e
ukh u(tk)L2()2 Cu0h u(0)H1() + h2 + t
k 1,
w h e r e C > 0 i s i n d e p e n d e n t o f h a n d t .
R e m a r k 3 . 2 . I n p r a c t i c e , t h e s c h e m e ( I I ) ( a n d i n a l o w e r s e n s e t h e s c h e m e ( I ) ) i s
u s e d f o r l a r g e e n o u g h v i s c o s i t i e s
a n d t h i s h a p p e n s d u e t o t h e c o n d i t i o n t h a t r e l a t e s
t a n d h w i t h .I n t h e c a s e o f l o w v i s c o s i t y ( i . e . h i g h R e y n o l d s n u m b e r s ) , t h e n o n l i n e a r c o n -
v e c t i o n t e r m (u )u c a n b e t r e a t e d b y u s i n g t h e u p w i n d s c h e m e o r t h e " S t r e a m l i n e D i u s i o n M e t h o d " ( S D M ) .
-
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3 . D E C O M P O S I T I O N M E T H O D S O F O P E R A T O R S 3 7
3 . D e c o m p o s i t i o n m e t h o d s o f o p e r a t o r s
3 . 1 . I n t r o d u c t i o n . T h e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d s o f o p e r a t o r s f o c u s o n s o l v i n g
p r o b l e m s o f t y p e
(P)
d
dt+ A() = 0,
(0) = 0,
w h e r e
Ai s a n o p e r a t o r ( n o n l i n e a r ) s u c h t h a t
A = A1 + A2 , w i t h t h e o p e r a t o r s A1a n d
A2 s i m p l e r t h a n A.T h e d e c o m p o s i t i o n m e t h o d s o f o p e r a t o r s a r e b a s e d o n t h e d e c o m p o s i t i o n o f
o p e r a t o r
A, t h a t i s w e w a n t t o s u c c e s s i v e l y s o l v e s e v e r a l p r o b l e m s w h i c h a r e s i m p l e r
t h a n t h e o r i g i n a l p r o b l e m (P) .E x a m p l e s .
( 1 ) T h e Y a n e n k o s c h e m e .
n+1/2 nt
+ A1(n+1/2) = 0,
n+1 n+1/2t
+ A2(n+1) = 0.
I f
Ai s l i n e a r ( t h e n
A1 a n d A2 ) , w e h a v e n+1 n
t+An+1 = tA1A2n+1.
I n t h i s c a s e , t h e Y a n e n k o s c h e m e i s c o n s i s t e n t i n
O(t).( 2 ) T h e P e a c e m a n - R a c h f o r d s c h e m e .
n+1/2 nt/2
+ A1(n+1/2) + A2(
n) = 0,
n+1 n+1/2
t/2+ A1(
n+1/2) + A2(n+1) = 0.
T h i s s c h e m e i s c o n s i s t e n t i n O(t2).
3 . 2 . T h e p r o j e c t i o n m e t h o d . T h i s m e t h o d i s d u e t o T e m a m [ 2 1 ] a n d C h o r i n
[ 4 ] ( s e e a l s o [ 9 ] ) . W e d e c o m p o s e t h e N a v i e r - S t o k e s o p e r a t o r
Aa s f o l l o w s :
A = A1 + A2,
w h e r e
A1 i s t h e s u m o f t h e i n e r t i a l t e r m s a n d t h e v i s c o s i t y ; A2 t a k e i n t o a c c o u n t t h e p r e s s u r e t e r m a n d t h e i n c o m p r e s s i b i l i t y c o n d i -
t i o n .
T h e p r o j e c t i o n m e t h o d i s c o n s t r u c t e d u s i n g t h e s e m i - d i s c r e t i s e d s c h e m e a n d c o n -
s i d e r i n g t h e p r e v i o u s d e c o m p o s i t i o n . W e d e n e t w o v e c t o r s e q u e n c e s
{uk} a n d{uk+1/2}
,
k 0 , w i t h u0 g i v e n , a s f o l l o w s :( 1 ) F i n d
uk+1/2s u c h t h a t
uk+