Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Preddiplomski studij matematike
Monika Jovic
Skalarni produktZavrsni rad
Osijek, 2012.
Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Preddiplomski studij matematike
Monika Jovic
Skalarni produktZavrsni rad
Voditelj: doc. dr. sc. Darija Markovic
Osijek, 2012.
Sazetak. U ovom radu definiran je skalarni produkt, te su pruzene definicije osnovnih
pojmova potrebni za shvacanje skalarnog produkta. Takoder, definiran je pojam ortogonal-
nost. Konstruiran je skalarni produkt na prostorima L2 i l2, te je objasnjena ortogonalnost
funkcija.
Kljucne rijeci: vektorski prostor, norma, skalarni produkt, ortogonalnost, familije ortogo-
nalnih funkcija
Abstract. (Scalar product) This paper defines the scalar product, and provides defini-
tions of the basic concepts necessary to understand the scalar product. The scalar product
on spaces L2 and l2 is constructed and orthogonality of functions is explained.
Keywords: vector space, norm, scalar product, orthogonality, families of ortogonal functi-
ons
Sadrzaj
1 Uvod 1
1.1 Pojam vektorskog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Baza vektorskog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Skalarni produkt 5
3 Ortogonalnost 10
3.1 Ortogonalna projekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Prostori L2 i l2 15
4.1 Prostor L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Prostor l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Familije ortogonalnih funkcija 17
5.1 Ortogonalni polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
1 Uvod
1.1 Pojam vektorskog prostora
Definicija 1.1. Neka je G neprazan skup s binarnom operacijom +, tj. preslikavanje G ×G→ G, (a, b) 7→ a+ b. Uredeni par (G,+) zovemo grupa ako vrijedi sljedece:
(1) asocijativnost
∀a, b, c ∈ G (a+ b) + c = a+ (b+ c)
(2) postojanje neutralnog elementa
∃e ∈ G t.d. a+ e = e+ a = a ∀a ∈ G
(3) postojanje inverznog elementa
∀a ∈ G ∃b ∈ G t.d. a+ b = e = b+ a
Inverzni element od a obicno se oznacava s −a
Grupa (G,+) naziva se Abelova grupa ako vrijedi i svojstvo
(4) komutativnost
a+ b = b+ a ∀a, b ∈ G
Primjer 1.1. (Z,+),(R,+), (R∗ = R\{0}, ·) jesu grupe, i to Abelove, dok (R, ·) nije grupa
Definicija 1.2. Polje je skup K s barem dva elementa na kome su zadane dvije komutativne
i asocijativne binarne operacije, zbrajanje
+: K×K→ K, (α, β) 7→ α + β
i mnozenje
· : K×K→ K, (α, β) 7→ αβ
tako da vrijedi [4]:
1. (K,+) je Abelova grupa s neutralnim elementom 0
2. (K\{0}, ·) je Abelova grupa s neutralnim elementom 1
3. mnozenje je distributivno u odnosu na zbrajanje
∀α, β, γ ∈ K α(β + γ) = αβ + αγ
Primjer 1.2. (Q,+, ·) je polje racionalnih brojeva, (R,+, ·) je polje realnih brojeva, (C,+, ·)je polje kompleksnih brojeva, dok (Z,+, ·) nije polje.
2
Definicija 1.3. Neka je X neprazan skup i K polje, te neka su zadane operacija +: X×X →X (a, b ∈ X, (a, b) 7→ a+b) i operacija · : K×X → X (λ ∈ K, a ∈ X, (λ, a) 7→ λa). Uredena
trojka (X,+, ·) naziva se vektorski prostor nad poljem K ako vrijedi [1]:
(a) (X,+) je Abelova grupa
(b) distributivnost obzirom na zbrajanje u X
∀λ ∈ K ∀a, b ∈ X λ(a+ b) = λa+ λb
(c) distributivnost obzirom na zbrajanje u K
∀λ, µ ∈ K ∀a ∈ X (λ+ µ) · a = λa+ µa
(d) kvaziasocijativnost
∀λ, µ ∈ K ∀a ∈ X (λ · µ) · a = λ(µa)
(e) ako je 1 ∈ K neutralni element za mnozenje u K , tada vrijedi
1 · a = a za sve a ∈ X
Elemente iz vektorskog prostora X zovemo vektorima i oznacavamo ih malim latinskim
slovima.
Elemente iz K nazivamo skalarima, te elemente polja oznacavamo malim grckim slovima.
K moze biti bilo koje polje, no najcesce biti polje realnih (K = R) ili kompleksnih (K = C)
brojeva. Ako je X vektorski prostor nad poljem realnih, odnosno kompleksnih, brojeva, X
se naziva realni, odnosno kompleksni, vektorski prostor.
Potprostor vektorskog prostora (X,+, ·) je svaki podskup od X koji je i sam vektorski
prostor obzirom na iste operacije.
