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Capítulo 5
Método matricial
5.1. Contenido
El concepto de rigidez. Matriz de rigidez de una viga. Método directo de larigidez. Vector de cargas. Sistemas de coordenadas. Transformación de sistemas decoordenadas, matrices de rotación. Matriz de rigidez elemental. Matriz de rigidezglobal de la estructura, montaje. Ensamblaje del vector de cargas. Ensamblaje delvector de desplazamientos. Imposición de las condiciones de contorno. Sistema deecuaciones a resolver. Cálculo de esfuerzos y reacciones. Cargas de origen térmico.Errores de montaje. Apoyos inclinados.
5.2. Objetivos
Presentar el método matricial como sistematización de los conceptos presenta-dos anteriormente. Aplicar el método directo de la rigidez en estructuras sencillas.Calcular desplazamientos. Calcular esfuerzos en cualquier tipo de estructura.
5.3. Qué se debe saber al terminar este tema
1. Qué es la matriz de rígidez en coordenadas locales y en coordenadas globales.Cómo pasar de una a otra (matriz de rotación). Matriz de rotación para vigasy barras.
2. Ensamblar la matriz de rigidez global de una estructura
3. Ensamblar el vector de cargas
4. Imponer condiciones de contorno en el sistema. Porqué son necesarias. Elegirgrados de libertad en el caso del método directo.
5. Cálcular esfuerzos a partir de los desplazamientos. Dibujar diagramas decortantes, axiles y momentos flectores
33
CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 34
6. Identificar las grados de libertad existentes en una estructura. Saber quématriz de rigidez debemos emplear
7. Resolver estructuras con articulaciones internas
8. Introducir asientos en los apoyos, errores de montaje y efectos térmicos
5.4. Ejercicios resueltos
1. Sobre la estructura de la figura obtener los diagramas de esfuerzos de todaslas barras
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En las páginas siguientes se encuentran las matrices de rigidez locales y glo-bales de todas las barras, así como los vectores de fuerzas de empotramientocoordenadas en locales y globales y los vectores de esfuerzos, además de losdiagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores.
CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
AB A I E L alfa5.38E-03 8.36E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 188300.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 0.02 0.0 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+033 0.0 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+034 -188300.0 0.0 0.0 188300.0 0.0 0.05 0.0 -9.753E+02 -2.926E+03 0.0 9.753E+02 -2.926E+036 0.0 2.926E+03 5.852E+03 0.0 -2.926E+03 1.170E+04
Matriz de rotación
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
1 1 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+002 2 0.000E+00 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+033 3 0.000E+00 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+034 4 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+005 5 0.000E+00 -9.753E+02 -2.926E+03 0.000E+00 9.753E+02 -2.926E+036 6 0.000E+00 2.926E+03 5.852E+03 0.000E+00 -2.926E+03 1.170E+04
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 5.00E+010.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 1
0.0 0.000E+00 150.000 150.000 20.0 0.000E+00 150.000 150.000 30.0 0.000E+00 0.000 0.000 40.0 0.000E+00 150.000 150.000 50.0 0.000E+00 -150.000 -150.000 6
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
1.14E-02 0.01136509 9.502E+02 10.00E+00 0 1.289E+02 2-2.82E-02 -0.028208195 2.154E+01 36.32E-03 0.006319047 -9.502E+02 4
-8.09E-02 -0.080853151 1.711E+02 5-5.96E-03 -0.005962288 -1.483E+02 6
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CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
FG A I E L alfa2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 83650.0 0.0 0.0 -83650.0 0.0 0.02 0.0 1.540E+02 4.620E+02 0.000E+00 -1.540E+02 4.620E+023 0.0 4.620E+02 1.848E+03 0.000E+00 -4.620E+02 9.240E+024 -83650.0 0.0 0.0 83650.0 0.0 0.05 0.0 -1.540E+02 -4.620E+02 0.0 1.540E+02 -4.620E+026 0.0 4.620E+02 9.240E+02 0.0 -4.620E+02 1.848E+03
Matriz de rotación
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 6
