Download - Movimentos Oscilatórios
26-01-2014
1
É um movimento em que um corpo: - percorre repetidamente a mesma trajetória - Passa pela mesma posição, com a mesma velocidade e a mesma aceleração, ao fim de um intervalo de tempo igual a um período T
Movimento Oscilatório ou
vibratório
Movimento periódico em que a trajetória é percorrida em ambos os sentidos, em torno de uma posição de equilíbrio
- Movimentos Periódicos
26-01-2014
2
- Movimento Harmónico Simples - MHS
Movimento ligado a uma mola numa superfície plana e horizontal de atrito desprezável - oscilador
Quando a mola não está pressionada o corpo encontra-se na posição de equilíbrio
x = 0
- Movimento Harmónico Simples - MHS
Quando distendemos a mola, esta tende a regressar à sua posição de equilíbrio
x >0
A mola exerce uma força , uma força elástica
F
- É uma força restauradora - atua no sentido negativo F<0 F
26-01-2014
3
- Movimento Harmónico Simples - MHS
Quando comprimimos a mola, esta tende a regressar à sua posição de equilíbrio
x <0
A mola exerce uma força , uma força elástica
F
- É uma força restauradora - atua no sentido positivo F>0 F
- Movimento Harmónico Simples – MHS – LEI DE HOOKE
O valor da força elástica é diretamente proporcional e de sinal contrário à elongação
F = -kx
F – valor da força elástica x – elongação k – constante de elasticidade (Nm-1) – é uma característica
da mola
Aplicando a 2ª Lei de Newton:
F = -kx F= ma
xm
ka =
A aceleração do MHS não é constante: – é proporcional e de sentido contrário à elongação do oscilador
26-01-2014
4
- Movimento Harmónico Simples - MHS
F – máx; a = máx;
F = 0; a = 0;
F – máx; a = máx;
F = 0; a = 0;
F – máx; a = máx;
- Movimento Harmónico Simples - MHS
26-01-2014
5
- Equação do movimento - MHS
MHS como projeção do movimento circular
Coordenada da posição x corresponde à projeção segundo o eixo xx, quando o ângulo descrito é ωt
x = Rsen ωt x (t)= A sen ωt
- Equação do movimento - MHS
MHS como projeção do movimento circular
Coordenada da posição x corresponde à projeção OP segundo o eixo xx, quando o ângulo descrito é ωt mais o ângulo φ no ponto inicial P0
x (t)= A sen (ωt+φ)
Equação do movimento harmónico simples
26-01-2014
6
- Características de um oscilador harmónico simples
- Período – T - frequência – f - elongação – x - amplitude – A - fase inicial – φ -Fase do movimento - ωt+φ -frequência angular -
fπω
πω
2=
Τ
2=
- Velocidade e Aceleração do MHS
Movimento retilíneo – aplicando a lei dos movimentos
td
rdv
=td
vda
=
dt
dxvv x ==
dt
dvaa x ==
x(t) = A sen (ωt+φ)
v(t) = A ω cos (ωt+φ)
a(t) = -A ω2 sen (ωt+φ)
a(t) = - ω2x A aceleração é proporcional à elongação mas de sentido contrário
26-01-2014
7
- Velocidade e Aceleração do MHS
-Há um desfasamento de ¼ de T entre a elongação e a velocidade - há um desfasamento de ½ de T entre a elongação e a aceleração
x = ± A v = 0 ; a = ± ω2x
x = 0 v = ± A ω ; a = 0
A elongação e a aceleração encontram-se em oposição de fase
- Velocidade e Aceleração do MHS
- Frequência Angular
F = ma F = -Kx m
tkxta
)(=)( -
)(=)( txωta 2-
m
kω =
A frequência angular depende apenas da constante de elasticidade e da massa do oscilador, tal como
m
k
πf
2
1=
k
mπT 2=
Não depende da amplitude do movimento
26-01-2014
8
- Exercício
Um oscilador harmónico é constituído por uma massa de 5,0 g ligada a uma mola elástica. No instante t = 0, encontra-se 4,0 cm da oposição de equilíbrio com uma velocidade v0
