1
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Modelli matematici di sistemi dinamiciModelli matematici di sistemi dinamici
• Modelli di sistemi dinamici lineari, tempo-invarianti
• Sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienticostanti
• Similarita` nel modellare fenomeni fisici di natura diversa:
• sistemi meccanici
• circuiti elettrici
• sistemi termodinamici e fluidodinamici
2
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Modelli matematici di sistemi meccaniciModelli matematici di sistemi meccanici
• Sistemi meccanici in moto traslatorio:
• F=ma (Legge di Newton, equazione del moto)
• F,a: grandezze vettoriali
• componenti elementari: masse, molle,ammortizzatori
f1 f2
M
x
K
x1 x2
Bx1 x2
3
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Modelli matematici di sistemi meccaniciModelli matematici di sistemi meccanici
†
Df (t) = f1(t) - f2(t) = M d2x(t)dt 2
Equazioni che descrivono l’equilibrio delle forzeapplicate:
f1 f2x
x1 x2
x1 x2
†
f (t) = K(x1(t) - x2(t))
†
f (t) = B ddt
(x1(t) - x2(t))
4
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Cruise controlCruise control
†
v = ˙ x a = ˙ v = ˙ ̇ x
Esempio: controllo di velocita`
mubv
x
a
†
u - b ˙ x = m˙ ̇ x
†
˙ ̇ x + bm
˙ x = um
†
s2X(s) - sx(0) - ˙ x (0) +bm
sX(s) - x(0)( ) =U(s)
m
†
X(s) =1/m
s s + b /m( )U(s) +
s + b /m( )x(0) + v(0)s s + b /m( )
†
X(s)U(s)
=1/m
s s + b /m( )
5
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Cruise controlCruise control
†
˙ v + bm
v =um
†
sV (s) - v(0) +bm
V (s) =U(s)
m
†
V (s) =1/m
s + b /m( )U(s) +
v(0)s + b /m( )
†
V (s)U(s)
=1/m
s + b /m( )
†
X(s)U(s)
=1/m
s s + b /m( )
Legami tra u, x e va partire da condizioni iniziali nulle
U(s)=0
†
V (s) =v(0)
s + b /m( )fi v(t) = v(0)e
-bm
t
6
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Cruise controlCruise control
Modello di stato:
†
x =xv
È
Î Í
˘
˚ ˙ =
x1
x2
È
Î Í
˘
˚ ˙
†
˙ x 1 = ˙ x = v = x2
˙ x 2 = ˙ v = ˙ ̇ x = a = -bm
v +um
= -bm
x2 +um
†
˙ x =0 10 -b /m
È
Î Í
˘
˚ ˙ x +
01/mÈ
Î Í
˘
˚ ˙ u
†
u Æ x fi y = x = x1 fi y = 1 0[ ]x
†
u Æ v fi y = v = x2 fi y = 0 1[ ]xJ=0
7
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Cruise controlCruise control
†
H (s) = H (sI - F)-1G + J
†
(sI - F)-1G =s -10 s +
bm
È
Î Í Í
˘
˚ ˙ ˙
-1 01m
È
Î Í Í
˘
˚ ˙ ˙
=
=1
s s + b /m( )s +
bm
10 s
È
Î Í Í
˘
˚ ˙ ˙
01m
È
Î Í Í
˘
˚ ˙ ˙
=1
s s + b /m( )1/ms /m
È
Î Í
˘
˚ ˙
†
y = x : 1s s + b /m( )
1 0[ ]1/ms /m
È
Î Í
˘
˚ ˙ =
1/ms s + b /m( )
†
y = v : 1s s + b /m( )
0 1[ ]1/ms /m
È
Î Í
˘
˚ ˙ =
s /ms s + b /m( )
=1/m
s + b /m( )
8
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Quarter-car modelQuarter-car model
Esempio: sospensione
vcar
r
kw
ks b
y
x
x,y: scostamenti dal valoredi equilibrio (“elimino” laforza di gravita`)
m1 x m2 y†
ks(y - x)
†
b( ˙ y - ˙ x )
†
kw (x - r)
†
ks(y - x)
†
b( ˙ y - ˙ x )
m2
m1
9
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Quarter-car modelQuarter-car model
†
b( ˙ y - ˙ x ) + ks(y - x) - kw (x - r) = m1˙ ̇ x -b( ˙ y - ˙ x ) - ks(y - x) = m2 ˙ ̇ y
†
˙ ̇ x + bm1
( ˙ x - ˙ y ) +ks
m1(x - y) +
kw
m1x =
kw
m1r
˙ ̇ y + bm2
( ˙ y - ˙ x ) +ks
m2(y - x) = 0
†
s2X(s) +bm1
s(X(s) -Y (s)) +ks
m1(X(s) -Y (s)) +
kw
m1X(s) =
kw
m1R(s)
s2Y (s) +b
m2s(Y (s) - X(s)) +
ks
m2(Y (s) - X(s)) = 0
c.i. nulle
10
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Quarter-car modelQuarter-car model
Legame tra r ed y: ricavo l’espressione di X(s) in funzione diY(s) dalla 2a eq. e sostituisco nella 1a eq.
