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MÉTODO DE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA
Miguel A. Sánchez Bravo
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RESPUESTA EN FRECUENCIA
La respuesta en frecuencia es la respuesta del sistema en estadoestacionario ante una entrada sinusoidal de amplitud fija, pero conla frecuencia variable en un cierto rango.
Ventajas del método de respuesta en frecuencia:
1- La respuesta en frecuencia es fácil de obtener experimentalmente. 2- Es posible estudiar la estabilidad en lazo cerrado a partir de la res- puesta en frecuencia en lazo abierto. 3- El método puede aplicarse a sistemas con retardo de transporte.
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RESPUESTA EN FRECUENCIA
x(t) y(t)
X(s) Y(s)G(s)
Para un sistema LTI, a una frecuencia concreta:
fase
Las características de respuestade un sistema ante una entradasinusoidal se pueden obtenerdirectamente de G(jw) = Y(jw)/X(jw),donde G(jw) es la F.T. sinusoidal.
Ganancia YX
G jwY jwX jw
Angulo de Fase G jwY jwX jw)
( )( )( )
( )( )(
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DIAGRAMA DE BODE Una de las representaciones gráficas comúnmente utilizada en la
respuesta de frecuencia es el diagrama de Bode. Consiste en dos gráficas, una es la gráfica de la ganancia
logarítmica en dB respecto de la frecuencia y la otra la fase también con la frecuencia.
La ganancia logarítmica está definida por 20 log |G(jw)| dB. La escala de frecuencia es logarítmica. Por lo que éstas gráficas se realizan en papel semilogarítmico, utilizando la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal para la ganancia logarítmica (en dB) y el ángulo de fase (en grados).
El rango de frecuencia de interés, determina el número de ciclos logarítmicos que se necesitan sobre el eje de abcisas.
En los diagramas de Bode, las relaciones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas. Una octava es una banda de frecuencia que va desde w1 hasta 2w1. Una relación igual a diez entre dos frecuencias se le denomina década.
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DIAGRAMA DE BODE
Ventajas:
a) En un diagrama log. la multiplicación es convertida en suma y la división en resta.
b) Las asíntotas facilitan la representación esquematica del diagrama de Bode.
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DIAGRAMAS DE BODE DE F.T. ELEMENTALES
1. Ganancia constante : G(s) = K La ganacia logarítmica es 20 log K = constante en dB. El ángulo de fase es 0°.
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DIAGRAMAS DE BODE DE F.T. ELEMENTALES
2. Polo simple en el origen (integrador) 1 1 G(s) = --- G(jω) = --- s jω x
Ganancia : 1 |G(jω)| = --- |G(jω)|dB = - 20 logω (Graficando ω en escala ω logarítmica, se trata de |G(jω)|dB|w=1rad/s = 0 dB la ecuación de una recta con pendiente – 20 dB/dec) Fase : < G(jω) = - π / 2
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DIAGRAMAS DE BODE DE F.T. ELEMENTALES
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DIAGRAMAS DE BODE DE F.T. ELEMENTALES
3. Polo múltiple en el origen 1 1 G(s) = --- G(jω) = ------ sn (jω)n x
Ganancia : 1 |G(jω)| = --- |G(jω)|dB = - 20n log ω (Se trata de ecuación de ωn una recta con pendiente |G(jω)|dB|w=1rad/s = 0 dB - 20n dB/dec) Fase : < G(jω) = - nπ / 2
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DIAGRAMAS DE BODE DE F.T. ELEMENTALES
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DIAGRAMAS DE BODE DE F.T. ELEMENTALES
4. Polo real simple 1 1 G(s) = --------- G(jw) = ---------- τs + 1 jωτ + 1 x -1/τ Ganancia : 1 |G(jω)| = ----------- |G(jω)|dB = - 10 log(1+ω2τ2) √1+ω2τ2 Para ω 0 puede aproximarse : |G(jω)|dB ≈ 0 dB Para ω ∞ : |G(jω)|dB ≈ - 10 log(ω2τ2) = -20logω – 20logτ Es la ecuación de una recta con pendiente – 20 dB/dec, la cual corta al eje 0 dB para ω = 1/τ . En esta frecuencia el módulo es – 3dB.