= 87 cms-1. Sabendo que a frequência do movimento é de 2,o Hz, determine: a) A fase inicial e a amplitude do movimento b) A elongação e o valor da velocidade no instante t = 0,5 s c) O valor máximo da velocidade e da aceleração do oscilador d) A constante elástica da mola e) A intensidade da força elástica máxima f) A elongação do oscilador quando se move com uma velocidade de 60 cm s-1
- Regras de derivação
26-01-2014
9
- Energia de um Oscilador Harmónico Simples
Movimento de um corpo ligado a uma mola elástica
No movimento oscilatório há transformação da Ep elástica em Ec e vice-versa
Em =constante oscilador atinge posições extremas Força elástica é uma força conservativa
- Energia Potencial Elástica
Ep gravítica Peso – força conservativa
Ep elática F elástica– força conservativa
pgravPEW Δ= -
pelástelastFEW Δ= -
Considerar movimento da mola desde posição equilíbrio até a um ponto – distensão ou compressão
elastFW Área do Gráfico
2
2
1= KxW
elastF- 0<
elastFW
pelástelastFEW Δ= - 2
2
1= KxE
elastP
26-01-2014
10
- Energia Potencial Elástica
0>elastF
W
2
2
1= KxE
elastP
Quando regressa à posição de equilíbrio
2
2
1= KxW
elastF
Só depende da elongação e da constante de elasticidade da mola
x (t)= A sen (ωt+φ)
m
kω =
22
2
1= xωmE
elastP
EP elást é tanto maior quanto maior for a elongação Nas posições extremas é máxima Na posição de equilíbrio é nula
- Energia Potencial Elástica
22
2
1= AωmE
elastP
EP elást é tanto maior quanto maior for a elongação Nas posições extremas é máxima Na posição de equilíbrio é nula
26-01-2014
11
- Energia Cinética
2
2
1= mvEc
v(t) = A ω cos (ωt+φ)
m
kω =
Na posição de equilíbrio
Vmax=ωA
22
2
1=
maxωmAEc
)+(cos2
1= 22 tωkAEc
φ
- Energia Mecânica
elastpcm EEE +=
m
kω =
2
2
1= kAEm
22
2
1= ωmAEm
26-01-2014
12
- Exercício
Um corpo de massa 500 g está ligado a uma mola cuja constante de elasticidade é k = 18 Nm-1 . O sistema executa um MHS de amplitude A = 50 mm e fase inicia φ = π/2. Considerar o atrito desprezável. a) Determinar a frequência angular de oscilação b) Deduzir uma expressão para a velocidade de elongação e, usando essa expressão,
calcular o módulo da velocidade em x= 30 mm c) Estabelecer uma expressão que permita calcular a elongação do coro, relativamente
à posição de equilíbrio em função da velocidade. Com essa expressão determinar a elongação.
d) Calcular a energia mecânica do oscilador e) Escrever a expressão da energia potencial elástica e da energia cinética em função do tempo e verificar a conservação da energia mecânica
- Pendulo gravítico
TPFR
+= ttR PF
= TPF nnR
+=
θmgsenPt -=Pt tem sentido oposto ao do deslocamento – orientada para a posição e equilíbrio
É uma força restauradora – responsável pela variação da velocidade dt
dsv =
26-01-2014
13
- Pendulo gravítico
Para pequenas oscilações θ < 30º
sen θ Arco s x
θmgPt -= Com θ = x/l Em radianos
l
xmgPt -= x= kPt -
A componente tangencial o peso é uma força restauradora pois satisfaz a Lei de Hooke
k
mπT 2= como
l
mgK =
g
lπT 2=
O período e oscilação de um pêndulo gravítico depende apenas do comprimento e da aceleração da gravidade
- Oscilações Amortecidas
Oscilador Real - devido a forças dissipativas Em do sistema diminui ao longo do tempo
A diminui ao longo do tempo
Se fornecermos energia ao oscilador real, passa a oscilar com A constante
Oscilações Forçadas