![Page 1: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/1.jpg)
Metode Simpleks
Minimum
![Page 2: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/2.jpg)
Perhatian
Untuk menyelesaikan Persoalan
Program Linier dengan Metode Simpleks
untuk fungsi tujuan memaksimumkan
dan meminimumkan caranya BERBEDA.
![Page 3: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/3.jpg)
Perhatian
Model matematika dari Permasalahan
Program Linier dapat dinyatakan dalam
bentuk Sistem Persamaan Linier AX = B
sebagai berikut :
![Page 4: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/4.jpg)
Bentuk Umum
Model Persoalan Program Linier
Fungsi Tujuan:
• Minimumkan Z = C1 X1+ C2 X2+ … + Cn Xn
Bisa dibuat dlm bentuk matriks sbb:
nCCCZ ...21
nX
X
X
2
1
![Page 5: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/5.jpg)
Batasan:
a11 X1+ a12 X2+ … + a1n Xn ≤ or ≥ b1
a21 X1+ a22 X2+ … + a2n Xn ≤ or ≥ b2
……………… … …
am1 X1+ am2 X2+ … + amn Xn ≤ or ≥ bm
Bisa ditulis dlm bentuk matriks sbb:
mnmnmm
n
n
b
b
b
or
X
X
X
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22121
11211
![Page 6: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/6.jpg)
Langkah Penyelesaian Simpleks
Minimum
1. Mengubah semua kendala ke Bentuk Kanonik
dengan menambah variabel Slack S. Variabel
slack yang ada dimasukkan (ditambahkan) ke
fungsi sasaran dan diberi koefisien 0.
2. Jika dalam matriks A sudah terbentuk Matriks
Identitas maka disusun tabel awal simpleks
sebagai berikut :
![Page 7: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/7.jpg)
Cj C1 C2 .. Cn 0 0 .. M
Ci X1 X2 .. Xn S1 S2 .. V1 bi Ri
C1 X1 a11 a12 .. a1n .. b1 R1
: : : : .. .. … …
Cm Xm am1 .. bm Rm
Zj Z1 Z2 .. Zn ..
Zj- Cj Z1- C1 Z2- C2 Zn- Cn ..
Xi Xj
![Page 8: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/8.jpg)
Keterangan
Baris Cj diisi dengan para koefisien Fungsi Tujuan (sasaran)
Baris Xj diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada.
Kolom Xi diisi dengan nama-nama perubah yang menjadi basis
(variabel yang menyusun matriks Identitas) .
Kolom Ci diisi dengan para koefisien perubah yang menjadi
basis
Kolom bi diisi dengan para konstanta fungsi kendala (Nilai
Sebelah Kanan/NSK).
Baris Zj diisi dengan rumus: njaCZm
i
ijij ,...,1,1
Kolom Ri diisi dengan rumus Ri = bi / aik (aik = elemen-
elemen yang berada dalam kolom kunci, dan Ri dihitung
hanya untuk aik ≥ 0)
![Page 9: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/9.jpg)
Langkah Penyelesaian Simpleks
Minimum (Lanjutan)
Jika belum terbentuk matriks identitas (In) ,
maka matriks identitas dimunculkan dengan
menambah peubah semu dan diberi notasi V.
Perubah semu yang ada dimasukan di fungsi
sasaran dengan koefisien sebesar (+M),
dengan M adalah bilangan yang cukup besar.
![Page 10: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh
Meminimumkan Z = 22 X1 + 6 X2
Fungsi Kendala:
a). 11X1 + 3X2 ≥ 33
b). 8X1 + 5X2 ≤ 40
c). 7X1 + 10X2 ≤ 70, dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
![Page 11: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/11.jpg)
Bentuk Baku
Meminimumkan Z = 22 X1 + 6 X2
Fungsi Kendala:
a). 11X1 + 3X2 – 1S1 + 0S2 + 0S3 = 33
b). 8X1 + 5X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 40
c). 7X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 70, dan
X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0
![Page 12: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/12.jpg)
Jika ditulis dalam matriks
70
40
33
3
2
1
2
1
100107
01058
001311
S
S
S
X
X
Its not identity matrix
![Page 13: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/13.jpg)
Supaya muncul matriks identitas
Ditambah peubah semu Vk ke kendala
11X1 + 3X2 – 1S1 + 0S2 + 0S3 + 1V1= 33
8X1 + 5X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0V1= 40
7X1 + 10X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0V1= 70,
Bisa ditulis menjadi
11X1 + 3X2 + 1V1+ 0S2 + 0S3 – 1S1 = 33
8X1 + 5X2 + 0V1 + 1S2 + 0S3 + 0S1 = 40
7X1 + 10X2 + 0V1 + 0S2 + 1S3 + 0S1 = 70,
dan X1, X2, S1, S2, S3 , V1, V2≥ 0
![Page 14: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/14.jpg)
Jika ditulis dalam matriks
70
40
33
3
2
1
1
2
1
0
0
1
100107
01058
001311
S
S
S
V
X
X
Its identity matrix
![Page 15: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/15.jpg)
Fungsi Tujuan Menjadi
Z = 22 X1 + 6 X2+ MV1 + 0S1 + 0S2 + 0S3
Dengan M adalah bilangan yang sangat besar
![Page 16: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/16.jpg)
Pemeriksaan terhadap nilai Zj - Cj.
