Download - Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja
![Page 1: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/1.jpg)
Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja
Studeni 2013
![Page 2: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/2.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
Model je reprezentacija dinamike sustava (procesa) koji se koristi u svrhu:• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) simulacijama, • analiticke/numericke analize odredjenih svojstava sustava (npr. analiza stabilnosti sustava, odredjivanje “najgoreg moguceg” ponasanja sustava)• sintezu i) strukture ili parametara sustava, ii) regulatora, • …
Modeliranje ima svoju svrhu!Kakav model cemo koristiti ovisi prvenstveno o tome na koja pitanja trazimo odgovore.
![Page 3: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/3.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
Matematicki modeli – opis sustava jednadzbama
1) Algebarske jednadzbe
-“trenutan” odnos medju varijablama (f=k q sila u opruzi)
2) Differencijalne jednadzbe
-Važno je vremensko ponašanje varijabli- Stvari se ne dešavaju trenutno (imaju memoriju, spremike (energije), “za promjenu treba vremena”)
Primjeri: - glavobolja ne nestaje odmah cim uzmemo aspirin - kondenzator se moze isprazniti spajanjem otpornika – ali ne trenutno - stiskanjem pedale gasa postize se veca brzina – ali ne trenutno - temperatura u sobi ne naraste isti tren kad smo ukljucili grijanje - investicije ne nose trenutnu zaradu, vec ovaj proces ima svoju dinamiku
Za dinamicke sustave ima smisla pitati “u kojem su trenutno stanju”?
U sirem smislu, i ucenje je dinamicki proces…
![Page 4: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/4.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
U ovom predavanju: - zanimaju nas dinamicki modeli (prvenstveno elektricnih sustava) - zanima nas ponasanje sustava u smislu: kako ulazne varijable odredjuju vrijednosti izlaznih varijabli (tj. izlazne varijable = one koje nas iz nekog razloga zanimiju) - modele cemo prikazivati u prostoru stanja uvode se varijable stanja, kao “unutrasnje” varijable sustava (ulaz i izlaz su “vezani” preko “unutrasnjih” varijabli)
![Page 5: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/5.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
“Nasljeđe mehaničara” (povijesno):
Jedan od trijmufa Newtonove mahanike: gibanje planeta moze se predvidjeti uz poznavanje trenutnih polozaja i brzina (to je dovoljno informacija za proracunati buducnost, a sve sto trebamo znati o proslosti “sadrzano je” u polozajima i brzinama.)
Napomena: ovdje se radi o autonomnom sustavu; nema vanjskih pobuda (ulaza)
Kepler, Newton: gibanje planeta, gravitacija, Newtonovi aksiomi
( ) 0mq c q kq
![Page 6: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/6.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
Stanje sustava (vektor stanja sustava; varijable stanje sustava): = skup svih varijabli koje koje potpuno definiraju gibanje sustava (koje su dovoljne za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:
( ) 0mq c q kq
( )vektor stanja: ( )
( )
q tx t
q t
Skup svih mogucih vrijednosti vektora stanja: prostor stanja
fazni portret(phase portrait)
![Page 7: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/7.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
![Page 8: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/8.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
( ) 0mq c q kq
fazni portret(phase portrait)
Autonoman sustav:
Neautonoman sustav (ima vanjske ulaze; vanjske pobude, poremecaje):
( )mq c q kq f
![Page 9: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/9.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
“Nasljeđe elektricara” (povijesno):
-Sinteza elektronickih pojacala naglasavala je promatranje/definiranje sustava kao ponasanje izmedju ulaznih i izlaznih varijabli- Sustavi su promatrani kao “uredjaji” koji transformiraju ulaze u izlaze- Pogodno za “slaganje” kompliciranih sustava od jednostavnijih djelova (televizor od prijeminika, demodulatora, pojacala, zvucnika,…)
![Page 10: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/10.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
Metode analize ulazno-izlaznih (linearnih, vremenski invarijantnih) modela: - odziv na “step funkciju”; odziv u frekvensijskom podrucju
![Page 11: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/11.jpg)
Prostor stanja
Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulazno-izlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of input/output systems) uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.