Neka su v1,v2, . . . ,vn vektori iz (X,+, ·). Linearna kombinacija vektora v1,v2, . . . ,vn iz
(X,+, ·) je svaki vektor v oblika
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn =n∑j=1
αjvj
gdje su α1, α2, . . . , αn skalari iz K.
Najmanji vektorski potprostor koji sadrzi sve vektore v1,v2, . . . ,vn je potprostor [S] ko-
jemu su elementi linearne kombinacije skupa {v1,v2, . . . ,vn}. Osim oznake [S] koristi se jos
i span{v1, v2, . . . , vn}.[S] se zove potprostor generiran skupom S ili potprostor razapet skupom S. Ako je
W = [S] kazemo da skup S razapinje potprostor W .
3
1.2 Baza vektorskog prostora
Kazemo da je skup vektora v1,v2, . . . ,vn ∈ X linearno nezavisan ako njihova proizvoljna
linearna kombinacija iscezava jedino na trivijalan nacin [2]:
λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn = 0 =⇒ λ1 = · · · = λn = 0
U suprotnom kazemo da je skup vektora linearno zavisan, tj. postoji barem jedna njihova
linearna kombinacija koja iscezava na netrivijalan nacin [2]:
λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn = 0 pri cemu ∃λi 6= 0
Definicija 1.4. Neka je X vektorski prostor. Uredeni skup vektora B iz X zove se baza
vektorskog prostora X ako zadovoljava [4]:
(i) B je linearno nezavisan skup
(ii) [B] = X
Teorem 1.1. Neka je X vektorski prostor nad poljem K, te neka je B = {b1, b2, . . . , bn} baza
za X. Tada za svaki x ∈ X postoje jedinstveno odredeni skalari α1, α2, . . . , αn ∈ K takvi da
vrijedi
x =n∑j=1
αjbj
Dokaz. Za neki x ∈ X vrijedi x =∑n
j=1 αjbj.
Pretpostavimo da se vektor x moze zapisati na sljedeci nacin x =∑n
j=1 βjbj Oduzimanjem
dobijemo∑n
j=1(αj − βj)bj = 0. Buduci da je B linearno nezavisan skup, slijedi αj − βj =
0, ∀i = 1, 2, . . . , n.
Primjer 1.3. (a) U prostoru Rn promatramo vektore
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1).
i-ta komponenta vektora ei iznosi 1 za i = 1, 2, . . . , n, dok su ostale komponente jednake
0. Skup {e1, e2, . . . , en} je baza prostora Rn
(b) Neka je Pn, n ∈ N skup svih polinama s koeficijentima iz polja K stupnja manjeg
ili jednakog n. S definiranim operacijama zbrajanja polinoman∑i=0
aiti +
n∑i=0
biti =
n∑i=0
(ai + bi)ti i mnozenja polinoma skalarima α
n∑i=0
aiti =
n∑i=0
αaiti, te s nulpolinom,
skup Pn postaje vektorski prostor.
{1, t, t2, . . . , tn} je baza prostora polinoma PnBaze u navedenim primjerima zovu se standardne ili kanonske baze.
4
1.3 Norma
Definicija 1.5. U vektorskom prostoru se definira duljina vektora ili norma kao funkcija
‖ · ‖ : X → K za koju vrijede sljedeca svojstva:
(a) ‖x‖ ≥ 0, za svaki x ∈ X
(b) ‖x‖ = 0⇔ x = 0
(c) ‖αx‖ = |α|‖x‖, za sve α ∈ K, x ∈ X
(d) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, za sve x, y ∈ X
Vektorski prostor na kojem je definirana norma zove se normirani vektorski prostor.
Funkcija ‖ · ‖ : X → K koja zadovoljava svojstva (a)-(c) zove se polunorma ili seminorma.
Primjeri vektorskih normi [3]
• p-norma za 1 ≤ p <∞: ‖x‖p =(∑n
j=1 |xj|p)1/p
• Euklidova norma ili 2-norma: ‖x‖2 =√∑n
j=1 |xj|2
• Manhattan norma ili 1-norma: ‖x‖1 =∑n
j=1 |xj|
• Cebisevljeva norma ili ∞-norma: ‖x‖∞ = maxj=1,...,n |xj|
Definicija 1.6. Za vektor x ∈ X kazemo da je normiran ako je ‖x‖ = 1.
Dakle, normirani vektori su vektori jedinicne duljine, te se stoga nazivaju jos i jedinicni
vektori. Primjetimo da za svaki x 6= 0, vektor 1‖x‖x je normiran.