†
X(s) =s2 +
bm2
s +ks
m2b
m2s +
ks
m2
Y (s)
†
Y (s)R(s)
=p1s + p0
s4 + q3s3 + q2s2 + q1s + q0
Esercizio: modello di stato con
†
x = [x, ˙ x , y, ˙ y ]T
11
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Testina HDDTestina HDD
• Sistemi meccanici in moto rotatorio monodimensionale:
• M=Ia
• Esempio: servoposizionamento testina HDD
I1
Mc+Md
†
b( ˙ q 1 - ˙ q 2)†
k(q1 -q2)
†
q1
†
˙ ̇ q 1
†
I1˙ ̇ q 1 + b( ˙ q 1 - ˙ q 2) + k(q1 -q2) = Mc + MD
I2˙ ̇ q 2 - b( ˙ q 1 - ˙ q 2) - k(q1 -q2) = 0
I2†
q2
†
˙ ̇ q 2
†
k(q1 -q2)
†
b( ˙ q 1 - ˙ q 2)
q2
q1
k,bMc+Md
I2
I1
12
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
PendoloPendolo
• Esempio: il pendolo
l
q
Tc
mg
†
I = ml2
†
Tc - l mgsinq( ) = I ˙ ̇ q = ml2˙ ̇ q
†
˙ ̇ q +gl
sinq =Tc
ml2
†
˙ ̇ q +glq =
Tc
ml2 q @ 0
†
s2Q(s) - sq(0) - ˙ q (0) +gl
Q(s) =Tc(s)ml2
†
Q(s) =1
ml2Tc(s)
s2 + g / l+
sq(0) + ˙ q (0)s2 + g / l
13
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Carro-ponteCarro-ponte
• Esempio: il carro-ponte
I,mp
q
mtu
x
PN
mtu
†
x
†
˙ ̇ x
†
b˙ x
†
mt ˙ ̇ x = -b˙ x + u - N
14
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Carro-ponteCarro-ponte
• Cinematica del pendolo:
q
r
ji
x
†
r = i(x + lsinq) - jlcosq
†
˙ r = i( ˙ x + l ˙ q cosq) + jl ˙ q sinq
= i˙ x + l (i ˙ q cosq + j ˙ q sinq)
†
˙ ̇ r = i˙ ̇ x + l i ˙ ̇ q cosq - ˙ q 2 sinq( )(+ j ˙ ̇ q sinq + ˙ q 2 cosq( ))
†
˙ ̇ r = i˙ ̇ x + l ˙ ̇ q icosq + jsinq( ) + l ˙ q 2 -isinq + jcosq( ) =
= i˙ ̇ x + l ˙ ̇ q icosq + jsinq( )
+l ˙ q 2 icos q +p2
Ê Ë Á
ˆ ¯ ˜ + jsin q +
p2
Ê Ë Á
ˆ ¯ ˜
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
†
l ˙ q 2
†
l ˙ ̇ q
†
˙ ̇ x
l
15
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Carro-ponteCarro-ponte
• Cinematica e dinamica del pendolo: ortogonale alpendolo
q
PN
†
l ˙ q 2
†
l ˙ ̇ q
†
˙ ̇ x
mpg
†
P sinq + N cosq - m pgsinq = m pl ˙ ̇ q + m p˙ ̇ x cosq
†
-Plsinq - Nlcosq = I ˙ ̇ q
†
I + m pl2( )˙ ̇ q + m pglsinq = -m pl˙ ̇ x cosq
†
ml2 ˙ ̇ q + mglsinq = Tc
I:momentodi inerziaattorno albaricentro
pendolo“fisso”
†
†
l ¥
†
+
16
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Carro-ponteCarro-ponte
• Per il moto del carrello:
q
N
†
l ˙ q 2
†
l ˙ ̇ q
†
˙ ̇ x
mpg
†
mt ˙ ̇ x = -b˙ x + u - N
†
N = m p ˙ ̇ x + l ˙ ̇ q cosq - l ˙ q 2 sinq( )
†
(m p + mt )˙ ̇ x + b˙ x + m pl ˙ ̇ q cosq - m pl ˙ q 2 sinq = u
Per q “piccoli”: sinq ≈q, cosq ≈1. Inoltresi assume che
†
˙ q 2 @ 0
†
I + m pl2( )˙ ̇ q + m pglq = -m pl˙ ̇ x (m p + mt )˙ ̇ x + b˙ x + m pl ˙ ̇ q = u
Ï Ì Ó
17