( )vektor stanja: ( )
( )
q tx t
q t
u
y qizlaz
1
2
x qx
x q
1
2
x qx
x q
mq cq kq u ulaz
![Page 12: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/12.jpg)
Prostor stanja
Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulazno-izlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of input/output systems) uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.
mq cq kq u
( )vektor stanja: ( )
( )
q tx t
q t
u
ulaz
y qizlaz
1
2
x qx
x q
21
2 2 1
xx q
x c kx q x x u
m m
1y x
![Page 13: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/13.jpg)
Prostor stanja
Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulazno-izlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of input/output systems) uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.
mq cq kq u
( )vektor stanja: ( )
( )
q tx t
q t
u
ulaz
y qizlaz
1 1
2 2
0 10
,1
x xuk c
x xm m
1
2
0 1 0x
y ux
![Page 14: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/14.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 10
,1
x xuk c
x xm m
1
2
0 1 0x
y ux
x Ax Bu
y Cx Du
Model linearnog vremenski invarijantnog sustava u prostoru stanja
![Page 15: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/15.jpg)
Prostor stanja
x Ax Bu
y Cx Du
Model linearnog vremenski invarijantnog sustava u prostoru stanja
( ) ( )
( ) ( )
x A t x B t u
y C t x D t u
Model linearnog vremenski promjenjvog sustava u prostoru stanja
( , )
( , )
x f x u
y g x u
Model nelinearnog sustava u prostoru stanja
nx = vektor prostora stanja
n = red sustava
![Page 16: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/16.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 10
,1
x xuk c
x xm m
1
2
0 1 0x
y ux
1
2
( )vektor prostora stanja: ( )
( )
x q tx t
x q t
Red sustava?
Koliko ovaj sustav ima spremnika energije?
![Page 17: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/17.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 10
,1
x xuk c
x xm m
1
2
0 1 0x
y ux
1
2
( )vektor prostora stanja: ( )
( )
x q tx t
x q t
Red sustava? 2
Koliko ovaj sustav ima spremnika energije? 2
![Page 18: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/18.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 10
,1
x xuk c
x xm m
1
2
0 1 0x
y ux
1
2
( )vektor prostora stanja: ( )
( )
x q tx t
x q t
21
2pE kq
21
2kE mq
je varijabla stanjaq
je varijabla stanjaq
![Page 19: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/19.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 10
,1
x xuk c
x xm m
1
2
0 1 0x
y ux
1
2
( )vektor prostora stanja: ( )
( )
x q tx t
x q t
Broj spremnika energije u sustavu odredjuje njegov red (broj varijabli stanja)
![Page 20: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/20.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 10
,1
x xuk c
x xm m
1
2
0 1 0x
y ux
1
2
( )vektor prostora stanja: ( )
( )
x q tx t
x q t
Broj spremnika energije u sustavu odredjuje njegov red (broj varijabli stanja)
mq cq kq u = diferencijalna jednadzba drugog reda (nije slucajnost)
![Page 21: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/21.jpg)
Jos o modeliranju
![Page 22: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/22.jpg)
Jos o modeliranju
![Page 23: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/23.jpg)
Jos o modeliranju
![Page 24: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/24.jpg)
Kojeg reda je ovaj sustav?
Sto su varijable stanja?
Jesu li varijable stanja jednoznacno odredjene?
![Page 25: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/25.jpg)
Kojeg reda je ovaj sustav?
Sto su varijable stanja?
Jesu li varijable stanja jednoznacno odredjene? – NISU. Vidjet cemo zasto (i primjere) kasnije
![Page 26: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/27.jpg)
Jos o modeliranju
![Page 28: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/30.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava (mehatronika)
• R resistance• L inductance• J moment of inertia• B mechanical damping
![Page 31: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/31.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava (mehatronika)
• R resistance• L inductance• J moment of inertia• B mechanical damping
![Page 32: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/32.jpg)
110
10
c c
L L
v vC iCi iR
L L
0 1 0c
L
vy i
i
x Ax Bu
y Cx du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, ,cL
L
vx u i y i
i
![Page 33: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/33.jpg)
110
10
c c
L L
v vC iCi iR
L L
0 1 0c
L
vy i
i
x Ax Bu
y Cx du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, ,cL
L
vx u i y i
i
, ,c LL
c L
v ix u i y i
v i
Jednadzbe prostora stanja?
![Page 34: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/34.jpg)
110
10
c c
L L
v vC iCi iR
L L
0 1 0c
L
vy i
i
x Ax Bu
y Cx du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, ,cL
L
vx u i y i
i
, ,c LL
c L
v ix u i y i
v i
Jednadzbe prostora stanja?