10 11 12 13 14 151 10 8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00 -8.365E+04 0.000E+00 0.000E+002 11 0.000E+00 1.540E+02 4.620E+02 0.000E+00 -1.540E+02 4.620E+023 12 0.000E+00 4.620E+02 1.848E+03 0.000E+00 -4.620E+02 9.240E+024 13 -8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00 8.365E+04 0.000E+00 0.000E+005 14 0.000E+00 -1.540E+02 -4.620E+02 0.000E+00 1.540E+02 -4.620E+026 15 0.000E+00 4.620E+02 9.240E+02 0.000E+00 -4.620E+02 1.848E+03
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
-1.19E-02 -0.011906099 -9.959E+02 10-7.82E-02 -0.078184172 1.120E+00 11-5.58E-03 -0.005581865 7.827E-01 120.00E+00 0 9.959E+02 13-1.02E-01 -0.102205696 -1.120E+00 140.00E+00 0 5.940E+00 15
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CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
CG A I E L alfa1.20E-03 6.60E-06 2.10E+08 3.00E+00 -9.00E+01
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 83650.0 0.0 0.0 -83650.0 0.0 0.02 0.0 6.160E+02 9.240E+02 0.000E+00 -6.160E+02 9.240E+023 0.0 9.240E+02 1.848E+03 0.000E+00 -9.240E+02 9.240E+024 -83650.0 0.0 0.0 83650.0 0.0 0.05 0.0 -6.160E+02 -9.240E+02 0.0 6.160E+02 -9.240E+026 0.0 9.240E+02 9.240E+02 0.0 -9.240E+02 1.848E+03
Matriz de rotación
0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.01.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 67 8 9 13 14 15
1 7 6.160E+02 -5.086E-12 9.240E+02 -6.160E+02 5.086E-12 9.240E+022 8 -5.086E-12 8.365E+04 5.660E-14 5.086E-12 -8.365E+04 5.660E-143 9 9.240E+02 5.660E-14 1.848E+03 -9.240E+02 -5.660E-14 9.240E+024 13 -6.160E+02 5.086E-12 -9.240E+02 6.160E+02 -5.086E-12 -9.240E+025 14 5.086E-12 -8.365E+04 -5.660E-14 -5.086E-12 8.365E+04 -5.660E-146 15 9.240E+02 5.660E-14 9.240E+02 -9.240E+02 -5.660E-14 1.848E+03
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
0.00E+00 0.103660774 1.217E+02 7-1.04E-01 0 0.000E+00 80.00E+00 0 0.000E+00 90.00E+00 0.102205696 -1.217E+02 13-1.02E-01 0 0.000E+00 140.00E+00 0 0.000E+00 15
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CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
CF A I E L alfa2.20E-03 0.00E+00 2.10E+08 6.71E+00 2.07E+02
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 68873.0 0.0 0.0 -68873.0 0.0 0.02 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+003 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+004 -68873.0 0.0 0.0 68873.0 0.0 0.05 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+006 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00
Matriz de rotación
-0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.00.4 -0.9 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 -0.9 -0.4 0.00.0 0.0 0.0 0.4 -0.9 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 67 8 10 11
1 7 5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00 -5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+002 8 2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00 -2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+003 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+004 10 -5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00 5.506E+04 2.757E+04 0.000E+005 11 -2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00 2.757E+04 1.381E+04 0.000E+006 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
0.00E+00 0.046415054 5.245E+01 7-1.04E-01 0.092688721 0.000E+00 80.00E+00 0 0.000E+00-1.19E-02 0.045653562 -5.245E+01 10-7.82E-02 0.064577644 0.000E+00 110.00E+00 0 0.000E+00
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CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
BG A I E L alfa2.20E-03 0.00E+00 2.10E+08 6.71E+00 3.33E+02
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 68873.0 0.0 0.0 -68873.0 0.0 0.02 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+003 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+004 -68873.0 0.0 0.0 68873.0 0.0 0.05 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+006 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00
Matriz de rotación
0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.00.4 0.9 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.9 -0.4 0.00.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 64 5 13 14
1 4 5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00 -5.506E+04 2.757E+04 0.000E+002 5 -2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00 2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+003 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+004 13 -5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00 5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+005 14 2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00 -2.757E+04 1.381E+04 0.000E+006 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