5
2 Skalarni produkt
Potrebu za uvodenjem pojma skalarni produkt pronalazimo u fizici. Fizikalna definicija rada
sile ~F na putu ~s je skalarni produkt vektora ~F i ~s. Ukoliko su vektori istog smjera, odnosno
ako rad obavlja sila ~F koja djeluje u smjeru puta ~s, onda je rad zadan s
W = ‖~F‖ · ‖~s‖ = Fs
Medutim, ako sila ~F ne djeluje u smjeru puta ~s, onda rad obavlja samo komponenta ~Fs sile
u smjeru puta ~s, tocnije:~F = ~Fs + ~Fn
W = ‖~Fs‖ · ‖~s‖ = (F cosϕ)s = Fs cosϕ
Slika 1: Rad sile ~F na putu ~s.
Primjetimo da je sila ~Fs ortogonalna projekcija sile ~F u smjeru vektora puta ~s. Opcenito
cemo projekciju vektora a na pravac odreden vektorom b oznaciti s ab.
‖ab‖ = ‖a‖ cosϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π
Broj a cosϕ moze biti pozitivan (ϕ < π2) ili negativan (ϕ > π
2).
Euklidski skalarni produkt je funkcija koja vektorima a i b pridruzuje skalar na sljedeci
nacin
〈a, b〉 =
{0, ako je a = 0 ili b = 0
‖a‖‖b‖ cosϕ, ako je a, b 6= 0, 0 ≤ ϕ ≤ π
gdje je ϕ kut izmedu vektora a i b. Koristeci pojam projekcije vektora, skalarni produkt
moze se zapisati
〈a, b〉 = ‖a‖‖b‖ cosϕ =
{‖a‖(‖b‖ cosϕ) = ‖a‖‖ba‖ ili‖b‖(‖a‖ cosϕ) = ‖b‖‖ab‖
6
Slika 2: Projekcija vekotra ~a u smjeru vektora ~b.
Definicija 2.1. Skalarni produkt ili umnozak je preslikavanje 〈·, ·〉 : X×X → K s svojstvima
[3]:
(i) 〈x, x〉 ≥ 0, za sve x ∈ X
(ii) 〈x, x〉 = 0 ako i samo ako x = 0
(iii) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, za sve x, y ∈ X
(iv) 〈x, αy〉 = α〈x, y〉, za sve x, y ∈ X i svaki α ∈ K
(v) 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉, za sve x, y, z ∈ X
Vektorski prostor na kojem je definiran skalarni produkt naziva se unitarni prostor.
Oznake skalarnog produkta dva vektora su: x • y ili 〈x|y〉 ili 〈x, y〉
Standardni skalarni umnozak na Cn dan je s
〈x, y〉 =n∑j=1
xjyj = x∗y ∀x, y ∈ Cn
Uvjeti (iv) i (v) ukazuju da je skalarni umnozak 〈·, ·〉 linearna funkcija u drugoj kompo-
nenti.
Ovako definiran skalarni produkt anti-linearan je obzirom na prvu komponentu.
〈x+ y, z〉 = 〈z, x+ y〉 = 〈z, x〉+ 〈z, y〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 za sve x, y, z ∈ Cn
〈αx, y〉 = α〈x, y〉 za sve α ∈ C, x, y ∈ Cn
7
Analogno se moze definirati linearnost obzirom na prvu komponentu. Tada je skalarni
produkt anti-linearan po drugoj komponenti i na Cn dan je s
〈x, y〉 =n∑j=1
xjyj ∀x, y ∈ Cn
Ukoliko je zadan realan prostor, kompleksno konjugiranje nema ucinka, stoga skalarni
produkt bilo koja dva vektora je realan. Svojstvo (iii) se tada naziva simetricnost i glasi
〈x, y〉 = 〈y, x〉
Ako vektore x, y ∈ X prikazemo kao vektor-stupce n× 1 matricama, skalarni produkt se
moze pisati kao
〈x, y〉 =[x1 x2 . . . xn
]y1y2...yn
=[x]T [
y]
= xTy
gdje je[x]T
vektor-redak, tocnije xT je transponirana matrica matrice[x]
[2].
Primjer 2.1. Neka je Pn vektorski prostor polinoma stupnja ≤ n, s kompleksnim koefcijen-
tima. Ako je p =∑n
j=0 ajxj i q =
∑nj=0 bjx
j, dokazimo da je
〈p, q〉 =n∑j=0
ajbj
skalarni porodukt na prostoru Pn
Rjesenje: Kako bismo dokazali navedenu tvrdnju, potrebno je provjeriti aksiome iz defi-
nicije skalarnog produkta. Vrijedi
〈p, p〉 =n∑j=0
ajaj =n∑j=0
|aj|2 ≥ 0
Buduci da je apsolutna vrijednost uvijek nenegativna, slijedi da je 〈p, p〉 = 0 ako i samo ako
je a1 = a2 = . . . = an = 0. Dakle, p = 0 iz cega slijedi pozitivnost.
Zbog svojstva operacije konjugiranja imamo
〈p, q〉 =n∑j=0
ajbj =n∑j=0
bjaj = 〈q, p〉
8
iz cega vrijedi konjugirana simetricnost.