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DIAGRAMAS DE BODE DE F.T. ELEMENTALES
Fase : < G(jω) = - tan -1 ( ωτ )< G(j0) 0 , < G(j∞) = - π/2 , < G(j/τ) = - π/4
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DIAGRAMAS DE BODE DE F.T. ELEMENTALES
5. Par de polos complejos conjugados
ωn2
G(s) = ---------------------- ξ : relación de amortiguamiento
s2 + 2ξωns + ωn2 ωn : frecuencia natural no amort.
X
X
jωn√1-ξ2
-ξωn
Para 0 < ξ < 1
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DIAGRAMAS DE BODE DE F.T. ELEMENTALES
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FACTOR CUADRÁTICO
Frecuencia de resonancia wr
es la frecuencia tal que |G(jw)| es máxima.
Mp G jwr r( )
1
2 1 2
Magnitud del pico de resonancia:
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1. En la función de transferencia del sistema sustituir cada variable s por jω, y obtener las expresiones para la ganancia logarítmica y para el ángulo de fase.
2. Identificar las frecuencias de cruce asociadas a los factores básicos de la función de transferencia y trazar las curvas asintóticas. Para la ganancia se trazan rectas con las pendientes adecuadas entre las frecuencias de cruce y se suman. Para el ángulo de fase, se suman las curvas de ángulo de cada factor.
3. Las curvas exactas se obtienen agregando las correcciones apropiadas utilizando las expresiones obtenidas en el paso 1. Generalmente se efectúan correcciones alrededor de las frecuencias de cruce y en las intersecciones de las gráficas con las líneas de 0 dB y – 180°.
Construcción del diagrama de Bode Procedimiento
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Construcción del diagrama de Bode (Ejemplo)
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+
Construcción del diagrama de Bode: Magnitud
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Construcción del diagrama de Bode: Fase
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SISTEMAS DE FASE NO MÍNIMA
Los sistemas que tienen polos y/o ceros en el semiplano derecho del plano s, son denominados de fase no mínima.
En el caso de sistemas con la misma magnitud, el rango del ángulo de fase de la F.T. de fase mínima es mínimo, en tanto que el rango del ángulo de fase de la F.T. de fase no mínima es mayor.
Los sistemas de fase no mínima son lentos en su respuesta, debido a su comportamiento defectuoso al comenzar la respuesta.
Ejemplo:
1 + 2s 1 – 2s
G1(s) = ---------- , G2(s) = ----------
1 + 5s 1 + 5s
Observe a continuación, el ángulo de fase de cada sistema:
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SISTEMAS DE FASE NO MÍNIMA
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RETARDO DE TRANSPORTE
El retardo de transporte o tiempo muerto está presente en una gran cantidad de procesos.
La entrada x(t) y la salida y(t) de un elemento con retardo de transporte están relacionados por
y(t) = x(t – T)
donde T es el tiempo muerto. Por lo que su función de transferencia está dada por:
G(s) = e –Ts
x(t) y(t)
T0 0
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RETARDO DE TRANSPORTE
Tiene un comportamiento de fase no mínima y tiene retardo excesivo de fase sin atenuación en altas frecuencias. Tales retardos se dan normalmente en sistemas térmicos, hidráulicos y neumáticos.
En el dominio de la frecuencia:
G(jω) = e –jωT = cos ωT – j sen ωT
El gráfico de Bode de magnitud del retardo es 0 dB. El ángulo de fase es – ωT rad = - 57.3 ωT °. A continuación se muestran las gráficas de Bode del retardo de
transporte o tiempo muerto.
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RETARDO DE TRANSPORTE
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Relación entre el tipo de sistema y la gráfica de Bode de
ganancia logarítmica
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Sea un sistema con función de transferencia:
El tipo de sistema está dado por el número de polos en el origen (integradores) que tiene.
Un sistema es tipo N si tiene N polos en el origen.
De acuerdo a la pendiente de la asíntota a baja frecuencia de la gráfica de magnitud logarítmica se puede saber el tipo de sistema.