6.32E-03 0.041852936 9.177E+03 4-8.09E-02 -0.069465777 0.000E+00 50.00E+00 0 0.000E+00-1.02E-01 -0.091387656 -9.177E+03 130.00E+00 -0.045763529 0.000E+00 140.00E+00 0 0.000E+00
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CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
BF A I E L alfa2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 3.00E+00 -9.00E+01
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 167300.0 0.0 0.0 -167300.0 0.0 0.02 0.0 1.232E+03 1.848E+03 0.000E+00 -1.232E+03 1.848E+033 0.0 1.848E+03 3.696E+03 0.000E+00 -1.848E+03 1.848E+034 -167300.0 0.0 0.0 167300.0 0.0 0.05 0.0 -1.232E+03 -1.848E+03 0.0 1.232E+03 -1.848E+036 0.0 1.848E+03 1.848E+03 0.0 -1.848E+03 3.696E+03
Matriz de rotación
0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.01.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 64 5 6 10 11 12
1 4 1.232E+03 -1.017E-11 1.848E+03 -1.232E+03 1.017E-11 1.848E+032 5 -1.017E-11 1.673E+05 1.132E-13 1.017E-11 -1.673E+05 1.132E-133 6 1.848E+03 1.132E-13 3.696E+03 -1.848E+03 -1.132E-13 1.848E+034 10 -1.232E+03 1.017E-11 -1.848E+03 1.232E+03 -1.017E-11 -1.848E+035 11 1.017E-11 -1.673E+05 -1.132E-13 -1.017E-11 1.673E+05 -1.132E-136 12 1.848E+03 1.132E-13 1.848E+03 -1.848E+03 -1.132E-13 3.696E+03
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
6.32E-03 0.080853151 4.465E+02 4-8.09E-02 0.006319047 1.120E+00 5-5.96E-03 -0.005962288 1.328E+00 6-1.19E-02 0.078184172 -4.465E+02 10-7.82E-02 -0.011906099 -1.120E+00 11-5.58E-03 -0.005581865 2.031E+00 12
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CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
AF A I E L alfa2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 6.70E+00 -2.66E+01
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 74910.4 0.0 0.0 -74910.4 0.0 0.02 0.0 1.106E+02 3.705E+02 0.000E+00 -1.106E+02 3.705E+023 0.0 3.705E+02 1.655E+03 0.000E+00 -3.705E+02 8.275E+024 -74910.4 0.0 0.0 74910.4 0.0 0.05 0.0 -1.106E+02 -3.705E+02 0.0 1.106E+02 -3.705E+026 0.0 3.705E+02 8.275E+02 0.0 -3.705E+02 1.655E+03
Matriz de rotación
0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.00.4 0.9 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.9 -0.4 0.00.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 61 2 3 10 11 12
1 1 5.995E+04 -2.992E+04 1.657E+02 -5.995E+04 2.992E+04 1.657E+022 2 -2.992E+04 1.508E+04 3.314E+02 2.992E+04 -1.508E+04 3.314E+023 3 1.657E+02 3.314E+02 1.655E+03 -1.657E+02 -3.314E+02 8.275E+024 10 -5.995E+04 2.992E+04 -1.657E+02 5.995E+04 -2.992E+04 -1.657E+025 11 2.992E+04 -1.508E+04 -3.314E+02 -2.992E+04 1.508E+04 -3.314E+026 12 1.657E+02 3.314E+02 8.275E+02 -1.657E+02 -3.314E+02 1.655E+03
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.000E+00 0.000 0.000
0.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.0000.0 0.000E+00 0.000 0.000
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
1.14E-02 0.010164807 -1.061E+03 10.00E+00 0.005083501 -3.634E+00 2-2.82E-02 -0.028208195 -2.154E+01 3-1.19E-02 0.024322386 1.061E+03 10-7.82E-02 -0.075252518 3.634E+00 11-5.58E-03 -0.005581865 -2.814E+00 12
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CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
BC A I E L alfa5.38E-03 8.36E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 188300.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 0.02 0.0 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+033 0.0 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+034 -188300.0 0.0 0.0 188300.0 0.0 0.05 0.0 -9.753E+02 -2.926E+03 0.0 9.753E+02 -2.926E+036 0.0 2.926E+03 5.852E+03 0.0 -2.926E+03 1.170E+04
Matriz de rotación
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 64 5 6 7 8 9
1 4 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+002 5 0.000E+00 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+033 6 0.000E+00 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+034 7 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+005 8 0.000E+00 -9.753E+02 -2.926E+03 0.000E+00 9.753E+02 -2.926E+036 9 0.000E+00 2.926E+03 5.852E+03 0.000E+00 -2.926E+03 1.170E+04