1 1, ,
1 1c
LL
vx u i y i
i
, je regularna matrican nx Tx T
![Page 35: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/35.jpg)
x Ax Bu
y Cx Du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, je regularna matrican nx Tx T
![Page 36: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/36.jpg)
x Ax Bu
y Cx Du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, je regularna matrican nx Tx T
1 1,x Tx x T x x T x
![Page 37: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/37.jpg)
x Ax Bu
y Cx Du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, je regularna matrican nx Tx T
1 1,x Tx x T x x T x
1 1x Ax Bu T x AT x Bu 1x TAT x TBu
![Page 38: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/38.jpg)
x Ax Bu
y Cx Du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, je regularna matrican nx Tx T
1 1,x Tx x T x x T x
1 1x Ax Bu T x AT x Bu 1x TAT x TBu
1y Cx Du y CT x Du
![Page 39: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/39.jpg)
x Ax Bu
y Cx Du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, je regularna matrican nx Tx T
1 1,x Tx x T x x T x
1 1x Ax Bu T x AT x Bu 1x TAT x TBu
1y Cx Du y CT x Du
x Ax Bu
y Cx Du
1
1
,
,
A TAT B TB
C CT D D
![Page 40: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/40.jpg)
110
10
c c
L L
v vC iCi iR
L L
0 1 0c
L
vy i
i
x Ax Bu
y Cx du
, ,c
LL
vx u i y i
i
, ,c LL
c L
v ix u i y i
v i
11 1 0.5 0.5
, , ,1 1 0.5 0.5
cL
L
T
vx u i y i T
i
1
1 1 1 1 1 1
2 2,
1 1 1 1 1 1
2 2
R R
L L C L L CA TAT
R R
L L C L L C
1
,1CB TB
C
1 1 1
2 2C CT
0D D
![Page 41: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/41.jpg)
110
10
c c
L L
v vC iCi iR
L L
0 1 0c
L
vy i
i
x Ax Bu
y Cx du
, ,c
LL
vx u i y i
i
1
2
, ,c LL
c L
v ixx u i y i
v ix
11
22
1 1 1 1 1 1 12 2 2
11 1 1 1 1 122 2
R RxL L C L L Cx
ixx R R
L L C L L C
1
2
1 10
2 2
xy i
x
x Ax Bu
y Cx Du
![Page 42: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/42.jpg)
ODE viseg reda i prostor stanja
u
1 1
2 2
0 10
,1
x xuk c
x xm m
1
2
0 1 0x
y ux
mq cq kq u = diferencijalna jednadzba drugog reda
Prostor stanja dimenzije 2.
Model drugug reda.
![Page 43: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/43.jpg)
ODE viseg reda i prostor stanja
1 2
1 21 2
n n n
nn n n
d y d y d ya a a y u
dt dt dt
1
2 2
3 2
1
1
n n
n
y
dyxdtxd y
x xdt
xd y
dt
22
23
34
3
1 2 1 1
0
0
0
1n n nn
n
dy
dtxd yxdt
x x ud y
dt
a x a x a x
d y
dt
1y x
Difernecijalna jednadzba n-tog reda moze se zapisati u obliku prostora stanja (vektorska dif. jednadzba prvog reda) n-tog reda (n = dimenzija vektors stanja)
![Page 44: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/44.jpg)
ODE viseg reda i prostor stanja
1 2
1 21 2
n n n
nn n n
d y d y d ya a a y u
dt dt dt
1 1
2 2
3 3
1 1
1 2 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0
0
0 0 0 0 1 0
1n n
n n n n n
Bx xA
x x
x x
x xx u
x x
x a a a a a x
1 0 0 0 0
C
y x
Difernecijalna jednadzba n-tog reda moze se zapisati u obliku prostora stanja (vektorska dif. jednadzba prvog reda) n-tog reda (n = dimenzija vektors stanja)
![Page 45: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/45.jpg)
1
2
3
4
( )
( )( ) 1 0 0 0 0 ( )
( )
( )
x t
x ty t u t
x t
x t
Primjer
![Page 46: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061514/56812b4b550346895d8f6d5c/html5/thumbnails/46.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
Modeli u zapisu prostora stanja imaju neka znacajna svojstva, npr.: - kad stanja imaju fizikalnu interpretaciju, daju dublji uvid u strukturu sustava - mnoge simulacijske metode (numericki ODE rjesavaci) temelje se na ovakvom zapisu - razvijene numericke metode analize (npr. stabilnost) i sinteze regulatora (LQR, H_inf, MPC)