K ( Tas + 1) … ( Tms + 1)G(s) = -------------------------------------
sN ( T1s + 1) … ( Tps + 1)
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Si el sistema es tipo 0 (no tiene polos en el origen), la asíntota a baja frecuencia es una línea horizontal.
20 log10 K
dB
w (rad/s)0
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Si el sistema es tipo 1 (tiene un polo en el origen), la asíntota a baja frecuencia es una línea con pendiente -20 dB/dec).
20 log10 K
dB
w (rad/s)0w=1 w1
-20 dB/dec
w1 = K
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Si el sistema es tipo 2 (tiene dos polos en el origen), la asíntota a baja frecuencia es una línea con pendiente -40 dB/dec).
20 log10 K
dB
w (rad/s)0w=1 w1
-40 dB/dec
w1 = √K
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Identificación de una Función de Transferencia a partir de su Diagrama
de Bode
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Identificación de una Función de Transferencia
Dadas las curvas de Bode de un sistema, se puede obtener su Función de Transferencia en forma aproximada.
Para lo cual se aproxima la curva de magnitud real con una curva de magnitud asintótica. Los polos y ceros de la función de transferencia ocurren en la intersección de estas asíntotas. Las pendientes sirven por determinar si son polos y ceros y el número de estos.
La curva de fase puede utilizarse para corroborar la función de transferencia identificada con la curva de magnitud asintótica.
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Ejemplo 1.- Sean los gráficos de Bode de un sistema
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Ejemplo 1.- Aproximando la curva de magnitud
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Ejemplo 1.- Análisis
Se observa que en bajas frecuencias la asíntota tiene una pendiente de – 20 dB/dec, lo que indica que existe un polo en el orígen: 1/s
A partir de w = 1 rad/s la pendiente cambia a 0 dB/dec, lo que indica la presencia de un cero real: 1 + s
A partir de w = 100 rad/s la pendiente vuelve a – 20 dB/dec, lo que indica la presencia de un polo real: 1/(1+s/100)
Luego: K (1 + s)G(s) =----------------- s (1 + s/100)
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Ejemplo 1.- Análisis
La curva de fase corrobora la función de transferencia determinada.
La ganancia en w = 0.01 rad/s (baja frecuencia):
20 log10 ( K/0.01) = 40
K = 1 Luego la función de transferencia será:
(1 + s)G(s) =----------------- s (1 + s/100)
100 (s + 1)= ----------------- s (s + 100)
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Ejemplo 2.- Sean los gráficos de Bode de un sistema
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Ejemplo 2.- Aproximando la curva de magnitud
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Ejemplo 2.- Análisis
Se observa que en bajas frecuencias la asíntota tiene una pendiente de 0 dB/dec, lo que indica que no existe polo en el orígen.
A partir de w = 1 rad/s la pendiente cambia a 20 dB/dec, lo que indica la presencia de un cero real: 1 + s
A partir de w = 10 rad/s la pendiente vuelve a 0 dB/dec, lo que indica la presencia de un polo real: 1/(1+s/10)
A partir de w = 100 rad/s la pendiente pasa a -40 dB/dec, lo que indica la presencia de polo real doble: 1/(1+s/100)2
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Ejemplo 2.- Análisis
La ganancia en baja frecuencia:
20 log10 ( K) = 20
K = 10 Luego la función de transferencia será:
La curva de fase corrobora la función de transferencia determinada.
10 (1 + s)G(s) = ------------------------------ (1 + 0.1s) (1 + 0.01s)2
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ESTABILIDAD EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Miguel A. Sánchez Bravo
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 41
PROYECCIONES EN EL PLANO COMPLEJO
Cuando se tiene una función de una variable compleja F(s), donde s = c + jw , sólo para representar a esa variable son necesarios dos ejes, uno para la parte real (c) y otro para la parte imaginaria (jw). Es decir se necesita un plano, el denominado plano s.
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 42
PROYECCIONES EN EL PLANO COMPLEJO
La función toma valores complejos, por lo que es necesario dos ejes mas para poder representar los valores que va tomando la función. Se necesita otro plano, el denominado plano F.