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 5.00E+010.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 4
0.0 0.000E+00 150.000 150.000 50.0 0.000E+00 150.000 150.000 60.0 0.000E+00 0.000 0.000 70.0 0.000E+00 150.000 150.000 80.0 0.000E+00 -150.000 -150.000 9
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
6.32E-03 0.006319047 1.190E+03 4-8.09E-02 -0.080853151 1.548E+02 5-5.96E-03 -0.005962288 1.470E+02 60.00E+00 0 -1.190E+03 7-1.04E-01 -0.103660774 1.452E+02 80.00E+00 0 -1.182E+02 9
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Fn Femp 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 U1.0 0.0 0.0 248245.3 -29923.8 165.7 -188300.0 0.0 0.0 -59945.3 29923.8 165.7 U12.0 R2 150.0 -29923.8 16051.1 3257.4 0.0 -975.3 2926.0 29923.8 -15075.7 331.4 0.03.0 0.0 150.0 165.7 3257.4 13358.9 0.0 -2926.0 5852.0 -165.7 -331.4 827.5 U34.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 0.0 432896.8 -27574.4 1848.0 -188300.0 0.0 0.0 -1232.0 0.0 1848.0 -55064.8 27574.4 U45.0 0.0 300.0 0.0 -975.3 -2926.0 -27574.4 183058.9 0.0 0.0 -975.3 2926.0 0.0 -167300.0 0.0 27574.4 -13808.2 U56.0 0.0 - 0.0 0.0 2926.0 5852.0 1848.0 0.0 27104.0 0.0 -2926.0 5852.0 -1848.0 0.0 1848.0 U67.0 R7 0.0 -188300.0 0.0 0.0 243980.8 27574.4 924.0 -55064.8 -27574.4 0.0 -616.0 0.0 924.0 0.08.0 0.0 150.0 0.0 -975.3 -2926.0 27574.4 98433.6 -2926.0 -27574.4 -13808.2 0.0 0.0 -83650.0 0.0 U89.0 R9 -150.0 0.0 2926.0 5852.0 924.0 -2926.0 13552.0 0.0 0.0 0.0 -924.0 0.0 924.0 0.0
10.0 0.0 0.0 -59945.3 29923.8 -165.7 -1232.0 0.0 -1848.0 -55064.8 -27574.4 0.0 199892.1 -2349.4 -2013.7 -83650.0 0.0 0.0 U1011.0 0.0 0.0 29923.8 -15075.7 -331.4 0.0 -167300.0 0.0 -27574.4 -13808.2 0.0 -2349.4 196338.0 130.6 0.0 -154.0 462.0 U1112.0 0.0 0.0 165.7 331.4 827.5 1848.0 0.0 1848.0 0.0 0.0 0.0 -2013.7 130.6 7198.9 0.0 -462.0 924.0 U1213.0 R13 0.0 -55064.8 27574.4 -616.0 0.0 -924.0 -83650.0 0.0 0.0 139330.8 -27574.4 -924.0 0.014.0 0.0 0.0 27574.4 -13808.2 0.0 -83650.0 0.0 0.0 -154.0 -462.0 -27574.4 97612.2 -462.0 U1415.0 R15 0.0 924.0 0.0 924.0 0.0 462.0 924.0 -924.0 -462.0 3696.0 0.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0
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Femp 1.0 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10.0 11.0 12.0 14.0 U1.0 0.0 0.0 248245.3 165.7 -188300.0 0.0 0.0 0.0 -59945.3 29923.8 165.7 0.0 U13.0 0.0 150.0 165.7 13358.9 0.0 -2926.0 5852.0 0.0 -165.7 -331.4 827.5 0.0 U34.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 432896.8 -27574.4 1848.0 0.0 -1232.0 0.0 1848.0 27574.4 U45.0 0.0 300.0 0.0 -2926.0 -27574.4 183058.9 0.0 -975.3 0.0 -167300.0 0.0 -13808.2 U56.0 0.0- 0.0 0.0 5852.0 1848.0 0.0 27104.0 -2926.0 -1848.0 0.0 1848.0 0.0 U68.0 0.0 150.0 0.0 0.0 0.0 -975.3 -2926.0 98433.6 -27574.4 -13808.2 0.0 -83650.0 U8
10.0 0.0 0.0 -59945.3 -165.7 -1232.0 0.0 -1848.0 -27574.4 199892.1 -2349.4 -2013.7 0.0 U1011.0 0.0 0.0 29923.8 -331.4 0.0 -167300.0 0.0 -13808.2 -2349.4 196338.0 130.6 -154.0 U1112.0 0.0 0.0 165.7 827.5 1848.0 0.0 1848.0 0.0 -2013.7 130.6 7198.9 -462.0 U1214.0 0.0 0.0 0.0 0.0 27574.4 -13808.2 0.0 -83650.0 0.0 -154.0 -462.0 97612.2 U14
1.0097E-05 -4.3413E-06 4.8102E-06 -2.1882E-05 -2.3076E-06 -2.7663E-05 -1.0650E-06 -2.2170E-05 -2.0816E-06 -2.8205E-05-4.3413E-06 8.9394E-05 -2.0169E-06 3.1783E-05 -1.4907E-05 3.5095E-05 3.7900E-06 3.0438E-05 -3.0655E-06 3.5174E-054.8102E-06 -2.0169E-06 4.8138E-06 -1.1465E-05 -1.6905E-06 -1.7179E-05 -1.0721E-06 -1.1740E-05 -1.9055E-06 -1.7731E-05
-2.1882E-05 3.1783E-05 -1.1465E-05 1.5878E-04 1.5100E-05 1.8968E-04 2.1605E-05 1.5242E-04 1.1295E-05 1.8855E-04-2.3076E-06 -1.4907E-05 -1.6905E-06 1.5100E-05 4.3552E-05 2.4457E-05 3.1685E-06 1.4974E-05 -6.8527E-06 2.3563E-05-2.7663E-05 3.5095E-05 -1.7179E-05 1.8968E-04 2.4457E-05 2.7661E-04 3.2374E-05 1.8595E-04 1.7687E-05 2.6911E-04-1.0650E-06 3.7900E-06 -1.0721E-06 2.1605E-05 3.1685E-06 3.2374E-05 9.4552E-06 2.0990E-05 3.3139E-06 3.1152E-05-2.2170E-05 3.0438E-05 -1.1740E-05 1.5242E-04 1.4974E-05 1.8595E-04 2.0990E-05 1.5187E-04 1.1139E-05 1.8452E-04-2.0816E-06 -3.0655E-06 -1.9055E-06 1.1295E-05 -6.8527E-06 1.7687E-05 3.3139E-06 1.1139E-05 1.4344E-04 1.7990E-05-2.8205E-05 3.5174E-05 -1.7731E-05 1.8855E-04 2.3563E-05 2.6911E-04 3.1152E-05 1.8452E-04 1.7990E-05 2.7292E-04