Neka je cp =∑n
j=0 cajxj. Sljedece svojstvo koje treba dokazati je svojstvo homogenosti.
〈cp, q〉 =n∑j=0
cajbj = c
n∑j=0
ajbj = c〈p, q〉
Ako je r =∑n
j=0 cjxj, imamo
〈p, q + r〉 =n∑j=0
aj(bj + cj) =n∑j=0
ajbj +n∑j=0
ajcj = 〈p, q〉+ 〈p, r〉
time smo dokazali svojstvo aditivnosti. Buduci da svojstva vrijede, tvrdnja je dokazana. ♦
Skalarni produkt iz predhodnog primjera moze se identificirati sa standarnim skalarnim
produktom u Cn+1 gdje tocku (a0, a1, . . . , an) identificiramo s polinomom p =∑n
j=0 ajxj.
Teorem 2.1 (Cauchy-Schwartzova nejednakost). Neka je X unitaran prostor. Tada je
|〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉 (1)
za sve x, y ∈ X. Jednakost vrijedi ako i samo ako su vektori x i y linearno zavisni [3].
Dokaz. Pretpostavimo da x, y 6= 0 tj. da su netrivijalni vektori, te λ bilo koji skalar. Vrijedi
0 ≤ 〈x− λy, x− λy〉 = 〈x, x〉 − λ〈x, y〉 − λ〈y, x〉+ λλ〈y, y〉
Uvrstimo λ = 〈y,x〉〈y,y〉 , sto mozemo napraviti jer y 6= 0⇒ 〈y, y〉 6= 0.
0 ≤ 〈x, x〉 − 〈y, x〉〈y, y〉
〈x, y〉 − 〈x, y〉〈y, y〉
〈y, x〉+〈y, x〉〈y, y〉
〈x, y〉〈y, y〉
〈y, y〉
Zadnja dva clana se ponistavaju. Pomnozimo nejednakost s 〈y, y〉:
0 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉 − 〈y, x〉〈x, y〉
|〈x, y〉|2 = 〈x, y〉〈y, x〉 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉
Ako je y = αx, za neki skalar α, ocito se dobije jednakost.
Lema 2.2. Neka je 〈·, ·〉 : X×X → K skalarni produkt. Tada je preslikavanje ‖ · ‖ : X → K
definirano sa
‖x‖ =√〈x, x〉
vektorska norma.
9
Posljedica ove leme je da se izraz (1) moze zapisati na sljedeci nacin
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖
Dokaz. Trebamo provjeriti zadovoljava li preslikavanje ‖ · ‖ : X → K uvjete (a)-(d) def.
(a) Vrijedi 〈x, x〉 ≥ 0 za sve x ∈ X. Dakle√〈x, x〉 je dobro definirano i nenegativno.
(b) ‖x‖ = 0 ⇐⇒ 〈x, x〉 = 0 ⇐⇒ x = 0
(c) Neka su α ∈ K i x ∈ X. Imamo
‖αx‖ =√〈αx, αx〉 =
√αα〈x, x〉 = |α|‖x‖
(d) U dokazu ovog svojstva cemo koristiti Cauchy-Schwarz nejednakost
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖‖ ∀x, y ∈ X
Slijedi
‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉= 〈x, x〉+ 〈x, y〉+ 〈y, x〉+ 〈y, y〉≤ ‖x‖2 + 2|〈x, y〉|+ ‖y‖2
≤ ‖x‖2 + 2‖x‖‖y‖+ ‖y‖2
= (‖x‖+ ‖y‖)2 ∀x, y ∈ X
Dokazali smo da je definirano preslikavanje vektorska norma.
Zadatak 2.1. Za vektore a = (−1, 1, 0)T , b = (1,−2, 2)T i c = (4, 3, 1)T odredite
a) 〈a, b〉, 〈a, b+ c〉
b) kut izmedu vektora a i b
gdje je 〈·, ·〉 : V × V → R Euklidski skalarni produkt.
Rjesenje:
a) 〈a, b〉 = −1 · 1 + 1 · (−2) + 0 · 2 = −1− 2 = −3
〈a, b+ c〉 = 〈a, b〉+ 〈a, c〉 = −3− 1 = −4
b) 〈a, b〉 = ‖a‖‖b‖ cosϕ ⇒ cosϕ =〈a, b〉‖a‖‖b‖
‖a‖ =√
(−1)2 + 12 + 02 =√
2
‖b‖ =√
12 + (−2)2 + 22 =√
9 = 3
cosϕ =〈a, b〉‖a‖‖b‖
=−3
3√
2=−√
2
2=⇒ ϕ =
3π
4♦
10
3 Ortogonalnost
Definicija 3.1. Neka je X unitarni prostor.
• Za vektore x i y kazemo da su ortogonalni ako je 〈x, y〉 = 0
• Za familiju vektora ei, i = 1, 2, . . . , n kazemo da je ortonormirana ako svaki vektor ei
ima jedinicnu duljinu, tj. ‖ei‖ = 1 te ako su svaka dva razlicita vektora iz te familije
ortogonalna.
