![Page 1: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/1.jpg)
Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja
Studeni 2013
![Page 2: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/2.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
Model je reprezentacija dinamike sustava (procesa) koji se koristi u svrhu:• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) simulacijama, • analiticke/numericke analize odredjenih svojstava sustava (npr. analiza stabilnosti sustava, odredjivanje “najgoreg moguceg” ponasanja sustava)
• sintezu i) strukture ili parametara sustava, ii) regulatora, • …
Modeliranje ima svoju svrhu!Kakav model cemo koristiti ovisi prvenstveno o tome na koja pitanja trazimo odgovore.
![Page 3: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/3.jpg)
Modeliranje dinamickih sustavaMatematicki modeli – opis sustava jednadzbama
1) Algebarske jednadzbe
-“trenutan” odnos medju varijablama (f=k q sila u opruzi)
2) Differencijalne jednadzbe
-Važno je vremensko ponašanje varijabli- Stvari se ne dešavaju trenutno (imaju memoriju, spremike (energije), “za promjenu treba vremena”)
Primjeri:- glavobolja ne nestaje odmah cim uzmemo aspirin- kondenzator se moze isprazniti spajanjem otpornika – ali ne trenutno- stiskanjem pedale gasa postize se veca brzina – ali ne trenutno- temperatura u sobi ne naraste isti tren kad smo ukljucili grijanje- investicije ne nose trenutnu zaradu, vec ovaj proces ima svoju dinamiku
Za dinamicke sustave ima smisla pitati “u kojem su trenutno stanju”?
U sirem smislu, i ucenje je dinamicki proces…
![Page 4: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/4.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
U ovom predavanju: - zanimaju nas dinamicki modeli (prvenstveno elektricnih sustava)- zanima nas ponasanje sustava u smislu: kako ulazne varijable odredjujuvrijednosti izlaznih varijabli (tj. izlazne varijable = one koje nas iz nekograzloga zanimiju)
- modele cemo prikazivati u prostoru stanja uvode se varijable stanja,kao “unutrasnje” varijable sustava (ulaz i izlaz su “vezani” preko “unutrasnjih”varijabli)
![Page 5: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/5.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
“Nasljeđe mehaničara” (povijesno):
Jedan od trijmufa Newtonove mahanike: gibanje planeta moze se predvidjeti uz poznavanje trenutnih polozaja i brzina (to je dovoljno informacija za proracunati buducnost, a sve sto trebamo znati o proslosti “sadrzano je” u polozajima i brzinama.)
Napomena: ovdje se radi o autonomnom sustavu; nema vanjskih pobuda (ulaza)
Kepler, Newton: gibanje planeta, gravitacija, Newtonovi aksiomi
( ) 0mq c q kq+ + =
![Page 6: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/6.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
Stanje sustava (vektor stanja sustava; varijable stanje sustava):= skup svih varijabli koje koje potpuno definiraju gibanje sustava (koje su dovoljne
za prdvidjanje buducnosti sustava)
Za sustava sa gornje slike:
( ) 0mq c q kq+ + =
( )vektor stanja: ( )
( )q t
x tq t
=
Skup svih mogucih vrijednosti vektora stanja: prostor stanja
fazni portret(phase portrait)
![Page 7: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/7.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
![Page 8: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/8.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
( ) 0mq c q kq+ + =
fazni portret(phase portrait)
Autonoman sustav:
Neautonoman sustav (ima vanjske ulaze; vanjske pobude, poremecaje):
( )mq c q kq f+ + =
![Page 9: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/9.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
“Nasljeđe elektricara” (povijesno):
-Sinteza elektronickih pojacala naglasavala je promatranje/definiranje sustava kao ponasanje izmedju ulaznih i izlaznih varijabli- Sustavi su promatrani kao “uredjaji” koji transformiraju ulaze u izlaze- Pogodno za “slaganje” kompliciranih sustava od jednostavnijih djelova (televizor od prijeminika, demodulatora, pojacala, zvucnika,…)
![Page 10: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/10.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
Metode analize ulazno-izlaznih (linearnih, vremenski invarijantnih) modela:- odziv na “step funkciju”; odziv u frekvensijskom podrucju
![Page 11: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/11.jpg)
Prostor stanja
Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulazno-izlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of input/output systems) uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.
( )vektor stanja: ( )
( )q t
x tq t
=
u
y q=izlaz
1
2
x qx
x q
= =
1
2
x qx
x q
= =
mq cq kq u+ + =
ulaz
![Page 12: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/12.jpg)
Prostor stanja
Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulazno-izlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of input/output systems) uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.
mq cq kq u+ + =
( )vektor stanja: ( )
( )q t
x tq t
=
u
ulaz
y q=izlaz
1
2
x qx
x q
= =
21
2 2 1
xx qx c kx q x x u
m m
= = = − − +
1y x=
![Page 13: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/13.jpg)
Prostor stanja
Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulazno-izlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of input/output systems) uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.
