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Metodologia do Ensino da
Matemática – Aula 09
IMES – Fafica
Curso de Pedagogia – 3º Ano
Prof. MSc. Fabricio Eduardo Ferreira
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Divisível, Múltiplo e Divisor (I)
Quando um número é divisível por outro?
Quando a divisão do primeiro pelo segundo for exata.
27 3
0 9
43 5
3 8Podemos dizer que 27 é
divisível por 3,
porque a divisão de 27 por
3 é exata.
Podemos dizer que 43 não é
divisível por 5,
porque a divisão de 43 por 5
não é exata.
Podemos dizer que 3 é
divisor de 27.
Podemos dizer que 5 não é
divisor de 43.
Pelo mesmo motivo também podemos
dizer que:
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Divisível, Múltiplo e Divisor (II)
Quando um número é múltiplo de outro?
Quando há um número natural que multiplicado
pelo primeiro resulta no segundo.
Podemos dizer que 27 é
múltiplo de 3,
pois 3 x 9 é exatamente 27.
Podemos dizer que 43 não é
múltiplo de 5,
pois não existe nenhum
número natural que
multiplicado por 5 resulta em
43.
27 3
0 9
43 5
3 8
Observações: O 1 é considerado divisor universal pois todo número é divisível por 1; O 0 é considerado múltiplo universal pois todo número multiplicado por 0
resulta em 0; Nenhum número é divisível por zero, pelo motivo citado anteriormente; O zero é divisível por qualquer número (exceto si mesmo); Todo número (exceto zero) é divisível por si mesmo.
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Números Pares e Números ÍmparesO que é um número
par?É todo número natural divisível por dois.
2 4 6 8
O que é um número ímpar?
É todo número natural não divisível por dois.
1 3 5
7 9
0
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Identificando números pares e ímpares
Como reconhecer um número par?
É todo número natural terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8.
14
17
Como reconhecer um número ímpar?
É todo número natural terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8.
O número 1.735.916 é par pois termina em 6.
O número 2.864.203 é ímpar pois termina em 3.
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Critérios de divisibilidade (I)Quando um número é divisível
por 2?Um número é divisível por 2 quando for
par.
O número 1.735.916 é divisível por 2
pois é par.
O número 2.864.203 não é divisível
por 2 pois é ímpar.Quando um número é divisível
por 3?Verifique se o número 495 é
divisível por 3.
495 3
0 165
4+9+5=18
Verifique se o número 361 é
divisível por 3.361 3
1 120
3+6+1=10
e 18 é divisível por 3 e 10 não é divisível por 3
Um número é divisível por 3 quando asoma de seus algarismos for divisível
por 3.
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Critérios de divisibilidade (II)Quando um número é divisível
por 5?Um número é divisível por 5 quando
terminar em 0 ou 5.O número 3.971.860 é divisível por
5
pois termina em 0.
O número 5.405.268 não é divisível
por 5
pois termina não termina nem em
0 nem em 5.Quando um número é divisível
por 6?
Um número é divisível por 6 quando for divisível
por 2 e 3 simultaneamente.Verifique se o número 930 é
divisível por 6.930 {é divis í vel por 2é divis í vel por 3
⇒ é divis í vel por 6
930 6
0 155
Verifique se o número 640 é
divisível por 6.6 40 {é divis í vel por 2n ão é divis í vel por 3
⇒ nã o é divis í vel por 6
640 6
4 106
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Critérios de divisibilidade (III)
Quando um número é divisível por 4?
Um número é divisível por 4 quandoseus dois últimos algarismos forem
divisíveis por 4.
80 4
0 20
Verifique se o número 680 é
divisível por 4.42 4
2 10
Verifique se o número 842 é
divisível por 4.
Quando um número é divisível por 8?
Um número é divisível por 8 quandoseus três últimos algarismos forem
divisíveis por 8.
728 8
0 91
Verifique se o número 1728 é
divisível por 8.436 8
4 54
Verifique se o número 8436 é
divisível por 8.
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Critérios de divisibilidade (IV)
Quando um número é divisível por 9?
Verifique se o número 540 é
divisível por 9.