• Potprostori X1 i X2 prostora X su ortogonalni ako je bilo koji vektor iz prostora X1
ortogonalan na bilo koji vektor iz prostora X2.
Ortonormirana baza unitarnog prostora X je baza koja se sastoji od vektora koji cine
ortonormiranu familiju.
Zadatak 3.1. Dokazimo da su pravci y = x i y = −x medusobno okomiti.
Rjesenje: Pravac y = x je odreden vektorom (1, 1), dok je pravac y = −x odreden vektorom
(1,−1), stoga vrijedi
(1, 1) · (1,−1) = 1− 1 = 0 ♦
Teorem 3.1. Neka je X0 potprostor unitarnog prostora X te neka je {e1, e2, . . . , en} orto-
normirana baza potprostora X0. Ako je x ∈ X0, onda je
x =n∑j=1
〈x, ej〉ej.
Dokaz. Pogledaj u [6] Fourierova analiza, skripta, str. 13, URL http://www.fer.unizg.
hr/_download/repository/skripta_fourierova_analiza.pdf
3.1 Ortogonalna projekcija
Neka je X0 ⊆ X, gdje je X unitarni prostor, te neka je x ∈ X vektor koji ne pripada
potprostoru X0. Zanima nas kako odrediti vektor x0 ∈ X0 koji je najblizi vektoru x. Odgovor
nam donosi sljedeca definicija.
Definicija 3.2. Neka je X0 konacnodimenzionalni potprostor unitarnog prostora X. Orto-
gonalna projekcija vektora x ∈ X na potprostor X0 je jedinstveni vektor x0 ∈ X0 koji je
najblizi vektoru x, odnosno
‖x− x0‖ = miny∈X0
‖x− y‖
11
Slika 3: Projekcija vektora na potprostor.
Vektor x0, koji je najblizi vektoru x mora biti odabran tako da vektor x−x0 bude okomit
na potprostor X0.
Teorem 3.2. Neka je X0 konacnodimenzionalni potprostor unitarnog prostora X te neka je
x ∈ X. Vektor x0 je ortogonalna projekcija vektora x na potprostor X0 ako i samo ako je
vektor x− x0 ortogonalan na bilo koji vektor u potprostoru X0.
Dokaz. ⇒ Pretpostavimo da je vektor x0 najblizi vektoru x. Pokazimo da je tada vektor
x− x0 ortogonalan na bilo koji vektor y ∈ X0.
Zanima nas kvadrat udaljenosti izmedu vektora x0 + ty ∈ X0 i x, tj. funkcija f(t) =
‖x0 + ty − x‖2. Buduci da je vektor x0 najblizi vektoru x u potprostoru X0, funkcija f
poprima minimalnu vrijednost za t = 0. Stoga derivacija funkcije f u toj tocki mora biti
jednaka nuli
f(t) = 〈x0 − x+ ty, x0 − x+ ty〉 = ‖x0 − x‖2 + 2t〈x0 − x, y〉+ t2‖y‖2
f ′(t) = 2〈x0 − x, y〉+ 2t‖y‖2
0 = f ′(0) = 2〈x0 − x, y〉 (2)
Dakle, vektori x0 − x i y su ortogonalni.
⇐ Pretpostavimo da su vektori x0 − x i y ortogonalni, vektor y je bilo koji vektor iz
potprostora X0. Iz (2) slijedi da je f ′(0) = 0. S druge strane, kako je f(t) kvadratna funkcija
koja poprima nenegativne vrijednosti, njezina stacionarna tocka t = 0 mora odgovarati tocki
minimuma. Drugim rijecima, funkcija ‖x0 + ty − x‖ poprima minimum za t = 0. Kako je y
bilo koji vektor iz potprostora X0, zakljucujemo da je x0 ∈ X0 najblizi vektoru x.
Teorem 3.3. Neka je X unitarni prostor i X0 n-dimenzionalni potprostor s ortonormiranom
bazom {e1, e2, . . . , en}. Ortogonalna projekcija vektora x ∈ X na potprostor X0 dana je
izrazom
x0 =n∑j=1
αjej, gdje je αj = 〈x, ej〉.
12
Dokaz. Pogledaj u [6] Fourierova analiza, skripta, str. 14, URL http://www.fer.unizg.
hr/_download/repository/skripta_fourierova_analiza.pdf
3.2 Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije
Neka je zadan skup linearno nezavisnih vektora x1,x2, . . . ,xn ∈ Cm , m ≥ n. Gramm-
Schmidtovim postupkom se konstruira ortonormirani skup vektora q1,q2, . . . ,qn ∈ Cm koji
razapinju isti potprostor u Cm na sljedeci nacin
q1 =x1‖x1‖
,
q2 =x′2‖x′2‖
, x′2 = x2 − (q1 · x1)q1,
q3 =x′3‖x′3‖
, x′3 = x3 − (q1 · x3)q1 − (q2 · x3)q2,
. . .
qn =x′n‖x′n‖
, x′n = xn −n−1∑i=1
(qi · xn)qi.