U1= 1.1365E-02U3= -2.8208E-02U4= 6.3190E-03U5= -8.0853E-02U6= -5.9623E-03U8= -1.0366E-01
U10= -1.1906E-02U11= -7.8184E-02U12= -5.5819E-03U14= -1.0221E-01
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04/11/2010file://D:\Web\Estructuras_4\Ejercicios\Matricial\matricial_4B_archivos\sheet010.htm
AB A I E L alfa2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 3.00E+00 9.00E+01
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.02 0.0 1.8 2.7 0.0 -1.8 2.73 0.0 2.7 5.4 0.0 -2.7 2.74 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.0 0.05 0.0 -1.8 -2.7 0.0 1.8 -2.76 0.0 2.7 2.7 0.0 -2.7 5.4
Matriz de rotación
0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0-1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.00.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
1 1 1.8 0.0 -2.7 -1.8 0.0 -2.72 2 0.0 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.03 3 -2.7 0.0 5.4 2.7 0.0 2.74 4 -1.8 0.0 2.7 1.8 0.0 2.75 5 0.0 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.06 6 -2.7 0.0 2.7 2.7 0.0 5.4
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 4.00E-02 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.000 -0.020 0.000 0.000 1
0.020 0.000 0.000 0.000 20.015 0.015 0.000 0.000 30.000 -0.020 0.000 0.000 40.020 0.000 0.000 0.000 5
-0.015 -0.015 0.000 0.000 6
CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
0.00E+00 -0.01 2.625E-04-1.00E-02 -6.12574E-19 2.861E-020.00E+00 0 2.421E-02
0.0006655 -0.010001316 -2.625E-04-0.01000132 -0.0006655 1.139E-020.00272618 0.002726179 1.616E-03
-2.50E-02-2.00E-02-1.50E-02-1.00E-02-5.00E-030.00E+005.00E-031.00E-021.50E-022.00E-022.50E-023.00E-02
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Longitud
Momentos Flectores
-1.50E-02-1.00E-02-5.00E-030.00E+005.00E-031.00E-021.50E-022.00E-022.50E-023.00E-023.50E-02
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Longitud
Esfuerzos Cortantes
BC A I E L alfa2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 3.00E+00 0.00E+00
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.02 0.0 1.8 2.7 0.0 -1.8 2.73 0.0 2.7 5.4 0.0 -2.7 2.74 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.0 0.05 0.0 -1.8 -2.7 0.0 1.8 -2.76 0.0 2.7 2.7 0.0 -2.7 5.4
Matriz de rotación
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 64 5 6 7 8 9
1 4 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.02 5 0.0 1.8 2.7 0.0 -1.8 2.73 6 0.0 2.7 5.4 0.0 -2.7 2.74 7 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.0 0.05 8 0.0 -1.8 -2.7 0.0 1.8 -2.76 9 0.0 2.7 2.7 0.0 -2.7 5.4
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.0 0.000 0.000
0.0 0.0 0.000 0.0000.0 0.0 0.000 0.0000.0 0.0 0.000 0.0000.0 0.0 0.000 0.0000.0 0.0 0.000 0.000
CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
Calculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
6.65E-04 0.0006655 1.139E-02-1.00E-02 -0.010001316 2.625E-042.73E-03 0.002726179 -1.616E-03
0.0006084 0.000608404 -1.139E-020.00025227 0.000252272 -2.625E-040.0042062 0.004206199 2.404E-03
-3.00E-03
-2.50E-03
-2.00E-03
-1.50E-03
-1.00E-03
-5.00E-04
0.00E+000.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Longitud
Momentos Flectores
0.00E+00
5.00E-05
1.00E-04
1.50E-04
2.00E-04
2.50E-04
3.00E-04
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0Longitud
Esfuerzos Cortantes
DE A I E L alfa2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 8.00E+00 9.00E+01
-25Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 74.8 0.0 0.0 -74.8 0.0 0.02 0.0 0.1 0.4 0.0 -0.1 0.43 0.0 0.4 2.0 0.0 -0.4 1.0
CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
3 0.0 0.4 2.0 0.0 -0.4 1.04 -74.8 0.0 0.0 74.8 0.0 0.05 0.0 -0.1 -0.4 0.0 0.1 -0.46 0.0 0.4 1.0 0.0 -0.4 2.0
Matriz de rotación
0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0-1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.9 -0.4 0.00.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 6
10 11 12 13 14 151 10 0.1 0.0 -0.4 0.0 0.1 -0.42 11 0.0 74.8 0.0 -67.8 31.6 0.03 12 -0.4 0.0 2.0 -0.2 -0.3 1.04 13 0.0 -67.8 -0.2 61.5 -28.6 -0.25 14 0.1 31.6 -0.3 -28.6 13.4 -0.36 15 -0.4 0.0 1.0 -0.2 -0.3 2.0
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraEsfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.0 0.215 0.000 10
0.0 0.0 0.000 0.215 110.0 0.0 0.000 0.000 120.0 0.0 -0.215 -0.195 130.0 0.0 0.000 0.091 140.0 0.0 0.000 0.000 15