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Carro-ponteCarro-ponte
• Trascurando l’attrito (b=0):
†
I + m pl2( )˙ ̇ q + m pglq = -m pl˙ ̇ x
(m p + mt )˙ ̇ x + m pl ˙ ̇ q = u fi ˙ ̇ x =u - m pl ˙ ̇ q
M, m p + mt = M
Ï
Ì Ô
Ó Ô
†
I + m pl2( )˙ ̇ q + m pglq = -m plu - m pl ˙ ̇ q
M
†
I + m pl2 -m p
2 l2
M
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜ ̇ ̇ q + m pglq = -m pl u
M
†
Q(s)U(s)
=-m pl
M I + m pl2( ) - m p2 l2( )s2 + Mm pgl
18
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Carro-ponteCarro-ponte
• Dal carro-ponte al pendolo inverso: equilibrio attorno allaposizione verticale (q=p). Definisco q’=q-p
• Linearizzando attorno a q=p, sinq ≈-q’, cosq ≈-1. Inoltre siassume che
†
I + m pl2( )˙ ̇ ¢ q - m pgl ¢ q = m pl˙ ̇ x (m p + mt )˙ ̇ x + b˙ x - m pl ˙ ̇ ¢ q = u
Ï Ì Ó
†
˙ ¢ q 2 @ 0
†
¢ Q (s)U(s)
=m pl
M I + m pl2( ) - m p2 l2( )s2 - Mm pgl
• Per b=0:
19
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Modelli matematici di circuiti elettriciModelli matematici di circuiti elettrici
• Circuiti elettrici:
• elementi statici: resistenze, trasformatori ideali
• elementi dinamici: induttanze, capacita`
• ingressi forniti da generatori di tensione e/o dicorrente
†
v(t) = Ri(t)
v(t) = L di(t)dt
i(t) = C dv(t)dt
v(t) = vs
i(t) = is
+
i
+
i
+
i
20
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Bridged-TBridged-T
Esempio: ponte a T
v1, v2, v3: riferite a Õ
†
v1 - v2
R1=
v2 - v3
R2+ C1
dv2
dtKCL À:
†
v2 - v3
R2+ C2
d(v1 - v3)dt
= 0KCL Ã:
†
vC1= v2 = x1
vC2= v1 - v3 = x2
v1 = vi = uv3 = u - x2 = vo = y
†
˙ x 1 =u - x1
C1R1-
x1 - u + x2
C1R2
˙ x 2 = -x1 - u + x2
C2R2
Ï
Ì Ô
Ó Ô
++
R1
+
R2
+ C2
C1
! Ã
Õ
À
+
vi
+vo
21
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Bridged-TBridged-T
Rappresentazione matriciale:
†
F =
1C1
1R1
+1R2
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜ -
1C1R2
-1
C21R2-
1C2R2
È
Î
Í Í Í Í
˘
˚
˙ ˙ ˙ ˙
G =
1C1
1R1
+1R2
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
1C2R2
È
Î
Í Í Í Í
˘
˚
˙ ˙ ˙ ˙
H = 0 -1[ ] J =1
22
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Amplificatori operazionaliAmplificatori operazionali
vo=A(v+-v-)R1
Ro
+
io
v-
i-
i+
v+
+
Operazionale ideale: R1=•, Ro=0, A =•, e vo tale che
-
+ vo
vo-
vi
v+=0
†
i+ = i- = 0v+ - v- = 0
Ï Ì Ó
23
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Sommatore con op-amp idealeSommatore con op-amp ideale
†
v+ = 0 fi v- = 0
i1 =v1
R1, i2 =
v2
R2
R1
Rf
iout
v1
i1
i2
v2
vout-
R2
†
i1 + i2 + iout = 0v1
R1+
v2
R2+
vout
Rf= 0