Tabel sudah minimum jika semua
Zj - Cj ≤ 0.
Jika ada Zj - Cj > 0 (positif), maka dibuat
tabel baru dengan cara sebagai berikut :
Menentukan kolom kunci yaitu memilih
nilai Zj - Cj yang terbesar. Sebut dengan
Zk - Ck maka kolom ke-k disebut kolom
kunci.
Pada kolom ke-k dilakukan pemeriksaan
terhadap nilai aik.
![Page 17: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/17.jpg)
Jika untuk semua aik negatif (aik < 0)
maka jawab tidak terbatas (Nilai
Fungsi Tujuan tidak
terbatas)/(Unbounded).
Jika terdapat aik yang positif hitung
nilai Ri, (untuk aik yang positif saja)
kemudian dilanjutkan ke langkah
berikutnya
![Page 18: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/18.jpg)
Menentukan baris kunci, yaitu nilai Ri yang terkecil, selanjutnya baris yg memuat Ri terkecil disebut baris kunci.
Kemudian disusun tabel baru sebagai berikut (dimulai dari baris kunci baru): Untuk elemen baris kunci baru: elemen baris kunci baru = elemen baris kunci lama dibagi
aik
Untuk elemen baris yang lain: elemen baris baru = elemen baris lama - (aik x elemen
baris r baru)
Kemudian tentukan lagi nilai Xi, Ci, Zj , Zj - Cj.
![Page 19: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/19.jpg)
Jadi langkah Metode Simpleks Minimum
hampir sama dengan Maksimum, hanya ada
beberapa perbedaaan yaitu:
1. Pengubahan bentuk kanonik, koefisien
dari peubah (variabel) semu (V) pada
fungsi sasaran adalah +M (positif M)
dimana M bilangan yang sangat besar.
2. Tabel sudah minimum jika semua nilai dari
Zj -Cj ≤ 0.
3. Penentuan kolom kunci berdasarkan nilai
dari Zj -Cj yang paling besar yaitu (maks
{Zj - Cj }).
![Page 20: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/20.jpg)
Contoh Soal
Meminimumkan : Z = 40 X1 + 80 X2
dengan batasan/kendala/constrain:
X1 + X2 ≥ 4
X1 + 3X2 ≥ 6
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
![Page 21: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/21.jpg)
Penyelesaian
Bentuk Kanonik :
X1 + X2 - 1S1 + 0S2 + 1 V1 + 0V2 = 4
X1 + 3X2 + 0S1 - 1S2 + 0 V1 + 1V2 = 6
Meminimumkan :
Z = 40 X1 + 80X2 + 0S1 + 0S2 + M V1 + M V2
Tabel Simpleks lengkapnya lihat disini
![Page 22: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/22.jpg)
Cj 40 80 0 0 M M
Ci Xi Xj X1 X2 S1 S2 V1 V2 bi Ri
M V1 1 1 -1 0 1 0 4 4
M V2 1 3 0 -1 0 1 6 2
Zj 2M 4M -M -M M M 10M
Zj- Cj 2M-40 4M-80 -M -M 0 0
M V1 2/3 0 -1 1/3 1 -1/3 2 3
80 X2 1/3 1 0 -1/3 0 1/3 2 6
Zj (2M+80)/3 80 -M (M-80)/3 M (80-M)/3 2M+16
0
Zj- Cj (2M-40)/3 0 -M (M-80)/3 0 (80-4M)/3
40 X1 1 0 -3/2 ½ 3/2 -1/2 3
80 X2 0 1 1/2 -1/2 -1/2 ½ 1
Zj 40 80 -20 -20 20 20 200
Zj- Cj 0 0 -20 -20 20-M 20-M
![Page 23: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/23.jpg)
Karena semua Zj – Cj ≤ 0, maka tabel
sudah minimal, dengan nilai X1 = 3,
dan X2 = 1, dan Zminimalnya = 200.
![Page 24: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/24.jpg)
TUGAS INDIVIDU 4
Selesaikan Persoalan Program
Linier berikut dengan Metode
Simpleks.
1. Meminimumkan F = 22 X1 + 6 X2
• Fungsi Kendala :
• 11X1 + 3 X2 ≥ 33
• 8X1 + 5X2 ≥ 40
• 7X1 + 10X2 ≤ 70 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
SOLUSI: X1 = 1,451613 X2 = 5,677419 Z = 66
![Page 25: Metode Simpleks Minimum - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+OR+-+Simpleks+Minimum.pdf · diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. ... Jadi langkah Metode Simpleks](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a9c24c27f8b9a451b8e26c3/html5/thumbnails/25.jpg)
2. Meminimumkan Z = 6X1 + 8 X2
Fungsi Kendala:
3X1 + X2 ≥ 4
5X1 + 2X2 ≤ 10
X1 + 2X2 ≥ 3 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0,
SOLUSI: X1 = 1, X2 = 1 Z = 14