mq cq kq u+ + =
( )vektor stanja: ( )
( )q t
x tq t
=
u
ulaz
y q=izlaz
1 1
2 2
0 1 0,
1x x
uk cx xm m
= + − −
[ ] 1
2
0 1 0x
y ux
= + ⋅
![Page 14: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/14.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 1 0,
1x x
uk cx xm m
= + − −
[ ] 1
2
0 1 0x
y ux
= + ⋅
x Ax Buy Cx Du= += +
Model linearnog vremenski invarijantnog sustava u prostoru stanja
![Page 15: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/15.jpg)
Prostor stanja
x Ax Buy Cx Du= += +
Model linearnog vremenski invarijantnog sustava u prostoru stanja
( ) ( )( ) ( )
x A t x B t uy C t x D t u= += +
Model linearnog vremenski promjenjvog sustava u prostoru stanja
( , )( , )
x f x uy g x u==
Model nelinearnog sustava u prostoru stanja
nx∈ = vektor prostora stanja
n = red sustava
![Page 16: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/16.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 1 0,
1x x
uk cx xm m
= + − −
[ ] 1
2
0 1 0x
y ux
= + ⋅
1
2
( )vektor prostora stanja: ( )
( )x q t
x tx q t
= =
Red sustava?
Koliko ovaj sustav ima spremnika energije?
![Page 17: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/17.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 1 0,
1x x
uk cx xm m
= + − −
[ ] 1
2
0 1 0x
y ux
= + ⋅
1
2
( )vektor prostora stanja: ( )
( )x q t
x tx q t
= =
Red sustava? 2
Koliko ovaj sustav ima spremnika energije? 2
![Page 18: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/18.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 1 0,
1x x
uk cx xm m
= + − −
[ ] 1
2
0 1 0x
y ux
= + ⋅
1
2
( )vektor prostora stanja: ( )
( )x q t
x tx q t
= =
212pE kq=
212kE mq=
je varijabla stanjaq
je varijabla stanjaq
![Page 19: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/19.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 1 0,
1x x
uk cx xm m
= + − −
[ ] 1
2
0 1 0x
y ux
= + ⋅
1
2
( )vektor prostora stanja: ( )
( )x q t
x tx q t
= =
Broj spremnika energije u sustavu odredjuje njegov red (broj varijabli stanja)
![Page 20: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/20.jpg)
Prostor stanja
u1 1
2 2
0 1 0,
1x x
uk cx xm m
= + − −
[ ] 1
2
0 1 0x
y ux
= + ⋅
1
2
( )vektor prostora stanja: ( )
( )x q t
x tx q t
= =
Broj spremnika energije u sustavu odredjuje njegov red (broj varijabli stanja)
mq cq kq u+ + = = diferencijalna jednadzba drugog reda (nije slucajnost)
![Page 21: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/21.jpg)
Jos o modeliranju
![Page 22: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/22.jpg)
Jos o modeliranju
![Page 23: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/23.jpg)
Jos o modeliranju
![Page 24: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/24.jpg)
Kojeg reda je ovaj sustav?
Sto su varijable stanja?
Jesu li varijable stanja jednoznacno odredjene?
![Page 25: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/25.jpg)
Kojeg reda je ovaj sustav?
Sto su varijable stanja?
Jesu li varijable stanja jednoznacno odredjene? – NISU. Vidjet cemo zasto (i primjere) kasnije
![Page 26: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/27.jpg)
Jos o modeliranju
![Page 28: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/30.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava (mehatronika)
• R resistance• L inductance• J moment of inertia• B mechanical damping
![Page 31: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/31.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava (mehatronika)
• R resistance• L inductance• J moment of inertia• B mechanical damping
![Page 32: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/32.jpg)
1 10
1 0
c c
L L
v vC iCi iR
L L
− = + −
[ ]0 1 0c
L
vy i
i
= + ⋅
x Ax Buy Cx du= += +
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, ,cL
L
vx u i y i
i
= = =
![Page 33: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/33.jpg)
1 10
1 0
c c
L L
v vC iCi iR
L L
− = + −
[ ]0 1 0c
L
vy i
i
= + ⋅
x Ax Buy Cx du= += +
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, ,cL
L
vx u i y i
i
= = =
, ,c LL
c L
v ix u i y i
v i+
= = = − Jednadzbe prostora stanja?
![Page 34: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/34.jpg)
1 10
1 0
c c
L L
v vC iCi iR
L L
− = + −
[ ]0 1 0c
L
vy i
i
= + ⋅
x Ax Buy Cx du= += +
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, ,cL
L
vx u i y i
i
= = =
, ,c LL
c L
v ix u i y i
v i+
= = = − Jednadzbe prostora stanja?