Calc lo de esf er os en los e tremosCalculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
0.00E+00 0 1.807E-020.00E+00 0 -2.937E-050.00E+00 0 -2.350E-04
0.00291127 0.002638508 -1.807E-020 0.001230356 2.937E-05
0.00023069 0.000230692 0.000E+00
Momentos Flectores Esfuerzos Cortantes
2 50E 04
-2.00E-04
-1.50E-04
-1.00E-04
-5.00E-05
0.00E+000.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Momentos Flectores
3 50E 05
-3.00E-05
-2.50E-05
-2.00E-05
-1.50E-05
-1.00E-05
-5.00E-06
0.00E+000.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Esfuerzos Cortantes
-2.50E-04
-2.00E-04
-1.50E-04
-1.00E-04
-5.00E-05
0.00E+000.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Longitud
Momentos Flectores
-3.50E-05
-3.00E-05
-2.50E-05
-2.00E-05
-1.50E-05
-1.00E-05
-5.00E-06
0.00E+000.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Longitud
Esfuerzos Cortantes
CD A I E L alfa2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 5.00E+00 -3.69E+01
Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 119.7 0.0 0.0 -119.7 0.0 0.02 0.0 0.4 1.0 0.0 -0.4 1.03 0.0 1.0 3.3 0.0 -1.0 1.6
CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
3 0.0 1.0 3.3 0.0 -1.0 1.64 -119.7 0.0 0.0 119.7 0.0 0.05 0.0 -0.4 -1.0 0.0 0.4 -1.06 0.0 1.0 1.6 0.0 -1.0 3.3
Matriz de rotación
0.8 -0.6 0.0 0.0 0.0 0.00.6 0.8 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.8 -0.6 0.00.0 0.0 0.0 0.6 0.8 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12
1 7 76.8 -57.3 0.6 -76.8 57.3 0.62 8 -57.3 43.3 0.8 57.3 -43.3 0.83 9 0.6 0.8 3.3 -0.6 -0.8 1.64 10 -76.8 57.3 -0.6 76.8 -57.3 -0.65 11 57.3 -43.3 -0.8 -57.3 43.3 -0.86 12 0.6 0.8 1.6 -0.6 -0.8 3.3
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraEsfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0 Uniforme 1.60E-020.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.0 -0.0300 0.0000 7
0.0 0.0 0.0400 0.0500 80.0 0.0 0.0333 0.0333 90.0 0.0 -0.0300 0.0000 100.0 0.0 0.0400 0.0500 110.0 0.0 -0.0333 -0.0333 12
Calc lo de esf er os en los e tremosCalculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
6.08E-04 0.000335457 1.015E-022.52E-04 0.000566802 4.433E-024.21E-03 0.004206199 4.760E-02
0 0 -7.015E-020 0 3.567E-020 0 -2.592E-02
Momentos Flectores Esfuerzos Cortantes
2 00E 02-1.00E-020.00E+001.00E-022.00E-023.00E-024.00E-025.00E-026.00E-02
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Momentos Flectores
4 00E 02-3.00E-02-2.00E-02-1.00E-020.00E+001.00E-022.00E-023.00E-024.00E-025.00E-02
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Esfuerzos Cortantes
-2.00E-02-1.00E-020.00E+001.00E-022.00E-023.00E-024.00E-025.00E-026.00E-02
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Longitud
Momentos Flectores
-4.00E-02-3.00E-02-2.00E-02-1.00E-020.00E+001.00E-022.00E-023.00E-024.00E-025.00E-02
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Longitud
Esfuerzos Cortantes
CE A I E L alfa1.25E-03 0.00E+00 2.10E+05 6.40E+00 5.13E+01
-63.87Matriz de rigidez locales
1 2 3 4 5 61 41.0 0.0 0.0 -41.0 0.0 0.02 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.03 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDLDIAGRAMAS DE ESFUERZOS
3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.04 -41.0 0.0 0.0 41.0 0.0 0.05 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.06 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Matriz de rotación
0.6 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0-0.8 0.6 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.4 -0.9 0.00.0 0.0 0.0 0.9 0.4 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
Matriz de rigidez globales1 2 3 4 5 67 8 13 14
1 7 16.0 20.0 0.0 -11.3 23.0 0.02 8 20.0 25.0 0.0 -14.1 28.7 0.03 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.04 13 -11.3 -14.1 0.0 8.0 -16.2 0.05 14 23.0 28.7 0.0 -16.2 33.1 0.06 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraEsfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barra
Aplicación a Puntual 0 Uniforme 0.00E+000.5 Locales Globales Locales GlobalesL 0.0 0.0 -0.0084 -0.0053 7
0.0 0.0 0.0000 -0.0066 80.0 0.0 0.0000 0.0000 0.0 0.0 0.0082 0.0036 130.0 0.0 0.0000 -0.0074 140.0 0.0 0.0000 0.0000
Calc lo de esf er os en los e tremosCalculo de esfuerzos en los extremos
Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudoGlobales Locales