540 9
0 60
5+4+0=9
Verifique se o número 960 é
divisível por 3.960 9
6 106
9+6+0=15
e 9 é divisível por 9 e 15 não é divisível por 9
Um número é divisível por 9 quando asoma de seus algarismos for divisível
por 9.
Quando um número é divisível por 10?
Um número é divisível por 10 quando terminar em zero.
O número 3.951.540 é divisível
por 10
pois terminou em 0.
O número 5.480.025 não é divisível
por 10
pois não terminou em 0.
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RevisãoQuando um número é divisível
por 2?Um número é divisível por 2 quando for
par.
Quando um número é divisível por 3?
Um número é divisível por 3 quando asoma de seus algarismos for divisível
por 3.Quando um número é divisível
por 4?
Um número é divisível por 4 quandoseus dois últimos algarismos forem
divisíveis por 4.Quando um número é divisível
por 5?Um número é divisível por 5 quando
terminar em 0 ou 5.Quando um número é divisível
por 6?
Um número é divisível por 6 quando for divisível
por 2 e 3 simultaneamente.Quando um número é divisível
por 8?
Um número é divisível por 8 quandoseus três últimos algarismos forem
divisíveis por 8.Quando um número é divisível
por 9?
Um número é divisível por 9 quando asoma de seus algarismos for divisível
por 9.Quando um número é divisível
por 10?Um número é divisível por 10 quando
terminar em zero.
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Número Primo
O que é um número primo?É todo número natural que é divisível
APENAS por 1 e si mesmo.
𝐷 (11)=¿{1,11 } 𝐷 (6 )=¿{1 ,2,3,6 } 𝐷 (7 )=¿{1 ,7 } 𝐷 (8 )=¿{1,2,4,8 }Percebemos que alguns números possuem vários divisores, enquanto outros
possuem apenas dois divisores.
Observações:
A palavra primo deriva de primeiro, pois utilizando os números primos
podemos obter todos os demais números naturais;
Os números que não são primos recebem o nome de compostos,
precisamente pelo fato de poderem ser obtidos através da multiplicação de
números primos.
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Crivo de EratóstenesÉ um procedimento desenvolvido por Eratóstenes de Cirene (século III a.C.) que permite
descobrir números primos.
Eratóstenes de
Cirene
( 276 a.C.; 194
a.C.)
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1. Escreve-se a sequência de números desejada a partir de 2;
2. Circula-se o primeiro número (o dois) e criva-se (risca) seus múltiplos;
3. Circula-se o novo primeiro número da sequência (três) e criva-se seus múltiplos;
4. Repete-se o procedimento até acabarem os números;
5. Os números circulados são os primos e os crivados os compostos.
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Um pouco mais sobre números primos
𝑃= {2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31,37 ,… }
Observações:
Os números primos são infinitos (prova foi feita por Euclides de
Alexandria);
O único número primo e par é o dois (por quê?);
Nem todos os números ímpares são primos (dê contraexemplos).
Como saber se determinado
número é primo ou composto?
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Reconhecendo um número primo (I)Exemplo 1) Verifique se o
número 101 é primo.101 2
1 50
𝑃= {2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31,37 ,… }
101 3
2 33
101 5
1 20
101 7
3 14
101 9
2 11
101 11
2 9
Logo 101 é
primo.Exemplo 2) Verifique se o
número 121 é primo.121 2
1 60
121 3
1 40
121 5
1 24
121 7
2 17
121 9
4 13
121 11
0 11
Logo 121 é
composto.
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Reconhecendo um número primo (II)Como saber se determinado número é primo ou composto?
Divida o número desejado pela sequência dos números primos até que uma
das duas opções ocorra:
a divisão der não exata; continue dividindo até que o resultado dê igual ou
menor que o divisor. Neste caso o número é primo;
a divisão der exata. Neste caso o número é composto.
Qual a importância dos números
primos?A dificuldade de verificar se um número é primo é chave de todo sistema de
criptografia computacional.
Em outras palavras o fato de ser difícil verificar se grandes números são primos
acaba
protegendo transações bancárias, senhas de internet, compras on-line,
etc.