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 43
PROYECCIONES EN EL PLANO COMPLEJO
Se denomina "proyección" a la correspondencia que existe entre los puntos del plano s de la variable independiente y los correspondientes que se encuentran en el plano F de la función.
Cuando se proyecta una línea o trayectoria cerrada del plano s, se obtiene uno o mas contornos cerrados en el plano F.
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 44
PROYECCIONES EN EL PLANO COMPLEJO
Teorema de Cauchy (Principio del argumento): Si un contorno CS en el plano s, rodea Z ceros y P polos de una
función F(s) y no pasa sobre ningún polo ni cero de F(s) cuando el recorrido es en dirección del movimiento de las agujas del reloj a lo largo del contorno, el contorno correspondiente CF en el plano F rodea al origen de dicho plano, N = Z - P veces en la misma dirección.
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PROYECCIONES EN EL PLANO COMPLEJO
Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 45
Z=1P=1
N=Z-P=0
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PROYECCIONES EN EL PLANO COMPLEJO
Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 46
Z=0P=1
N=Z-P=-1
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PROYECCIONES EN EL PLANO COMPLEJO
Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 47
Z=1P=0
N=Z-P=1
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 48
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
Si la función F(s) es la ecuación característica de un sistema:
F(s) = 1 + P(s) en el caso de un sistema realimentado típico P(s) = G(s)H(s), se puede aplicar
el Teorema de Cauchy de la siguiente forma:
En el plano s se considera un contorno que encierre todos los puntos que se encuentran en el lado derecho de dicho plano.
De este plano se obtiene el número P de polos de F(s)
que se encuentran en el semiplano derecho del plano s.
Note que los polos de F(s) son los mismos que los polos de P(s).
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 49
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 50
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
Del contorno correspondiente en el plano F, se obtiene el número N de veces que está rodeado el origen de este plano.
El contorno en el plano F es igual al contorno en el plano P desplazado de 1. En consecuencia el número de veces que el contorno en el plano F rodea a su origen es igual al número de veces que el contorno en el plano P rodea al punto -1.
De esta manera es mas simple hallar N, porque P(s) se obtiene generalmente en forma factorizada, lo cual facilita trazar su contorno en base a propiedades.
Finalmente se puede hallar Z = N + P , donde Z es el número de ceros de F(s) que se encuentran en el semiplano derecho del plano s, es decir el número de raíces de la ecuación característica que se encuentran en el semiplano derecho del plano s causando inestabilidad.
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 51
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
Por lo tanto puede establecerse el CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST como sigue:
"Un sistema de control cuya ecuación característica es F(s) = 1 + P(s) es estable, si y solamente si : Z = N + P = 0 , donde: N : número de rodeos al punto -1 del contorno en el plano P(s).
P : número de polos de P(s) en la parte derecha del plano s. Z : número de raíces de la ecuación característica en la parte derecha
del plano s”.
En el caso del sistema realimentado típico P(s) = G(s)H(s).
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Criterio de estabilidad de Nyquist
F(s)
-1
Contorno de Nyquist.
Gráfica polar de P(s).
Plano s Plano P(s)j
u
jv
Criterio de estabilidad de Nyquist
Un sistema de retroalimentación es estable si y solamente si, el contorno .
en el plano P(s) no rodea el punto (-1 +j 0) cuando el número de polos de P(s) en la parte derecha del plano s es cero.
P
Un sistema de control con retroalimentación es estable si y solamente si, en el contorno el número de rodeos al punto (-1 +j 0) en el sentido contrario al
movimiento del reloj es igual al número de polos de P(s) con partes reales positivas. P
Ps
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 53
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
El trazado del contorno de Nyquist en el plano P(s), se obtiene por partes, considerando las siguientes propiedades:
1° El contorno correspondiente al eje positivo jw del plano s, se
obtiene reemplazando s=jw en la función P(s). Esta parte del contorno es denominado gráfico polar de la respuesta de frecuencia.
2° La parte correspondiente al eje negativo jw es la imagen simétrica del eje positivo jw, respecto al eje real.
