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MOUVEMENTS DE CHUTE VERTICALE
ETUDE ET MODELISATION
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ETUDE DE MOUVEMENTS DE CHUTES VERTICALES
OBJECTIFS : Étudier la chute verticale à partir
d’une vidéo Faire l’étude dynamique du
mouvement Modéliser le mouvement par deux
méthodes numériques (méthode d’Euler, Range Kutta d’ordre 2).
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I-CHUTE D’UN CORPS
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1-PROBLEME POSE On désire étudier dans un référentiel
terrestre, supposé galiléen, le mouvement d’un corps (A) de masse m, constitué d’un matériau de masse volumique rs. A est lâché sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique rl.
On pourra faire varier :La masse du corps A,La masse volumique de A,Le fluide dans lequel on lâche la bille.
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Comment décrire le mouvement de la bille ?
1-PROBLEME POSE
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2-DEMARCHE UTILISEE On étudie le mouvement de chute
d’une bille dans un fluide. On applique le théorème du centre
d’inertie, au système « bille ». On utilise la méthode d’Euler et Runge-
kutta d’ordre 2 pour simuler le mouvement de la bille, et on compare les résultats aux résultats expérimentaux.
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ETUDE EXPERIMENTALEOn étudie le mouvement avec
avimeca
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II – ETUDE DYNAMIQUE
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THEOREME DU CENTRE D’INERTIE
Référentiel : terrestre supposé galiléen Système étudié : la bille de masse m Forces appliquées au système:
Le poids de la bille La poussée d’Archimède ( )Les forces de frottement visqueux du liquide sur la bille ( )P
pf
P
p
f
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FORCES APPLIQUEES
p
2- Modèle n°2
P
f
O
y
j
REMARQUE :On travaille maintenant avec un axe orienté vers le bas ce qui permet d’avoir des valeurs positives pour v et y.
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FORCES APPLIQUEES POIDS :
POUSSEE D’ARCHIMEDE :
FORCES DE FROTTEMENT FLUIDE (direction du mouvement, sens opposé au déplacement) :
(avec n = 1 ou n=2)
p
2- Modèle n°2
gVgmP s
r
gVf
rp
vvjmkvf n
v k m - n
P
f
O
y
j
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THEOREME DU CENTRE D’INERTIE
m a = P + p + fm a = m g - rf V g - m k vn
a = g - rf V/m g - k vn
Or m = rs V donca = g - rf / rs g - k vn
a = (1- rf / rs )g - k vn
a = A - B.vn avec A = (1- rf / rs )g
2- Modèle n°2
P
f
O
y
j
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THEOREME DU CENTRE D’INERTIE
a = A - B vn
L’accélération de la bille dépend de sa vitesse l’accélération dépend du temps
On ne résout pas cette équation facilement
ndv A Bvdt
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III- LA METHODE D’EULER
PRINCIPE ET MISE EN OEUVRE
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1- LA METHODE D’EULER : PRINCIPE
Méthode numérique utilisée pour résoudre pas à pas une équation différentielle à partir des conditions initiales (en mécanique : position et vitesse, en électricité : tension et intensité du courant)
Basée sur les propriétés de la dérivée
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EULER : MISE EN OEUVRE
On cherche, par exemple à résoudre par cette méthode l’équation différentielle suivante :
Condition initiale :– v(t=0) = vo
ndv A Bvdt
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La définition de la dérivée donne :
Le problème posé est donc le suivant :On connaît à ti: V(i) On cherche à ti+1 =ti+h : V(i+1)
EULER : MISE EN OEUVRE
( 1) ( ) ( )nV i V i A BV ih
0
( ) ( )'( ) limh
f x h f xf xh
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III-LA METHODE D’EULER
3-Chute d’une bille dans un fluide
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CONDITIONS INITIALES DU MOUVEMENT
Lorsqu’on lâche la bille :Son accélération est a0 = ASa vitesse est nulle : V(1) = VoLa bille est à l’origine du
repère donc : y0 = 0
3-Chute d’une bille dans un fluide
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ITERATIONS
Pour i=1:N+1
V(2)=V(1)+h(A-BV(1)) V(3)=V(2)+h(A-BV(2)) ………………………………… V(N)=V(N-1)+h(A-BV(N-1)) V(N+1)=V(N)+h(A-BV(N))
3-Chute d’une bille dans un fluide
( 1) ( ) ( ( ))nV i V i h A BV i
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III-LA METHODE De range-kutta
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La méthode de runge-kutta consiste à discrétiser l’équation de cette forme:
À Tel que K1=h*f(V(i))=h ( A-BV(i) Et K2=h*f( V(i) + hf(v(i)) ) =h( A- B ( V(i) +h (A-BV(i) )
( )dV A BV f Vdt
1 2( 1) ( )2
K KV i V i
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Après calcul on aboutit à l’expression suivante :
V(i+1)=V(i)+(h/2)* (A-B*V(i)+A- B*(V(i)+h*(A-B*(i)))) ;
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Programmation sur matlab de l’équation d’euler
3-Chute d’une bille dans un fluide
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Résultats trouvé par matlab
Comparaison des résultats numérique trouvé avec ceux trouvé analytiquement
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Conclusion
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Merci pour votre attention