6.08E-04 0.000577281 -3.731E-022.52E-04 -0.000317085 0.000E+000.00E+00 0 0.000E+00
0.00291127 0.001282151 3.715E-020 0.002613731 0.000E+000 0 0.000E+00
Momentos Flectores Esfuerzos Cortantes
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Momentos Flectores
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Esfuerzos Cortantes
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2Longitud
Momentos Flectores
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2Longitud
Esfuerzos Cortantes
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 U Fn Femp1.0 1.8 0.0 -2.7 -1.8 0.0 -2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 R1 -0.0202.0 0.0 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.01 R2 0.0003.0 -2.7 0.0 5.4 2.7 0.0 2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 R3 0.0154.0 -1.8 0.0 2.7 201.3 0.0 2.7 -199.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U4 0.0 -0.020 0.0005.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 201.3 2.7 0.0 -1.8 2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U5 0.0 0.000 1.9956.0 -2.7 0.0 2.7 2.7 2.7 10.9 0.0 -2.7 2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U6 0.0 -0.015 0.0007.0 0.0 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 292.3 -37.2 0.6 -76.8 57.3 0.6 -11.3 23.0 0.0 U7 0.0 -0.005 0.0008.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.8 -2.7 -37.2 70.1 -1.9 57.3 -43.3 0.8 -14.1 28.7 0.0 U8 0.0 0.043 0.0009.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2.7 2.7 0.6 -1.9 8.7 -0.6 -0.8 1.6 0.0 0.0 0.0 U9 0.050 0.033 0.000
10.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -76.8 57.3 -0.6 76.9 -57.3 -1.0 0.0 0.1 -0.4 0.0 R10 0.00011.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 57.3 -43.3 -0.8 -57.3 118.1 -0.8 -67.8 31.6 0.0 0.0 R11 0.26512.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.6 0.8 1.6 -1.0 -0.8 5.3 -0.2 -0.3 1.0 0.0 R12 -0.03313.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -11.3 -14.1 0.0 0.0 -67.8 -0.2 69.4 -44.8 -0.2 U13 0.0 -0.192 0.00014.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 23.0 28.7 0.0 0.1 31.6 -0.3 -44.8 46.5 -0.3 0.0 R14 0.08415.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.4 0.0 1.0 -0.2 -0.3 2.0 U15 0.0 0.000 0.000
Femp### 0.0 2.7 ### 0.0 0.0 0.0 0.0 U4 0.0200.0 201.3 2.7 0.0 -1.8 2.7 0.0 0.0 U5 -1.9952.7 2.7 10.9 0.0 -2.7 2.7 0.0 0.0 U6 0.015
### 0.0 0.0 ### -37.2 0.6 ### 0.0 U7 0.0050.0 -1.8 -2.7 ### 70.1 -1.9 ### 0.0 U8 -0.0430.0 2.7 2.7 0.6 -1.9 8.7 0.0 0.0 U9 0.0170.0 0.0 0.0 ### -14.1 0.0 ### -0.2 U13 0.20.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.2 2.0 U15 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U4 0.000670.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U5 -0.010000.0 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U6 0.002730.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U7 0.000610.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U8 0.000250.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 U9 0.004210.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U13 0.002910.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 U15 0.00023
CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 52
5.5. Ejercicios propuestos
1. En la celosía de la figura determinar los esfuerzos en las barras DF y DC, y los desplazamientos de los nudos debidos a: Las cargas exteriores, unincremento de temperatura de 30 grados en la barras DF y ED y un asientohorizontal en el apoyo C de 0.5 cm α = 1,2∆10−5C−1
10kN
10kN
6 m 6
m
E=2.1·106 kg/cm2
A=17.4 cm2
A B
F
E C
D
A B
F
E C
D
-16442 -38802
-49412 33212 33212
Esfuerzos en N
Dx=5.2 mm
Dy=-0.78 mm
Fx=0.459 mm
Fy=0.567 mm
2. En la estructura de la figura , todas las barras están constituidas por perfilesHEB 500 de acero. Se pide:
Dibujar y numerar los grados de libertad de la estructura, de forma
CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 53
2 m
2 m
50 kN
q
50 kN
A
B C
D
q
2 m 2 m
2 m
4 m
G F
E q = 20kN/ m (distancia medida en proyección horizontal)
50 kNm
3 m
2 m
2 m
que se obtenga directamente los desplazamientos del nudo G. (solu-ción:GDL= 25)
Matriz de rigidez de la barra BE en coordenadas locales y globales, condibujo de los ejes considerados.´
Ecuación de equilibrio de la estructura con introducción de las condi-ciones de contorno.