Postupak pocinje normiranjem prvog vektora. U i-tom koraku od vektora xi oduzima se
njegova projekcija na prvih i − 1 vektora: q1, . . . , qi−1. Time qi postaje ortogonalan na sve
prethodne vektore.
Teorem 3.4. Gramm-Schmidtov postupak primjenjen na linearno nezavisan skup vektora
{x1, x2, . . . , xn} ⊂ Cm daje ortonormiran skup vektora {q1, q2, . . . , qn} za koji je
[{q1, q2, . . . , qi}] = [{x1, x2, . . . , xi}]
za svaki i = 1, 2, . . . , n [1].
Dokaz. Konstrukciju skupa {q1, q2, . . . , qn} provodimo induktivno. U bazi indukcije defini-
ramo
q1 =1
‖x1‖x1, x1 6= 0
Ocito su q1 i x1 kolinearni pa razapinju isti potprostor. Pretpostavimo da je naden ortonor-
malni skup {q1, q2, . . . , qj} takav da je
[{q1, q2, . . . , qj}] = [{x1, x2, . . . , xj}]
te konstruiramo qj+1. Uvodimo pomocni vektor
pj+1 = xj+1 −j∑i=1
〈xj+1, qi〉qi
13
Iz definicije okomitosti vidi se da je pj+1⊥ qi, ∀i = 1, . . . , j.
Da bismo pokazali da vrijedi
[{q1, q2, . . . , qj, pj+1}] = [{x1, x2, . . . , xj, xj+1}] (3)
dovoljno je utvrditi da generatori s jedne strane jednakosti pripadaju potprostoru s druge
strane jednakosti, i obratno. Sada je
q1, . . . , qj ∈ [{x1, . . . , xj, xj+1}]
po pretpostavci indukcije, a pj+1 ∈ [{x1, . . . , xj, xj+1}] po definiciji vektora pj+1. Obratno je
takoder jasno. Uocimo
xj+1 = pj+1 +
j∑i=1
〈xj+1, qi〉qi
Jasno je da skup {q1, q2, . . . , qj, pj+1} zadovoljava sva trazena svojstva, jedino ne znamo
kolika je norma vektora pj+1. Umjesto vektora fj+1 uzmimo vektor λfj+1, za svaki skalar
λ 6= 0.
〈fj+1, ei〉 = 0 =⇒ 〈λfj+1, ei〉 = 0, ∀i = 1, . . . , j
Iz jednakosti (3) dobivamo
[{q1, q2, . . . , qj, λpj+1}] = [{x1, x2, . . . , xj, xj+1}]
Uzmimo λ = ‖pj+1‖−1, te definirajmo
qj+1 =1
‖pj+1‖pj+1
Problem moze nastati ako je pj+1 = 0 jer je tada ‖pj+1‖ = 0. No, to nije moguce.
Kada bi fj+1 = 0 imali bi
xj+1 =
j∑i=1
〈xj+1, qi〉qi ∈ [{q1, . . . , qj}] = [{x1, . . . , xj}]
sto se kosi s nezavisnoscu polaznog skupa {x1, . . . , xk} [1].
Napomenimo da je Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije zapravo ime dokaza, od-
nosno konstrukcije, a ne tvrdnja teorema.
Zadatak 3.2. Zadani su vektori a = (5, 0, 0)T , b = (2,−1, 4)T , c = (1, 0, 5)T .
a) Dokazite da a, b, c cine bazu.
b) Ortonormirajte bazu {a, b, c} Gramm-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije.
14
c) Vektor d = (4,−3,−4)T prikazite u ortonormalnoj bazi {q1, q2, q3}.
Rjesenje:
a) Kako bismo pokazali da vektori a, b, c cine bazu treba provjeriti jesu li linearno neza-
visni, tj.
αa+ βb+ γc = 0 ⇒ α = β = γ = 0.
Uvrstimo li vektore a, b, c dobivamo
α(0, 5, 0)T + β(2,−1, 4)T + γ(1, 0, 5)T = 0
⇒ 2β + γ = 0
5α− β = 0
4β + 5γ = 0
Rjesavajuci ove tri jednadzbe s tri nepoznanice dobijemo ⇒ α = β = γ = 0.
b)
• q1 =a
‖a‖=
(0, 5, 0)T
5= (0, 1, 0)T
• b′ = b− 〈b, q1〉q1 = (2, 0, 4)T , q2 =b′
‖b′‖=
(√5
5, 0,
2√
5
5
)T
• c′ = c− 〈c, q1〉q1 − 〈c, q2〉q2 =
(−6
5, 0,
3
5
)T, q3 =
c′
‖c′‖=
(2√
5
5, 0,
√5
5
)Tc) d = αq1 + βq2 + γq3
Ovu jednadzbu mnozimo skalarno redom s q1, q2 i q3.