†
vout = -Rf
R1v1 +
Rf
R2v2
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
24
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Integratore con op-amp idealeIntegratore con op-amp ideale
†
iin + iout = 0vin
Rin+ C dvout
dt= 0
Rin
C
iout
vin
iin
vout-
†
dvout
dt= -
vin
CRin
†
vout(t) = -1
RinCvin (t)dt + vout(0)
0
tÚ
25
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Modelli di sistemi elettromeccaniciModelli di sistemi elettromeccanici
• Interazione tra correnti elettriche e campi magnetici:
• Legge dei motori: un conduttore di lunghezza l mpercorso da una corrente di i A e` collocatoortogonalmente alle linee di un campo magnetico diintensita` B T e` soggetto ad una forza (ortogonale alpiano formato da i e B) di intensita` F=Bli N.
• Legge dei generatori: in un conduttore di lunghezza lm che si muove a velocita` v m/s ortogonalmente allelinee di un campo magnetico di intensita` B T sistabilisce una tensione di intensita` e(t)=Blv V.
26
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
AltoparlanteAltoparlante
Cono+interazione aria: massa M, attrito viscoso b
†
M˙ ̇ x = -b˙ x + Bli
†
x1 = x ˙ x 1 = x2
x2 = ˙ x ˙ x 2 = -bM
x2 +BlM
i
†
F = Bli
27
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
AltoparlanteAltoparlante
• Circuito di ingresso:
†
va
†
ecoil
†
R
†
i
†
L
†
x†
ecoil = Bl˙ x
†
L didt
+ Ri + Bl˙ x = va
†
x3 = i ˙ x 3 = -RL
x3 -BlL
x2 + va
†
˙ x 1 = x2
˙ x 2 = -bM
x2 +BlM
i
˙ x 3 = -RL
x3 -BlL
x2 + va
†
F =
0 1 00 -b / M Bl / M0 -Bl /L -R / M
È
Î
Í Í Í
˘
˚
˙ ˙ ˙
G =
00
1/L
È
Î
Í Í Í
˘
˚
˙ ˙ ˙
28
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Motore in continuaMotore in continua
Magnete delloStatore
Statore
Avvolgimentidel Rotore
†
qm
Albero
CuscinettiSpazzola
Spazzola
Angolo
†
ia
†
T = Ktia
e = Ke˙ q m
†
e = Ke˙ q m
†
va†
Ra
†
La
†
ia
†
T
†
qm
†
b ˙ q m†
Jm˙ ̇ q m = T - b ˙ q m = Ktia - b ˙ q m
†
Ladia
dt+ Raia = va - e = va - Ke
˙ q m
29
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Motore in continuaMotore in continua
†
˙ ̇ q m =Kt
Jmia -
bJm
˙ q m
†
dia
dt= -
Ra
Laia +
1La
va -Ke
La
˙ q m
†
x1 = qm
x2 = ˙ q mx3 = ia
u = va
†
˙ x 1 = x2
˙ x 2 = -b
Jmx2 +
Kt
Jmx3
˙ x 3 = -Ke
Lax2 -
Ra
Lax3 +
1La
u
Ï
Ì
Ô Ô Ô
Ó
Ô Ô Ô
†
F =
0 1 00 -b /Jm Kt /Jm
0 -Ke /La -Ra /La
È
Î
Í Í Í
˘
˚
˙ ˙ ˙
G =
00
1/La
È
Î
Í Í Í
˘
˚
˙ ˙ ˙
Simile al modello dell’altoparlante: circuito elettrico cheguida un carico meccanico
30
A. B
eghi
“F
onda
men
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Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