1 1, ,
1 1c
LL
vx u i y i
i
= = = − , je regularna matrican nx Tx T ×= ∈
![Page 35: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/35.jpg)
x Ax Buy Cx Du= += +
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, je regularna matrican nx Tx T ×= ∈
![Page 36: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/36.jpg)
x Ax Buy Cx Du= += +
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, je regularna matrican nx Tx T ×= ∈
1 1,x Tx x T x x T x− −= → = =
![Page 37: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/37.jpg)
x Ax Buy Cx Du= += +
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, je regularna matrican nx Tx T ×= ∈
1 1,x Tx x T x x T x− −= → = =
1 1x Ax Bu T x AT x Bu− −= + → = + →
1x TAT x TBu−= +
![Page 38: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/38.jpg)
x Ax Buy Cx Du= += +
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, je regularna matrican nx Tx T ×= ∈
1 1,x Tx x T x x T x− −= → = =
1 1x Ax Bu T x AT x Bu− −= + → = + →
1x TAT x TBu−= +
1y Cx Du y CT x Du−= + → = +
![Page 39: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/39.jpg)
x Ax Buy Cx Du= += +
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
, je regularna matrican nx Tx T ×= ∈
1 1,x Tx x T x x T x− −= → = =
1 1x Ax Bu T x AT x Bu− −= + → = + →
1x TAT x TBu−= +
1y Cx Du y CT x Du−= + → = +
x Ax Buy Cx Du= +
= +
1
1
,
,
A TAT B TBC CT D D
−
−
= =
= =
![Page 40: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/40.jpg)
1 10
1 0
c c
L L
v vC iCi iR
L L
− = + −
[ ]0 1 0c
L
vy i
i
= + ⋅
x Ax Buy Cx du= += +
, ,cL
L
vx u i y i
i
= = =
, ,c LL
c L
v ix u i y i
v i+
= = = −
11 1 0.5 0.5, , ,
1 1 0.5 0.5c
LL
T
vx u i y i T
i−
= = = = − −
1
1 1 1 1 1 12 2
,1 1 1 1 1 12 2
R RL L C L L C
A TATR R
L L C L L C
−
− − + + = = − + − − − +
1
,1CB TB
C
= =
1 1 12 2
C CT − = =
0D D= =
![Page 41: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/41.jpg)
1 10
1 0
c c
L L
v vC iCi iR
L L
− = + −
[ ]0 1 0c
L
vy i
i
= + ⋅
x Ax Buy Cx du= += +
, ,cL
L
vx u i y i
i
= = =
1
2
, ,c LL
c L
v ixx u i y i
v ix+
= = = = −
11
22
1 1 1 1 1 1 12 2 2
11 1 1 1 1 122 2
R RxL L C L L Cx
ixx R R
L L C L L C
− − + + = + − + − − − +
1
2
1 1 02 2
xy i
x = + ⋅
x Ax Buy Cx Du= +
= +
![Page 42: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/42.jpg)
ODE viseg reda i prostor stanja
u
1 1
2 2
0 1 0,
1x x
uk cx xm m
= + − −
[ ] 1
2
0 1 0x
y ux
= + ⋅
mq cq kq u+ + = = diferencijalna jednadzba drugog reda
Prostor stanja dimenzije 2.
Model drugug reda.
![Page 43: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/43.jpg)
ODE viseg reda i prostor stanja
1 2
1 21 2
n n n
nn n nd y d y d ya a a y udt dt dt
− −
− −+ + + + =
1
2 2
3 2
1
1
n n
n
ydyxdtx
d yx xdt
xd ydt
−
−
= =
22
23
34
3
1 2 1 1
000
1n n nn
n
dydt
xd yxdt
x x ud ydt
a x a x a xd ydt
−
= = + − − − −
1y x=
Difernecijalna jednadzba n-tog reda moze se zapisati u obliku prostora stanja (vektorska dif. jednadzba prvog reda) n-tog reda (n = dimenzija vektors stanja)
![Page 44: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/44.jpg)
ODE viseg reda i prostor stanja
1 2
1 21 2
n n n
nn n nd y d y d ya a a y udt dt dt
− −
− −+ + + + =
1 1
2 2
3 3
1 1
1 2 2 1
0 1 0 0 00 0 1 0 0
00
0 0 0 0 1 01
n n
n n n n n
Bx xA
x xx xx x
x u
x xx a a a a a x− −
− −
= = +
− − − − −
[ ]1 0 0 0 0C
y x=
Difernecijalna jednadzba n-tog reda moze se zapisati u obliku prostora stanja (vektorska dif. jednadzba prvog reda) n-tog reda (n = dimenzija vektors stanja)
![Page 45: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/45.jpg)
[ ] [ ]1
2
3
4
( )( )
( ) 1 0 0 0 0 ( )( )( )
x tx t
y t u tx tx t
= +
Primjer
![Page 46: Modeliranje dinamike sustava Prostor stanja - FSB Online · PDF file• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) ... za prdvidjanje buducnosti sustava) Za sustava sa gornje slike:](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022052302/5a7a445a7f8b9a5e438e2c2d/html5/thumbnails/46.jpg)
Modeliranje dinamickih sustava
Modeli u zapisu prostora stanja imaju neka znacajna svojstva, npr.:- kad stanja imaju fizikalnu interpretaciju, daju dublji uvid u strukturu sustava- mnoge simulacijske metode (numericki ODE rjesavaci) temelje se na ovakvom zapisu
- razvijene numericke metode analize (npr. stabilnost) i sinteze regulatora (LQR, H_inf, MPC)