α = 〈d, q1〉 ⇒ α = 3
β = 〈d, q2〉 ⇒ β = −4√
5
5
γ = 〈d, q3〉 ⇒ γ = −12√
5
5♦
15
4 Prostori L2 i l2
4.1 Prostor L2
Promatramo funkcije f(t) gdje t prolazi intervalom a ≤ t ≤ b, pri cemu moze biti a = −∞ i
b = +∞.
Definicija 4.1. Prostor L2([a, b]) je skup svih kvadratno integrabilnih funkcija na intervalu
[a, b] [6]. Drugim rijecima,
L2([a, b]) =
{f : [a, b]→ C;
∫ b
a
|f(t)|2 dt <∞}
Primjetimo kako funkcije s konacnim brojem prekida takoder mogu pripadati prostoru
L2. Prostor L2([a, b]) je beskonacno dimenzionalan. No, ako je a = 0 i b = 1, tada je skup
funkcija {1, t, t2, t3, . . .} linearno nezavisan i pripada prostoru L2([0, 1])
Skalarni produkt na L2 Kako bismo konstruirali skalarni produkt na L2 prvo cemo
”diskretizirati” interval [a, b]. Stoga cemo pretpostaviti da su a = 0 i b = 1. Neka je N
dovoljno velik prirodan broj, te neka je tj = jN
, 0 ≤ j ≤ N . Ukoliko je f neprekinuta,
mozemo njezine vrijednosti na intervalu [tj−1, tj) aproksimirati s f(tj). Stoga, funkciju f
mozemo aproksimirati vektorom
fN = (f(t1), f(t2), . . . , f(tN)) ∈ CN
Bolju aproksimaciju funkcije f dobivamo za veci N .
Ako su f i g dvije funkcije u L2([0, 1]), onda ih mozemo diskretizirati na opisani nacin, kao
vektore fN i gN . Kako bismo definirali skalarni produkt 〈f, g〉L2 promotrimo standardni
skalarni produkt vektora fN i gN na prostoru CN , kada broj N raste:
〈fN , gN〉CN =N∑j=1
f(tj)g(tj) =N∑j=1
f
(j
n
)g
(j
n
)Medutim, problem u ovakvom pristupu je kada N tezi u beskonacnost, stoga suma na desnoj
strani jednakosti tezi k beskonacnosti. Rjesenje je srednja vrijednost predhodnog skalarnog
produkta
1
N〈fN , gN〉CN =
N∑j=1
f
(j
n
)g
(j
n
)1
N
Kako se vektori fN i gN priblizavaju funkcijama f i g kada N raste, razumljivo je da za
definiciju skalarnog produkta 〈f, g〉L2 uzmemo granicnu vrijednost prethodne srednje vrijed-
nosti skalarnog produkta, kada N tezi u beskonacnost.
16
Prethodnu relaciju mozemo zapisati u obliku
1
N〈fN , gN〉CN =
N∑j=1
f(tj)g(tj)∆t, gdje je ∆t =1
N
Ova suma predstavlja integralnu sumu za integral∫ 1
0f(tj)g(tj) dt s obzirom na razdiobu
[0, t1, t2, . . . , tN ] segmenta [0, 1]. Dakle, skalarni produkt na L2([0, 1]) definiramo 〈f, g〉 =∫ 1
0f(t)g(t) dt.
Definicija 4.2. Skalarni produkt na L2([a, b]) definiran je relacijom [6]
〈f, g〉L2 =
∫ b
a
f(t)g(t) dt, f, g ∈ L2([a, b])
Ovako definiran skalarni produkt naziva se i L2 skalarni produkt.
4.2 Prostor l2
Prostor l2 sastoji se od diskretnog skupa brojeva, tj. niza X = . . . , x−1, x0, x1, . . ., pri cemu
je svaki xj numericka vrijednost u intervalu [tj, tj+1]. Dakle, taj niz moze biti beskonacan.
Definicija 4.3. Vektorski prostor l2 je skup svih nizova X = . . . , x−1, x0, x1, . . . ∈ C takvih
da je∑∞
n=−∞ |xn|2 <∞ [6]. Skalarni produkt na tom prostoru definira se kao
〈X, Y 〉l2 =∞∑
n=−∞
xnyn
gdje je X = . . . , x−1, x0, x1, . . . i Y = . . . , y−1, y0, y1, . . ..