Motore in continuaMotore in continua
Funzione di trasferimento tra tensione di armatura eposizione angolare dell’albero (da c.i. nulle):
†
Jms2Qm (s) + bsQm (s) = KtIa(s)
†
sLaIa(s) + RaIa(s) = Va(s) - KesQm (s)
†
Ia(s) =Va(s) - sKeQm (s)
Ra + sLa
†
s Jms + b( )Qm (s) = KtVa(s) - sKeQm (s)
Ra + sLa
†
Qm (s)Va(s)
=Kt
s Jms + b( ) Ra + sLa( ) + KeKt[ ]
†
La trascurabile : Qm (s)Va(s)
=Kt /Ra
Jms2 + b + KeKt /Ra( )s
31
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
AnalogiaAnalogia
• Analogia:
• la metodologia di derivazione dei modelli non e`basata sulla natura fisica delle grandezze in gioco masui legami formali tra le funzioni che descrivono legrandezze in gioco
• Analogia: due sistemi descriventi fenomeni di naturafisica diversa possono essere descriti da equazioniuguali
• Esempio: analogia tra sistemi elettrici e sistemimeccanici
32
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
AnalogiaAnalogia
• punti in movimento ¤ nodi della rete
• masse ¤ capacita` verso massa
• molle ¤ induttanze
• ammortizzatori ¤ resistenze
• velocita` ¤ tensioni
• forze ¤ correnti
33
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
AnalogiaAnalogia
f
M1
x1
x2
M2
B1
K2
K1
†
M1d2x1(t)
dt 2 = f (t) - K1x1(t) - B1ddt
(x1(t) - x2(t))
†
M2d2x2(t)
dt 2 = B1ddt
(x1(t) - x2(t)) - K2x2(t) - B2dx2(t)
dt
34
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
AnalogiaAnalogia
• Cerco il legame tra f(t) e x2(t):
†
Dx1(t) =1B1
x2(t) + M2D2x2(t) + K2x2(t) + B2Dx2(t)( )†
ddt
¤ D dx(t)dt
¤ Dx(t)
†
D2x1(t) =1B1
Dx2(t) + M2D3x2(t) + K2Dx2(t) + B2D2x2(t)( )
†
D3x1(t) =1B1
D2x2(t) + M2D4 x2(t) + K2D2x2(t) + B2D3x2(t)( )
†
0 = -B1D(x1(t) - x2(t)) + M2D2x2(t) + K2x2(t) + B2Dx2(t)
35
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
AnalogiaAnalogia
†
f (t) = M1D2x1(t) + K1x1(t) + B1D(x1(t) - x2(t))
†
Df (t) = M1D3x1(t) + K1Dx1(t) + B1D
2(x1(t) - x2(t))
†
Df (t) =M1M2
B1D4 x2(t) +
M1B2
B1D3x2(t) +
+M1(B1 + K2)
B1+
K1M2
B1+ M2 - B1
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜ D2x2(t)
+K1B2
B1+ B2
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜ Dx2(t) +
K1(B1 + K2)B1
+ (B1 + K2)Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜ x2(t)
36
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
AnalogiaAnalogia
f(t)¤i(t)
M1
M2
dx1(t)dt
¤ v1(t) dx2 (t)dt
¤ v2 (t)1B1
1B2
1K1
1K2
37
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
LinearizzazioneLinearizzazione