3° El semicírculo de radio infinito en el plano s, se transforma en el punto (0,0) en el plano P(s).
4° Para una función P(s) con "n" polos en el origen, el contorno en el plano P(s) tiene n semicircunferencias de radio infinito en sentido horario alrededor del origen, cuando s recorre la semicircunferencia de radio e (e 0), necesaria para no pasar sobre los polos en el origen.
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 54
Ejemplo 1
)1).(1()(
21
sTsTK
sP
P = 0N = 0Z = 0
Estable para K > 0
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 55
Ejemplo 2
)1).(1.()(
21
sTsTsK
sP
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
Tramo 3
Tramo 1Tramo 2
Tramo 4Para K pequeños N = 0 , luegoZ = 0 : Estable
Para K grandes N = 2, luegoZ = 2 : Inestable
Para K = KCRIT el diagramapasará sobre ( -1,0 ) : Críticamenteestable
P = 0
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 56
Ejemplo 2
)1).(1.()(
21
sTsTsK
sG
P = 0N = 0Z = 0
P = 0N = 2Z = 2
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 57
TENDENCIA DE LA C. NYQUIST EN BAJAS Y EN ALTAS FRECUENCIAS
Tendencia en bajas frecuencias (w 0): Depende del número de integradores o polos en el origen que tenga la función P(s).
La curva de Nyquist comienza en: Algún punto del eje real, cuando P(s) no tiene polos en el origen. En el infinito sobre la parte negativa del eje imaginario, cuando P(s)
tiene un polo en el origen. En el infinito sobre la parte negativa del eje real, cuando P(s) tiene
dos polos en el origen. En el infinito sobre la parte positiva del eje imaginario, cuando P(s)
tiene tres polos en el origen. Y así sucesivamente.
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 58
TENDENCIA DE LA C. NYQUIST EN BAJAS Y EN ALTAS FRECUENCIAS
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 59
TENDENCIA DE LA C. NYQUIST EN BAJAS Y EN ALTAS FRECUENCIAS
Tendencia en altas frecuencias (w infinito): Depende de la diferencia entre el número de polos nP de P(s) y el número de ceros nZ de P(s).
Para nP - nZ = 1, la curva llega al origen del plano P(s) tangente a la parte negativa del eje imaginario.
Para nP - nZ = 2, la curva llega al origen del plano P(s) tangente a la parte negativa del eje real.
Para nP - nZ = 3, la curva llega al origen del plano P(s) tangente a la parte positiva del eje imaginario.
Y así sucesivamente.
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 60
ESTABILIDAD RELATIVA
Para sistemas con P(s) de fase mínima, es decir no tienen ni ceros ni polos en el semiplano derecho del plano s ( P = 0 ), de acuerdo al criterio de Nyquist, para que sea estable, N debe ser cero, es decir no debe existir rodeos al punto -1 del plano P(s).
Es suficiente el trazo de Nyquist para s = jw para concluir respecto a la estabilidad.
La proximidad del contorno en el plano P(s) al punto -1 es entonces una medida de la estabilidad relativa del sistema.
Esta proximidad indica el grado de estabilidad del sistema, la cual se mide mediante dos parámetros: el margen de ganancia y el margen de fase.
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 61
ESTABILIDAD RELATIVA
Margen de ganancia: Es el recíproco de la ganancia | P(jw) | para la frecuencia en que el ángulo de fase alcanza - 180°.
También se le define en términos de decibeles:
1 MGdb = 20 log ------------- = - 20 log | P(jw0) | | P(jw0) | donde w0 es la frecuencia en la cual el ángulo de fase de P(jw) es - 180°. Margen de fase: Es el ángulo de fase a través del cual se debe
girar el contorno P(jw) para que el punto de magnitud unitaria |P(jw)| = 1 , pase a través del punto -1 en el plano P(s).
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 62
ESTABILIDAD RELATIVA
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 63
ESTABILIDAD RELATIVA
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Estabilidad en el dominio de la frecuencia / MASB 64
ESTABILIDAD RELATIVA