17
5 Familije ortogonalnih funkcija
Za dvije funkcije kazemo da su ortogonalne, ako je njihov skalarni produkt jednak 0. Ako
za neprekidnu ili diskretnu mjeru dλ, te funkcije u i v koje imaju konacnu normu mozemo
definirati skalarni produkt kao ∫Ru(x)v(x) dλ
Postoji mnogo familija ortogonalnih funkcija, neke od njih su [3]:
• ortogonalni polinomi
• trigonometrijski polinomi
5.1 Ortogonalni polinomi
Definiramo neprekidni ili kontinuirani skalarni produkt
〈u, v〉 =
∫ b
a
w(x)u(x)v(x)dx
gdje su u, v polinomi, w ≥ 0 tezinska funkcija na [a, b]. Pripadna familija ortogonalnih
polinoma oznacava se s {pn(x)|n ≥ 0}. Stupanj polinoma pn je n, za svaki n ≥ 0 [3].
Takoder definiramo diskretan skalarni produkt
〈u, v〉 =n∑i=0
wiu(xi)v(xi)
generiran medusobno razlicitim cvorovima x0, . . . , xn, te tezinama w1, . . . , wn ≥ 0. Pripadni
unitarni prostor ”funkcija” na zadanoj mrezi cvorova sadrzi sve polinome stupnja manjeg
ili jednakog n, pa sigurno postoji pripadna baza ortogonalnih polinoma koju oznacavamo s
{pk(x)|0 ≥ k ≥ n}. Stupanj polinoma pk je jednak k, gdje je k ∈ {0, . . . , n}.
5.2 Trigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije
{1, cosx, cos 2x, cos 3x, . . . , sinx, sin 2x, sin 3x, . . .}
cine ortogonalnu familiju funkcija na intervalu [0, 2π] uz mjeru
dλ =
{dx , na [0, 2π]
0 , inace
18
Moze se pokazati da vrijedi sljedece (pogledaj [3] Z. Drmac, V. Hari, M. Marusic, Numericka
analiza, str. 418)∫ 2π
0
sin kx · sin lx dx =
{0, k 6= lπ, k = l
k, l = 1, 2, . . .
∫ 2π
0
cos kx · cos lx dx =
0, k 6= l
2π, k = l = 0π, k = l > 0
k, l = 0, 1, . . .
∫ 2π
0
sin kx · cos lx dx = 0, k = 1, 2, . . . , l = 0, 1, . . .
Fourierov red Za aproksimaciju periodickih funkcija najcesce koristimo Fourierove re-
dove. Neka je funkcija f periodicna na [−π, π]. Tada je mozemo aproskimirati sumom
reda
F(x) :=a02
+∞∑k=1
(ak cos kx+ bk sin kx) (4)
Red (4) nazivamo Fourierov red, a brojeve a0, a1, b1, . . . Fourierovi koeficijenti funkcije f ,
gdje su
ak =1
π
∫ π
−πf(x) cos kx dx, bk =
1
π
∫ π
−πf(x) sin kx dx
Cebisevljevi polinomi U aproksimaciji funkcija takoder se koristi sustav ortogonalnih
polinoma na [−1, 1] s tezinskom funkcijom w(x) = 1√1−x2 tzv. Cebisevljevi polinomi. Njihova
eksplicitna formula glasi [5]:
Tn(x) = cos(n arccosx), n = 0, 1, . . .
Vrijedi
• T0(x) = cos(0) = 1
• za n = 1, T1(x) = x
• za n = 2, T2(x) = cos(2 arccosx) = 2 cos2(arccosx)− 1 = 2x2 − 1
Dakle, opcenito vrijedi
cosnρ = 2 cos ρ cos(n− 1)ρ− cos(n− 2)ρ (5)
gdje je ρ = arccosx
Iz relacije (5) slijedi rekurzivna formula za Cebisevljeve polinome
Tn(x) = 2xTn−1(x)− Tn−2(x)
19
Cebisevljevi polinomi, zbog definicije preko kosinus funkcije, imaju n + 1 ekstremnu
vrijednost naizmjenicno pozitivnu i negativnu na intervalu [−1, 1]
xk = coskπ
n, k = 0, 1, 2, . . . , n
te n razlicitih nultocaka na [−1, 1] definiranih formulom
ξk = cos
((2k − 1)π
2n
), k = 1, 2, . . . , n
20
Literatura
[1] D. Bakic, Linearna algebra, Skolska knjiga, Zagreb, 2008.
[2] D. Butkovic, Predavanja iz linearne algebre, Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku,
Odjel za matematiku, Osijek, 2010.
[3] Z. Drmac, V. Hari, M. Marusic, Numericka analiza, Sveuciliste u Zagrebu, PMF -
matematicki odjel, Zagreb, 2003.
[4] H. Kraljevic, Vektorski prostori, Predavanja na Odjelu za matematiku Sveucilista
J. J. Strossmayera u Osijeku, Osijek, 2008.
[5] R. Scitovski, Numericka matematika, Odjel za matematiku Sveucilista u Osijeku, Osi-
jek, 2004.
[6] Fourierova analiza
http://www.fer.unizg.hr/_download/repository/skripta_fourierova_analiza.