• In generale i modelli dei sistemi da controllare sono nonlineari
• La maggior parte delle tecniche di controllo si basasull’ipotesi di linearita` del processo
• Linearizzazione: derivazione di un sistema lineare cheapprossima il sistema non lineare nell’intorno di un puntodi equilibrio (analisi alle variazioni o ai piccoli segnali)
• Teoria di Lyapunov: la (asintotica) stabilita` del sistemalinearizzato garantisce la stabilita` del sistema non linearein un intorno del punto di equilibrio
• Si progetta una legge di controllo stabilizzante per ilsistema linearizzato e la si applica al sistema non lineareche rimane stabile nell’intorno del punto di equilibrio
38
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
LinearizzazioneLinearizzazione
†
q(y(1),K , y(n ),u(1),K , u(m )) = 0
†
˙ x 1(t) = f1 x1(t),K,xn (t),u(t)( )M
˙ x n (t) = fn x1(t),K,xn (t),u(t)( )
Ï
Ì Ô
Ó Ô
†
y(t) = h x1(t),K, xn (t),u(t)( )
• Modello non lineare (tempo-invariante):
†
˙ x = f(x,u)y = h(x,u)
Ï Ì Ó
• In forma di stato:
• Punto di equilibrio x0 (con u=u0):
†
˙ x 0 = f(x0,u0) = 0y0 = h(x0,u0)
Ï Ì Ó
39
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
LinearizzazioneLinearizzazione
†
x(t) = x0 + dx(t) u(t) = u0 + du(t)• Perturbando l’equilibrio:
†
f(x, u) @ f(x0,u0) +∂f∂x
È Î Í
˘ ˚ ˙ x=x 0
u= u0
dx +∂f∂u
È Î Í
˘ ˚ ˙ x=x 0
u= u0
du
= Fdx + Gdu
†
˙ x (t) = ˙ x 0 + d˙ x (t) = d˙ x (t)= f(x,u) = Fdx(t) + Gdu(t)
†
d˙ x (t) = Fdx(t) + Gdu(t)
• Il modello e` valido per dx e du “piccoli”
40
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
LinearizzazioneLinearizzazione
• Esempio:
†
˙ ̇ y - ˙ y sin y + arctan y = (1+ ˙ y )u
†
x1 = yx2 = ˙ y
†
˙ x 1 = x2 = f1(x,u)˙ x 2 = ˙ ̇ y = ˙ y sin y - arctan y + (1+ ˙ y )u
= x2 sin x1 - arctan x1 - (1+ x2)u = f2(x,u)• Equilibrio in x1=x2=u0=0
†
F =
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
È
Î
Í Í Í Í
˘
˚
˙ ˙ ˙ ˙ x1 =0
x2 =0u=0
=0 1
x2 -1
1+ x12 sin x1 - u
È
Î
Í Í
˘
˚
˙ ˙
x1 =0x2 =0u =0
=0 1-1 0
È
Î Í
˘
˚ ˙
†
G =
∂f1
∂u∂f2
∂u
È
Î
Í Í Í
˘
˚
˙ ˙ ˙ x1 =0
x2 =0u=0
=0
-1- x2
È
Î Í
˘
˚ ˙ x1 =0
x2 =0u=0
=0-1
È
Î Í
˘
˚ ˙
41
A. B
eghi
“F
onda
men
ti di
Aut
omat
ica
” U
nive
rsita
` di
Pad
ova
LinearizzazioneLinearizzazione
• Linearizzazione tramite retroazione: si “cancella” lanonlinearita` tramite il controllo
• Esempio: il pendolo
†
ml2 ˙ ̇ q + mlgsinq = Tc
†
Tc = u + mlgsinq
†
ml2 ˙ ̇ q = u
• E` un controllo in retroazione (devo conoscere q)• Il controllo e` una funzione nonlineare delle variabili che
descrivono il processo