Supuesta resuelta la estructura y obtenidoslos siguientes desplazamien-tos (en globales ) para los nudos E y B, diagrama de solicitaciones enla barra EB Nudo E giro = -0.000284 rad ; nudo B dx = -0.0129 cm dy= -0.0336 cm giro= 0.000064 radianes
Soluciónes: Esfuerzos sobre extremos barra en locales debidos cargas ex-teriores,empezando por nudo E: -24kN, 32kN, 26.67kN.m, -24kN, 32kN, -26.67kN.m; esfuerzos sobre extremos barra en locales debidos a desplazamien-tos,empezando por nudo E: -98.77kN, -4.4kN, -26.67kN.m, 98.77kN, 4,4kN,-4.67m.kN; esfuerzos totales sobre extremos barra en locales,empezando pornudo E: -122.77 kN, 27,6kN, 0, 74.77kN, 36,4kN, - 22,00m.kN).
3. Sobre la estructura de la figura
CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 54
A B
D
qAB
C
Mext
Plantear simbólicamente el sistema final de ecuaciones Ax=B, siendo x elvector de desplazamientos desconocidos y B el término independiente, quepermite resolver al estructura de la figura. Identificar claramente los gradosde libertad empleados y seguir el orden alfabético de los nudos para la nu-meración de los grados de libertad. Las propiedades de cada barra debenespecificase nombrando los extremos de estas.
Cuantificar como se modifican los términos A, B y x del sistema de ecuacionesanterior si la barra CD tiene un incremento de temperatura de ∆t.
Soluciones:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
26
72 3
64 412 4
3 6 122
ext
AB BC BCB
extCDBC BCBC
MqL EIEI EIL L UL
M UEI EI EALL L L
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤− +⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭+−⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
A
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
26
72 3
64 412 4
3 6 122
ext
AB BC BCB
extCD CDBC BCBC
MqL EIEI EIL L UL
M UEI EI EAEA T LL L Lα
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤− +⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭+− − Δ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
A
CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 55
CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 56
5.6. Matrices de rigidez
[]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛ −
−
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
LAELAE
LAELAE
LK
[
]⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛
−
−=
θθ
θθ
θθ
θθ
0
0
0
0
0
0
0
0
Cos
Sen
Sen
Cos
Cos
Sen
Sen
Cos
R
[
][][
][]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛
−−
−−
−−
−−
==
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
2
2
2
2
2
2
2
2
Sen
LAESe
nC
osLAE
Sen
LAESe
nC
osLAE
Sen
Cos
LAEC
osLAE
Sen
Cos
LAEC
osLAE
Sen
LAESe
nC
osLAE
Sen
LAESe
nC
osLAE
Sen
Cos
LAEC
osLAE
Sen
Cos
LAEC
osLAE
RK
RK
LT
G
[]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛
−
−−
−
−−
=
LEI
LEILEI
LEILEI
LEI
LEI
LEILEI
LEILEI
LEILEI
LEI
LEI
LEI
LK
4
26
2
2
6
26
312
2
6
3
12
2
26
4
26
26
3
12
26
3
12
[
]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛
−
−−
−
−
−−
−
=
LEI
LEILEI
LEILEI
LEI
LEI
LEILAE
LAELEI
LEILEI
LEILEI
LEI
LEI
LEILAE
LAE
LK
4
26
0
2
26
0
26
312
0
2
6
312
0
0
0
0
0
2
26
0
4
2
6
0
26
3
12
0
26
312
0
0
0
0
0
[
]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛
−
−
=
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
θθ
θθ
θθ
θθ
Cos
Sen
Sen
Cos
Cos
Sen
Sen
Cos
R
[]
[][
][
]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝⎛
−−
−+
⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛
+−
−−
−⎟⎟ ⎠⎞
⎜⎜ ⎝⎛−
⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛
+−
+⎟⎟ ⎠⎞
⎜⎜ ⎝⎛−
−−
−−
−−
⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛
−+
⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛
+−
−⎟⎟ ⎠⎞
⎜⎜ ⎝⎛−
−−
−⎟⎟ ⎠⎞
⎜⎜ ⎝⎛+
−+
==
4
26
2
6
2
26
26
2
6
2
23
12
3
12
2
6
22
312
3
12
2
6
3
12
22
312
26
3
12
2
23
12
2
26
26
4
26
26
26
2
23
12
312
2
6
22
312
312
2
6
312
22
312
2
6
3
12
2
23
12
LEIC
osLEI
Sen
LEILEI
Cos
LEISe
nLEI
Cos
LEISe
nLAE
Cos
LEISe
nC
osLAE
LEIC
osLEI
Sen
LAEC
osLEI
Sen
Cos
LAE
LEI
Sen
LEISe
nC
osLAE
LEIC
osLAE
Sen
LEISe
nLEI
Sen
Cos
LAE
LEIC
osLAE
Sen
LEI
LEIC
osLEI
Sen
LEILEI
Cos
LEISe
nLEI
Cos
LEISe
nLAE
Cos
LEISe
nC
osLAE
LEIC
osLEI
Sen
LAEC
osLEI
Sen
Cos
LAE
LEI
Sen
LEISe
nC
osLAE
LEIC
osLAE
Sen
LEISe
nLEI
Sen
Cos
LAE
LEIC
osLAE
Sen
LEI
RK
RK
LT
G
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
Mat
rice
s de
Rig
idez